(共76张PPT)
5.3 函数的单调性
第1课时 单调性的概念与证明
探究点一 由函数图象确定单调区间
探究点二 函数单调性的证明
探究点三 单调性与单调区间
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.能够在具体的数学问题中，用归纳的方式，抽象概括出函数单
调性的概念.
2.能够用数学符号语言表述函数的单调性.
3.能够根据给出的具体数学问题，利用学过的概念，判断函数的
单调性.
知识点一 增函数与减函数的定义
增函数 减函数
定义 增函数 减函数
定义
续表
增函数 减函数
图象 描述 ______________________________________________ 自左向右看图象是_______ _ ______________________________________________________
自左向右看图象是________
上升的
下降的
续表
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若定义在上的函数，有，则函数在
上为增函数.( )
×
[解析] 不符合增函数的定义， 成立，不能说明对任意
两个自变量的值,都有 成立.
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（2）函数 是减函数.( )
×
[解析] 函数 是增函数.
（3）函数 是增函数.( )
√
[解析] 对任意,，且 ，都有
成立，所以 ，故
是增函数.
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（4）函数 在定义域上是增函数.( )
×
[解析] 取,，则.
因此 在定义域上不是增函数.
知识点二 单调性与单调区间
如果函数在区间 上单调递增或单调递减,那么称函数
在区间 上具有________.增区间和减区间统称为单调区间.
单调性
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）函数在 上单调递增，则函数的增区间是
.( )
×
[解析] 函数也可能有其他的增区间.
（2）函数的减区间是 .( )
×
[解析] 有多个减区间一般不能用并集符号连在一起.
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（3）如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都单调递增，那么
这个函数在定义域上是增函数.( )
×
[解析] 在区间, 上都单调递增,但在定义域
上不是增函数.
（4）函数 的单调区间是定义域的子集.( )
[解析] 根据函数单调性的定义可知，函数 的单调区间都是定义
域的子集.
√
知识点三 常见函数的单调性
1.一次函数，当时，函数 的增区间是
；当时，函数的减区间是 .
2.反比例函数，当，函数 的减区间是
和；当，函数的增区间是 和
.
3.二次函数，当，函数 的减区
间是，增区间是；当，函数 的增区间
是，减区间是 .
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）函数在 上单调递增.( )
×
[解析] 因为，所以函数在区间 上单调递减.
（2）函数的减区间是 .( )
×
[解析] 因为，所以函数的减区间是和 .
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（3）函数的增区间是 .( )
×
[解析] 函数，则 的增区间是
.
（4）函数在区间 上单调递增.( )
√
[解析] 因为，所以函数在区间 上单调递增.
探究点一 由函数图象确定单调区间
例1（1）函数 的图象如图所示,则其增区
间是( )
A.， B.
C.， D.
√
[解析] 根据函数单调性的定义及题中函数图象知 的增区间为
， .
（2）［2025·广东高州中学高一期中］函数 的减区
间为________________.
，
[解析]
由此画出函数 的图象，如图所示，
由图可知，函数 的减区间为
， .
变式 画出下列函数的图象并写出函数的单调区间.
（1） ；
解： 的图象如图所示.
由图可知，的减区间为，增区间为 .
变式 画出下列函数的图象并写出函数的单调区间.
（2） .
解：令 .
先作出的图象，保留其在轴及 轴上方的部分，
把它在轴下方的图象翻到 轴上方，就得到
的图象，如图所示.
由图象易得，函数的增区间是 ，
减区间是 .
［素养小结］
由图象确定函数单调区间的方法及注意事项
（1）图象从左向右上升，则函数在对应区间上单调递增；图象从左
向右下降，则函数在对应区间上单调递减.
（2）单调区间必须是函数定义域的子集，单调区间之间不能用“
”，
而应用“，”将它们隔开或用“和”字连接.
探究点二 函数单调性的证明
例2 证明：函数在 上是增函数.
证明：设,为区间上的任意两个值，且 ，则
，
，，且 ，则
，则，即 ，所以函数
在 上是增函数.
变式 讨论函数在 上的单调性.
解：,设,,且 ,则
.
因为 ,所以 ,
又,,所以 .
当时,,则,即 ,所以
在 上单调递增;
当时,,则 ,
即,所以在 上单调递减.
［素养小结］
判断函数
在区间
上的单调性的一般步骤:
①设元:设
,
,且
.
②作差:将函数值
,
作差.
③变形:将上述差式变形（用因式分解、配方等方法）.
④判号:对上述变形结果的正负加以判定.
⑤定论:根据定义得出
的单调性.
拓展 ［2025·江西上饶一中高一期中］ 已知定义在 上的函数
满足对任意的，， 恒成立.当
时，，且 .
（1）求 的值；
解：对任意的，， 恒成立，取
，则，即 ，
因为，所以 .
拓展 ［2025·江西上饶一中高一期中］ 已知定义在 上的函数
满足对任意的，， 恒成立.当
时，，且 .
（2）判断 的单调性并证明.
解：函数在 上单调递增.证明如下：
设，则，因为当时， ，所以
，
于是 ，
所以函数在 上单调递增.
探究点三 单调性与单调区间
例3（1）［2025·江苏如东一中、宿迁一高、徐州中学月考］函数
的减区间是( )
A. B. C. D.
[解析] 要使函数有意义，必须，解得 .
令，其图象为开口向下的抛物线，对称轴为 ，
所以函数在上单调递减，在 上单调递增，
又在上单调递增，所以函数 在
上单调递减，在 上单调递增，所以函数
的减区间是 .故选A.
√
（2）［2025·北京十四中高一期中］设函数 在区间
上单调递增，则实数 的取值范围是__________.
[解析] 易知函数图象的对称轴为 ，
因为该函数在区间上单调递增，所以，解得，
故实数 的取值范围是 .
（3）已知是定义在 上的减函数，且满足
，求 的取值范围.
解：由题意知解得.
因为 是减函数，且，所以，
解得 .
由①②得，所以的取值范围是 .
变式（1）［2025·广东实验中学高一期中］若二次函数
在区间上单调递增，则实数 的取值
范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 二次函数 的图象是开口向上，对称
轴为的抛物线，
因为在区间 上单调递增，所以，解得 ，故选A.
√
（2）已知函数在 上单调递增，
则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为当时，，所以函数在
上的图象开口向下，所在抛物线的对称轴为 ，
又当时，，且函数在 上单调递增，所以
解得 .故选D.
［素养小结］
（1）对于一次函数、二次函数、反比例函数的单调性问题中所涉及
的参数问题,要根据这些函数的图象、性质进行讨论.
（2）解决与抽象函数有关的变量的取值范围问题,关键是利用单调性
“脱去”函数符号“
”,从而转化为熟悉的不等式.具体做法是:①若函数
在区间
上单调递增,对任意
,
,
恒成立,则
有
;②若函数
在区间
上单调递减,对任意
,
,
恒成立,则有
.但需要注意的是,不要忘记函数的定义域.
1.对函数单调性的理解
（1）单调性是与“区间”紧密相关的概念,一个函数在定义域内的不同
区间上可以有不同的单调性.
（2）单调性是函数在某一区间上的“整体”性质,因此定义中的,
有以下几个特征:一是任意性,即任意取, ,“任意”二字绝不能丢掉,
证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换;二是有大小,通常规定
;三是属于同一个单调区间.
（3）单调性能使自变量取值的不等关系和函数值的不等关系正逆互
推,即由单调递增（减）且 .
（4）并不是所有函数都具有单调性.若一个函数在定义域上既有增区
间又有减区间,则此函数在定义域上不具有单调性.
2.单调性的判断方法
（1）定义法:利用定义严格判断.
（2）图象法:作出函数的图象,用数形结合的思想确定函数的单调区间.
（3）用两个函数和（差）的单调性的规律判断:“增增增”“减 减
减”“增-减增”“减-增 减”.
1.图象法
单调性反映在，图象上,图象在区间 上的部分从左到右是上升
（下降）的,说明函数在 上单调递增（减）.
例1 ［2025·湖南邵东一中高一月考］函数 的减
区间为______.
[解析]
即画出函数 的图象，
如图所示，
由图可知,当时，函数在上单调递增，在 上单调递减；
当时，函数在 上单调递增.
综上函数的减区间为 .
2.定义法
可利用函数单调性的定义,建立关于参数的不等式（组）或方程
（组）,同时注意利用数形结合的思想,运用逆向思维思考问题.
解：当时，函数在上单调递增；当 时，函数
在 上单调递减.
证明如下：设 ,
则
,
例2 已知函数,判断函数在 上的单调性，
并用单调性的定义加以证明.
, ,
,, ,
当时，，即 ，
故函数在 上单调递增.
同理可证当时，函数在 上单调递减.
3.脱“ ”法
根据函数的单调性解决某些不等式问题.
例3 ［2025·深圳南山外国语学校高一期中］函数 的定义域为
，对任意，，都有 ，且当
时，， .
（1）求， ；
解：令，则 ，所以；
令,，则 ，
又，所以 .
例3 ［2025·深圳南山外国语学校高一期中］函数 的定义域为
，对任意，，都有 ，且当
时，， .
（2）判断并证明 的单调性；
解：为增函数.证明如下：
任取,，且 ，则，
因为 ，所以，则，所以，
即 ，所以在 上是增函数.
例3 ［2025·深圳南山外国语学校高一期中］函数 的定义域为
，对任意，，都有 ，且当
时，， .
（3）解不等式 .
解：由 ，可得
，
也就是 ，即，
因为在 上是增函数，
所以则可得或 ，
故所求不等式的解集为或 .
练习册
1.［2024·福建学业水平考试］已知函数
， 的图象如图，则函数增区间
为( )
A. B. C. D.
[解析] 若函数单调递增，则对应图象为上升趋势，由题图可知
的增区间为 .故选B.
√
2.下列函数中在 上单调递增的是( )
A. B. C. D.
[解析] 对于A,在 上单调递减,故A错误;
对于B, 在上单调递增,所以也在 上单调递增,故B正确;
对于C,在上单调递减,在 上单调递增,故C错误;
对于D,在 上单调递减,故D错误.故选B.
√
3.[ 江苏马坝高中高一调研］函数 的增区间是
( )
A. B. C. D.
[解析] 当时， ，此时函数单调递增；
当时， ，此时函数单调递减，故函数的增
区间为 ，故选C.
√
4.已知函数，则函数 ( )
A.在上单调递增 B.在 上单调递减
C.在上单调递增 D.在 上单调递减
[解析] ，所以函数 的图象
可由反比例函数 的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个
单位长度得到.
因为在和 上单调递减，所以在
和 上单调递减.故选D.
√
5.［2025·江苏宿迁中学高一期中］若函数 在
区间上单调递减，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意得 ，
则函数的减区间为 ，
又函数在区间上单调递减，所以
，解得 .
√
6.［2025·内蒙古赤峰二中高一月考］若函数
是上的增函数，则实数 的取值范
围是( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意可得
解得，所以实数的取值范围是 .故选D.
√
7.函数 的增区间是_______________.
和
[解析] 作出 的图象如图所示，
由图象可知，的增区间是和 .
8.［2025·北京交大附中高一月考］定义在上的函数 ，对任意
，，有，则,, 的大小关
系为__________________.
[解析] 定义在上的函数，对任意， ，有
，则函数在上单调递减，
， .
9.（13分）已知函数，且 .
（1）求实数的值并作出函数 的图象；
解：由函数，且，得 ，
所以，函数
函数 的图象如图所示.
9.（13分）已知函数，且 .
（2）由图指出 的增区间.
解：观察函数的图象，得的增区间为， .
10.（13分）已知函数 .
（1）若，判断函数在 上的单调性，并利用单调性
的定义证明你的结论；
解:当时，在 上单调递减.
证明如下：任取,，且 ，
则 ，
由，得,, ，
所以，即 ，所以函数
在 上单调递减.
10.（13分）已知函数 .
（2）若函数在区间上单调递减，写出 的取值范围并证明.
解:若函数在区间上单调递减，则 .
证明如下：任取,，且 ，
则
，
由，得,, ,
由得，所以 ，即
，
所以函数在 上单调递减.
11.［2025·江苏南京协同体七校期中］已知函数
在上单调递增，则实数 的取值范围是
( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 已知函数
当时， 单调递增，此时；
当且时， 在上单调递增，此时
.
所以要使函数在上单调递增，则
且 ，可得 .故选C.
12.[ 华师大一附中高一月考］设函数
若，则实数 的取值
范围是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 作出函数 的图象，
如图所示，
可知函数 在
上单调递增，故由 可得
，即，解得
或，即实数的取值范围是 .故选A.
13.（多选题）［2025·江苏苏州高一期中］ 设函数
，则( )
A.直线是曲线 的对称轴
B.若函数在上单调递减，则
C.对任意，，不等式 恒成立
D.当时，
√
√
√
[解析] 根据题意，函数
其图象如图所
示.
对于A，，，则直线 不
是曲线 的对称轴，A错误；
对于B，由图可知，的减区间为，所以若函数在 上
单调递减，则 ，B正确；
对于C，当时， ,
,则对任意， ，不等式
恒成立，C正确；
对于D，当 时， ，其图象关于
直线对称，则有，当 时，
，当 时，， ，
综合可得，当时，，D正确.故选 .
14.已知函数（为常数）.若在区间 上单调
递增,则 的取值范围是________.
[解析] 依题意,函数
显然函数在上单调递减，在 上单调递增,
因为在区间上单调递增，所以，则 ,
所以的取值范围是 .
15.已知函数的定义域为，对任意， ，总
有，且， ，则实数
的取值范围是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由题意得，对任意，，总有 ，
在上单调递增.
由 得，则
解得或 .故选B.
16.（15分）[ 江西南昌三中高一期中］ 已知定义在 上的函
数满足，且当时， .
（1）求 的值；
解：令，得 .
（2）求证:在 上是增函数；
证明：在上任取，则，所以 .
又 ，
所以函数在 上是增函数.
16.（15分）[ 江西南昌三中高一期中］ 已知定义在 上的函
数满足，且当时， .
（3）若，解关于的不等式 .
解：由，得 ，
.
由，得 ，即
.
因为函数在 上是增函数，所以，解得或
.故原不等式的解集为或 .
快速核答案(导学案）
课前预习 知识点一
上升的 下降的
【诊断分析】 （1）× （2）× （3）√ （4）×
知识点二 单调性 【诊断分析】 （1）× （2）× （3）× （4）√
知识点三 【诊断分析】 （1）× （2）× （3）× （4）√
课中探究 探究点一 例1 （1）C （2）
，
变式 （1）图略
的减区间为
，增区间为
（2）图略，
的增区间是
，减区间是
探究点二 例2 证明略
变式 当
时,<
在
上单调递增;当
时,<
在
上单调递减
拓展 （1） （2）函数
在
上单调递增.证明略
探究点三 例3 （1）A （2）
（3）
变式 （1）A （2）D
练习册
基础巩固
1.B 2.B 3.C 4.D 5.C 6.D 7.
和
8.
9.（1）
，图略（2）的增区间为
，
10.（1）在
上单调递减.证明略（2）
.证明略
综合提升
11.C 12.A 13.BCD 14.
思维探索
15.B
16.（1） （2）证明略（3）
或
5.3 函数的单调性
第1课时 单调性的概念与证明
【课前预习】
知识点一
f(x1)
f(x2) 上升的 下降的
诊断分析
(1)× (2)× (3)√ (4)× [解析] (1)不符合增函数的定义,f(-1)(2)函数f(x)=x是增函数.
(3)对任意x1,x2∈R,且x1(4)取x1=-2,x2=1,则f(x1)>f(x2).因此f(x)=x2在定义域上不是增函数.
知识点二
单调性
诊断分析
(1)× (2)× (3)× (4)√ [解析] (1)函数也可能有其他的增区间.
(2)有多个减区间一般不能用并集符号连在一起.
(3)y=-在区间(-∞,0),(0,+∞)上都单调递增,但在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上不是增函数.
(4)根据函数单调性的定义可知,函数f(x)的单调区间都是定义域的子集.
知识点三
诊断分析
(1)× (2)× (3)× (4)√ [解析] (1)因为-2<0,所以函数f(x)在区间[1,+∞)上单调递减.
(2)因为2>0,所以函数f(x)的减区间是(-∞,0)和(0,+∞).
(3)函数f(x)=x2+2x=(x+1)2-1,则f(x)的增区间是(-1,+∞).
(4)因为1>0,所以函数f(x)在区间[0,8]上单调递增.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)C (2), [解析] (1)根据函数单调性的定义及题中函数图象知f(x)的增区间为[-1,0],[1,2].
(2)y=x2-3|x|+1=
由此画出函数y=x2-3|x|+1的图象,如图所示,由图可知,函数y=x2-3|x|+1的减区间为,.
变式 解:(1)f(x)=3|x|=f(x)的图象如图所示.
由图可知,f(x)的减区间为(-∞,0],增区间为(0,+∞).
(2)令g(x)=x2+2x-3=(x+1)2-4.
先作出g(x)的图象,保留其在x轴及x轴上方的部分,把它在x轴下方的图象翻到x轴上方,就得到f(x)=|x2+2x-3|的图象,如图所示.由图象易得,函数f(x)的增区间是[-3,-1],[1,+∞),减区间是(-∞,-3],[-1,1].
探究点二
例2 证明:设x1,x2为区间(-1,1)上的任意两个值,且x1∵-10,则f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)变式 解:f(x)==a+,设x1,x2∈(-2,+∞),且x10,
又x1,x2∈(-2,+∞),所以(x1+2)(x2+2)>0.
当a>时,1-2a<0,则f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)当a<时,1-2a>0,则f(x1)-f(x2)>0,
即f(x1)>f(x2),所以f(x)在(-2,+∞)上单调递减.
拓展 解:(1)对任意的x,y∈(0,+∞),f(xy)=f(x)+f(y)恒成立,取x=y=3,则f(3×3)=f(3)+f(3),即f(9)=2f(3),因为f(9)=8,所以f(3)=4.
(2)函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.证明如下:
设x1>x2>0,则>1,因为当x>1时,f(x)>0,所以f>0,于是f(x1)=f=f(x2)+f>f(x2),所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.
探究点三
例3 (1)A (2)[-2,+∞) [解析] (1)要使函数f(x)有意义,必须-x2-2x≥0,解得-2≤x≤0.令u=-x2-2x,其图象为开口向下的抛物线,对称轴为x=-1,所以函数u=-x2-2x在[-1,0]上单调递减,在[-2,-1]上单调递增,又y=在[0,+∞)上单调递增,所以函数f(x)=在[-1,0]上单调递减,在[-2,-1]上单调递增,所以函数f(x)=的减区间是[-1,0].故选A.
(2)易知函数y=x2+2ax图象的对称轴为x=-a,因为该函数在区间(2,+∞)上单调递增,所以-a≤2,解得a≥-2,故实数a的取值范围是[-2,+∞).
(3)解:由题意知解得0f(1-4a),所以a-1<1-4a,解得a<②.由①②得0变式 (1)A (2)D [解析] (1)二次函数f(x)=x2-2(a-1)x+1的图象是开口向上,对称轴为x==a-1的抛物线,因为f(x)在区间(1,3)上单调递增,所以a-1≤1,解得a≤2,故选A.
(2)因为当x≤1时,f(x)=-x2-ax-9,所以函数在(-∞,1]上的图象开口向下,所在抛物线的对称轴为x=-,又当x>1时,f(x)=,且函数f(x)在R上单调递增,所以解得-5≤a≤-2.故选D.5.3 函数的单调性
第1课时 单调性的概念与证明
1.B [解析] 若函数单调递增,则对应图象为上升趋势,由题图可知y=f(x)的增区间为[0,1].故选B.
2.B [解析] 对于A,y=-x在[0,+∞)上单调递减,故A错误;对于B,y=x+1在R上单调递增,所以也在[0,+∞)上单调递增,故B正确;对于C,y=x2-2x在(-∞,1)上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,故C错误;对于D,y=在(0,+∞)上单调递减,故D错误.故选B.
3.C [解析] 当x≥-1时,y=|x+1|=x+1,此时函数单调递增;当x<-1时,y=|x+1|=-x-1,此时函数单调递减,故函数的增区间为(-1,+∞),故选C.
4.D [解析] f(x)===1+(x≠1),所以函数f(x)的图象可由反比例函数y=的图象向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度得到.因为y=在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减,所以f(x)=在(-∞,1)和(1,+∞)上单调递减.故选D.
5.C [解析] 由题意得y=x2+(2a-1)x+1=+1-,则函数y=x2+(2a-1)x+1的减区间为,又函数y=x2+(2a-1)x+1在区间(-∞,2)上单调递减,所以-≥2,解得a≤-.
6.D [解析] 由题意可得
解得2≤a≤3,所以实数a的取值范围是[2,3].故选D.
7.和(3,+∞) [解析] 作出f(x)的图象如图所示,由图象可知,f(x)的增区间是和(3,+∞).
8.f(3)9.解:(1)由函数f(x)=x|x-m|(x∈R),且f(4)=0,得4|4-m|=0,
所以m=4,函数f(x)=x|x-4|=
函数f(x)的图象如图所示.
(2)观察函数f(x)的图象,得f(x)的增区间为(-∞,2),(4,+∞).
10.解:(1)当a=4时,f(x)=在(2,+∞)上单调递减.
证明如下:任取x1,x2∈(2,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=-=
=,
由x2>x1>2,得x2-x1>0,x2-2>0,x1-2>0,
所以f(x1)-f(x2)=>0,即f(x1)>f(x2),所以函数f(x)在(2,+∞)上单调递减.
(2)若函数f(x)在区间(2,+∞)上单调递减,则a>-2.证明如下:任取x3,x4∈(2,+∞),且x3则f(x3)-f(x4)=-=
=,
由x4>x3>2,得x4-x3>0,x4-2>0,x3-2>0,
由a>-2得a+2>0,所以f(x3)-f(x4)=>0,即f(x3)>f(x4),
所以函数f(x)在(2,+∞)上单调递减.
11.C [解析] 已知函数f(x)=当x≤a时,f(x)=2x+4单调递增,此时f(x)≤2a+4;当x>a且a≥0时,f(x)=x2+1在(a,+∞)上单调递增,此时f(x)>a2+1.所以要使函数f(x)=在R上单调递增,则a2+1≥2a+4且a≥0,可得a≥3.故选C.
12.A [解析] 作出函数f(x)=的图象,如图所示,可知函数f(x)=在R上单调递增,故由f(a2-3)>f(a-1)可得a2-3>a-1,即a2-a-2>0,解得a<-1或a>2,即实数a的取值范围是(-∞,-1)∪(2,+∞).故选A.
13.BCD [解析] 根据题意,函数f(x)=(x-2)|x|=其图象如图所示.对于A,f(-1)=-3,f(3)=3,则直线x=1不是曲线y=f(x)的对称轴,A错误;对于B,由图可知,f(x)的减区间为(0,1),所以若函数f(x)在(0,m)上单调递减,则00>f(x),综合可得,当-114.(-∞,1] [解析] 依题意,函数f(x)=
显然函数f(x)在(-∞,a]上单调递减,在[a,+∞)上单调递增,因为f(x)在区间[1,+∞)上单调递增,所以[1,+∞) [a,+∞),则a≤1,所以a的取值范围是(-∞,1].
15.B [解析] 由题意得,对任意x1,x2∈(0,+∞),总有>0,∴y=在(0,+∞)上单调递增.由f(a2+2a)>2a2+4a得>2=,则解得a<-3或a>1.故选B.
16.解:(1)令x=y=0,得f(0)=-2.
(2)证明:在R上任取x1>x2,则x1-x2>0,所以f(x1-x2)>-2.又f(x1)=f[(x1-x2)+x2]=f(x1-x2)+f(x2)+2>f(x2),所以函数f(x)在R上是增函数.
(3)由f(1)=2,得f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)+2=6,f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)+2=10.
由f(x2+x)+f(1-2x)>8,得f(x2-x+1)-2>8,即f(x2-x+1)>f(3).因为函数f(x)在R上是增函数,所以x2-x+1>3,解得x<-1或x>2.
故原不等式的解集为{x|x<-1或x>2}.5.3 函数的单调性
第1课时 单调性的概念与证明
【学习目标】
1.能够在具体的数学问题中,用归纳的方式,抽象概括出函数单调性的概念.
2.能够用数学符号语言表述函数的单调性.
3.能够根据给出的具体数学问题,利用学过的概念,判断函数的单调性.
◆ 知识点一 增函数与减函数的定义
增函数 减函数
定义 设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.如果对于区间I内的任意两个值x1,x2
当x1图象 描述 自左向右看图象是 自左向右看图象是
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若定义在R上的函数f(x),有f(-1)(2)函数f(x)=x是减函数. ( )
(3)函数f(x)=2x-3是增函数. ( )
(4)函数f(x)=x2在定义域上是增函数. ( )
◆ 知识点二 单调性与单调区间
如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减,那么称函数y=f(x)在区间I上具有 .增区间和减区间统称为单调区间.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y=f(x)在[1,+∞)上单调递增,则函数的增区间是[1,+∞). ( )
(2)函数y=的减区间是(-∞,0)∪(0,+∞). ( )
(3)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都单调递增,那么这个函数在定义域上是增函数. ( )
(4)函数f(x)的单调区间是定义域的子集. ( )
◆ 知识点三 常见函数的单调性
1.一次函数f(x)=kx+b(k≠0),当k>0时,函数f(x)的增区间是(-∞,+∞);当k<0时,函数f(x)的减区间是(-∞,+∞).
2.反比例函数f(x)=(k≠0),当k>0,函数f(x)的减区间是(-∞,0)和(0,+∞);当k<0,函数f(x)的增区间是(-∞,0)和(0,+∞).
3.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),当a>0,函数f(x)的减区间是,增区间是;当a<0,函数f(x)的增区间是,减区间是.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数f(x)=-2x+1在[1,+∞)上单调递增. ( )
(2)函数f(x)=的减区间是(-∞,0). ( )
(3)函数f(x)=x2+2x的增区间是(-2,+∞). ( )
(4)函数f(x)=x-3在区间[0,8]上单调递增. ( )
◆ 探究点一 由函数图象确定单调区间
例1 (1)函数y=f(x)的图象如图所示,则其增区间是 ( )
A.[-2,-1],[0,1]
B.[0,2]
C.[-1,0],[1,2]
D.[-1,0]∪[1,2]
(2)[2025·广东高州中学高一期中] 函数y=x2-3|x|+1的减区间为 .
变式 画出下列函数的图象并写出函数的单调区间.
(1)f(x)=3|x|;
(2)f(x)=|x2+2x-3|.
[素养小结]
由图象确定函数单调区间的方法及注意事项
(1)图象从左向右上升,则函数在对应区间上单调递增;图象从左向右下降,则函数在对应区间上单调递减.
(2)单调区间必须是函数定义域的子集,单调区间之间不能用“∪”,而应用“,”将它们隔开或用“和”字连接.
◆ 探究点二 函数单调性的证明
例2 证明:函数f(x)=在(-1,1)上是增函数.
变式 讨论函数f(x)=在(-2,+∞)上的单调性.
[素养小结]
判断函数f(x)在区间D上的单调性的一般步骤:
①设元:设x1,x2∈D,且x1②作差:将函数值f(x1),f(x2)作差.
③变形:将上述差式变形(用因式分解、配方等方法).
④判号:对上述变形结果的正负加以判定.
⑤定论:根据定义得出f(x)的单调性.
拓展 [2025·江西上饶一中高一期中] 已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足对任意的x,y∈(0,+∞),f(xy)=f(x)+f(y)恒成立.当x>1时,f(x)>0,且f(9)=8.
(1)求f(3)的值;
(2)判断f(x)的单调性并证明.
◆ 探究点三 单调性与单调区间
例3 (1)[2025·江苏如东一中、宿迁一高、徐州中学月考] 函数f(x)=的减区间是 ( )
A.[-1,0] B.[0,1]
C.[2,+∞) D.(-∞,2]
(2)[2025·北京十四中高一期中] 设函数y=x2+2ax在区间(2,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是 .
(3)已知y=f(x)是定义在(-1,1)上的减函数,且满足f(a-1)>f(1-4a),求a的取值范围.
变式 (1)[2025·广东实验中学高一期中] 若二次函数f(x)=x2-2(a-1)x+1在区间(1,3)上单调递增,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞,2] B.[2,4]
C.[2,+∞) D.[4,+∞)
(2)已知函数f(x)=在(-∞,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围为 ( )
A.[-5,0) B.(-∞,-2)
C.(-∞,0) D.[-5,-2]
[素养小结]
(1)对于一次函数、二次函数、反比例函数的单调性问题中所涉及的参数问题,要根据这些函数的图象、性质进行讨论.
(2)解决与抽象函数有关的变量的取值范围问题,关键是利用单调性“脱去”函数符号“f”,从而转化为熟悉的不等式.具体做法是:①若函数y=f(x)在区间D上单调递增,对任意x1,x2∈D,f(x1)x2.但需要注意的是,不要忘记函数的定义域.5.3 函数的单调性
第1课时 单调性的概念与证明
1.[2024·福建学业水平考试] 已知函数y=f(x),x∈[-1,2]的图象如图,则函数增区间为 ( )
A.[-1,0] B.[0,1]
C.[-1,2] D.[1,2]
2.下列函数中在[0,+∞)上单调递增的是 ( )
A.y=-x B.y=x+1
C.y=x2-2x D.y=
3.[2025·江苏马坝高中高一调研] 函数y=|x+1|的增区间是 ( )
A.(-∞,+∞) B.(-∞,0)
C.(-1,+∞) D.(-∞,-1)
4.已知函数f(x)=,则函数f(x) ( )
A.在(-2,+∞)上单调递增
B.在(-2,+∞)上单调递减
C.在(1,+∞)上单调递增
D.在(1,+∞)上单调递减
5.[2025·江苏宿迁中学高一期中] 若函数y=x2+(2a-1)x+1在区间(-∞,2)上单调递减,则实数a的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
6.[2025·内蒙古赤峰二中高一月考] 若函数f(x)=是R上的增函数,则实数a的取值范围是 ( )
A.(1,3) B.(1,3]
C.(2,3] D.[2,3]
7.函数f(x)=|x2-3x|的增区间是 .
8.[2025·北京交大附中高一月考] 定义在R上的函数f(x),对任意x1,x2∈R(x1≠x2),有<0,则f(1),f(2),f(3)的大小关系为 .
9.(13分)已知函数f(x)=x·|x-m|,且f(4)=0.
(1)求实数m的值并作出函数f(x)的图象;
(2)由图指出f(x)的增区间.
10.(13分)已知函数f(x)=.
(1)若a=4,判断函数f(x)在(2,+∞)上的单调性,并利用单调性的定义证明你的结论;
(2)若函数f(x)在区间(2,+∞)上单调递减,写出a的取值范围并证明.
11.[2025·江苏南京协同体七校期中] 已知函数f(x)=在R上单调递增,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-1,3]
B.(-∞,3]
C.[3,+∞)
D.(-∞,-1]∪[3,+∞)
12.[2025·华师大一附中高一月考] 设函数f(x)=若f(a2-3)>f(a-1),则实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞,-1)∪(2,+∞)
B.(-∞,-2)∪(1,+∞)
C.(-∞,-1)∪(3,+∞)
D.(-∞,-3)∪(1,+∞)
13.(多选题)[2025·江苏苏州高一期中] 设函数f(x)=(x-2)|x|,则 ( )
A.直线x=1是曲线y=f(x)的对称轴
B.若函数f(x)在(0,m)上单调递减,则0C.对任意x1,x2∈(0,+∞),不等式f≤恒成立
D.当-114.已知函数f(x)=|x-a|(a为常数).若f(x)在区间[1,+∞)上单调递增,则a的取值范围是 .
15.已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),对任意x1,x2∈(0,+∞),总有<0,且f(3)=6,f(a2+2a)>2a2+4a,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞,-2)∪(0,+∞)
B.(-∞,-3)∪(1,+∞)
C.(-3,1)
D.(-3,-2)∪(0,1)
16.(15分)[2025·江西南昌三中高一期中] 已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2,且当x>0时,f(x)>-2.
(1)求f(0)的值;
(2)求证:f(x)在R上是增函数;
(3)若f(1)=2,解关于x的不等式f(x2+x)+f(1-2x)>8.