(共71张PPT)
5.4 函数的奇偶性
第1课时 奇偶性的概念
探究点一 函数奇偶性的判断
探究点二 奇偶函数的图象及应用
探究点三 根据函数奇偶性求值
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.能够根据具体的数学问题，用归纳和类比的方式，抽象概括出
函数的奇偶性的概念，并能够用数学符号语言表达.
2.能够根据函数奇偶性的概念，判断函数的奇偶性，并能够用数
学语言表达.
知识点 函数奇偶性的概念
偶函数 奇函数
定义
偶函数 奇函数
定义域 关于______对称 图象特 征 关于_____对称 如： ______________________________________ 关于______对称
如：
___________________________________
原点
轴
原点
续表
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）函数， 是偶函数.( )
×
[解析] 函数的定义域不满足关于原点对称，因此不具备奇偶性.
（2）函数 是奇函数.( )
×
[解析] 函数的定义域为且 ，不关于原点对称，故函数
不是奇函数.
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（3）函数 既是奇函数又是偶函数.( )
√
[解析] 函数的定义域为，, ,所以函
数 既是奇函数又是偶函数.
（4）函数, 是奇函数.( )
×
[解析] 当时， .
探究点一 函数奇偶性的判断
例1 判断下列函数的奇偶性：
（1） ；
解：要使函数有意义，必须，解得,或 .
所以函数的定义域为 ，关于原点对称.
对于任意的，都有 ，
且，所以 是偶函数.
例1 判断下列函数的奇偶性：
（2）， ；
解：因为函数的定义域不关于原点对称，即存在 ，
而，所以函数， 既不是奇函数
也不是偶函数.
例1 判断下列函数的奇偶性：
（3） ；
解：函数的定义域为 ，
因为对于任意的，都有 ，且
，所以函数 是奇函数.
例1 判断下列函数的奇偶性：
（4）
解：函数的定义域为 ，对于任意的
，都有，
当 时，，；
当 时， ，
综上可知，函数 是奇函数.
变式 判断下列函数的奇偶性:
（1） ；
解：由得 ，即可得
，
又 ，所以函数的定义域为，关于原点对称.
对于任意的 ，都有，且
，可得 是奇函数.
变式 判断下列函数的奇偶性:
（2）
解：函数的定义域为 ，关于原点对称.
对于任意的,都有 .
当时， ，且
；
当时， ，且
.
综上所述，当时，.所以 是
奇函数.
［素养小结］
判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
（1）定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，
所以首先考虑定义域；
（2）判断
与
是否具有等量关系.
在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式
（奇函数）或
（偶函数）是否成立.
拓展 ［2025·江苏徐州质检］ 设函数 ，则下列函数
为奇函数的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为 ，所以
，所以函数
的图象关于点对称，所以的图象关于点
对称，则 是奇函数.故选C.
√
探究点二 奇偶函数的图象及应用
例2 已知函数是定义在上的偶函数,且当 时,
.现已画出函数在 轴右侧的图象,如图所示.
（1）请补充完整函数 的图象;
解：补充完整函数 的图象,如图所示.
例2 已知函数是定义在 上的偶函数,且当
时,.现已画出函数在 轴
右侧的图象,如图所示.
（2）根据图象写出函数 的增区间;
解：由图可知,函数的增区间为 , .
例2 已知函数是定义在 上的偶函数,且当时,
.现已画出函数在 轴右侧的图象,
如图所示.
（3）当为何值时,方程 有两个不同的实
数根、三个不同的实数根、四个不同的实数根
解：由图可知,当或时,方程
有两个不同的实数根;
当时,方程有三个不同的实数根;
当 时,方程 有四个不同的实数根.
变式 定义在上的奇函数在 上的图
象如图所示.
（1）补全 的图象;
解：因为奇函数的图象关于原点对称,所以补全
函数 的图象如图所示.
变式 定义在上的奇函数在 上的图
象如图所示.
（2）解不等式 .
解：当时,由得 ,
;
当时,由得,
所以 .
综上,不等式的解集为 .
［素养小结］
巧用奇、偶函数的图象求解问题
（1）依据:奇函数
图象关于原点对称,偶函数
图象关于
轴对称.
（2）求解:根据奇、偶函数图象的对称性可以解决求值、比较大小
及解不等式等问题.
探究点三 根据函数奇偶性求值
例3（1）已知函数是奇函数，则实数 ___.
0
[解析] 由题意，得对任意， ，即
，则，所以，解得 .
（2）［2025·广东阳江高一期末］已知
，且，则 ___.
7
[解析] 由 ，得
，则有,所以 ，
，所以 .
变式（1）［2025·江苏盐城期中］若奇函数和偶函数 满足
，则 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 由题意得 ，则
解得因此 .故选C.
√
（2）若函数 是偶函数，且其定义域为
，则___， ___.
0
[解析] 因为偶函数的定义域关于原点对称，所以 ，解得
.
所以函数 为二次函数，结合偶函数图象的特点，
易得 .
［素养小结］
由函数的奇偶性求参数应关注两点：
（1）函数奇偶性的定义既是判断函数的奇偶性的一种方法，也是在
已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，要注意函数奇偶性定义的
正用和逆用；
（2）利用常见函数如一次函数、反比例函数、二次函数具有奇偶性
的条件也可求得参数.
1.判断函数奇偶性的步骤
①先求定义域,看是否关于原点对称.
②在定义域关于原点对称的条件下再判断与 的关系.若
,则函数为偶函数;若,则函数 为奇
函数.
2.函数奇偶性的运算性质
设,的定义域分别是, ,在它们的公共定义域上,一般具有
下列结论:
偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数
偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数
奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数
奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数
注意:中,的值域是 的定义域的子集.
判断函数的奇偶性除了定义法之外,还可以利用函数图象来判断，遇
到分段函数，还需要分类讨论判断.
例1（1）［2024·浙江台州八校联盟高一期中］下列函数中，在其定
义域内既是奇函数又是增函数的为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 对于A，函数是奇函数，但是在
和 上单调递减，在定义域上不具有单调性，故A错
误；
对于B，函数 是非奇非偶函数，故B错误；
对于C，函数 是偶函数，故C错误；
对于D，函数 的图象如图所示，所以
在其定义域内既是奇函数又是增函数，
故D正确.故选D.
（2）（多选题）［2025·深圳外国语学校高一月考］ 已知函数
，构造函数 ，则下列关于函数
的说法正确的是( )
A.是偶函数 B. 是偶函数
C.是奇函数 D. 是奇函数
√
√
√
[解析] 由题意可得，显然定义域为 ，
且，故 是奇函数.
对于A，由于， ，
故，从而 不是偶
函数，A错误；
对于B，显然 ，故 是偶函
数，B正确；
对于C，由于，故
是奇函数，C正确；
对于D，由于 ，故是奇函
数，D正确.故选 .
例2（1）（多选题）［2024·浙江A9联盟高一期中］ 设和
分别是定义在 上的奇函数和偶函数，则下列函数中必为奇函数的是
( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] 对于A，设 ，则
，所以 为偶函数，即为偶函数，故A错误；
对于B，设 ,则，故
为奇函数，故B正确；
对于C，设 ,则
，故 为偶函数，故C错误；
对于D，设 ,则
，所以为奇函数，故D正确.故选 .
（2）（多选题）［2025·广西桂林五中高一月考］ 已知函数 的
定义域为， ，则( )
A. B. C.是偶函数 D. 是奇函数
[解析] 令，可得 ，A正确；
令，可得,所以 ，B正确；
令，可得 ,
又，所以,易知函数的定义域为，令 ，
可得，所以 是偶函数，C
正确；
不一定恒为0，所以不是奇函数，D错误.故选 .
√
√
√
（3）［2024·青岛二中高一期中］设函数 是增函数，且对于任
意,，都有，则 是____函数.
（填“奇”或“偶”或“非奇非偶”）
奇
[解析] 对于任意,，都有 ，令
，则；
令 ，则，则，
故函数 是奇函数.
练习册
1.下列函数中是偶函数的是( )
A. B. C. D.
[解析] 对于A，函数 ，定义域不关于原点对称，为非
奇非偶函数，不符合题意；
对于B，函数 为非奇非偶函数，不符合题意；
对于C，函数 为偶函数，符合题意；
对于D， 为非奇非偶函数，不符合题意.故选C.
√
2.下列说法中错误的是( )
A.奇函数的图象关于坐标原点对称
B.图象关于 轴对称的函数是偶函数
C.奇函数一定满足
D.偶函数的图象不一定与 轴相交
√
[解析] 根据奇偶函数的性质知A，B中说法正确；
对于C，如，，易得函数 是奇函数，
它的图象不过原点，故C中说法错误；
对于D，如 ，，易得函数是偶函数，
它的图象不与 轴相交，故D中说法正确．故选C.
3.函数 的图象关于( )
A.轴对称 B.直线 对称
C.直线 对称 D.坐标原点对称
[解析] 函数的定义域为 ,因为
,所以函数 是奇函数,则函
数 的图象关于坐标原点对称.故选D.
√
4.如图为奇函数 的部分图象,则
的值为( )
A. B.2 C.1 D.0
[解析] 由题图知,,
又 为奇函数,所以 .
故选A.
√
5.已知，且，则 等于
( )
A. B. C. D.10
[解析] 令，， 为奇函
数.
又， ，
， ，
.
√
6.已知函数是定义在 上的
偶函数，则 ( )
A.1 B.0 C. D.
[解析] 由题意得，解得 ，
因为为偶函数，所以 ，
即 ，所以
，解得，
所以, ，所以 .故选D.
√
7.已知函数为奇函数，且当时， ，则
____.
[解析] 为奇函数，且当时， ，
.
8.［2025·上海七宝中学高一月考］已知函数 是
偶函数，则实数 ___.
3
[解析] 因为为偶函数，所以 ，
即，解得 ，经验证符合题意.
9.（13分）判断下列函数的奇偶性：
（1）， ；
解：函数的定义域为 ，不关于原点对称，故此函
数为非奇非偶函数.
（2） .
解：，，且 ，
， .
设函数的定义域为， 对于任意的，都有 ，且
， 为奇函数.
10.［2025·广东清远南阳中学高一期中］函数 的图象大致
是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 函数的定义域为，且对任意 ，都有
，则函数 是奇函数，其图象关于原点
对称，排除B；
当时， ，当且仅当 时取等
号，排除C，D，A符合题意.故选A.
11.（多选题）设函数，的定义域都为，且 是奇函
数， 是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A.为奇函数 B. 为偶函数
C.为偶函数 D. 为偶函数
[解析] 是奇函数，是偶函数， 为偶函数，
为偶函数，为奇函数， 为偶
函数，为奇函数，为偶函数.故选 .
√
√
√
12.（多选题）函数 ，则下列函数
中其图象关于 轴对称的有( )
A. B. C. D.
[解析] 已知，令 ，则
，得 ，整理得
，即 ，则
，故函数的图象关于 轴对称，A
正确;
√
√
的图象是将 的图象向右平移1个单位长度得到的，故
的图象不关于 轴对称，B错误；
因为，故
的图象不关于轴对称，C错误;
因为 ，所以，则的
图象关于 轴对称，D正确.故选 .
13.［2025·江苏泰州中学高一期中］已知奇函数的定义域为 ，
若为偶函数，且，则 的值为____.
[解析] 为上的奇函数，，
为偶函数，，
，，
，，
则 .
14.（15分）［2025·江苏镇江高一期中］ 在“①奇函数，
②偶函数”中任选一个，填在下面的横线上，补充完整问
题，并作答.（如果两个都选，则按选的第一个计分）
已知函数为定义在上的______，当时， .
选①
（1）求函数 的表达式；
解：当时，，则 ，
由是奇函数，得 ，
所以当时，.故
14.（15分）［2025·江苏镇江高一期中］ 在“①奇函数，
②偶函数”中任选一个，填在下面的横线上，补充完整问
题，并作答.（如果两个都选，则按选的第一个计分）
已知函数为定义在上的______，当时， .
（2）作出函数 的图象；
解：当时， ，则可得下表：
0 1 3 4 5
0
作出在 上的图象如图所示.
由为奇函数，得 的图象如图所示.
选①
（3）求函数 的值域.
解：由（2）可知的值域为 .
14.（15分）［2025·江苏镇江高一期中］ 在“①奇函数，
②偶函数”中任选一个，填在下面的横线上，补充完整问
题，并作答.（如果两个都选，则按选的第一个计分）
已知函数为定义在上的______，当时， .
选①
14.（15分）［2025·江苏镇江高一期中］ 在“①奇函数，
②偶函数”中任选一个，填在下面的横线上，补充完整问
题，并作答.（如果两个都选，则按选的第一个计分）
已知函数为定义在上的______，当时， .
（1）求函数 的表达式；
解：当时， ，
则，由是偶函数，得 ，
所以当时，.故
选②
14.（15分）［2025·江苏镇江高一期中］ 在“①奇函数，
②偶函数”中任选一个，填在下面的横线上，补充完整问
题，并作答.（如果两个都选，则按选的第一个计分）
已知函数为定义在上的______，当时， .
选②
（2）作出函数 的图象；
解： 当时， ，则可得下表：
0 1 3 4 5
0
作出在 上的图象如图所示.
由为偶函数，得 的图象如图所示.
（3）求函数 的值域.
解：由（2）可知的值域为 .
14.（15分）［2025·江苏镇江高一期中］ 在“①奇函数，
②偶函数”中任选一个，填在下面的横线上，补充完整问
题，并作答.（如果两个都选，则按选的第一个计分）
已知函数为定义在上的______，当时， .
选②
15.［2025·江苏盐城高一期末］已知函数 在其定义域内
为偶函数，且 ，则
( )
A.0 B. C.2025 D.
√
[解析] 因为函数 在其定义域内为偶函数，所以
，即，化简得 ，
则，所以，
又，所以，解得 ，则.
因为 ，所以
.故选B.
16.（15分）［2025·温州中学高一期中］ 定义在 上的函数
满足：对任意的,，都有 ，且
当时， .
（1）求证： 是奇函数.
证明：令，得，即 ，
令，可得，即，所以 在
上为奇函数.
16.（15分）［2025·温州中学高一期中］ 定义在 上的函数
满足：对任意的,，都有 ，且
当时， .
（2）判断 的正负，并说明理由.
解： ，理由如下：
因为在 上为奇函数，
所以 ，
因为当时，，所以 ，
所以 .
快速核答案
课前预习 知识点
原点
轴 原点
【诊断分析】 （1）× （2）× （3）√ （4）×
课中探究 探究点一 例1 （1）
是偶函数（2）
既不是奇函数也不是偶函数
（3） 函数
是奇函数（4） 函数
是奇函数
变式 （1）
是奇函数 （2）
是奇函数 拓展 C
探究点二 例2 （1）图略（2）函数
的增区间为
,
（3）当
或
时,方程
有两个不同的实数根;当
时,方程
有三个不
同的实数根;当
时,方程
有四个不同的实数根
变式 （1）图略（2）不等式的解集为
探究点三 例3 （1）0 （2）7 变式 （1）C （2）
0
练习册
基础巩固 1.C 2.C 3.D 4.A 5.A 6.D 7.
8.3
9.（1）函数
为非奇非偶函数 （2）
为奇函数
综合提升 10.A 11.ABD 12.AD 13.
14.选①. （1）
（2）图略（3）
选②.（1）（2）图略（3）
思维探索 15.B
16.（1）证明略（2），理由略
5.4 函数的奇偶性
第1课时 奇偶性的概念
【课前预习】
知识点
f(-x)=f(x) f(-x)=-f(x) 原点 y轴 原点
诊断分析
(1)× (2)× (3)√ (4)× [解析] (1)函数的定义域不满足关于原点对称,因此不具备奇偶性.
(2)函数的定义域为{x|x∈R且x≠1},不关于原点对称,故函数f(x)不是奇函数.
(3)函数的定义域为{-2,2},f(-x)=f(x)=-f(x)=0,所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数.
(4)当x=1时,-x=-1 (-1,1].
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)要使函数f(x)有意义,必须x2-4>0,解得x<-2,或x>2.
所以函数f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞),关于原点对称.对于任意的x∈(-∞,-2)∪(2,+∞),都有-x∈(-∞,-2)∪(2,+∞),且f(-x)=(-x)2-=x2-=f(x),所以f(x)是偶函数.
(2)因为函数g(x)的定义域不关于原点对称,即存在-4∈[-4,4),而4 [-4,4),所以函数g(x)=x3+3x,x∈[-4,4)既不是奇函数也不是偶函数.
(3)函数h(x)=|x-2|-|x+2|的定义域为R,
因为对于任意的x∈R,都有-x∈R,且h(-x)=|-x-2|-|-x+2|=|x+2|-|x-2|=-(|x-2|-|x+2|)=-h(x),所以函数h(x)=|x-2|-|x+2|是奇函数.
(4)函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),对于任意的x∈(-∞,0)∪(0,+∞),都有-x∈(-∞,0)∪(0,+∞),当x>0时,-x<0,k(-x)=-(-x)2-1=-=-k(x);当x<0时,-x>0,k(-x)=(-x)2+1=x2+1=-=-k(x).
综上可知,函数k(x)=是奇函数.
变式 解:(1)由1-x2≥0得-1≤x≤1,即可得f(x)===,又x≠0,所以函数的定义域为[-1,0)∪(0,1],关于原点对称.对于任意的x∈[-1,0)∪(0,1],都有-x∈[-1,0)∪(0,1],且f(-x)==-=-f(x),可得f(x)是奇函数.
(2)函数g(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.对于任意的x∈(-∞,0)∪(0,+∞),都有-x∈(-∞,0)∪(0,+∞).
当x>0时,-x<0,且g(-x)=(3+x)(-x+5)=-(3+x)(x-5)=-g(x);
当x<0时,-x>0,且g(-x)=(3-x)(-x-5)=-(3-x)(x+5)=-g(x).
综上所述,当x∈(-∞,0)∪(0,+∞)时,g(-x)=-g(x).所以g(x)是奇函数.
拓展 C [解析] 因为f(x)===+1,所以f(x-1)+f(-x-1)=+1++1=2,所以函数f(x)的图象关于点(-1,1)对称,所以y=f(x-1)-1的图象关于点(0,0)对称,则y=f(x-1)-1是奇函数.故选C.
探究点二
例2 解:(1)补充完整函数f(x)的图象,如图所示.
(2)由图可知,函数f(x)的增区间为(-1,0),(1,+∞).
(3)由图可知,当a=-1或a>0时,方程f(x)=a有两个不同的实数根;当a=0时,方程f(x)=a有三个不同的实数根;当-1
变式 解:(1)因为奇函数的图象关于原点对称,所以补全函数f(x)的图象如图所示.
(2)当x>0时,由xf(x)>0得f(x)>0,所以00得f(x)<0,所以-2综上,不等式xf(x)>0的解集为(-2,0)∪(0,2).
探究点三
例3 (1)0 (2)7 [解析] (1)由题意,得对任意x∈R,f(-x)=-f(x),即=-,则-x+a=-x-a,所以a=-a,解得a=0.
(2)由f(x)=ax5-bx3+cx++1,得f(-x)=a·(-x)5-b·(-x)3+c·(-x)++1=-+1,则有f(-x)+f(x)=2,所以f(3)+f(-3)=2,又f(-3)=-5,所以f(3)=2-f(-3)=2-(-5)=7.
变式 (1)C (2) 0 [解析] (1)由题意得f(-x)+g(-x)=(-x)3+(-x)2+2,则
解得因此f(1)+g(0)=1+2=3.故选C.
(2)因为偶函数的定义域关于原点对称,所以a-1=-2a,解得a=.所以函数f(x)=x2+bx+b+1为二次函数,结合偶函数图象的特点,易得b=0.5.4 函数的奇偶性
第1课时 奇偶性的概念
1.C [解析] 对于A,函数y=x4(x>0),定义域不关于原点对称,为非奇非偶函数,不符合题意;对于B,函数y=|x+2|为非奇非偶函数,不符合题意;对于C,函数y=为偶函数,符合题意;对于D,y=2x-1为非奇非偶函数,不符合题意.故选C.
2.C [解析] 根据奇偶函数的性质知A,B中说法正确;对于C,如f(x)=,x∈(-∞,0)∪(0,+∞),易得函数f(x)是奇函数,它的图象不过原点,故C中说法错误;对于D,如g(x)=,x∈(-∞,0)∪(0,+∞),易得函数g(x)是偶函数,它的图象不与y轴相交,故D中说法正确.故选C.
3.D [解析] 函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),因为f(-x)=-2x+=-=-f(x),所以函数f(x)是奇函数,则函数f(x)=2x-的图象关于坐标原点对称.故选D.
4.A [解析] 由题图知f(1)=,f(2)=,又f(x)为奇函数,所以f(-2)+f(-1)=-f(2)-f(1)=--=-2.故选A.
5.A [解析] 令g(x)=x5+ax3+bx,∵g(-x)=-g(x),∴g(x)为奇函数.又f(x)=g(x)-8,∴f(-2)=g(-2)-8=10,∴g(-2)=18,∴g(2)=-18,∴f(2)=g(2)-8=-18-8=-26.
6.D [解析] 由题意得2a-1+a=0,解得a=,因为f(x)=ax2+(b+1)x+2a+b为偶函数,所以f(-x)=f(x),即a(-x)2-(b+1)x+2a+b=ax2+(b+1)x+2a+b,所以b+1=0,解得b=-1,所以f(x)=x2-,a+b=-,所以f(a+b)=f=-.故选D.
7.-2 [解析] ∵f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+,∴f(-1)=-f(1)=-=-2.
8.3 [解析] 因为f(x)=为偶函数,所以f(1)=f(-1),即3+4=a+4,解得a=3,经验证符合题意.
9.解:(1)函数f(x)的定义域为(-1,0)∪(0,1],不关于原点对称,故此函数为非奇非偶函数.
(2)∵1-x2≥0,|x+2|-2≠0,∴-1≤x≤1且x≠0,
∴x+2>0,∴g(x)==.
设函数g(x)的定义域为A,∵对于任意的x∈A,都有-x∈A,且g(-x)==-=-g(x),∴g(x)为奇函数.
10.A [解析] 函数f(x)=的定义域为R,且对任意x∈R,都有f(-x)==-f(x),则函数f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,排除B;当x>0时,f(x)==≤=1,当且仅当x=1时取等号,排除C,D,A符合题意.故选A.
11.ABD [解析] ∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,∴y=|f(x)|为偶函数,y=|g(x)|为偶函数,y=f(x)g(x)为奇函数,∴y=|f(x)|g(x)为偶函数,y=f(x)|g(x)|为奇函数,y=|f(x)g(x)|为偶函数.故选ABD.
12.AD [解析] 已知f(x+1)=x2+2x-3|x+1|+3,令t=x+1,则x=t-1,得f(t)=(t-1)2+2(t-1)-3|t|+3,整理得f(t)=t2-3|t|+2,即f(x)=x2-3|x|+2,则f(-x)=x2-3|x|+2=f(x),故函数f(x)的图象关于y轴对称,A正确;f(x-1)的图象是将f(x)的图象向右平移1个单位长度得到的,故f(x-1)的图象不关于y轴对称,B错误;因为f(|x+1|)=|x+1|2-3|x+1|+2≠f(|-x+1|),故f(|x+1|)的图象不关于y轴对称,C错误;因为f(x)=x2-3|x|+2,所以f(|x|)=|x|2-3|x|+2,则f(|x|)的图象关于y轴对称,D正确.故选AD.
13.-1 [解析] ∵f(x)为R上的奇函数,∴f(0)=0,∵f(x+2)为偶函数,∴f(-x+2)=f(x+2),∴f(-3+2)=f(3+2),f(-2+2)=f(2+2),∴f(5)=f(-1)=-f(1)=-1,f(4)=f(0)=0,则f(4)+f(5)=-1.
14.解:选①.(1)当x<0时,-x>0,则f(-x)=,
由f(x)是奇函数,得f(-x)=-f(x),
所以当x<0时,f(x)=.故f(x)=
(2)当x≥0时,f(x)===2-<2,则可得下表:
x 0 1 3 4 5
f(x) 0
作出f(x)在[0,+∞)上的图象如图所示.
由f(x)为奇函数,得f(x)的图象如图所示.
(3)由(2)可知f(x)的值域为(-2,2).
选②.(1)当x<0时,-x>0,
则f(-x)=,由f(x)是偶函数,得f(-x)=f(x),
所以当x<0时,f(x)=.故f(x)=
(2)当x≥0时,f(x)===2-<2,则可得下表:
x 0 1 3 4 5
f(x) 0
作出f(x)在[0,+∞)上的图象如图所示.
由f(x)为偶函数,得f(x)的图象如图所示.
(3)由(2)可知f(x)的值域为[0,2).
15.B [解析] 因为函数f(x)=在其定义域内为偶函数,所以f(-x)=f(x),即=,化简得=,则b=0,所以f(x)=,又f(1)=,所以=,解得a=1,则f(x)=.因为f(x)+f=+=+=1,所以f+f+…+f+f(1)+f(2)+…+f(2025)=++…++f(1)=1×2024+=.故选B.
16.解:(1)证明:令x=y=0,得f(0)-f(0)=f(0),即f(0)=0,令y=0,可得f(0)-f(x)=f(-x),即-f(x)=f(-x),所以f(x)在(-1,1)上为奇函数.
(2)f+f>0,理由如下:
因为f(x)在(-1,1)上为奇函数,
所以f+f=f-f=f=f=-f,
因为当x∈(-1,0)时,f(x)<0,所以f<0,
所以f+f=-f>0.5.4 函数的奇偶性
第1课时 奇偶性的概念
【学习目标】
1.能够根据具体的数学问题,用归纳和类比的方式,抽象概括出函数的奇偶性的概念,并能够用数学符号语言表达.
2.能够根据函数奇偶性的概念,判断函数的奇偶性,并能够用数学语言表达.
◆ 知识点 函数奇偶性的概念
偶函数 奇函数
定义 设函数y=f(x)的定义域为A,如果对于任意的x∈A,都有-x∈A,并且 ,那么称函数y=f(x)是偶函数 设函数y=f(x)的定义域为A,如果对于任意的x∈A,都有-x∈A,并且 ,那么称函数y=f(x)是奇函数
定义域 关于 对称
图象 特征 关于 对称 如: 关于 对称 如:
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y=x2,x∈(0,+∞)是偶函数. ( )
(2)函数f(x)=是奇函数. ( )
(3)函数f(x)=+既是奇函数又是偶函数. ( )
(4)函数f(x)=x,x∈(-1,1]是奇函数. ( )
◆ 探究点一 函数奇偶性的判断
例1 判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=x2-;
(2)g(x)=x3+3x,x∈[-4,4);
(3)h(x)=|x-2|-|x+2|;
(4)k(x)=
变式 判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=;
(2)g(x)=
[素养小结]
判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件:
(1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域;
(2)判断f(x)与±f(-x)是否具有等量关系.
在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数)是否成立.
拓展 [2025·江苏徐州质检] 设函数f(x)=,则下列函数为奇函数的是 ( )
A.y=f(x+1)+1 B.y=f(x+1)-1
C.y=f(x-1)-1 D.y=f(x-1)+1
◆ 探究点二 奇偶函数的图象及应用
例2 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≥0时,f(x)=x2-2x.现已画出函数f(x)在y轴右侧的图象,如图所示.
(1)请补充完整函数f(x)的图象;
(2)根据图象写出函数f(x)的增区间;
(3)当a为何值时,方程f(x)=a有两个不同的实数根、三个不同的实数根、四个不同的实数根
变式 定义在R上的奇函数f(x)在[0,+∞)上的图象如图所示.
(1)补全f(x)的图象;
(2)解不等式xf(x)>0.
[素养小结]
巧用奇、偶函数的图象求解问题
(1)依据:奇函数 图象关于原点对称,偶函数 图象关于y轴对称.
(2)求解:根据奇、偶函数图象的对称性可以解决求值、比较大小及解不等式等问题.
◆ 探究点三 根据函数奇偶性求值
例3 (1)已知函数f(x)=是奇函数,则实数a= .
(2)[2025·广东阳江高一期末] 已知f(x)=ax5-bx3+cx++1,且f(-3)=-5,则f(3)= .
变式 (1)[2025·江苏盐城期中] 若奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=x3+x2+2,则f(1)+g(0)= ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
(2)若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,且其定义域为[a-1,2a],则a= ,b= .
[素养小结]
由函数的奇偶性求参数应关注两点:
(1)函数奇偶性的定义既是判断函数的奇偶性的一种方法,也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质,要注意函数奇偶性定义的正用和逆用;
(2)利用常见函数如一次函数、反比例函数、二次函数具有奇偶性的条件也可求得参数.5.4 函数的奇偶性
第1课时 奇偶性的概念
1.下列函数中是偶函数的是 ( )
A.y=x4(x>0) B.y=|x+2|
C.y= D.y=2x-1
2.下列说法中错误的是 ( )
A.奇函数的图象关于坐标原点对称
B.图象关于y轴对称的函数是偶函数
C.奇函数一定满足f(0)=0
D.偶函数的图象不一定与y轴相交
3.函数f(x)=2x-的图象关于 ( )
A.y轴对称
B.直线y=-x对称
C.直线y=x对称
D.坐标原点对称
4.如图为奇函数y=f(x)的部分图象,则f(-2)+f(-1)的值为 ( )
A.-2 B.2
C.1 D.0
5.已知f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,则f(2)等于 ( )
A.-26 B.-18
C.-10 D.10
6.已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+2a+b是定义在[2a-1,a]上的偶函数,则f(a+b)= ( )
A.1 B.0
C.- D.-
7.已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+,则f(-1)= .
8.[2025·上海七宝中学高一月考] 已知函数y=是偶函数,则实数a= .
9.(13分)判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=+x2,x∈(-1,0)∪(0,1];
(2)g(x)=.
10.[2025·广东清远南阳中学高一期中] 函数f(x)=的图象大致是 ( )
A B C D
11.(多选题)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是 ( )
A.y=f(x)g(x)为奇函数
B.y=|f(x)|g(x)为偶函数
C.y=f(x)|g(x)|为偶函数
D.y=|f(x)g(x)|为偶函数
12.(多选题)函数f(x+1)=x2+2x-3|x+1|+3,则下列函数中其图象关于y轴对称的有 ( )
A.f(x) B.f(x-1)
C.f(|x+1|) D.f(|x|)
13.[2025·江苏泰州中学高一期中] 已知奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,则f(4)+f(5)的值为 .
14.(15分)[2025·江苏镇江高一期中] 在“①奇函数,②偶函数”中任选一个,填在下面的横线上,补充完整问题,并作答.(如果两个都选,则按选的第一个计分)
已知函数f(x)为定义在R上的 ,当x≥0时,f(x)=.
(1)求函数f(x)的表达式;
(2)作出函数f(x)的图象;
(3)求函数f(x)的值域.
15.[2025·江苏盐城高一期末] 已知函数f(x)=在其定义域内为偶函数,且f(1)=,则f+f+…+f+f(1)+f(2)+…+f(2025)= ( )
A.0 B.
C.2025 D.
16.(15分)[2025·温州中学高一期中] 定义在(-1,1)上的函数f(x)满足:对任意的x,y∈(-1,1),都有f(y)-f(x)=f,且当x∈(-1,0)时,f(x)<0.
(1)求证:f(x)是奇函数.
(2)判断f+f的正负,并说明理由.