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5.4 函数的奇偶性
第2课时 奇偶性的应用
探究点一 利用函数奇偶性求解析式
探究点二 利用函数单调性与奇偶性解不等式
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.能够根据函数的奇偶性和单调性解决相关问题.
2.能够通过具体的函数图象，用归纳的方式，抽象概括出奇函数
和偶函数的图象特征，体会数形结合思想.
知识点 奇、偶函数的图象与性质
1.奇函数的图象关于______对称.反过来,如果一个函数的图象关于
______对称,那么这个函数是________.
偶函数的图象关于_____对称.反过来,如果一个函数的图象关于_____
对称,那么这个函数是偶函数.
原点
原点
奇函数
轴
轴
2.重要性质
（1）奇函数在区间和 上有相同的单调性.
（2）偶函数在区间和 上有相反的单调性.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点.( )
×
[解析] 若奇函数的定义域含有元素0，则图象一定过原点，否则不过
原点.
（2）若函数是偶函数，则函数 的图象关于直
线 对称.( )
√
[解析] 是偶函数，的图象关于 轴对
称，的图象关于直线 对称.
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（3）若偶函数在区间上单调递增，则在区间
上也单调递增.( )
×
[解析] 偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反.
探究点一 利用函数奇偶性求解析式
例1（1）已知函数为偶函数，当时， ，则当
时， ( )
A. B. C. D.
[解析] 当时，，所以 ，根据偶函数的
性质可知 .故选C.
√
（2）已知是定义在上的偶函数,是定义在 上的奇函数,且
,求, 的解析式.
解：因为是偶函数,是奇函数,所以 ,
.
由 ,得,
即 .
由①②得, .
变式（1）［2025·江苏无锡天一中学高一期中］函数 为奇函数，
且当时，，则当 时，
( )
A. B.
C. D.
[解析] 当时，，且函数 为奇
函数， 当时， ，
.故选A.
√
（2）已知，分别是定义在 上的奇函数和偶函数，且
，则 ____________.
[解析] 因为，分别是定义在 上的奇函数和偶函数，所以
即解得， ，
所以 .
［素养小结］
利用函数奇偶性求函数解析式的方法：
首先设出所求区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点
对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后
利用函数的奇偶性求解即可.
探究点二 利用函数单调性与奇偶性解不等式
角度1 比较大小问题
例2 ［2025·江苏宿迁高一期中］已知定义在上的函数 满足
，且在上单调递减，则，,
的大小顺序是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 依题意，，由在 上单调递减，
，得，所以 .故选C.
变式（1）［2025·江苏盐城五校联盟高一期中］若 是定义在
上的偶函数，且 ，则下列各式中一定成立的是
( )
A. B. C. D.
[解析] 因为是定义在上的偶函数，所以 ，
因为，所以 ，故B正确，
因为无法判断函数的单调性，所以其余选项不能判断.故选B.
√
（2）已知是定义在上的奇函数,且在区间 上单调递增,
则,, 的大小关系是_______________________.
[解析] 是定义在上的奇函数,且在区间 上单调递增,
在上是增函数, .
角度2 不等式问题
例3 已知函数是定义在上的偶函数，且对任意 ,
，当时， .
（1）求 的值；
解：依题意可得，解得 .
例3 已知函数是定义在上的偶函数，且对任意 ,
，当时， .
（2）求不等式 的解集.
解：由对任意,，当时， ，得当
时，，所以函数在 上单调
递增，
又 是偶函数，所以等价于
解得 ，则原不等式的解集为 .
变式 ［2025·北京第一七一中学高一月考］ 已知定义域为 的函数
是奇函数，当时， .
（1）求 的解析式；
解：因为当时， ，所以当时， ，
则，
又是定义在 上的奇函数，
所以当时， .
所以
变式 ［2025·北京第一七一中学高一月考］ 已知定义域为 的函数
是奇函数，当时， .
（2）若对任意的，不等式 恒成立，
求实数 的取值范围.
解：因为当时， ，所以函
数在上单调递减，
又是定义在 上的奇函数，所以在 上是减函数.
所以由，可得 ，
即，所以 ，所以
恒成立，
所以，令，当时， 有最小值，
最小值为 ，
即，所以实数的取值范围是 .
［素养小结］
利用函数的奇偶性和单调性解不等式要注意两点:
（1）奇函数在定义域内的关于原点对称的两个区间上单调性相同,偶
函数在定义域内的关于原点对称的两个区间上单调性相反；
（2）确定单调区间,依据题设条件将不等式转化为具体不等式,在这
个区间上解不等式.
1.函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常
将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周
期性来确定另一区间上的单调性，即先实现区间的转换，再利用单
调性解决相关问题.
[解析] 因为奇函数在 上单调递增，
且，所以在 上单调递增，且
，
由此画出 图象的示意图 ， 如图所示，
由图可知，不等式 的解集 .故选B.
例1 （1）［2025·四川平昌中学高一月考］已知奇函数在
上单调递增，且，则不等式 的解集为( )
A. B.
C. D.
√
（2）［2025·江苏通州高级中学高一月考］已知函数 .
①证明：函数 是奇函数；
证明：由函数，可得其定义域为 ，关于原点对称，
又 ，
所以函数是定义在 上的奇函数.
（2）［2025·江苏通州高级中学高一月考］已知函数 .
②用定义证明：函数在 上单调递增；
证明：当时， ，
任取,，且 ，可得
,
因为,，且 ，所以，， ，所以，即 ，
所以函数在 上单调递增.
（2）［2025·江苏通州高级中学高一月考］已知函数 .
③若关于的不等式对于任意实数 恒
成立，求实数 的取值范围.
解：因为函数是定义在 上的奇函数，且在上单调递增，
所以函数在 上也单调递增，
因为，所以函数在 上是增函数.
由 ，
可得 ，
因为不等式 对于任意实数 恒成立，
所以不等式 对于任意实数恒成立，
可得不等式 对于任意实数 恒成立，即不等式
对于任意实数 恒成立.
当时，不等式即为 ，显然恒成立，符合题意；
当时，则需满足 解得 .
综上可得，，即实数的取值范围 .
2.函数的奇偶性是函数对称性的一个特殊情况，将函数的对称性推广
到一般情况.
解：函数的对称中心为 .验证如下：
设函数，易知 的定义域为
，即定义域关于原点对称，且 ，
所以是奇函数，则函数图象的对称中心为 .
例2 ［2025· 江苏无锡辅仁高中高一期中］有同学发现：函数
的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是函数
为奇函数.运用该结论解决以下问题：
（1）直接写出函数 图象的对称中心；
例2 ［2025· 江苏无锡辅仁高中高一期中］有同学发现：函数
的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是函数
为奇函数.运用该结论解决以下问题：
（2）证明：函数图象的对称中心为 ；
证明：设 ，
易知的定义域为 ，即定义域关于原点对称，
又，所以 为奇函数，
所以图象的对称中心为 .
例2 ［2025· 江苏无锡辅仁高中高一期中］有同学发现：函数
的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是函数
为奇函数.运用该结论解决以下问题：
（3）若函数图象的对称中心为 ，求实
数， 的值.
解： ，
设，
因为 是奇函数，所以 ，即
，整理得 ，
进而得 解得,或 .
练习册
1.下列函数中既是奇函数又是增函数的是( )
A. B. C. D.
[解析] 对于A，函数 为偶函数，故A错误；
对于B，函数为奇函数，在 上单调递减，故B错误；
对于C，函数为偶函数，故C错误；
对于D，函数 的定义域为，，
所以 为奇函数，易知其为增函数，故D正确.故选D.
√
2.［2025·广东珠海金砖四校高一期中］已知是定义在 上的奇函
数，当时，，则当时， ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为是定义在上的奇函数，所以 .
因为当时，，所以当时， ，则
，即 .故选B.
√
3.［2025·湖南邵阳二中高一期中］已知 是偶函数，且在区间
上单调递增，则，， 的大小关系是( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为是偶函数，所以， ，
又因为在区间上单调递增，所以 ，
即 .故选C.
√
4.已知函数满足，当 时，
，则当时， ( )
A. B. C. D.
[解析] 当时， ，
，
又 ，，
.故选C.
√
5. 江苏南通期末］设为上的奇函数，则“ 在
上单调递增”是“当时， ”的( )
A.充要条件 B.必要且不充分条件
C.充分且不必要条件 D.既不充分又不必要条件
√
[解析] 由为上的奇函数，且在 上单调递增，不能
得到当时，，例如 为奇函数，且
在上单调递增，但当时， ，充分性不成立；
由为上奇函数，且当时，，不能得到 在
上单调递增，例如在 上单调递减，
即必要性不成立.故选D.
6.已知偶函数在区间 上单调递减，则满足
的实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为偶函数在区间 上单调递减，且满足
，所以不等式等价于 ，所以
，所以，解得，即 的取值范
围是 .故选C.
√
7.若是偶函数，则，，
的大小关系是____________________.（用“ ”连接）
[解析] 当时，，不合题意；当 时，由题意
可知，其图象关于轴对称，，， 在
上单调递增，在上单调递减.
又 ，， .
8.[ 江苏无锡高一期中］定义在上的偶函数在
上单调递减，则满足不等式的 的取值范围是_____
______________.
[解析] 因为定义在上的偶函数在 上单调递减，且
，所以，所以 解
得或 .
9.（13分）已知函数 是奇函数.
（1）求实数 的值；
解：设，则 ，所以
.
又为奇函数，所以 ，
于是当时，，所以 .
9.（13分）已知函数 是奇函数.
（2）若函数在区间上单调递增，求实数 的取值范围.
解：要使在上单调递增，结合 的图象（如图所示）
知所以，故实数的取值范围是 .
10.已知函数是定义在上的偶函数，在 上单调递增，且
，则不等式 的解集为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 因为函数是定义在上的偶函数，在 上单调递增，
所以在上单调递减，
又因为 ，所以，所以当或时，
,当时，.
由，得 或所以
或解得,所以不等式 的解集为
，故选A.
11.［2025·江苏泰州中学高一期中］已知函数，是定义在
上的函数，其中是偶函数， 是奇函数，且
，若对于任意 ，都有
，则实数 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 函数，分别是 上的偶函数、奇函数，由
，得
，即
，可得 .
对于任意，，则 ，则
，而，所以 ，
因此，所以实数的取值范围是 .故选A.
12.（多选题）［2025·江苏如东中学高一期中］ 已知函数 的定
义域为，， ，则( )
A. B.的图象关于点 对称
C.的图象关于点对称 D.
[解析] 对于A，令，，则 ，即
，解得，故A正确；
对于B，令 ，则，
得 ， 由A可知，则，
即 ，故是奇函数，故B正确；
√
√
√
对于C，对任意的 都有，可得
，因此的图象关于点 对称，故C错误；
对于D，由且是奇函数，得 ，
即，因此 ，
，，， ，
故D正确.故选 .
13.已知函数是定义在上的奇函数，且当 时，
，若函数为上的减函数，则 的取值
范围是_______.
[解析] 因为函数是定义在上的奇函数，所以 .
若函数为上的减函数，则满足 的图象的
对称轴在轴左侧，且，即得 .
14.（15分）已知为上的奇函数，当时， .
（1）求 的值；
解：因为函数为 上的奇函数，当时， ,所以
.
14.（15分）已知为上的奇函数，当时， .
（2）求 的解析式；
解：当时，，因为函数为上的奇函数，当
时， ，
所以当时， .
又因为满足 ,
所以
14.（15分）已知为上的奇函数，当时， .
（3）写出不等式 的解集.
解：当时，由，解得
或；
当时，由 ，解得 .
综上所述，不等式的解集为 .
15.（多选题）［2025·重庆万州三中高一月考］ 已知函数 是定
义在上的偶函数，若对任意,，且,
恒成立，则满足不等式的 的值可以为
( )
A. B. C.1 D.2
√
√
[解析] 令，由题意知在 上单调递减.因为
为上的偶函数，所以为上的奇函数.
又在 上单调递减，，所以在上为减函数.
①当 时，，等价于
，即，所以，所以，
可得 ；
②当时， ,等价于
，所以，所以 ，
所以，可得.综上，或.故选 .
16.（多选题）[ 江苏苏州期末］ 定义在上的函数 满足
，当时，，且 ，则
下列说法正确的是( )
A.
B. 是奇函数
C.在 上单调递减
D.不等式的解集为
√
√
√
[解析] 对于A，取，，可得 ，所以
，A错误；
对于B，函数的定义域为 ，定义域关于原点对称，由
，用替换 可得，，所以
，即，所以函数 为奇函数，
B正确；
对于C，任取，，且 ，则
，又当 时，，且，所以
，即，所以函数在 上单调递减，
C正确；
对于D，因为，所以不等式 可
化为，即 ，
又函数在上单调递减，所以,解得 ，所以
不等式的解集为，D正确.故选 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点 1.原点 原点 奇函数
轴
轴
【诊断分析】 （1）× （2）√ （3）×
课中探究 探究点一 例1 （1）C （2）
,
变式 （1）A （2）
探究点二 角度1 例2 C 变式 （1）B （2）
角度2 例3 （1）
（2）
变式 （1）
（2）
练习册
基础巩固
1.D 2.B 3.C 4.C 5.D 6.C 7.
8.
9.（1）
（2）
综合提升
10.A 11.A 12.ABD 13.
14.（1）（2）（3）
思维探索
15.BD 16.BCD第2课时 奇偶性的应用
【课前预习】
知识点
1.原点 原点 奇函数 y轴 y轴
诊断分析
(1)× (2)√ (3)× [解析] (1)若奇函数的定义域含有元素0,则图象一定过原点,否则不过原点.
(2)∵y=f(x+a)是偶函数,∴y=f(x+a)的图象关于y轴对称,∴y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
(3)偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)C [解析] 当x<0时,-x>0,所以f(-x)=-x-1,根据偶函数的性质可知f(x)=f(-x)=-x-1.故选C.
(2)解:因为f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,所以f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x).由f(x)+g(x)=x2+x-2①,
得f(-x)+g(-x)=(-x)2-x-2,即f(x)-g(x)=x2-x-2②.由①②得f(x)=x2-2,g(x)=x.
变式 (1)A (2)x3-x2+1 [解析] (1)∵当x∈(-∞,0)时,f(x)=-1+x2-x3,且函数f(x)为奇函数,∴当x∈(0,+∞)时,-x∈(-∞,0),f(x)=-f(-x)=-[-1+(-x)2-(-x)3]=1-x2-x3.故选A.
(2)因为f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,所以
即解得g(x)=1-x2,f(x)=x3,所以f(x)+g(x)=x3-x2+1.
探究点二
例2 C [解析] 依题意,f(-3)=f(3),由f(x)在(0,+∞)上单调递减,<3<,得f
变式 (1)B (2)f(-1)f(2),所以f(2)(2)∵f(x)是定义在R上的奇函数,且在区间[0,+∞)上单调递增,∴f(x)在R上是增函数,∴f(-1)例3 解:(1)依题意可得-2m+1+m=0,解得m=1.
(2)由对任意x1,x2∈[-2,0],当x1≠x2时,>0,得当-2≤x1所以f(2x-1)≤f(4x)等价于解得-≤x≤,则原不等式的解集为.
变式 解:(1)因为当x>0时,f(x)=-3x2-2x,
所以当x<0时,-x>0,则f(-x)=-3(-x)2-2(-x)=-3x2+2x,又f(x)是定义在R上的奇函数,所以当x<0时,f(x)=-f(-x)=3x2-2x.
所以f(x)=
(2)因为当x≥0时,f(x)=-3x2-2x=-3+,所以函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,又f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)在R上是减函数.
所以由f(t2-2t)+f(2t2-k)<0,可得f(t2-2t)<-f(2t2-k),即f(t2-2t)-2t2+k,所以3t2-2t>k恒成立,
所以(3t2-2t)min>k,令y=3t2-2t,当t=时,y有最小值,最小值为-,
即k<-,所以实数k的取值范围是.第2课时 奇偶性的应用
1.D [解析] 对于A,函数f(x)=x2为偶函数,故A错误;对于B,函数f(x)=为奇函数,在(0,+∞)上单调递减,故B错误;对于C,函数f(x)=|x|为偶函数,故C错误;对于D,函数f(x)=2x的定义域为R,f(-x)=-2x=-f(x),所以f(x)=2x为奇函数,易知其为增函数,故D正确.故选D.
2.B [解析] 因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x).因为当x≥0时,f(x)=x(1+x),所以当x<0时,-x>0,则f(-x)=-x(1-x)=-f(x),即f(x)=x(1-x).故选B.
3.C [解析] 因为f(x)是偶函数,所以f(-0.5)=f(0.5),f(-1)=f(1),又因为f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,所以f(0)4.C [解析] 当x∈(-∞,-1)时,-x∈(1,+∞),f(-x)=(-x)2-6x+8=x2-6x+8,又∵f(x)+f(-x)=0,∴-f(x)=x2-6x+8,∴f(x)=-x2+6x-8.故选C.
5.D [解析] 由f(x)为R上的奇函数,且f(x)在(0,+∞)上单调递增,不能得到当x>0时,f(x)>0,例如f(x)=为奇函数,且f(x)在(0,+∞)上单调递增,但当x>0时,f(x)<0,充分性不成立;由f(x)为R上奇函数,且当x>0时,f(x)>0,不能得到f(x)在(0,+∞)上单调递增,例如f(x)=在(0,+∞)上单调递减,即必要性不成立.故选D.
6.C [解析] 因为偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递减,且满足f(2x-1)>f(1),所以不等式等价于f(|2x-1|)>f(1),所以|2x-1|<1,所以-1<2x-1<1,解得07.f(-2)8.∪ [解析] 因为定义在[-1,1]上的偶函数f(x)在[0,1]上单调递减,且f(1+m)9.解:(1)设x<0,则-x>0,所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.
又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),
于是当x<0时,f(x)=x2+2x=x2+mx,所以m=2.
(2)要使f(x)在[-1,a-2]上单调递增,结合f(x)的图象(如图所示)知所以110.A [解析] 因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0]上单调递增,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减,又因为f(2)=0,所以f(-2)=f(2)=0,所以当x<-2或x>2时,f(x)<0,当-20.由(x+2)f(x)<0,得或所以
或解得x>2,所以不等式(x+2)f(x)<0的解集为(2,+∞),故选A.
11.A [解析] 函数f(x),g(x)分别是R上的偶函数、奇函数,由f(x)+g(x)=ax2+x+2,得f(-x)+g(-x)=a(-x)2+(-x)+2,即f(x)-g(x)=ax2-x+2,可得f(x)=ax2+2.对于任意1-2,则a(x1+x2)>-2,则a>-,而212.ABD [解析] 对于A,令x=1,y=0,则f[f(1)]=f(1)+f(0),即f(1)=f(1)+f(0),解得f(0)=0,故A正确;对于B,令y=-x,则f[f(x-x)]=f(x)+f(-x),得f[f(0)]=f(x)+f(-x),由A可知f(0)=0,则f(0)=f(x)+f(-x),即f(x)+f(-x)=0,故f(x)是奇函数,故B正确;对于C,对任意的x都有f[f(x+1-x)]=f(x)+f(1-x),可得1=f(x)+f(1-x),因此f(x)的图象关于点对称,故C错误;对于D,由1=f(x)+f(1-x)且f(x)是奇函数,得1=f(x)-f(x-1),即f(x)=f(x-1)+1,因此f(2)=f(1)+1=2,f(3)=f(2)+1=3,f(4)=f(3)+1=4,…,f(100)=100,故D正确.故选ABD.
13.[-1,0] [解析] 因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0.若函数f(x)为R上的减函数,则满足y=-x2+ax-1-a的图象的对称轴在y轴左侧,且-1-a≤0,即得-1≤a≤0.
14.解:(1)因为函数f(x)为R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-2x,所以f(-1)=-f(1)=-(1-2)=1.
(2)当x<0时,-x>0,因为函数f(x)为R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-2x,
所以当x<0时,f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)]=-x2-2x.
又因为f(0)=0满足f(x)=x2-2x,
所以f(x)=
(3)当x≥0时,由xf(x)=x(x2-2x)=x2(x-2)≥0,解得x=0或x≥2;当x<0时,由xf(x)=x(-x2-2x)=-x2(x+2)≥0,解得x≤-2.
综上所述,不等式xf(x)≥0的解集为(-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞).
15.BD [解析] 令g(x)=xf(x),由题意知g(x)在[0,+∞)上单调递减.因为f(x)为R上的偶函数,所以g(x)为R上的奇函数.又g(x)在[0,+∞)上单调递减,g(0)=0,所以g(x)在R上为减函数.①当t>0时,f-(2t2-t)f(2t-1)>0,等价于f>(2t-1)f(2t-1),即g>g(2t-1),所以<2t-1,所以1<2t2-t,可得t>1;②当t<0时,f-(2t2-t)f(2t-1)>0,等价于f<(2t-1)f(2t-1),所以g2t-1,所以1<2t2-t,可得t<-.综上,t<-或t>1.故选BD.
16.BCD [解析] 对于A,取x=0,y=0,可得f(0)=f(0)+f(0),所以f(0)=0,A错误;对于B,函数f(x)的定义域为R,定义域关于原点对称,由f(x+y)=f(x)+f(y),用-x替换y可得,f(x-x)=f(x)+f(-x),所以f(x)+f(-x)=f(0)=0,即f(-x)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,B正确;对于C,任取x1,x2∈R,且x10,且x1-x2<0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以函数f(x)在R上单调递减,C正确;对于D,因为f(1)=-2,所以不等式f(x-1)-f(3-2x)≤-4可化为f(x-1)≤f(1)+f(1)+f(3-2x),即f(x-1)≤f(5-2x),又函数f(x)在R上单调递减,所以x-1≥5-2x,解得x≥2,所以不等式的解集为[2,+∞),D正确.故选BCD.第2课时 奇偶性的应用
【学习目标】
1.能够根据函数的奇偶性和单调性解决相关问题.
2.能够通过具体的函数图象,用归纳的方式,抽象概括出奇函数和偶函数的图象特征,体会数形结合思想.
◆ 知识点 奇、偶函数的图象与性质
1.奇函数的图象关于 对称.反过来,如果一个函数的图象关于 对称,那么这个函数是 .
偶函数的图象关于 对称.反过来,如果一个函数的图象关于 对称,那么这个函数是偶函数.
2.重要性质
(1)奇函数在区间[a,b]和[-b,-a](b>a>0)上有相同的单调性.
(2)偶函数在区间[a,b]和[-b,-a](b>a>0)上有相反的单调性.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)偶函数的图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点. ( )
(2)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称. ( )
(3)若偶函数f(x)在区间[-3,-1]上单调递增,则f(x)在区间[1,3]上也单调递增. ( )
◆ 探究点一 利用函数奇偶性求解析式
例1 (1)已知函数f(x)为偶函数,当x>0时,f(x)=x-1,则当x<0时,f(x)= ( )
A.x-1 B.-x+1
C.-x-1 D.x+1
(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数,g(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)+g(x)=x2+x-2,求f(x),g(x)的解析式.
变式 (1)[2025·江苏无锡天一中学高一期中] 函数f(x)为奇函数,且当x∈(-∞,0)时,f(x)=-1+x2-x3,则当x∈(0,+∞)时,f(x)= ( )
A.1-x2-x3 B.1-x2+x3
C.-1-x2-x3 D.-1-x2+x3
(2)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,且f(x)-g(x)=x3+x2-1,则f(x)+g(x)= .
[素养小结]
利用函数奇偶性求函数解析式的方法:
首先设出所求区间上的自变量,利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点,把它转化到已知的区间上,代入已知的解析式,然后利用函数的奇偶性求解即可.
◆ 探究点二 利用函数单调性与奇偶性解不等式
角度1 比较大小问题
例2 [2025·江苏宿迁高一期中] 已知定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),且f(x)在(0,+∞)上单调递减,则f(-3),f,f的大小顺序是 ( )
A.fB.f(-3)C.fD.f变式 (1)[2025·江苏盐城五校联盟高一期中] 若f(x)是定义在[-6,6]上的偶函数,且f(5)>f(2),则下列各式中一定成立的是 ( )
A.f(0)B.f(2)C.f(4)D.f(1)(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且在区间[0,+∞)上单调递增,则f(-0.5),f(-1),f(0)的大小关系是 .
角度2 不等式问题
例3 已知函数f(x)是定义在[-2m,1+m]上的偶函数,且对任意x1,x2∈[-2m,0],当x1≠x2时,>0.
(1)求m的值;
(2)求不等式f(2x-1)≤f(4x)的解集.
变式 [2025·北京第一七一中学高一月考] 已知定义域为R的函数f(x)是奇函数,当x≥0时,f(x)=-3x2-2x.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求实数k的取值范围.
[素养小结]
利用函数的奇偶性和单调性解不等式要注意两点:
(1)奇函数在定义域内的关于原点对称的两个区间上单调性相同,偶函数在定义域内的关于原点对称的两个区间上单调性相反;
(2)确定单调区间,依据题设条件将不等式转化为具体不等式,在这个区间上解不等式.第2课时 奇偶性的应用
1.下列函数中既是奇函数又是增函数的是 ( )
A.f(x)=x2
B.f(x)=
C.f(x)=|x|
D.f(x)=2x
2.[2025·广东珠海金砖四校高一期中] 已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x(1+x),则当x<0时,f(x)= ( )
A.x(3+x) B.x(1-x)
C.x(x-1) D.-x(1+x)
3.[2025·湖南邵阳二中高一期中] 已知f(x)是偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增,则f(-0.5),f(-1),f(0)的大小关系是 ( )
A.f(-0.5)B.f(-1)C.f(0)D.f(-1)4.已知函数f(x)满足f(x)+f(-x)=0,当x∈(1,+∞)时,f(x)=x2+6x+8,则当x∈(-∞,-1)时,f(x)= ( )
A.-x2+6x+8
B.x2+6x+8
C.-x2+6x-8
D.x2-6x+8
5.[2025·江苏南通期末] 设f(x)为R上的奇函数,则“f(x)在(0,+∞)上单调递增”是“当x>0时,f(x)>0”的 ( )
A.充要条件
B.必要且不充分条件
C.充分且不必要条件
D.既不充分又不必要条件
6.已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递减,则满足f(2x-1)>f(1)的实数x的取值范围是 ( )
A.(-∞,1) B.(1,+∞)
C.(0,1) D.
7.若f(x)=(m-1)x2+6mx+2是偶函数,则f(0),f(1),f(-2)的大小关系是 .(用“<”连接)
8.[2025·江苏无锡高一期中] 定义在[-1,1]上的偶函数f(x)在[0,1]上单调递减,则满足不等式f(1+m)9.(13分)已知函数f(x)=是奇函数.
(1)求实数m的值;
(2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围.
10.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0]上单调递增,且f(2)=0,则不等式(x+2)f(x)<0的解集为 ( )
A.(2,+∞)
B.(-2,0)∪(2,+∞)
C.(-2,0)
D.(-∞,-2)∪(0,2)
11.[2025·江苏泰州中学高一期中] 已知函数f(x),g(x)是定义在R上的函数,其中f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=ax2+x+2,若对于任意1-2,则实数a的取值范围是( )
A.
B.(0,+∞)
C.∪(0,+∞)
D.
12.(多选题)[2025·江苏如东中学高一期中] 已知函数f(x)的定义域为R,f[f(x+y)]=f(x)+f(y),f(1)=1,则 ( )
A.f(0)=0
B.f(x)的图象关于点(0,0)对称
C.f(x)的图象关于点对称
D.f(100)=100
13.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=-x2+ax-1-a,若函数f(x)为R上的减函数,则a的取值范围是 .
14.(15分)已知f(x)为R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-2x.
(1)求f(-1)的值;
(2)求f(x)的解析式;
(3)写出不等式xf(x)≥0的解集.
15.(多选题)[2025·重庆万州三中高一月考] 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,若对任意a,b∈[0,+∞),且a≠b,<0恒成立,则满足不等式f-(2t2-t)f(2t-1)>0的t的值可以为 ( )
A.- B.-1
C.1 D.2
16.(多选题)[2025·江苏苏州期末] 定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),当x<0时,f(x)>0,且f(1)=-2,则下列说法正确的是 ( )
A.f(0)=1
B.f(x)是奇函数
C.f(x)在R上单调递减
D.不等式f(x-1)-f(3-2x)≤-4的解集为[2,+∞)