(共55张PPT)
5.4 函数的奇偶性
第3课时 函数性质的综合问题
探究点一 函数的对称性
探究点二 函数性质的综合问题
◆
◆
课中探究
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.理解并掌握函数的对称性，会利用奇偶性与对称性求值.
2.能利用函数的奇偶性、单调性、对称性等解决简单的函数问题.
探究点一 函数的对称性
例1 已知函数，求证：函数 的图象是中心对称图形.
证明：要使函数有意义，必有，解得 ，则函数
的定义域为
，
则 ，即对任意
，都有 成立，故函数
的图象关于点对称，即函数 的图象是中心对称图形.
变式 （多选题）下列说法正确的是( )
A.的图象关于点 对称
B.若，则的图象关于点 对称
C.函数的图象关于直线 对称的充要条件是
为偶函数
D.若，则 为偶函数
√
√
[解析] 对于A，，则 ，故A错误.
对于B，由 ，得
，设 ，则
，所以是奇函数， 的图象关于原点对称，
所以的图象关于点对称，故B正确.
对于C，若函数 的图象关于直线对称，则
，令 ，则，用替换，则
，故是偶函数，充分性成立;
若 是偶函数，则 ，令，
则 ，故函数的图象关于直线对称，
用替换，则函数 的图象关于直线 对称，必要性成立，
故C正确.
对于D，因为， ，
所以，所以 不是偶函数，故D错误.
故选 ．
［素养小结］
（1）要证明函数
的图象关于直线
对称，只需证明对定义
域内的任意
，都有
（2）要证明函数
的图象关于点
对称，只需证明对定义域
内的任意
，都有
.
拓展 若定义在上的偶函数的图象关于点 对称，且当
时，，则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 是偶函数，， 的图象关于点
对称，，，
用 替换，则，用替换 ，则
.
又当时， ，
.故选D．
探究点二 函数性质的综合问题
例2（1）［2025·江苏无锡湖滨中学高一月考］已知定义在 上的函
数满足：的图象关于点对称， 是偶函数，
且在 上单调递增，则( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 因为的图象关于点对称，所以 的图象的对
称中心是点，故，
因为 是偶函数，所以图象的对称轴是直线，
即 ，
在中，将替换为，得到 ，
故，
将替换为，得到 ，所以，
所以 ，，
所以 ，，.
因为在 上单调递增且是奇函数，所以在 上单调
递增，所以，所以 .
故选D.
（2）已知是定义在上的函数，且 的图象关于点
对称，对任意，，都有 .若
，则实数 的取值范围为( )
A.或 B.或
C.或 D.或
√
[解析] 因为的图象关于点对称，所以 的图象关于
点对称，即为奇函数.
因为对任意， ，都有，所以设
，则 ，即，
设,则 ，即在上单调递增，
因为 为奇函数，所以也是奇函数，所以在
上单调递增.
若 ，则
,即 ，所
以,即，解得或 .故选D.
变式（1）已知函数的定义域为，且 的图象关于点
对称.当时， ，则满足
的 的取值范围是______.
[解析] 因为与在上均单调递增，所以当 时，
函数单调递增，
因为的图象关于点 对称，所以，所以函数在
上单调递增且，即 ，
因为，所以 ，所以
，所以，解得 .
故的取值范围为 .
（2）已知函数的定义域是 ，对任意的
，，，都有 ，若函数
的图象关于点对称，且 ，则不等式
的解集为________________.
[解析] 因为函数的图象关于点对称，所以 的
图象关于点对称，即为奇函数.
设 ，由题意可得，对于任意的,，都有
，所以在上单调递增.
因为函数 为定义在 上的奇函数，
所以 ，所以，所以
是定义在上的偶函数，所以在 上单
调递减.
因为，所以，当时，化为
，即，所以；
当时，化为 ，因为为奇函数，且，
所以 ，所以，所以
化为 ，所以.
综上所述，的解集为 .
［素养小结］
奇偶性、单调性的综合应用
利用函数的奇偶性将函数关系式进行转化，利用单调性解决常见不
等式问题，在综合性题目中，要熟练掌握奇偶性、单调性的定义及
变形，适当应用解题技巧，化简求值，解题时，一定要特别注意函
数的定义域.
拓展 ［2025·江苏南通海门中学高一期中］ 已知函数 .
（1）判断函数 的奇偶性，并证明;
解：函数 是奇函数，证明如下：
函数的定义域为 ，关于原点对称，
又，所以 是奇函数.
拓展 ［2025·江苏南通海门中学高一期中］ 已知函数 .
（2）证明：在区间 上单调递增；
证明：任取，， ，
则 .
由，得, ，
则，即 ，
所以在区间 上单调递增.
拓展 ［2025·江苏南通海门中学高一期中］ 已知函数 .
（3）若对任意的，都有 ，
求 的最小值.
解：当时，，当且仅当 ，即
时取等号，因此.
当时，，又 ，且由（1）知是奇函数，
所以 也是奇函数，
所以当时，，所以函数的值域为 ，
即， .
由对任意的，都有 ,得
，所以的最小值是 .
练习册
1.函数 的图象( )
A.关于坐标轴、原点都不对称 B.关于原点对称
C.关于轴对称 D.关于 轴对称
√
[解析] 作出函数 的图象如图所示，由图可知该函数的图象关
于 轴对称，故选D.
2.函数 的图象的对称中心为( )
A. B. C. D.
[解析] 函数 ，则
，可得 的图象关于
点 对称，故选A.
√
3.已知函数满足，并且当 时，
，则 ( )
A.39 B.0 C.7 D.
[解析] 由题意，得 .故选C.
√
4.［2025·北京五十五中高一期中］如果偶函数在 上单调递
减且最小值是4，那么在 上( )
A.单调递减且最小值是4 B.单调递减且最大值是4
C.单调递增且最小值是4 D.单调递增且最大值是4
[解析] 偶函数在上单调递减且最小值是4，所以 ，
则在上单调递增且最小值为 ，故选C.
√
5.［2025·河南开封高一期末］已知函数的图象关于点 中心
对称，当时，，则当时， ( )
A. B.
C. D.
[解析] 当时，，则当时， ，故
，
又函数的图象关于点 中心对称，所以
.
故当 时， .故选A.
√
6.已知函数的图象关于点 对称，则下列函数是
奇函数的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为函数的图象关于点 对称，所以将函
数图象向左平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度，可以得到函
数 的图象，
该图象关于原点对称，即 的图象关于原点对称，
所以函数 为奇函数.故选B.
√
7.设，已知奇函数的定义域是在 上单调递
减，且，则 的取值范围是______.
[解析] 奇函数的定义域是，且在 上单调递减，
函数在上单调递减， 函数在 上是减函数.
又，解得.故 的取
值范围为 .
8.若函数的图象关于直线 对称，
则 ____.
23
[解析] 函数的图象关于直线
对称，，且 ，即
，且
，解得， ，则
.
9.（13分）已知函数是定义在上的奇函数，且 .
（1）确定函数 的解析式；
解：因为函数 是奇函数，
所以，即 ，
整理得，即，所以 .
又因为，解得，所以 .
9.（13分）已知函数是定义在上的奇函数，且 .
（2）用定义证明在 上单调递减;
证明：任取,，且 ，
则 ，
因为，所以,, ,
，所以，即 ，
故在 上单调递减.
9.（13分）已知函数是定义在上的奇函数，且 .
（3）求函数在 上的取值范围.
解：因为函数为奇函数且在上单调递减，所以函数
在上单调递减，所以函数在 上单调递减，
又， ，
故函数在上的取值范围为 .
10.［2025·江苏常熟高一期中］通过研究发现：函数 的图象
关于点对称的充要条件是函数 为奇函数.则函
数 图象的对称中心为(参考公式：
)( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设函数图象的对称中心为点 ，
因为函数的图象关于点 对称的充要条件是函数
为奇函数，所以
是奇函数，则
，代入整理得
，
比较系数可得 解得所以图象的对称
中心为 .故选C.
11.［2025·江苏南京高一期中］已知函数是定义域为 的偶
函数，且对任意， 恒成立,若
，则 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 因为函数是定义域为的偶函数，所以 的图象关
于直线对称.
因为对任意， 恒成立，
所以在上单调递增，根据对称性可知， 在
上单调递减.
若，则 ，
所以，解得 .故选A.
12.（多选题）［2025·辽宁辽阳高一期中］ 已知函数 为定义在
上的偶函数，当时， ，
则下列结论正确的是( )
A. B.
C.在上单调递减 D.的值域为
[解析] 对于A，因为是定义在 上的偶函数，所以
，解得，故A正确；
对于B，当 时，，又 是偶函数，
√
√
√
所以 ，故B正确；
对于C，，，则 ，所以
函数在上不满足单调递减，故C错误；
对于D，当 时，，令，则
，且 ，所以，
，所以，即，
由偶函数对称性可知， 的值域为，故D正确.故选 .
13.［2025·江苏常州高中高一期末］已知是定义在 上的奇函数，
当时，，且对任意 ，
恒成立，则实数 的取值范围为______.
[解析] 因为是定义在 上的奇函数，当
时， ，所以
，即,必有 .
当时，，则有,而 为奇函数，则
,
故 的图象如图所示：
因为对任意， 恒成立，所以，
所以，又，所以的取值范围为 .
14.（15分）［2025·湖南长郡中学高一期中］ 已知函数
是定义在上的奇函数，且 .
（1）求, 的值；
解：由题意可知即解得 ，经检
验符合题意.
14.（15分）［2025·湖南长郡中学高一期中］ 已知函数
是定义在上的奇函数，且 .
（2）判断函数在 上的单调性并加以证明；
解：函数在 上单调递减.证明如下：
由（1）可知，设 ，
则
，
,,, ,
，，即 ，
在 上单调递减.
14.（15分）［2025·湖南长郡中学高一期中］ 已知函数
是定义在上的奇函数，且 .
（3）解不等式 .
解：为奇函数，且， .
，, .
由（2）可知在 上单调递减，
解得 ，
不等式的解集为 .
15.［2025·上海外国语大学附属大境中学高一月考］对于函数
，若存在使，则称点 与点
是函数 的一对“隐对称点”.若函数
的图象存在“隐对称点”，则实数 的取值范
围是__________.
[解析] 由“隐对称点”的定义可知，函数 的图
象上存在关于原点对称的点，
设的图象与， 的图象关于原点对称，
设，则 ， ，所以
，，故的图象与 ，
的图象有交点，
等价于方程 有实根，所以
，当且仅当时取等号，
所以，故实数 的取值范围是 .
16.（15分）已知是定义在上的奇函数,满足 ,且当
,,时,有 .
（1）判断函数 的单调性;
解：因为为奇函数,所以,所以 ,则
,
当，时, ,由，得，
所以由可得函数 在 上单调递增.
16.（15分）已知是定义在上的奇函数,满足 ,且当
,,时,有 .
（2）解不等式 ；
解：因为 ,
由（1）知函数为 上的增函数,
所以解得即 ,所以不等式
的解集为 .
16.（15分）已知是定义在上的奇函数,满足 ,且当
,,时,有 .
（3）若对所有, 恒成立,求实
数 的取值范围.
解：因为对所有 恒成立,所以
成立,且 ,所以
对任意 恒成立.
令 ,
则即解得或或,故实数 的
取值范围是 .
快速核答案（导学案）
课中探究 探究点一 例1 证明略 变式 BC 拓展 D
探究点二 例2 （1）D （2）D 变式 （1）
（2）
拓展 （1）函数
是奇函数，证明略（2）证明略（3）的最小值是
练习册
基础巩固 1.D 2.A 3.C 4.C 5.A 6.B 7.
8.23
9.（1）
（2）证明略（3）
综合提升 10.C 11.A 12.ABD 13.
14.（1）（2）函数在上单调递减.证明略
（3）< 不等式的解集为
思维探索 15.
16.（1）函数在上单调递增 （2）不等式m>的解集为
（3）第3课时 函数性质的综合问题
【课中探究】
探究点一
例1 证明:要使函数f(x)有意义,必有x+2≠0,解得x≠-2,则函数f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(-2,+∞).f(-4-x)==,则f(x)+f(-4-x)=+==6,即对任意x∈(-∞,-2)∪(-2,+∞),都有f(x)+f(-4-x)=6成立,故函数f(x)的图象关于点(-2,3)对称,即函数f(x)的图象是中心对称图形.
变式 BC [解析] 对于A,f(x)=x3-3x2=x2(x-3),则f(x+1)+f(-x+1)=(x+1)2(x+1-3)+(-x+1)2(-x+1-3)=-4,故A错误.对于B,由f(x+1)+f(1-x)=2,得f(x+1)-1+f(-x+1)-1=0,设F(x)=f(x+1)-1,则F(x)+F(-x)=0,所以F(x)是奇函数,F(x)的图象关于原点对称,所以f(x)的图象关于点(1,1)对称,故B正确.对于C,若函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称,则f(x)=f(2a-x),令x=t+a,则f(t+a)=f(a-t),用x替换t,则f(x+a)=f(a-x),故y=f(x+a)是偶函数,充分性成立;若y=f(x+a)是偶函数,则f(x+a)=f(-x+a),令h=x+a,则f(h)=f(2a-h),故函数y=f(h)的图象关于直线h=a对称,用x替换h,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称,必要性成立,故C正确.对于D,因为f(x-1)=x2-4x+8,f(-x-1)=x2+4x+8,所以f(x-1)≠f(-x-1),所以y=f(x-1)不是偶函数,故D错误.故选BC.
拓展 D [解析] ∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x),∵f(x)的图象关于点对称,∴f(1+x)=-f(-x),∴f(x+1)=-f(x),用x+1替换x,则f(x+2)=-f(x+1)=f(x),用x-2替换x,则f(x)=f(x-2).又当x∈[0,1]时,f(x)=-x+,∴f(π)=f(π-2)=f(π-4)=f(4-π)=-(4-π)+=π-.故选D.
探究点二
例2 (1)D (2)D [解析] (1)因为f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,所以f(x)的图象的对称中心是点(0,0),故f(-x)=-f(x),因为f(x+2)是偶函数,所以f(x)图象的对称轴是直线x=2,即f(2+x)=f(2-x),在f(2+x)=f(2-x)中,将x替换为x-2,得到f(x)=f(4-x),故f(-x)=-f(4-x),将x替换为x-4,得到f(4-x)=-f(8-x),所以f(-x)=f(8-x),所以f(x+8)=f(x),f(x+16)=f(x+8)=f(x),所以f(10)=f(2),f(19)=f(3)=f(1),f(13)=f(5)=f(-1).因为f(x)在[0,2]上单调递增且f(x)是奇函数,所以f(x)在[-2,2]上单调递增,所以f(-1)(2)因为f(x+1)的图象关于点(-1,0)对称,所以f(x)的图象关于点(0,0)对称,即f(x)为奇函数.因为对任意x1,x2∈[0,+∞),都有>-1,所以设x1>x2≥0,则f(x1)-f(x2)>x2-x1,即f(x1)+x1>f(x2)+x2,设g(x)=f(x)+x,则g(x1)>g(x2),即g(x)在[0,+∞)上单调递增,因为f(x)为奇函数,所以g(x)=f(x)+x也是奇函数,所以g(x)在R上单调递增.若f(a2-1)+f(a-1)+a2+a>2,则f(a2-1)+a2-1>f(1-a)+1-a,即g(a2-1)>g(1-a),所以a2-1>1-a,即a2+a-2>0,解得a>1或a<-2.故选D.
变式 (1) (2)(-1,0)∪(1,+∞) [解析] (1)因为y=x与y=-在(1,3]上均单调递增,所以当x∈(1,3]时,函数f(x)单调递增,因为f(x)的图象关于点(1,2)对称,所以f(1)=2,所以函数f(x)在[-1,3]上单调递增且f(2-x)+f(x)=4,即4-f(x)=f(2-x),因为f(x-1)+f(x)≥4,所以f(x-1)≥4-f(x),所以f(x-1)≥f(2-x),所以3≥x-1≥2-x≥-1,解得≤x≤3.故x的取值范围为.
(2)因为函数y=f(x+1)的图象关于点(-1,0)对称,所以f(x)的图象关于点(0,0)对称,即f(x)为奇函数.设g(x)=xf(x),由题意可得,对于任意的x1,x2∈(0,+∞),都有>0(x1≠x2),所以g(x)在(0,+∞)上单调递增.因为函数f(x)为定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以g(-x)=-xf(-x)=xf(x)=g(x),所以g(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,所以g(x)在(-∞,0)上单调递减.因为f(1)=4,所以g(1)=4,当x>0时,f(x)>化为xf(x)>4,即g(x)>g(1),所以x>1;当x<0时,f(x)>化为xf(x)<4,因为f(x)为奇函数,且f(1)=4,所以f(-1)=-f(1)=-4,所以g(-1)=-f(-1)=4,所以xf(x)<4化为g(x)的解集为(-1,0)∪(1,+∞).
拓展 解:(1)函数f(x)=4x+是奇函数,证明如下:
函数f(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,
又f (-x)=-4x-=-f(x),所以f(x)是奇函数.
(2)证明:任取x1,x2∈,x1则f(x1)-f(x2)=4x1+-=4(x1-x2)+=.
由,
则f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)所以f(x)=4x+在区间上单调递增.
(3)当x>0时,g(x)=≤=,当且仅当4x=,即x=时取等号,
因此0所以当x<0时,-≤g(x)<0,所以函数g(x)的值域为,即g(x)min=-,g(x)max=.
由g(x)对任意的x1,x2∈R都有|g(x1)-g(x2)|≤a,得a≥g(x)max-g(x)min=,所以a的最小值是.第3课时 函数性质的综合问题
1.D [解析] 作出函数y=|x|的图象如图所示,由图可知该函数的图象关于y轴对称,故选D.
2.A [解析] 函数f(x)==-1+,则f(1+x)+f(1-x)=-1+-1+=-2,可得f(x)的图象关于点(1,-1)对称,故选A.
3.C [解析] 由题意,得f(3)=f(4-3)=f(1)=3×12+4×1=7.故选C.
4.C [解析] 偶函数f(x)在[2,5]上单调递减且最小值是4,所以f(5)=4,则f(x)在[-5,-2]上单调递增且最小值为f(-5)=f(5)=4,故选C.
5.A [解析] 当x<1时,f(x)=x(x+1),则当x>1时,2-x<1,故f(2-x)=(2-x)(3-x),又函数f(x)的图象关于点(1,0)中心对称,所以f(x)=-f(2-x)=-(x-2)(x-3).故当x>1时,f(x)=-(x-2)(x-3).故选A.
6.B [解析] 因为函数y=f(2x-1)的图象关于点(1,-1)对称,所以将函数图象向左平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度,可以得到函数y=f[2(x+1)-1]+1的图象,该图象关于原点对称,即y=f(2x+1)+1的图象关于原点对称,所以函数y=f(2x+1)+1为奇函数.故选B.
7.(1,2] [解析] ∵奇函数f(x)的定义域是[-4,4],且f(x)在[0,4]上单调递减,∴函数f(x)在[-4,0]上单调递减,∴函数f(x)在[-4,4]上是减函数.又f(a+1)>f(2a),∴解得18.23 [解析] ∵函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=-2对称,∴f(-1)=f(-3)=0,且f(1)=f(-5)=0,即[1-(-3)2][(-3)2+a·(-3)+b]=0,且[1-(-5)2][(-5)2+a·(-5)+b]=0,解得a=8,b=15,则a+b=23.
9.解:(1)因为函数f(x)=是奇函数,
所以f(-x)=-f(x),即=-,
整理得2b=0,即b=0,所以f(x)=.
又因为f(1)==,解得a=1,所以f(x)=.
(2)证明:任取x1,x2∈(1,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=-=,
因为10,1+>0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
故f(x)在(1,+∞)上单调递减.
(3)因为函数f(x)为奇函数且在(1,+∞)上单调递减,所以函数f(x)在(-∞,-1)上单调递减,所以函数f(x)在[-5,-2]上单调递减,
又f(-5)=-,f(-2)=-,
故函数f(x)在[-5,-2]上的取值范围为.
10.C [解析] 设函数y=f(x)图象的对称中心为点P(a,b),因为函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)对称的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数,所以y=f(x+a)-b=(x+a)3-3(x+a)2-b是奇函数,则f(-x+a)-b=-[f(x+a)-b],代入整理得(3a-3)x2+a3-3a2-b=0,比较系数可得解得所以f(x)图象的对称中心为(1,-2).故选C.
11.A [解析] 因为函数f(x-2)是定义域为R的偶函数,所以f(x)的图象关于直线x=-2对称.因为对任意x10恒成立,所以f(x)在(-∞,-2)上单调递增,根据对称性可知,f(x)在(-2,+∞)上单调递减.若f(-2x)-f>0,则f(-2x)>f,所以|-2x+2|<=,解得12.ABD [解析] 对于A,因为f(x)是定义在[a-6,a+2]上的偶函数,所以a-6+a+2=0,解得a=2,故A正确;对于B,当x∈[-4,0]时,f(x)=x+2,又f(x)是偶函数,所以f=f=-+2=,故B正确;对于C,f(0)=2,f(1)=f(-1)=2-1,则f(0)13. [解析] 因为f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=|x-a|-a(a∈R),所以f(0)=|-a|-a=0,即|a|=a,必有a≥0.当x<0时,-x>0,则有f(-x)=|x+a|-a,而f(x)为奇函数,则f(x)=-f(-x)=-|x+a|+a,故f(x)=f(x)的图象如图所示:因为对任意x∈R,f(x+6)>f(x)恒成立,所以2a-(-2a)<6,所以a<,又a≥0,所以a的取值范围为.
14.解:(1)由题意可知即解得a=b=1,经检验符合题意.
(2)函数f(x)在(-3,3)上单调递减.证明如下:
由(1)可知f(x)=-,设-3则f(x1)-f(x2)=-+=
=,
∵-30,x1x2-9<0,+9>0,+9>0,∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
∴f(x)在(-3,3)上单调递减.
(3)∵f(x)为奇函数,且f(1)=-,∴f(-1)=.
∵f(x+1)-≥0,∴f(x+1)≥,∴f(x+1)≥f(-1).由(2)可知f(x)在(-3,3)上单调递减,
∴解得-4∴不等式f(x+1)-≥0的解集为{x|-415.(-∞,-2] [解析] 由“隐对称点”的定义可知,函数f(x)=的图象上存在关于原点对称的点,设h(x)的图象与y=x2+2x,x<0的图象关于原点对称,设x>0,则-x<0,f(-x)=(-x)2+2(-x)=x2-2x,所以h(x)=-f(-x)=-x2+2x,x>0,故h(x)的图象与y=mx+4,x>0的图象有交点,等价于方程-x2+2x=mx+4(x>0)有实根,所以m=-x-+2=-+2≤-2+2=-4+2=-2,当且仅当x=2时取等号,所以m≤-2,故实数m的取值范围是(-∞,-2].
16.解:(1)因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以f(n)=-f(-n),则=>0,当m,n∈[-1,1]时,-n∈[-1,1],由m+n≠0,得m≠-n,所以由>0可得函数f(x)在[-1,1]上单调递增.
(2)因为f由(1)知函数f(x)为[-1,1]上的增函数,
所以解得即-(3)因为f(x)≤t2-2at+1对所有x∈[-1,1]恒成立,所以f(x)max≤t2-2at+1成立,且f(x)max=f(1)=1,所以t2-2at≥0对任意a∈[-1,1]恒成立.
令g(a)=t2-2at=-2ta+t2,
则即解得t≤-2或t≥2或t=0,故实数t的取值范围是(-∞,-2]∪[2,+∞)∪{0}.第3课时 函数性质的综合问题
【学习目标】
1.理解并掌握函数的对称性,会利用奇偶性与对称性求值.
2.能利用函数的奇偶性、单调性、对称性等解决简单的函数问题.
◆ 探究点一 函数的对称性
例1 已知函数f(x)=,求证:函数f(x)的图象是中心对称图形.
变式 (多选题)下列说法正确的是 ( )
A.f(x)=x3-3x2的图象关于点(1,2)对称
B.若f(x+1)+f(1-x)=2,则f(x)的图象关于点(1,1)对称
C.函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称的充要条件是y=f(x+a)为偶函数
D.若f(x)=x2-2x+5,则y=f(x-1)为偶函数
[素养小结]
(1)要证明函数f(x)的图象关于直线x=h对称,只需证明对定义域内的任意x,都有f(h-x)=f(h+x).
(2)要证明函数f(x)的图象关于点(a,b)对称,只需证明对定义域内的任意x,都有f(a+x)+f(a-x)=2b.
拓展 若定义在R上的偶函数f(x)的图象关于点对称,且当x∈[0,1]时,f(x)=-x+,则f(π)= ( )
A.-π B.-π
C.π- D.π-
◆ 探究点二 函数性质的综合问题
例2 (1)[2025·江苏无锡湖滨中学高一月考] 已知定义在R上的函数f(x)满足:f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,f(x+2)是偶函数,且f(x)在[0,2]上单调递增,则 ( )
A.f(10)B.f(10)C.f(13)D.f(13)(2)已知f(x)是定义在R上的函数,且f(x+1)的图象关于点(-1,0)对称,对任意x1,x2∈[0,+∞),都有>-1.若f(a2-1)+f(a-1)+a2+a>2,则实数a的取值范围为 ( )
A.a<-2或a>-1
B.a<1或a>2
C.a<-1或a>2
D.a<-2或a>1
变式 (1)已知函数f(x)的定义域为[-1,3],且f(x)的图象关于点(1,2)对称.当1(2)已知函数y=f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),对任意的x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,都有>0,若函数y=f(x+1)的图象关于点(-1,0)对称,且f(1)=4,则不等式f(x)>的解集为 .
[素养小结]
奇偶性、单调性的综合应用
利用函数的奇偶性将函数关系式进行转化,利用单调性解决常见不等式问题,在综合性题目中,要熟练掌握奇偶性、单调性的定义及变形,适当应用解题技巧,化简求值,解题时,一定要特别注意函数的定义域.
拓展 [2025·江苏南通海门中学高一期中] 已知函数f(x)=4x+.
(1)判断函数f(x)的奇偶性,并证明;
(2)证明:f(x)=4x+在区间上单调递增;
(3)若g(x)=对任意的x1,x2∈R都有|g(x1)-g(x2)|≤a,求a的最小值.第3课时 函数性质的综合问题
1.函数y=|x|的图象 ( )
A.关于坐标轴、原点都不对称
B.关于原点对称
C.关于x轴对称
D.关于y轴对称
2.函数f(x)=的图象的对称中心为 ( )
A.(1,-1) B.(-1,1)
C.(1,0) D.(1,-2)
3.已知函数f(x)满足f(4-x)=f(x),并且当x∈[-2,2]时,f(x)=3x2+4x,则f(3)= ( )
A.39 B.0
C.7 D.-1
4.[2025·北京五十五中高一期中] 如果偶函数f(x)在[2,5]上单调递减且最小值是4,那么f(x)在[-5,-2]上 ( )
A.单调递减且最小值是4
B.单调递减且最大值是4
C.单调递增且最小值是4
D.单调递增且最大值是4
5.[2025·河南开封高一期末] 已知函数f(x)的图象关于点(1,0)中心对称,当x<1时,f(x)=x(x+1),则当x>1时,f(x)= ( )
A.-(x-2)(x-3) B.(x-2)(x-3)
C.-x(x-1) D.x(x-1)
6.已知函数y=f(2x-1)的图象关于点(1,-1)对称,则下列函数是奇函数的是 ( )
A.y=f(2x)+1
B.y=f(2x+1)+1
C.y=f(2x)-1
D.y=f(2x+1)-1
7.设a∈R,已知奇函数f(x)的定义域是[-4,4],f(x)在[0,4]上单调递减,且f(a+1)>f(2a),则a的取值范围是 .
8.若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=-2对称,则a+b= .
9.(13分)已知函数f(x)=是定义在R上的奇函数,且f(1)=.
(1)确定函数f(x)的解析式;
(2)用定义证明f(x)在(1,+∞)上单调递减;
(3)求函数f(x)在[-5,-2]上的取值范围.
10.[2025·江苏常熟高一期中] 通过研究发现:函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)对称的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数.则函数f(x)=x3-3x2图象的对称中心为(参考公式:(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3) ( )
A.(0,0) B.(1,2)
C.(1,-2) D.(2,-4)
11.[2025·江苏南京高一期中] 已知函数f(x-2)是定义域为R的偶函数,且对任意x10恒成立,若f(-2x)-f>0,则x的取值范围是 ( )
A.
B.∪
C.
D.∪
12.(多选题)[2025·辽宁辽阳高一期中] 已知函数f(x)为定义在[a-6,a+2]上的偶函数,当x∈[a-6,0]时,f(x)=x+2,则下列结论正确的是 ( )
A.a=2
B.f=
C.f(x)在[0,a+2]上单调递减
D.f(x)的值域为
13.[2025·江苏常州高中高一期末] 已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=|x-a|-a(a∈R),且对任意x∈R,f(x+6)>f(x)恒成立,则实数a的取值范围为 .
14.(15分)[2025·湖南长郡中学高一期中] 已知函数f(x)=是定义在(-3,3)上的奇函数,且f(1)=-.
(1)求a,b的值;
(2)判断函数f(x)在(-3,3)上的单调性并加以证明;
(3)解不等式f(x+1)-≥0.
15.[2025·上海外国语大学附属大境中学高一月考] 对于函数y=f(x),若存在x0使f(x0)=-f(-x0),则称点(x0,f(x0))与点(-x0,f(-x0))是函数f(x)的一对“隐对称点”.若函数f(x)=的图象存在“隐对称点”,则实数m的取值范围是 .
16.(15分)已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,满足f(1)=1,且当m,n∈[-1,1],m+n≠0时,有>0.
(1)判断函数f(x)的单调性;
(2)解不等式f(3)若f(x)≤t2-2at+1对所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,求实数t的取值范围.