微突破(二) 抽象函数的性质
类型一
例1 (1)B (2)(-1,3) [解析] (1)因为函数f(x)的定义域为[-5,6],所以函数f(4-3x)中的4-3x必须满足-5≤4-3x≤6,解得-≤x≤3,故函数f(4-3x)的定义域为.故选B.
(2)∵函数f(2x-1)的定义域为(0,2),∴0变式 (1)(-2,0) (2)(3,6) [解析] (1)因为函数f(2x-1)的定义域为(1,2),即1(2)因为函数f(x)的定义域为(-4,28),所以要使函数g(x)有意义,必须解得3类型二
例2 解:(1)证明:在f(xy)=f(x)+f(y)中,
令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0.
令y=,得f(x)+f=f(1)=0,所以f(x)=-f,
当x>1时,0<<1,f>0,所以f(x)<0.
(2)f(x)在(0,+∞)上是减函数.证明如下:
任取x1,x2∈(0,+∞)且x11,f<0,所以f(x1)-f(x2)=f(x1)-f=f(x1)-f(x1)-f=-f>0,即f(x1)>f(x2),所以f(x)在(0,+∞)上是减函数.
(3)由f(x)的定义域得a>0,由f(x2+y2)≤f(a)+f(xy)得f(x2+y2)≤f(axy),
由(2)知函数f(x)是在(0,+∞)上的减函数,所以x2+y2≥axy,所以a≤对任意x,y∈(0,+∞)恒成立.
又≥=2,当且仅当x=y时等号成立,所以a≤2,所以a的取值范围是(0,2].
变式 解:(1)已知函数f(x)满足对任意的m,n∈R,都有f(m+n)=f(m)+f(n)-4,
令m=n=0,则f(0)=f(0)+f(0)-4,所以f(0)=4.
令m=-x,n=x,则f(-x+x)=f(-x)+f(x)-4=f(0)=4,所以f(-x)-4=-f(x)+4=-[f(x)-4],所以y=f(x)-4是奇函数.
(2)f(x)在R上单调递增.
证明如下:设x1,x2∈R且x1>x2,则f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-4-f(x2)=f(x1-x2)-4,又x1>x2,所以x1-x2>0,所以f(x1-x2)>4,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以f(x)在R上单调递增.
(3)关于x的不等式f(x2)+f(-2m2-mx)>8对任意的x∈[1,3]恒成立,即关于x的不等式f(x2-2m2-mx)>4=f(0)对任意的x∈[1,3]恒成立,
由(2)可知f(x)在R上单调递增,所以对任意的x∈[1,3],x2-mx-2m2>0恒成立.
令g(x)=x2-mx-2m2,x∈[1,3],
当≤1,即m≤2时,g(x)在[1,3]上单调递增,
所以g(x)min=g(1)=1-m-2m2>0,解得-1当1<<3,即2当≥3,即m≥6时,g(x)在[1,3]上单调递减,
所以g(x)min=g(3)=9-3m-2m2>0,解得-3综上,m的取值范围是.
类型三
例3 (1)A [解析] 因为f(x+y)=,所以f(0)=,解得f(0)=0或f(0)=1或f(0)=-1.当f(0)=-1时,令x=1,y=0,则f(1)==-1,不满足题意;当f(0)=1时,令x=1,y=0,则f(1)==1,不满足题意;所以f(0)=0.令y=-x,则f(0)==0,得f(-x)=-f(x),则函数f(x)为奇函数.设x1,x2∈(0,+∞),且x10,则00,所以0(2)解:①令x=y=1,则f(1×1)=f(1)+f(1),解得f(1)=0.
②f(x)为偶函数,理由如下:
令x=y=-1,则f(1)=f(-1)+f(-1),所以f(-1)=0,令y=-1,则f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x),故f(x)为偶函数.
③证明:令x1>x2>0,则>1,故f<0,
因为f(x1)=f=f(x2)+f,所以f(x1)-f(x2)=f<0,
即f(x1)变式 解:(1)f(x)为奇函数.证明如下:因为对任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),所以令x=y=0,得f(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0),即f(0)=0;
令y=-x,得f(x)+f(-x)=f(0)=0,
即f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数.
(2)设x10,f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)+f(x1),即f(x2)-f(x1)=f(x2-x1),
又当x>0时,f(x)<0,所以f(x2-x1)<0,
即f(x1)>f(x2),所以f(x)为减函数.
所以当x∈[-6,8]时,f(x)的最大值为f(-6),最小值为f(8).因为f(2)=f(1)+f(1)=2f(1),f(1)=-2,所以f(2)=-4,f(-2)=-f(2)=4,f(8)=f(4)+f(4)=f(2)+f(2)+f(2)+f(2)=4f(2)=-16,f(-6)=f(-2)+f(-4)=f(-2)+f(-2)+f(-2)=3f(-2)=12,故当-6≤x≤8时,f(x)max=f(-6)=12,f(x)min=f(8)=-16.微突破(二) 抽象函数的性质
1.B [解析] 因为f(x+1)为奇函数,所以f(x+1)+f(-x+1)=0,所以f(x)的图象关于点(1,0)对称,f(1)=0.因为f(x+4)=f(x)+f(1),所以f(x+4)=f(x),则f(5)=f(1)=0.故选B.
2.B [解析] 对于函数f(x2),有1≤x≤2,可得1≤x2≤4,故函数f(x)的定义域为[1,4],对于函数f(2x+1),有1≤2x+1≤4,解得0≤x≤,故函数f(2x+1)的定义域为.故选B.
3.D [解析] 根据题意,设g(x)=f(2x)+2x,由于g(x)为偶函数,则g(-1)=g(1),即f(-2)-2=f(2)+2=4,可得f(-2)=6.故选D.
4.A [解析] ∵对任意实数x,都有f(x)-f(-4-x)=0,∴函数f(x)的图象关于直线x=-2对称,又f(x)在[-2,+∞)上单调递增,∴不等式f(x)≥f(x-2)可化为|x-(-2)|≥|(x-2)-(-2)|,∴(x+2)2≥x2,解得x≥-1,∴不等式f(x)≥f(x-2)的解集为[-1,+∞).故选A.
5.B [解析] 定义在R上的奇函数f(x)满足f=f,则f(1+x)=f(-x)=-f(x),所以f(2+x)=f(x),则f(7)=f(5)=f(3)=f(1)=-f(0)=0.故选B.
6.A [解析] 因为f(1)=2,f[f(x)]=3x,所以f[f(1)]=3,所以f(2)=3,所以f[f(2)]=6,所以f(3)=6,所以f[f(3)]=9,所以f(6)=9,因为函数y=f(x)(x∈N*,y∈N*)是增函数,所以f(3)=67. [解析] 由题意可知解得-≤x<1,所以函数的定义域为.
8. [解析] 令x=9,y=3,则f(9)-f(3)=f(3),所以f(9)=f(3)+f(3)=-2.任取x1,x2,且01,因为当x>1时,f(x)<0,所以f<0,又f(x)-f(y)=f,所以f(x2)-f(x1)=f<0,所以f(x1)>f(x2),因此f(x)是(0,+∞)上的减函数.不等式f(x)-f(x-1)+2≤0,即f≤f(9),则解得19.解:(1)在等式f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R)中,
令x=y=0,可得f(0)=2f(0),解得f(0)=0;
令x=y=1,可得f(2)=2f(1)=4,解得f(1)=2.
(2)因为函数f(x)的定义域为R,令y=-x,可得f(x)+f(-x)=f(0)=0,所以f(-x)=-f(x),
所以函数f(x)为奇函数.
10.解:(1)令x=y=0,得2f(0)=f(0),∴f(0)=0.
(2)f(x)是奇函数,f(x)在(-1,1)上单调递减.
证明如下:令y=-x,得f(x)+f(-x)=f(0)=0,∴f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数.
下面证明f(x)的单调性:
任取x1,x2∈(-1,1)且x1∵-1而x1-x2<0,则f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
∴f(x)在(-1,1)上单调递减.
11.D [解析] 由题设可得f(x+y)+(x+y)=f(x)+x+f(y)+y+2xy-2,令g(x)=f(x)+x,则g(x+y)=g(x)+g(y)+2xy-2,且g(1)=5,令x=y=0,则g(0)=2g(0)-2,可得g(0)=2,显然g(0)≠g(1),排除A;令x=-y=-1,则g(0)=g(1)+g(-1)-4,可得g(-1)=1,显然g(0)≠g(-1),排除B;令x=y=1,则g(2)=2g(1)=10,显然g(0)≠g(2),排除C.故选D.
12.AD [解析] 对于A,因为函数f(x-1)为偶函数,所以函数f(x-1)的图象关于直线x=0对称,所以函数f(x)的图象关于直线x=-1对称,故A正确;对于B,因为函数f(x)在(-∞,-1)上单调递增且函数f(x)的图象关于直线x=-1对称,所以函数f(x)在(-1,+∞)上单调递减,故B错误;对于C,因为函数f(x)的图象关于直线x=-1对称,且函数f(x)在(-∞,-1)上单调递增,所以f(1)=f(-3)≠f(-2),故C错误;对于D,因为f(-3)=f(1),且函数f(x)在(-1,+∞)上单调递减,-<0<1,所以f>f(0)>f(1),即f>f(0)>f(-3),故D正确.故选AD.
13.BCD [解析] 对于A,令x=y=0,可得2[f(0)]2=2f(0),又f(0)≠0,所以f(0)=1,故A错误;对于B,令x=0,得2f(0)·f(y)=f(y)+f(-y),即f(-y)=f(y),所以f(x)为偶函数,故B正确;对于C,令x=y=,得2=f(1)+f(0)=0,故f=0,令x=,得2ff(y)=f+f=0,即f(x)+f(1-x)=0,故C正确;对于D,因为f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),由C选项得f(x)+f(1-x)=0,所以f(-x)+f(1-x)=0,即f(x)+f(1+x)=0,上式中,令x=2,4,6,…,2024,得f(2)+f(3)=0,f(4)+f(5)=0,…,f(2024)+f(2025)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2025)=f(1)=-1,故D正确.故选BCD.
14.∪ [解析] 令x=y=1,则f(1)=f(1)+f(1)+2,即f(1)=-2,令x=y=-1,则f(1)=f(-1)+f(-1)+2,则f(-1)=-2,令y=-1,则f(-x)=f(x)+f(-1)+2=f(x),又f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),所以f(x)为偶函数.设对任意x1,x2>0,且x1>x2,则>1,所以f>-2,故f(x1)=f=f(x2)+f+2>f(x2),即f(x1)>f(x2),故f(x)在(0,+∞)上单调递增,则f(2)+f(x-2)=f(2x-4)-215.ACD [解析] 因为f(xy)=yf(x)+xf(y),所以令x=y=0,得f(0)=0,故A正确.令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0;令x=y=-1,得f(1)=-f(-1)-f(-1),所以f(-1)=0;令y=-1,得f(-x)=-f(x)+xf(-1),又f(-1)=0,所以f(-x)=-f(x),又因为定义域为R,所以函数f(x)是奇函数,故B错误.令x=y=2,得f(4)=2f(2)+2f(2)=4f(2)=8;令x=4,y=,得f(1)=f(4)+4f,所以f=-f(4)=-,故C正确.当x,y≠0时,由f(xy)=yf(x)+xf(y),可得=+,又g(x)=,所以g(xy)=g(x)+g(y),任取01,g=>0,故g(x1)16.解:(1)对任意x1,x2∈(-1,1),都有f(x1)-f(x2)=f,令x1=x2=0,可得f(0)-f(0)=f(0),所以f(0)=0.
(2)证明:对任意x1,x2∈(-1,1),且x1>x2,都有f(x1)-f(x2)=f,因为-10,1-x1x2>0,所以>0.
又因为-1==<0,所以0<<1.又当x>0时,f(x)>0,所以f(x1)-f(x2)=f>0,即f(x1)>f(x2),
所以f(x)在定义域上是增函数.
(3)因为函数f(x)的定义域为(-1,1),所以解得0由f=1,得f(x)+f(3x-1)<1等价于f(3x-1)由(2)可知,f(x)在定义域上是增函数,
所以可得3x-1<,又0类型一 抽象函数的定义域
1.若函数f(x)的定义域为[m,n](m2.函数f[g(x)]的定义域为[m,n](m例1 (1)已知函数f(x)的定义域为[-5,6],则函数f(4-3x)的定义域为 ( )
A. B.
C.[-5,6] D.[-14,19]
(2)若函数f(2x-1)的定义域为(0,2),则函数f(x)的定义域为 .
变式 (1)已知函数f(2x-1)的定义域为(1,2),则函数f(1-x)的定义域为 .
(2)[2025·山东青岛二中高一期中] 已知函数f(x)的定义域为(-4,28),则函数g(x)=的定义域为 .
类型二 抽象函数的单调性
根据所给抽象函数所具有的性质,利用函数单调性的定义判断该函数的单调性.
例2 [2025·湖南衡阳高一期末] 已知定义在(0,+∞)的函数f(x),对任意的x,y∈(0,+∞),都有f(xy)=f(x)+f(y),且当00.
(1)证明:当x>1时,f(x)<0;
(2)判断函数f(x)的单调性并加以证明;
(3)如果对任意的x,y∈(0,+∞),f(x2+y2)≤f(a)+f(xy)恒成立,求实数a的取值范围.
变式 [2025·江西宜丰中学高一质检] 已知函数f(x)满足对任意的m,n∈R,都有f(m+n)=f(m)+f(n)-4,且当x>0时,f(x)>4.
(1)求f(0)的值,并证明y=f(x)-4是奇函数;
(2)判断f(x)在R上的单调性并证明;
(3)若关于x的不等式f(x2)+f(-2m2-mx)>8对任意的x∈[1,3]恒成立,求m的取值范围.
类型三 抽象函数的奇偶性及对称性
1.根据所给抽象函数的性质结合函数奇偶性定义判断所给函数的奇偶性;奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称.
2.若函数f(x)的定义域内任意实数x都满足f(x)=f(2a-x)(或f(a+x)=f(a-x)),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称;
若函数f(x)的定义域内任意实数x都满足f(x)+f(2a-x)=2b(或f(a+x)+f(a-x)=2b),则函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称.
根据所给抽象函数的性质结合函数对称性的定义判断该函数的对称性.
例3 (1)[2025·广东佛山高一期末] 已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=,且当x>0时,0A.奇函数,在(0,+∞)上单调递增
B.奇函数,在(0,+∞)上单调递减
C.偶函数,在(0,+∞)上单调递增
D.偶函数,在(0,+∞)上单调递减
(2)[2025·吉林德惠五校高一期末] 定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y),当x>1时,f(x)<0.
①求f(1)的值;
②判断f(x)的奇偶性,并说明理由;
③证明:f(x)在(0,+∞)上单调递减.
变式 [2025·甘肃兰州新区一中高一期末] 已知函数f(x)对于任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时,f(x)<0,且f(1)=-2.
(1)判断并证明函数f(x)的奇偶性;
(2)当-6≤x≤8时,求函数f(x)的最大值和最小值.微突破(二) 抽象函数的性质
1.已知函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数,f(x+4)=f(x)+f(1),则 ( )
A.f(4)=0 B.f(5)=0
C.f(6)=0 D.f(7)=0
2.[2025·湖北天门陆羽高中高一月考] 已知函数f(x2)的定义域为[1,2],则函数f(2x+1)的定义域为 ( )
A. B.
C.[1,2] D.[1,4]
3.已知函数y=f(2x)+2x是偶函数,且f(2)=2,则f(-2)= ( )
A.-3 B.4
C.5 D.6
4.[2025·湖北十堰高一期末] 已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数x,都有f(x)-f(-4-x)=0,f(x)在[-2,+∞)上单调递增,则不等式f(x)≥f(x-2)的解集为 ( )
A.[-1,+∞) B.[3,+∞)
C.(-∞,-1] D.(-∞,3]
5.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f=f,则f(7)= ( )
A.-1 B.0
C.1 D.2
6.[2025·山东菏泽一中高一期末] 已知函数y=f(x)(x∈N*,y∈N*)是增函数,且满足f(1)=2,f[f(x)]=3x,则f(4)的值为 ( )
A.7 B.8
C.9 D.12
7.已知函数f(x)的定义域为[1,4],则函数y=的定义域为 .
8.已知函数f(x)的定义域是(0,+∞)且f(x)-f(y)=f,当x>1时,f(x)<0,且f(3)=-1,则满足不等式f(x)-f(x-1)+2≤0的x的取值范围为 .
9.(13分)设f(x)是定义域为R的单调函数,对任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),f(2)=4.
(1)求f(0)与f(1)的值;
(2)讨论函数f(x)的奇偶性.
10.(13分)已知定义在(-1,1)上的函数f(x)满足下列两个条件:
①对任意x,y∈(-1,1),都有f(x)+f(y)=f;②对任意x,y∈(-1,1)且x+y≠0,都有<0.
请解答下列问题:
(1)求f(0)的值;
(2)判断f(x)的奇偶性及在定义域内的单调性并证明.
11.已知函数f(x)的定义域为R,若f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy-2,且f(1)=4,则函数y=f(x)+x的图象的对称轴为直线 ( )
A.x= B.x=-
C.x=1 D.x=-1
12.(多选题)已知定义域为R的函数f(x)在(-∞,-1)上单调递增,且f(x-1)为偶函数,则 ( )
A.f(x)的图象关于直线x=-1对称
B.f(x)在(-1,+∞)上单调递增
C.f(1)=f(-2)
D.f(-3)13.(多选题)[2025·福建厦门科技中学高一月考] 已知函数y=f(x)满足:对任意实数x,y都有2f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y),且f(1)=-1,f(0)≠0,则 ( )
A.f(0)=2
B.f(x)是偶函数
C.f(x)+f(1-x)=0
D.f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2025)=-1
14.[2025·贵州遵义期末] 已知定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)+2,且当x>1时,f(x)>-2,则不等式f(2)+f(x-2)15.(多选题)[2025·河南豫东名校高一期末] 已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,对于任意的x,y∈R,都有f(xy)=yf(x)+xf(y),则下列说法正确的是 ( )
A.f(0)=0
B.f(x)是偶函数
C.若f(2)=2,则f=-
D.若当x>1时,f(x)>0,则g(x)=在(0,+∞)上单调递增
16.(15分)[2025·江西分宜中学高一月考] 已知定义域为(-1,1)的函数f(x)满足对任意x1,x2∈(-1,1),都有f(x1)-f(x2)=f,且当00.
(1)求f(0)的值;
(2)用单调性定义证明:f(x)在定义域上是增函数;
(3)若f=1,求不等式f(x)+f(3x-1)<1的解集.(共59张PPT)
微突破（二） 抽象函数的性质
类型一 抽象函数的定义域
类型二 抽象函数的单调性
类型三 抽象函数的奇偶性及对称性
◆
练习册
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答案核查【练】
类型一 抽象函数的定义域
1.若函数的定义域为，则不等式 的
解集即为函数 的定义域.
2.函数的定义域为 ，则函数
的值域即为函数 的定义域.
例1（1）已知函数的定义域为，则函数 的定义
域为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为函数的定义域为，所以函数 中的
必须满足，解得 ，故函数
的定义域为 .故选B.
√
（2）若函数的定义域为，则函数 的定义域为
_______.
[解析] 函数的定义域为， ，则
，， 函数的定义域为 .
变式（1）已知函数的定义域为，则函数 的定
义域为_______.
[解析] 因为函数的定义域为，即 ，可得
，所以函数的定义域为.
对于函数 ，有，解得，所以函数
的定义域为 .
（2）［2025·山东青岛二中高一期中］已知函数 的定义域为
，则函数 的定义域为______.
[解析] 因为函数的定义域为，所以要使函数 有意义，
必须解得，则函数 的定义域为
.
类型二 抽象函数的单调性
根据所给抽象函数所具有的性质，利用函数单调性的定义判断
该函数的单调性.
例2 ［2025·湖南衡阳高一期末］已知定义在的函数 ，对
任意的,，都有，且当
时， .
（1）证明：当时， ；
证明：在 中，
令，得，所以 .
令，得，所以 ，
当时，，，所以 .
例2 ［2025·湖南衡阳高一期末］已知定义在的函数 ，对
任意的,，都有，且当
时， .
（2）判断函数 的单调性并加以证明；
解：在 上是减函数.证明如下：
任取,且，因此有， ，所以
，即，所以在 上是减函数.
例2 ［2025·湖南衡阳高一期末］已知定义在的函数 ，对
任意的,，都有，且当
时， .
（3）如果对任意的,, 恒成立，
求实数 的取值范围.
解：由的定义域得，由 得
，
由（2）知函数是在上的减函数，所以 ，
所以对任意， 恒成立.
又，当且仅当时等号成立，所以，所以
的取值范围是 .
变式 ［2025·江西宜丰中学高一质检］ 已知函数 满足对任意的
，，都有，且当 时，
.
（1）求的值，并证明 是奇函数；
解：已知函数满足对任意的， ，都有
，
令，则，所以 .
令,，则 ，所
以，所以 是奇函数.
变式 ［2025·江西宜丰中学高一质检］ 已知函数 满足对任意的
，，都有，且当 时，
.
（2）判断在 上的单调性并证明；
解：在 上单调递增.
证明如下：设，且 ，则
，
又，所以 ，所以，所以，即 ，所以在 上单调递增.
变式 ［2025·江西宜丰中学高一质检］ 已知函数 满足对任意的
，，都有，且当 时，
.
（3）若关于的不等式 对任意的
恒成立，求 的取值范围.
解：关于的不等式对任意的 恒
成立，即关于的不等式 对任意的
恒成立，
由（2）可知在上单调递增，所以对任意的 ，
恒成立.
令， ，
当，即时，在 上单调递增，
所以，解得 ；
当，即时，在上单调递减，在
上单调递增，所以 ，
不符合题意；
当，即时，在 上单调递减，
所以，解得 ，与
矛盾，不符合题意.
综上，的取值范围是 .
类型三 抽象函数的奇偶性及对称性
1.根据所给抽象函数的性质结合函数奇偶性定义判断所给函数的奇偶
性；奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 轴对称.
2.若函数的定义域内任意实数都满足 或
，则函数的图象关于直线 对称；
若函数的定义域内任意实数都满足
或，则函数的图象关于点
对称.
根据所给抽象函数的性质结合函数对称性的定义判断该函数的对称性.
例3（1）［2025·广东佛山高一期末］已知定义在上的函数 满
足，且当时，，则 是
( )
A.奇函数，在 上单调递增
B.奇函数，在 上单调递减
C.偶函数，在 上单调递增
D.偶函数，在 上单调递减
√
[解析] 因为，所以 ，解得
或或
当时，令， ，则，不满足题意；
当时，令 ，，则,不满足题意；
所以.
令 ，则，得，则函数
为奇函数.
设,，且，得 ，则，
，
因为 ，所以，而，
所以 ，得，则，
故函数在 上单调递增.故选A.
（2）［2025·吉林德惠五校高一期末］定义在 上的
函数满足，当时， .
①求 的值；
解：令，则，解得 .
②判断 的奇偶性，并说明理由；
解： 为偶函数，理由如下：
令，则，所以 ，
令，则，故 为偶函数.
（2）［2025·吉林德惠五校高一期末］定义在 上的
函数满足，当时， .
③证明：在 上单调递减.
证明：令，则，故 ，
因为 ，
所以 ，即，
故在 上单调递减.
变式 ［2025·甘肃兰州新区一中高一期末］ 已知函数 对于任意
的,，都有，当时， ，且
.
（1）判断并证明函数 的奇偶性；
解：为奇函数.证明如下：
因为对任意的, ，都有，
所以令 ，得，即 ；
令，得 ，即，
所以 为奇函数.
变式 ［2025·甘肃兰州新区一中高一期末］ 已知函数 对于任意
的,，都有，当时， ，且
.
（2）当时，求函数 的最大值和最小值.
解：设，则 ，
，即
，
又当时，，所以 ，
即，所以 为减函数.
所以当时，的最大值为，最小值为 .
因为，，
所以 ， ，
， ，
故当时， , .
练习册
1.已知函数的定义域为， 为奇函数，
，则( )
A. B. C. D.
[解析] 因为为奇函数，所以 ，所
以的图象关于点对称， .
因为，
所以，则 .故选B.
√
2.［2025·湖北天门陆羽高中高一月考］已知函数 的定义域为
，则函数 的定义域为( )
A. B. C. D.
[解析] 对于函数，有，可得，故函数
的定义域为，
对于函数，有 ，解得，故函数
的定义域为 .故选B.
√
3.已知函数是偶函数，且，则
( )
A. B.4 C.5 D.6
[解析] 根据题意，设,由于 为偶函数，则
，即，可得 .故选D.
√
4.［2025·湖北十堰高一期末］已知函数的定义域为 ，对任意实
数，都有，在 上单调递增，则
不等式 的解集为( )
A. B. C. D.
[解析] 对任意实数，都有， 函数 的
图象关于直线对称，
又在上单调递增， 不等式可化为
，，解得，
不等式 的解集为 .故选A.
√
5.已知定义在上的奇函数满足，则
( )
A. B.0 C.1 D.2
[解析] 定义在上的奇函数满足 ，则
，所以 ，则
.故选B.
√
6.［2025·山东菏泽一中高一期末］已知函数
是增函数，且满足， ，
则 的值为( )
A.7 B.8 C.9 D.12
[解析] 因为，，所以 ，所以
，所以，所以，所以 ，所
以，
因为函数 是增函数，所以
,所以， .故选A.
√
7.已知函数的定义域为，则函数 的定义域为
________.
[解析] 由题意可知解得 ，所以函数的定
义域为 .
8.已知函数的定义域是且,当
时，，且 ，则满足不等式
的 的取值范围为______.
[解析] 令，，则 ，所以
.
任取,，且，则 ，
因为当时，，所以,又 ,所以
,所以,因此是 上
的减函数.
不等式，即 ,则解得
,则的取值范围为 .
9.（13分）设是定义域为的单调函数，对任意, ,都有
, .
（1）求与 的值；
解：在等式 中，
令，可得，解得 ；
令，可得，解得 .
（2）讨论函数 的奇偶性.
解：因为函数的定义域为，令 ，可得
，所以 ，
所以函数 为奇函数.
10.（13分）已知定义在上的函数 满足下列两个条件：
①对任意，,都有；②对任意 ,
且，都有 .
请解答下列问题：
（1）求 的值；
解：令，得， .
10.（13分）已知定义在上的函数 满足下列两个条件：
①对任意，,都有；②对任意 ,
且，都有 .
请解答下列问题：
（2）判断 的奇偶性及在定义域内的单调性并证明.
解：是奇函数，在 上单调递减.
证明如下：令，得 ，
， 是奇函数.
下面证明 的单调性：
任取，且 ，则
，
，，且 ，
则 ，
而，则，即 ，
在 上单调递减.
11.已知函数的定义域为，若 ，
且，则函数 的图象的对称轴为直线( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题设可得
，令
，则 ，且
，令，则，可得 ，显然
，排除A；
令 ，则，可得，
显然 ，排除B；
令，则，显然 ，排除C.
故选D.
12.（多选题）已知定义域为的函数在 上单调递增，
且 为偶函数，则( )
A.的图象关于直线 对称
B.在 上单调递增
C.
D.
√
√
[解析] 对于A，因为函数为偶函数，所以函数 的图
象关于直线对称，所以函数的图象关于直线 对称，
故A正确；
对于B，因为函数在上单调递增且函数 的图象关于
直线对称，所以函数在 上单调递减故B错误；
对于C，因为函数的图象关于直线 对称，且函数在
上单调递增，所以 ，故C错误；
对于D，因为，且函数在 上单调递减，
，所以 ，即，
故D正确.故选 .
13.（多选题）［2025·福建厦门科技中学高一月考］ 已知函数
满足：对任意实数, 都有
，且， ，则
( )
A.
B. 是偶函数
C.
D.
√
√
√
[解析] 对于A，令，可得，又 ，
所以，故A错误；
对于B，令 ，得，即，
所以 为偶函数，故B正确；
对于C，令，得 ，故，
令，得 ，即
，故C正确；
对于D，因为 为偶函数，所以
，由C选项得 ，所以
，即，上式中，令 ，
4，6， ，2024，得，， ，
，所以
，故D正确.故选
.
14.［2025·贵州遵义期末］已知定义在 上的函数
满足，且当时， ，则不
等式 的解集为_____________.
[解析] 令，则，即 ，
令，则，则 ，
令，则，
又 的定义域为，所以 为偶函数.
设对任意,，且，则，所以 ，故
，即 ，
故在 上单调递增，
则 ，所以
，则有解得且 ，
故原不等式的解集为 .
15.（多选题）［2025·河南豫东名校高一期末］ 已知是定义在
上的不恒为零的函数，对于任意的, ，都有
，则下列说法正确的是( )
A.
B. 是偶函数
C.若，则
D.若当时，，则在 上单调递增
√
√
√
[解析] 因为，所以令，得 ，
故A正确.
令，得，所以 ；令，
得，所以 ；令，得
，又 ，所以，又因为定义域
为，所以函数 是奇函数，故B错误.
令，得 ；令，，
得 ，所以，故C正确.
当, 时，由，可得，
又 ，所以，任取 ，所以
，
又，所以， ，故，
所以在 上单调递增，故D正确.故选 .
16.（15分）［2025·江西分宜中学高一月考］ 已知定义域为
的函数满足对任意, ，都有
，且当时， .
（1）求 的值；
解：对任意,，都有 ，
令，可得，所以 .
16.（15分）［2025·江西分宜中学高一月考］ 已知定义域为
的函数满足对任意, ，都有
，且当时， .
（2）用单调性定义证明： 在定义域上是增函数；
证明：对任意,，且 ，都有
，
因为 ，所以，，
所以 .
又因为 ，
所以.
又当时， ，所以，即
，所以 在定义域上是增函数.
16.（15分）［2025·江西分宜中学高一月考］ 已知定义域为
的函数满足对任意, ，都有
，且当时， .
（3）若，求不等式 的解集.
解：因为函数的定义域为，所以 解得
.
由，得等价于 ，
又，所以 .
由（2）可知， 在定义域上是增函数，所以可得，
又，所以可得 ，故不等式的解集为 .
快速核答案（导学案）
类型一 例1 （1）B （2） 变式 （1） （2）
类型二 例2 （1）证明略（2）在上是减函数.证明略（3）
变式 （1）.证明略（2）在上单调递增.证明略（3）
类型三 例3 （1）A （2）① ②为偶函数，理由略 ③证明略
变式 （1）为奇函数.证明略（2） m>,
练习册
基础巩固
1.B 2.B 3.D 4.A 5.B 6.A 7. 8.
9.（1），（2）函数为奇函数
10.（1） （2）是奇函数，在上单调递减.证明略
综合提升
11.D 12.AD 13.BCD 14.
思维探索
15.ACD
16.（1） （2）证明略（3）
