本章总结提升
【素养提升】
题型一
例1 (1)C (2)B (3)D [解析] (1)因为函数f(x)的定义域为(0,2),所以f(x-3)中的自变量x满足0(2)若a≥0,则f(a)=2a-1=3,解得a=2;若a<0,则f(a)=a2+4a+3=3,解得a=-4或a=0(舍去).综上所述,a=2或a=-4.故选B.
(3)对于A,y=x2-2x+1=(x-1)2在[0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,值域为[0,+∞),A错误;对于B,y==1-在(-∞,-1)上单调递增,值域为(1,+∞),B错误;对于C,当x>0时,y==≤=1,当且仅当x=,即x=1时取等号,结合对勾函数性质知,y=(x>0)的值域为(0,1],C错误;对于D,y=x-+1在[1,+∞)上单调递增,故值域为[1,+∞),D正确.故选D.
变式 (1)A (2)ACD [解析] (1)当x≥1时,f(x)=x2≥1,当x<1时,f(x)=(1-2m)x+3m,要使f(x)的值域为R,则需解得0≤m<,所以m的取值范围是.故选A.
(2)对于A选项,由题意得解得x≥-2,且x≠4,则f(x)的定义域为[-2,4)∪(4,+∞),故A正确;对于B选项,f(x)=的定义域为{x|x≠0},g(x)=x的定义域为R,两者的定义域不同,不是同一个函数,故B错误;对于C选项,因为x2≥0,所以x2+3≥3,则0<≤,则函数y=的值域为,故C正确;对于D选项,令t=,可得x=(t≠1),所以f(t)=(t-1)2-2=t2-2t-1(t≠1),因此f(x)的解析式为f(x)=x2-2x-1(x≠1),故D正确.故选ACD.
题型二
例2 解:(1)由题意可得f(0)==0,即b=0,
又f(-1)==-,所以a=1,
则f(x)=,此时有f(-x)==-f(x),满足f(x)的图象关于原点对称,故f(x)=,x∈(-2,2).
(2)f(x)在(-2,2)上单调递增.证明如下:
设-20,x1-x2<0,(4-)(4-)>0,
则f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)(3)由题意可得f(x)为奇函数,所以f(2x+1)>-f(x-2)=f(2-x),
又f(x)在(-2,2)上单调递增,所以解得变式 (1)B (2)C (3)D (4)A [解析] (1)∵f(-3)=-27a-3b-1=1,∴27a+3b=-2,∴f(3)=27a+3b-1=-2-1=-3.故选B.
(2)由题意可得2x2-x-3≥0,即(2x-3)(x+1)≥0,解得x≤-1或x≥.令t=2x2-x-3,则y=f(x)即y=.因为t=2x2-x-3在(-∞,-1]上单调递减,在上单调递增,y=在定义域内单调递增,所以f(x)=在(-∞,-1]上单调递减,在上单调递增.故选C.
(3)分段函数f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,需满足解得1≤a<3.故选D.
(4)因为f(x)是偶函数且在(0,+∞)上单调递减,所以函数在(-∞,0)上单调递增.因为f(-3)=0,所以f(3)=0.不等式xf(x)<0等价于或解得x>3或-33}.故选A.
题型三
例3 (1)C (2)ABD [解析] (1)不妨令00,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)0时,不等式xf(-x)>0等价于f(-x)>0,等价于-f(x)>0,等价于f(x)<0,等价于f(x)0等价于f(-x)<0,等价于-f(x)<0,等价于f(x)>0,等价于f(x)>f(-5),解得-50的解集为(-5,0)∪(0,5).故选C.
(2)对于A,令x=y=0,得f(0)=0,故A正确.对于B,令x=y,则由选项A得f(2x)=2f(x),用2x替换x,可得f(22x)=2f(2x)=22f(x),同理可得f(23x)=2f(22x)=23f(x),据此类推可得f(2nx)=2nf(x)(n∈N+),所以f(22025)=22025f(1),故B正确.对于C,由选项B得f(2x)=2f(x),所以f(x)=2x也满足题意,不一定是f(x)=x,故C错误.对于D,令x=0,得f(y)-f(-y)=2f(y),即f(y)=-f(-y),所以函数f(x)满足f(x)=-f(-x),即函数f(x)是奇函数,令x1=x+y,x2=x-y,则y=,则f(x1)-f(x2)=2f.当x1>x2时,>0,因为当x>0时,f(x)>0,所以f>0,即f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以f(x)是增函数,f(x)没有最小值;当x10时,f(x)>0且函数f(x)是奇函数,所以f=-f<0,即f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)变式 (1)B (2)B [解析] (1)∵当x2>x1>1时,[f(x2)-f(x1)]·(x2-x1)<0恒成立,∴f(x)在(1,+∞)上单调递减,又f(x)的图象关于直线x=1对称,∴f(x)在(-∞,1)
上单调递增.∵a=f=f,1<2<<3,∴f(2)>f>f(3),即b>a>c.故选B.
(2)因为函数g(x)=(x-2)f(x)的图象关于点(2,0)对称,所以函数g(x+2)=(x+2-2)f(x+2)=xf(x+2)为奇函数,所以g(-x+2)=-g(x+2),即-xf(-x+2)=-xf(2+x),可得f(2-x)=f(2+x).令x=1,则f(3)=f(1),由g(-1)=(-1-2)f(-1)=3,可得f(-1)=-1,因为f(x)为R上的偶函数,所以f(-1)=f(1),可得f(3)=f(1)=f(-1)=-1.故选B.
题型四
例4 解:(1)当x>0时,f(x)=x(x-4)=x2-4x.
当x<0时,-x>0,则f(-x)=(-x)2-4(-x)=x2+4x,因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-x2-4x,
又f(0)=0,符合上式,所以函数f(x)在R上的解析式为f(x)=
(2)根据函数f(x)的解析式,作出函数f(x)的图象如图所示,由图可知,函数f(x)的增区间为(-∞,-2)和(2,+∞),减区间为(-2,2).
(3)函数f(x)在区间[t,t+2]上单调递增,
根据图象可知,t≥2或t+2≤-2,解得t≥2或t≤-4,所以实数t的取值范围为(-∞,-4]∪[2,+∞).
变式 (1)A (2)BD [解析] (1)当x≤0时,f(x)=x2+4x+3在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,0]上单调递增,所以f(x)在(-∞,0]上的最小值为f(-2)=-1,且f(0)=3;当x>0时,f(x)=-2x2+4x-1在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以f(x)在(0,+∞)上的最大值为f(1)=1.作出函数f(x)的图象如图所示.由图可知,若关于x的方程f(x)-a=0有两个不同的实数根,则实数a的取值范围为(1,3]∪{-1}.故选A.
(2)由题图象可知,函数f(x)的最大值大于2,最小值小于-2,所以A错误;由题图象可知,函数f(x)的减区间为[-1,1],所以B正确;由题图象可知,f(x)的图象与x轴有3个交点,所以C错误;当a=1时,有f(a)+f(-a)=f(1)+f(-1)=-2+2=0,所以D正确.故选BD.本章总结提升
◆ 题型一 函数的概念
[类型总述] (1)函数的定义域;(2)函数的值域;(3)求函数值;(4)求函数解析式.
例1 (1)[2025·河北石家庄一中高一期中] 已知函数f(x)的定义域为(0,2),则函数g(x)=的定义域为 ( )
A.(3,+∞) B.{2,4}
C.(4,5) D.[4,5]
(2)已知函数f(x)=若f(a)=3,则a= ( )
A.2 B.-4或2
C.0或2 D.-4或0或2
(3)下列函数中,值域为[1,+∞)的是 ( )
A.y=x2-2x+1(x≥0)
B.y=(x<-1)
C.y=(x>0)
D.y=x-+1(x≥1)
变式 (1)已知函数f(x)=的值域为R,则m的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
(2)(多选题)[2025·福建漳州乙丙校联盟高一期中] 下列说法正确的是 ( )
A.若f(x)=+,则f(x)的定义域为[-2,4)∪(4,+∞)
B.f(x)=和g(x)=x表示同一个函数
C.函数y=的值域为
D.已知函数f=-2,则f(x)=x2-2x-1(x≠1)
◆ 题型二 函数的单调性与奇偶性
[类型总述] (1)函数单调性的判断与证明;(2)利用函数单调性求最值;(3)利用函数单调性求参数;(4)利用函数奇偶性求参数;(5)函数单调性与奇偶性的综合应用.
例2 [2025·江西南昌二中高一月考] 已知定义在(-2,2)上的函数f(x)=的图象关于原点对称,且f(-1)=-.
(1)求f(x)的解析式;
(2)判断并用定义证明f(x)的单调性;
(3)解不等式f(2x+1)+f(x-2)>0.
变式 (1)[2025·江苏无锡太湖高级中学高一期中] 设函数f(x)=ax3+bx-1,且f(-3)=1,则f(3)等于 ( )
A.-5 B.-3
C.3 D.5
(2)函数f(x)=的增区间为 ( )
A. B.(-∞,-1]
C. D.
(3)若f(x)=在(-∞,+∞)上是减函数,则 ( )
A.0≤a≤3 B.0≤a<3
C.1≤a≤3 D.1≤a<3
(4)[2025·江苏天一中学高一期中] 若f(x)是偶函数且在(0,+∞)上单调递减,f(-3)=0,则不等式xf(x)<0的解集为 ( )
A.{x|-33}
B.{x|0C.{x|x>3或x<-3}
D.{x|-3◆ 题型三 抽象函数的性质
[类型总述] 利用抽象函数的性质求值、解不等式、比较大小.
例3 (1)定义在R上的奇函数f(x)满足f(5)=0,且对任意不相等的正实数x1,x2都有[f(x1)-f(x2)](x1-x2)>0,则不等式x·f(-x)>0的解集为 ( )
A.(-∞,-5)∪(0,5)
B.(-∞,-5)∪(5,+∞)
C.(-5,0)∪(0,5)
D.(-5,0)∪(5,+∞)
(2)(多选题)已知函数f(x)的定义域为R,f(x+y)-f(x-y)=2f(y),且当x>0时,f(x)>0,则 ( )
A.f(0)=0 B.f(22025)=22025f(1)
C.f(x)=x D.f(x)没有最小值
变式 (1)[2025·北京海淀区高一期中] 已知函数f(x)的图象关于直线x=1对称,当x2>x1>1时,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0恒成立.设a=f,b=f(2),c=f(3),则a,b,c的大小关系为 ( )
A.c>a>b B.b>a>c
C.a>c>b D.c>b>a
(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,函数g(x)=(x-2)f(x)的图象关于点(2,0)对称,若g(-1)=3,则f(3)= ( )
A.-3 B.-1 C.0 D.1
◆ 题型四 函数图象及应用
[类型总述] (1)作函数图象;(2)利用函数图象求单调区间;(3)利用函数图象求最值;(4)函数图象的综合应用.
例4 已知定义在R上的奇函数f(x),当x>0时,f(x)=x(x-4).
(1)求函数f(x)在R上的解析式;
(2)在坐标系中作出函数f(x)的图象,并根据图象写出函数的单调区间;
(3)若函数f(x)在区间[t,t+2]上单调递增,求实数t的取值范围.
变式 (1)已知函数f(x)=
若关于x的方程f(x)-a=0有两个不同的实数根,则实数a的取值范围是 ( )
A.(1,3]∪{-1} B.(1,3)∪{-1}
C.(1,3) D.(1,3]
(2)(多选题)已知定义在[-3,3]上的函数f(x)的图象如图所示,则下列说法正确的是 ( )
A.函数f(x)的值域为[-2,2]
B.函数f(x)的减区间为[-1,1]
C.函数f(x)的图象与x轴有2个交点
D.存在实数a,使得f(a)+f(-a)=0(共36张PPT)
本章总结提升
题型一 函数的概念
题型二 函数的单调性与奇偶性
题型三 抽象函数的性质
题型四 函数图象及应用
答案核查
题型一 函数的概念
［类型总述］（1）函数的定义域；（2）函数的值域；（3）求函数
值；（4）求函数解析式.
例1（1）［2025·河北石家庄一中高一期中］已知函数 的定义域
为，则函数 的定义域为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为函数的定义域为，所以中的自变量 满
足，即，
又函数 有意义，所以解得所以
函数的定义域为 .故选C.
√
（2）已知函数若，则 ( )
A.2 B.或2 C.0或2 D. 或0或2
[解析] 若，则，解得；
若 ，则，解得或 （舍去）.
综上所述，或 .故选B.
√
（3）下列函数中，值域为 的是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 对于A，在 上单调递减，在
上单调递增，值域为 ，A错误；
对于B，在上单调递增，值域为 ，
B错误；
对于C，当时，，当且仅当 ，
即时取等号，结合对勾函数性质知， 的值域为
，C错误；
对于D，在 上单调递增，故值域为 ，
D正确.故选D.
变式（1）已知函数的值域为,则
的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 当时,,当时, ,
要使的值域为,则需解得 ,所
以的取值范围是 .故选A.
√
（2）（多选题）［2025· 福建漳州乙丙校联盟高一期中］ 下列说
法正确的是( )
A.若，则的定义域为
B.和 表示同一个函数
C.函数的值域为
D.已知函数，则
√
√
√
[解析] 对于A选项，由题意得解得，且 ，则
的定义域为 ，故A正确；
对于B选项，的定义域为，的定义域为 ，
两者的定义域不同，不是同一个函数，故B错误；
对于C选项，因为 ，所以，则，则函数
的值域为 ，故C正确；
对于D选项，令，可得 ，所
以，因此 的解析式为
，故D正确.故选 .
题型二 函数的单调性与奇偶性
［类型总述］（1）函数单调性的判断与证明;（2）利用函数单调性
求最值;（3）利用函数单调性求参数;（4）利用函数奇偶性求参数;
（5）函数单调性与奇偶性的综合应用.
例2 ［2025·江西南昌二中高一月考］已知定义在 上的函数
的图象关于原点对称，且 .
（1）求 的解析式；
解：由题意可得，即 ，
又，所以 ，
则，此时有，满足 的图象关
于原点对称，故， .
例2 ［2025·江西南昌二中高一月考］已知定义在 上的函数
的图象关于原点对称，且 .
（2）判断并用定义证明 的单调性；
解：在 上单调递增.证明如下：
设 ，则
，
由 ，得，， ，则，即，故在 上单调递增.
例2 ［2025·江西南昌二中高一月考］已知定义在 上的函数
的图象关于原点对称，且 .
（3）解不等式 .
解：由题意可得 为奇函数，所以
，
又在上单调递增，所以解得 ，
故不等式的解集为 .
变式（1）［2025·江苏无锡太湖高级中学高一期中］设函数
，且，则 等于( )
A. B. C.3 D.5
[解析] ， ，
.故选B.
√
（2）函数 的增区间为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意可得，即 ，解得
或.
令，则 即.
因为在上单调递减，在 上单
调递增，在定义域内单调递增，所以 在
上单调递减，在 上单调递增.故选C.
√
（3）若在 上是减函数，则
( )
A. B. C. D.
[解析] 分段函数在 上是减函数，需满足
解得 .故选D.
√
（4）［2025·江苏天一中学高一期中］若是偶函数且在
上单调递减，，则不等式 的解集为( )
A.或 B.或
C.或 D.或
[解析] 因为是偶函数且在 上单调递减，所以函数在
上单调递增.
因为，所以.
不等式 等价于或解得或
，所以不等式的解集为或 .
故选A.
√
题型三 抽象函数的性质
［类型总述］ 利用抽象函数的性质求值、解不等式、比较大小.
例3（1）定义在上的奇函数满足 ，且对任意不相等的
正实数，都有 ，则不等式
的解集为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 不妨令，则 ，因为
，所以 ，即
，所以在上单调递增.
又为定义在 上的奇函数，所以在上单调递增，且
，又，所以.
①当 时，不等式等价于，等价于，
等价于 ，等价于，解得；
②当 时，不等式等价于，等价于，
等价于 ，等价于，解得 .
综上可得，不等式的解集为 .故选C.
（2）（多选题）已知函数的定义域为 ，
，且当时， ，则
( )
A. B.
C. D. 没有最小值
√
√
√
[解析] 对于A，令，得 ，故A正确.
对于B，令，则由选项A得，用替换 ，可得
，同理可得 ，
据此类推可得，所以 ，
故B正确.
对于C，由选项B得，所以 也满足题意，不一
定是，故C错误.
对于D，令 ，得，即，
所以函数 满足，即函数是奇函数，
令， ，
则，则.当时， ，
因为当时，，所以，即 ，
即，所以是增函数，没有最小值；当
时，，因为当时，且函数 是奇函数，所
以，即 ，即
，所以是增函数， 没有最小值，故D正确.故
选 .
变式（1）［2025·北京海淀区高一期中］已知函数 的图象关于
直线对称，当时， 恒
成立.设,,，则，， 的大小关系为
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 当时， 恒成立，
在上单调递减，
又的图象关于直线 对称，在 上单调递增.
， ，，
即 .故选B.
（2）已知函数是定义在上的偶函数，函数
的图象关于点对称，若，则 ( )
A. B. C.0 D.1
[解析] 因为函数的图象关于点 对称，所以函
数 为奇函数，所以
，即 ，可得
.
令，则 ，由，可得
，
因为为 上的偶函数，所以，可得
.故选B.
√
题型四 函数图象及应用
［类型总述］（1）作函数图象;（2）利用函数图象求单调区间;（3）
利用函数图象求最值;（4）函数图象的综合应用.
例4 已知定义在上的奇函数，当
时， .
（1）求函数在 上的解析式；
解：当时， .
当时， ，则
，
因为函数是定义在上的奇函数，所以 ，
又，符合上式，所以函数在 上
的解析式为
例4 已知定义在上的奇函数，当时， .
（2）在坐标系中作出函数 的图象，并根据图象写出函数的单调
区间；
解：根据函数的解析式，作出函数 的图象如图所示，
由图可知，函数的增区间为和，减区间为 .
例4 已知定义在上的奇函数，当
时， .
（3）若函数在区间 上单调递增，
求实数 的取值范围.
解：函数在区间 上单调递增，
根据图象可知，或 ，解得
或，所以实数的取值范围为
.
变式（1）已知函数
若关于的方程有两个不同的实数根，则实数 的取值范
围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 当时， 在
上单调递减，在 上单调递增，所以
在上的最小值为 ，且
；
当时， 在上单调递增，在上
单调递减，所以在 上的最大值为.
作出函数 的图象如图所示.
由图可知，若关于的方程有两个不同的实数根，则实数
的取值范围为 .故选A.
（2）（多选题）已知定义在上的函数
的图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A.函数的值域为
B.函数的减区间为
C.函数的图象与 轴有2个交点
D.存在实数，使得
√
√
[解析] 由题图象可知，函数 的最大值
大于2，最小值小于 ，所以A错误；
由题图象可知，函数的减区间为
，所以B正确；
由题图象可知， 的图象与轴有3个
交点，所以C错误；
当 时，有，
所以D正确.故选 .
快速核答案
题型一 例1 （1）C （2）B （3）D 变式 （1）A （2）ACD
题型二 例2 （1），（2）在上单调递增.证明略
（3） 不等式的解集为
变式 （1）B （2）C （3）D （4）A
题型三 例3 （1）C （2）ABD 变式 （1）B （2）B
题型四 例4 （1）
（2）图略，函数的增区间为和，减区间为.
（3）
变式 （1）A （2）BD
