滚动习题(五)
1.B [解析] 将x的取值逐一代入f(x)的解析式,可得f(x)的值域是{0,1,2},故选B.
2.B [解析] ①中当x>0时,每一个x的值对应两个不同的y值,因此不是函数图象,②中当x=x0时,y的值有两个,因此不是函数图象,③④中每一个x的值对应唯一的y值,因此是函数图象.故选B.
3.B [解析] 令≥0,得x-2≥0,解得x≥2,所以f(x)的定义域为[2,+∞),故选B.
4.D [解析] 设x>0,则-x<0,所以f(-x)=x2-x=-f(x),所以f(x)=-x2+x,又当x>0时,f(x)=ax2-bx,所以a=-1,b=-1,故a+b=-2,故选D.
5.C [解析] 当x=0时,y==0,则函数y=的图象过原点,排除B;当x<0时,函数y====1+,将函数y=(x<-1)的图象向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数y=(x<0)的图象,排除A;当06.A [解析] 因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以<0可转化为<0.因为f(1)=0,且f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以当x∈(0,1)时,f(x)<0,当x∈(1,+∞)时,f(x)>0,由奇函数的性质可得,当x∈(-1,0)时,f(x)>0,当x∈(-∞,-1)时,f(x)<0.由<0,可知x与f(x)不为0且异号,所以<0的解集为(-1,0)∪(0,1).故选A.
7.ABD [解析] 对于A,f(x)的定义域为{x|x≠0},g(x)的定义域为R,两函数的定义域不同,故A符合题意;对于B,f(x)和g(x)的定义域都为R,但f(x)==|x|,g(x)==x,两函数的对应关系不同,故B符合题意;对于C,f(x)和g(x)的定义域都为R,且f(x)==|x+3|=g(x),即两函数的定义域和对应关系都相同,故C不符合题意;对于D,f(x)的定义域为(-∞,-1]∪[1,+∞),g(x)的定义域为[1,+∞),两函数的定义域不同,故D符合题意.故选ABD.
8.ABD [解析] 因为g(x)-f(x-6)=1,所以g(3-x)-f(-3-x)=1,又f(x)+g(3-x)=3,所以f(x)+f(-3-x)=2,故A正确;因为f(x)为偶函数,所以f(x)+f(x+3)=2,所以f(x+3)+f(x+6)=2,两式相减可得f(x+6)=f(x),即f(x-6)=f(x),又g(x)=f(x-6)+1,g(x+6)=f(x)+1,所以g(x+6)=g(x),故B正确;因为g(24)=g(6),g(x)-f(x-6)=1,所以g(6)-f(0)=1,所以g(6)=1+f(0)=-1,所以g(24)=-1,故C错误;因为g(x)-f(x-6)=1,所以g(x)=f(x-6)+1=f(x)+1,所以g(1)+g(2)+…+g(18)=f(1)+f(2)+…+f(18)+18,又f(x)+f(x+3)=2,所以f(1)+f(4)=2,f(2)+f(5)=2,f(3)+f(6)=2,即f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=6,又f(x+6)=f(x),所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(18)=3×6=18,所以g(1)+g(2)+g(3)+…+g(18)=36,故D正确.故选ABD.
9.1 [解析] 由题意可得f(4)=f(6)=6-5=1.
10. [解析] f(x)在R上是增函数,需满足a=0或故-≤a≤0.
11. [解析] ∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x)=f(|x|),∴不等式f(1-m)解得-1≤m<.
12.解:(1)由x-1≠0,得x≠1,∴f(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞).由f(x)===2+≠2,得f(x)的值域为(-∞,2)∪(2,+∞).
f(x)的图象可由y=的图象向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度得到,∵y=的减区间为(-∞,0)和(0,+∞),∴f(x)的减区间为(-∞,1)和(1,+∞).
(2)证明:g(x)=,设x1,x2为区间(0,1)上的任意两个数,且x1==,
∵0∴g(x1)-g(x2)>0,即g(x1)>g(x2).
故函数g(x)=xf(x)在区间(0,1)上单调递减.
13.解:(1)因为函数f(x)=是定义在(-1,1)上的奇函数,所以f(0)==0,得b=0.
故f(x)=.
(2)证明:设x1,x2是区间(-1,1)上的任意两个数,且x1-,又-10,(-1)(-1)>0,则有f(x1)-f(x2)>0,即函数f(x)在(-1,1)上单调递减.
(3)由f(t-1)+f(t)<0,得f(t-1)<-f(t),
即f(t-1)解得14.解:(1)函数f(x)为R上的奇函数.证明如下:
函数f(x)的定义域为R,
令y=-1,则f(-x)=f(x)f(-1),
又f(-1)=-1,所以f(-x)=-f(x),
所以函数f(x)为R上的奇函数.
(2)f(x)在(0,+∞)上单调递增,证明如下:
由(1)知,f(1)=-f(-1)=1,当x>0时,f(1)=f=f()f=1≠0,所以f()≠0,从而f(x)=f(·)=[f()]2>0.
设x'2>x'1>0,则f(x'2)-f(x'1)=f(x'2)-f=f(x'2)-f(x'2)f=f(x'2),
因为x'2>x'1>0,所以f(x'2)>0,0<<1,
又当0所以f(x'2)-f(x'1)>0,所以f(x'2)>f(x'1),
故f(x)在(0,+∞)上单调递增.
(3)由(1)知,函数f(x)为R上的奇函数,所以f(0)=0.
由(2)知,当x>0时,f(x)>0,且f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)在R上单调递增.
所以当x∈[-1,1]时,函数f(x)的最大值为f(1)=1,最小值为f(-1)=-1,又对任意x1,x2∈[-1,1],总有2|f(x1)-f(x2)|≤m2-am-2成立,所以2[f(x)max-f(x)min]≤m2-am-2,即m2-am-6≥0,
由题意可知m2-am-6≥0对任意a∈[-1,5]恒成立,
令g(a)=-ma+m2-6,则g(a)min≥0,
所以解得m≤-3或m≥6,
故实数m的取值范围是(-∞,-3]∪[6,+∞).滚动习题(五)
(时间:45分钟 分值:100分)
一、单项选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
1.函数f(x)=|x|,x∈{-2,-1,0,1,2}的值域是 ( )
A.{1,2} B.{0,1,2}
C.{-1,0,1,2} D.{-2,-1,0,1}
2.如图①②③④所示的图象中函数图象的个数为 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
3.函数f(x)=的定义域为 ( )
A.(-1,2]
B.[2,+∞)
C.(-∞,-1)∪[1,+∞)
D.(-∞,-1)∪[2,+∞)
4.[2025·湖南衡阳八中高一月考] 已知函数f(x)=为奇函数,则a+b等于 ( )
A.-1 B.1
C.0 D.-2
5.函数y=的图象大致为 ( )
A B C D
6.[2025·江苏无锡期中] 已知奇函数f(x)满足f(1)=0,且f(x)在(0,+∞)上单调递增,则<0的解集是 ( )
A.(-1,0)∪(0,1)
B.(-1,1)
C.(-∞,-1)∪(1,+∞)
D.(-1,0)∪(1,+∞)
二、多项选择题(本大题共2小题,每小题6分,共12分)
7.下列各组中函数f(x)和g(x)表示的不是同一个函数的是 ( )
A.f(x)=,g(x)=x
B.f(x)=,g(x)=
C.f(x)=,g(x)=|x+3|
D.f(x)=,g(x)=
8.[2025·江苏常州高级中学高一月考] 已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)+g(3-x)=3,g(x)-f(x-6)=1,若f(x)为偶函数,且f(0)=-2,则 ( )
A.f(x)+f(-3-x)=2
B.g(x+6)=g(x)
C.g(24)=1
D.g(1)+g(2)+g(3)+…+g(18)=36
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
9.[2025·湖南长沙一中高一月考] 已知f(x)=则f(4)= .
10.已知函数f(x)=在R上是增函数,则实数a的取值范围是 .
11.设定义在[-2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,若f(1-m)四、解答题(本大题共3小题,共43分)
12.(13分)已知函数f(x)=.
(1)求f(x)的定义域、值域及单调区间;
(2)证明:函数g(x)=xf(x)在区间(0,1)上单调递减.
13.(15分)已知函数f(x)=是定义在(-1,1)上的奇函数.
(1)求f(x)的解析式;
(2)用定义证明f(x)在(-1,1)上单调递减;
(3)解不等式f(t-1)+f(t)<0.
14.(15分)[2025·江苏连云港期末] 已知定义在R上的函数f(x)满足对任意的实数x,y均有f(xy)=f(x)f(y),且f(-1)=-1,当0(1)判断并证明f(x)的奇偶性;
(2)判断并证明f(x)在(0,+∞)上的单调性;
(3)若对任意x1,x2∈[-1,1],a∈[-1,5],总有2|f(x1)-f(x2)|≤m2-am-2成立,求实数m的取值范围.(共28张PPT)
滚动习题（五）
范围
一、单项选择题（本大题共6小题,每小题5分,共30分）
1.函数,,,0,1, 的值域是( )
A.， B.，1，
C.，0，1， D.，，0，
[解析] 将的取值逐一代入的解析式，可得的值域是 ，
故选B.
√
2.如图①②③④所示的图象中函数图象的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] ①中当时，每一个的值对应两个不同的 值，因此不是
函数图象，
②中当时， 的值有两个，因此不是函数图象，
③④中每一个的值对应唯一的 值，因此是函数图象.故选B.
√
3.函数 的定义域为( )
A. B.
C. D.
[解析] 令,得,解得,所以 的定义域为
,故选B.
√
4.[ 湖南衡阳八中高一月考］已知函数
为奇函数，则 等于( )
A. B.1 C.0 D.
[解析] 设，则，所以 ，所以
，
又当时，，所以 ,，故 ，
故选D.
√
5.函数 的图象大致为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 当时，，则函数 的图象过原点，排
除B；
当时，函数 ，将函数
的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长
度，得到函数的图象，排除A；
当 时，函数，易知函数
在 上单调递增，排除D.故选C.
6.［2025·江苏无锡期中］已知奇函数满足，且 在
上单调递增，则 的解集是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 因为是奇函数，所以 ，所以
可转化为.
因为，且在 上单调递增，所以当时，
，当 时，，
由奇函数的性质可得，当时， ，当时，
.
由，可知与 不为0且异号，所以的解集为
.故选A.
二、多项选择题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
7.下列各组中函数和 表示的不是同一个函数的是( )
A.，
B.，
C.，
D.，
√
√
√
[解析] 对于A，的定义域为，的定义域为 ，两函
数的定义域不同，故A符合题意；
对于B，和 的定义域都为，但，
，两函数的对应关系不同，故B符合题意；
对于C，和的定义域都为 ，且
，即两函数的定义域和对应关系都相同，故C不符合题意；
对于D， 的定义域为，的定义域为 ，
两函数的定义域不同，故D符合题意.故选 .
8.［2025·江苏常州高级中学高一月考］已知函数， 的定义
域均为，且，，若 为
偶函数，且 ，则( )
A.
B.
C.
D.
√
√
√
[解析] 因为，所以 ，
又，所以 ，故A正确；
因为为偶函数，所以 ，所以
，两式相减可得 ，即
,又， ，所
以，故B正确；
因为 ，，所以 ，所以
，所以 ，故C错误；
因为，所以 ，所以
，又
，所以， ，
，即 ，
又 ，所以
，所以
，故D正确.故选 .
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
9.［2025·湖南长沙一中高一月考］已知 则
___.
1
[解析] 由题意可得 .
10.已知函数在上是增函数，则实数 的
取值范围是________.
[解析] 在上是增函数，需满足或 故
.
11.设定义在上的偶函数在区间 上单调递减，若
，则实数 的取值范围是_______.
[解析] 是偶函数，， 不等式
.
又在 上单调递减， 解得 .
四、解答题（本大题共3小题,共43分）
12.（13分）已知函数 .
（1）求 的定义域、值域及单调区间；
解：由,得,的定义域为 .
由,得 的值域为
.
的图象可由 的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个
单位长度得到，
的减区间为和， 的减区间为和
.
12.（13分）已知函数 .
（2）证明：函数在区间 上单调递减.
证明：，设，为区间 上的任意两个数，且
,则
，
,,, ,
, ,,
即 .故函数在区间 上单调递减.
13.（15分）已知函数是定义在 上的奇函数.
（1）求 的解析式；
解：因为函数是定义在 上的奇函数，所以
，得 .
故 .
13.（15分）已知函数是定义在 上的奇函数.
（2）用定义证明在 上单调递减；
证明：设,是区间上的任意两个数，且 ，则
，
又，所以 ，，
，则有 ，即函数在
上单调递减.
13.（15分）已知函数是定义在 上的奇函数.
（3）解不等式 ．
解：由，得 ，
即，则
解得，即原不等式的解集为 .
14.（15分）［2025·江苏连云港期末］ 已知定义在上的函数 满
足对任意的实数，均有，且 ，当
时， .
（1）判断并证明 的奇偶性；
解：函数为 上的奇函数.证明如下：
函数的定义域为 ，
令，则 ，
又，所以 ，
所以函数为 上的奇函数.
14.（15分）［2025·江苏连云港期末］ 已知定义在上的函数 满
足对任意的实数，均有，且 ，当
时， .
（2）判断并证明在 上的单调性；
解：在 上单调递增，证明如下：
由（1）知，，
当 时，，所以 ，
从而 .
设 ，则
，
因为，所以， ，
又当时，，所以 ，
所以，所以 ，
故在 上单调递增.
14.（15分）［2025·江苏连云港期末］ 已知定义在上的函数 满
足对任意的实数，均有，且 ，当
时， .
（3）若对任意，， ，总有
成立，求实数 的取值范围.
解：由（1）知，函数为上的奇函数，所以 .
由（2）知，当时，，且在 上单调递增，
所以在 上单调递增.
所以当时，函数的最大值为 ，最小值为
，
又对任意， ，总有 成立，
所以，即 ，
由题意可知对任意 恒成立，
令，则 ，
所以解得或 ，
故实数的取值范围是 .
快速核答案
1.B 2.B 3.B 4.D 5.C 6.A 7.ABD 8.ABD 9.1 10. 11.
12.（1）的定义域为， 的值域为.
的减区间为和（2）证明略
13.（1）（2）证明略（3）不等式的解集为
14.（1）函数为上的奇函数.证明略（2）在上单调递增，证明略
（3）
