2025-2026高中数学人教A版（2019）必修第一册第三章 3.2.2 奇偶性 同步练习（含解析）

高中数学人教A版（2019）必修第一册
第三章 3.2.2 奇偶性
一、单选题
1.（2025上海复旦大学附属中学月考）下列是关于奇函数与偶函数的叙述：
①奇函数、偶函数的定义域必关于原点对称；
②奇函数的图象必过原点；
③偶函数的图象必与轴相交；
④“函数满足”是“函数为偶函数”的充要条件；
⑤既是奇函数又是偶函数的函数只有一个：，
其中正确的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2.（2025山东滨州期中）下列函数既是偶函数，又在区间上单调递减的是（ ）
A. B. C. D.
3.（2025吉林四平期中）下列函数中为偶函数的是（ ）
A. B. C. D.
4.（2025北京第八十中学期中）若奇函数在区间上单调递增，且最小值为5，则它在区间上（ ）
A. 单调递增且有最大值-5 B. 单调递增且有最小值-5
C. 单调递减且有最大值-5 D. 单调递减且有最小值-5
5.（2024福建省泉州实验中学月考）若函数是上的奇函数，则下列结论不正确的是（ ）
A. B. C. D.
6.（2024吉林部分学校期末联考）奇函数在上单调递增，且，则满足的的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
7.（2025江西南昌联考）设函数是定义在上的奇函数，则下列结论中一定正确的是（ ）
A. 函数是奇函数 B. 函数是偶函数
C. 函数是奇函数 D. 函数是偶函数
8.（2025四川成都部分学校期中）函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其进行推广：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，则函数的图象的对称中心可能是（ ）
A. B. C. D.
9.（2024江苏盐城中学阶段练习）下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（ ）
A. B. C. D.
三、填空题
10.函数是定义在上的偶函数，则______
11.已知是定义域为的奇函数，当时，则______
12.（2024辽宁大连期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数的解析式为______
四、解答题
13.判断下列函数的奇偶性：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) 。
14.（2024山东德州一中阶段练习）函数是定义在上的奇函数，且
(1) 判断在上的单调性，并用定义证明；
(2) 解关于的不等式。
15.（2024江苏镇江扬中第二高级中学阶段练习）已知是定义在上的奇函数，满足，且当，时，有
(1) 判断函数的单调性，并给出证明；
(2) 解不等式；
(3) 若对所有，恒成立，求实数的取值范围。
一、单选题
1.答案：B
解析：①奇函数、偶函数的定义域必关于原点对称，这是函数具有奇偶性的前提条件，正确；②奇函数当有意义时，图象才过原点，比如是奇函数，但不过原点，错误；③偶函数的图象不一定与轴相交，如，，错误；④若（，），，满足是偶函数，但无意义，所以“函数满足”不是“函数为偶函数”的充要条件，错误；⑤既是奇函数又是偶函数的函数不唯一，只要，且定义域关于原点对称即可，错误。所以正确的只有①，共1个。
2.答案：C
解析：A选项，，定义域为，不关于原点对称，既不是奇函数也不是偶函数；B选项，，，是奇函数；C选项，，，是偶函数，且在上单调递减，则在上也单调递减；D选项，是偶函数，但在上单调递增。
3.答案：D
解析：A选项，，，是奇函数；B选项，，定义域为，不关于原点对称，既不是奇函数也不是偶函数；C选项，，定义域为，不关于原点对称，既不是奇函数也不是偶函数；D选项，，，是偶函数 。
4.答案：A
解析：奇函数的图象关于原点对称，若奇函数在区间上单调递增且最小值为5，那么它在对称区间上也单调递增，且在时取得最大值，。
5.答案：D
解析：A选项，因为是上的奇函数，所以，即，正确；B选项，若在处有定义，则，正确；C选项，，正确；D选项，当时，无意义，错误。
6.答案：B
解析：因为是奇函数，，所以。由可得，又因为在上单调递增，且奇函数在对称区间上单调性相同，所以在上单调递增，则，解得。
二、多选题
7.答案：AC
解析：A选项，设，，所以是奇函数，正确；B选项，设，且，所以既不是奇函数也不是偶函数，错误；C选项，设，，所以是奇函数，正确；D选项，设，，所以是奇函数，错误。
8.答案：ACD
解析：已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数。对于，令。A选项，若对称中心是，则，（时），当时，是奇函数，所以可能是对称中心；B选项，若对称中心是，则，，，所以不是对称中心；C选项，若对称中心是，则，，展开可得，，所以可能是对称中心；D选项，若对称中心是，则，，展开整理后可得，所以可能是对称中心 。
9.答案：BD
解析：A选项，，，且，既不是奇函数也不是偶函数；B选项，，，是偶函数，且在上单调递增；C选项，，，是奇函数；D选项，，，是偶函数，当时，单调递增，所以在上单调递增。
三、填空题
10.答案：
解析：因为是定义在上的偶函数，所以定义域关于原点对称，则，解得。又因为，即，可得，所以。
11.答案：2
解析：因为是定义域为的奇函数，所以。当时，，则，所以。
12.答案：
解析：因为是定义在上的奇函数，所以。当时，，则，又，所以。综上，。
四、解答题
13.解：
（1）由，得，即，定义域为，不关于原点对称，所以既不是奇函数也不是偶函数。
（2）由，得，即，定义域为，关于原点对称。此时，，所以且，既是奇函数又是偶函数。
（3）由，解得，解，即，，且，所以定义域为，关于原点对称。，，所以是奇函数。
（4）当时，，；当时，，，且定义域关于原点对称，所以是奇函数。
14.解：
（1）因为是定义在上的奇函数，所以，即，解得。又，则，解得，所以。
任取，且，。
因为，所以，，，，则，即，所以在上单调递增。
（2）因为是奇函数，所以可化为。又在上单调递增，则，解得，解得，所以不等式的解集为。
15. （1）函数在上单调递增。
证明：任取，且。
因为，所以。
又，则，，，所以，且，由于平方项恒非负，所以（当时取等号），实际上（因为，至少有一个不为）。
因此，即，所以在上单调递增。
（2）
因为是奇函数且在上单调递增，，所以。
根据单调性可得：
解第一个不等式：，即；
解第二个不等式：，即；
解第三个不等式：，即，。
综合以上三个不等式的解，取交集得。
所以实数的取值范围是。