(共63张PPT)
6.1 幂函数
探究点一 幂函数的概念
探究点二 幂函数的图象
探究点三 幂函数的性质及应用
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
能够通过给出的具体实例，得出幂函数的概念，能够结合五个
具体的幂函数,,,, 的图象，通过归纳，
抽象概括出五个幂函数的基本性质.
知识点一 幂函数的概念
一般地,我们把形如________的函数称为幂函数,其中是________,
是常数.
自变量
【诊断分析】
任意的一次函数和二次函数都是幂函数吗
解：不一定.
例如, 分别为一次函数和二次函数,
但它们都不是幂函数.
知识点二 幂函数的图象与性质
解析式
图象 _______________________ ______________________ ___________________ __________________ _____________________
定义域 __________ _________
解析式
值域 _________ __________ ________
奇偶性 ____函数 ____函数 ____函 数 ____函数 __________
函数
奇
偶
奇
奇
非奇非偶
续表
解析式
单调性
定点 ______ 增
减
增
增
减
减
增
续表
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）函数 是幂函数.( )
×
（2）如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.( )
√
（3）当时，幂函数 是定义域上的减函数.( )
×
（4）当时,幂函数 是定义域上的增函数.( )
×
探究点一 幂函数的概念
例1（1）（多选题）下列函数中是幂函数的是( )
A. B. C. D.
[解析] 幂函数是形如 为常数的函数，A选项是 的
情形，D选项是的情形，所以A和D都是幂函数；
B选项中 的系数是4，不是幂函数；
C选项中 的系数是2且含常数项，不是幂函数.故选 .
√
√
（2）已知函数 为幂函数，则函数
的解析式为__________.
[解析] 由幂函数定义得，解得，故函数
的解析式为 .
变式（1）如果幂函数的图象过点，那么 的值为( )
A. B.64 C. D.
[解析] 设 ，依题意得 ，即 ，
，， .
√
（2）若函数是幂函数，且满足，则
___.
[解析] 由函数是幂函数，可设 ，
又 ，所以 ，即，
所以 ，得 ，
所以，则 .
［素养小结］
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为
为常数
的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：（1）指数为
常数；（2）底数为自变量；（3）系数为1.反之，若一个函数为幂函
数，则该函数应具备这一形式，这是我们解决某些问题的隐含条件.
探究点二 幂函数的图象
例2（1）［2024·江苏苏州中学高一期中］已知幂函数 ，
则该函数的大致图象是( )
A. B. C. D.
[解析] 函数的定义域为 ，排除A，B；
因为，，所以当时， 单调递减，排除C.
故选D.
√
（2）如图，图中曲线是幂函数 在第一象
限的大致图象，已知 取，， ，2四个
值，则曲线，，，对应的 的值依次
为( )
A.，，，2 B.2，，，
C.，,2， D.2，，，
[解析] 令，则，故曲线，，， 对
应的 的值依次为2，，， .故选B.
√
变式（1）幂函数 的图象大致为( )
A. B. C. D.
[解析] 幂函数的定义域为 ，故排除D选项；
因为,所以 为偶函数，故排除A,
C选项. 故选B.
√
（2）［2025·上海高桥中学高一期中］图中 ，
，分别为幂函数， ，
在第一象限内的图象，则，， 依
次可以是( )
A.3，， B.3，， C.，3， D.， ，3
[解析] 因为幂函数 在第一象限内的图象在直线 右侧部
分从下到上， 逐渐增大，当时 在 上单调递增，
且递增速度以为界，当时， 在 上单调递
减，所以 ，故A满足题意.故选A.
√
［素养小结］
解决幂函数图象问题应把握的两个原则：
（1）依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在
上，指数
越大，幂函数图象越靠近
轴（简记为指大图低）；在
上，
指数越大，幂函数图象越远离
轴（简记为指大图高）.
（2）依据图象确定幂指数
与0,1的大小关系，即根据幂函数在第
一象限内的图象
即在
上的单调性和递增速度
来判断.
探究点三 幂函数的性质及应用
例3 比较下列各题中两个值的大小.
（1）， ；
解：在上单调递增，且， .
（2）， ；
解：在上单调递减，且 ，
.
例3 比较下列各题中两个值的大小.
（3）， .
解：，且函数在 上单调递增，
，，即 .
变式1 ［2025·江苏常熟期中］ 若函数
是幂函数，且在上单调递减，则实数 的值为
( )
A.3 B. C. D.
[解析] 函数 是幂函数，
，解得或.
当 时，函数，在上单调递减，符合
题意；
当 时，函数，在 上单调递增，不符
合题意.综上所述，实数 的值为3.故选A.
√
变式2 已知幂函数 为偶函数.
（1）求 的解析式；
解： 函数 为幂函数，
，即，解得或
当时，，满足，此时 为偶函数，
符合题意；
当时，，不满足，此时 不是偶
函数，不符合题意.综上可得， .
变式2 已知幂函数 为偶函数.
（2）若，求实数 的取值范围.
解：由（1）得，所以在 上单调递减，
在上单调递增且为偶函数，
因为 ，
所以解得或或.
故实数 的取值范围为 .
［素养小结］
（1）幂函数
的单调性:如果
,那么幂函数在
上
单调递增;如果
,那么幂函数在
上单调递减.
（2）比较幂值大小的方法
①若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时，则可构
造函数,利用幂函数的单调性比较大小.
②若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间
值可以是“0”或“1”.
1.幂函数的判断方法
幂函数是指底数为自变量,指数为常数 ,即 的函数.在幂函数
的定义里,要注意两个“1”,即, 的系数都是1,而且只有一项.在高中
数学中只讨论指数为有理数的比较简单的幂函数,值得注意的是,并不
是任意的一次函数、二次函数都是幂函数,在这两类函数中,只有
, 是幂函数.
2.常见的幂函数的性质
（1）所有的幂函数在上都有定义,并且图象都过点 .
（2）当时,幂函数的图象都过原点,且在区间 上单调递增.
（3）当时,幂函数在区间 上单调递减.
（4）无论 为何值,幂函数的图象一定经过第一象限,一定不经过第
四象限.
（5）若幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.
利用幂函数的性质求参数,主要是利用幂函数 的单调性和奇
偶性确定 的值.
例1 ［2024·重庆高一期中］已知幂函数 的
图象关于 轴对称.
（1）求实数 的值；
解：因为函数是幂函数，所以 ，
即，解得或.
因为函数 的图象关于轴对称，所以函数 是偶函数.
当时， ，是偶函数，满足题意；
当时，，是奇函数，不满足题意.综上所述，实数
的值为 .
例1 ［2024·重庆高一期中］已知幂函数 的
图象关于 轴对称.
（2）若不等式成立，求实数 的取值范围.
解：设，则函数在定义域 内单调
递减，
由，可得解得 ，所
以实数的取值范围为 .
例2 ［2025·安徽示范高中培优联盟高一冬季联赛］已知幂函数
在 上单调递减，若
，则实数 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由得，则 ，所以函数
的定义域为 ，
因为，所以 为偶函数，
又因为，所以可得 的取值
范围为 .故选D.
练习册
1.若幂函数的图象经过点，则 ( )
A. B. C. D.4
[解析] 设幂函数 ，由于的图象经过点 ，所以
，即，所以，则 .故选D.
√
2.下列函数既是幂函数又是奇函数的是( )
A. B. C. D.
[解析] 根据幂函数的定义可知，为幂函数，且定义域为 ，
令，则，所以 为奇函
数，故A正确；
为偶函数,故B错误；
不是幂函数，故C错误；
的定义域为 ，不关于原点对称，所以 为非奇非
偶函数，故D错误.故选A.
√
3.［2025·上海奉贤中学高一月考］下列图象中，最符合函数
的图象的是( )
A. B. C. D.
[解析] 函数的定义域为 ，排除B，C；
因为，所以函数 的图象呈现下凸的趋势，排除D.故选A.
√
4.若幂函数在 上单调递减，则实
数 等于( )
A. B.1 C. D.2
[解析] 由幂函数在 上单调递减，
得所以 .故选A.
√
5.设,, ，则它们的大小关系是( )
A. B. C. D.
[解析] 由在上单调递增，，可知 ,
故选D.
√
6.（多选题）已知函数（ 为常数）,则下列说法正确的是
( )
A.函数的图象恒过定点
B.当时，函数 是减函数
C.当时，函数 是奇函数
D.当时，函数的值域为
√
√
[解析] ,A正确;
当时,在 , 上单调递减,在定义域上不单
调,B错误;
当时, 的定义域为,且,
所以函数 是奇函数,C正确;
当时,的值域为,D错误.故选 .
7.若，则使幂函数 为奇函数且在
上单调递增的 的取值个数为___.
3
[解析] 幂函数 是奇函数，，1,3，5.
又幂函数 在上单调递增，,3,5.故满足条件的
的取值个数为3.
8.［2025·浙江温州中学高一期中］已知幂函数 的图象经过第二
象限，且在区间上单调递减，则一个符合要求的 的解析
式为 _________________________________.
（答案不唯一，符合题意即可）
[解析] 取，可知的定义域为 ，且
，所以幂函数的图象经过第二象限，
当 时，单调递增，所以在区间 上单调递减，
符合题意.
9.（13分）比较下列各组数的大小：
（1）和 ；
解：因为函数在上单调递减， ，所以
.
（2）和 ；
解：.因为函数在上单调递增， ，
所以 ，所以，即 .
9.（13分）比较下列各组数的大小：
（3）和 .
解：， .
因为函数在上单调递减， ，所以
，即 .
10.已知幂函数的图象过点，若，则 的取
值范围为( )
A. B. C. D.
[解析] 为幂函数，可设 ，由于函数的图象过点 ，
则，所以，即，所以函数在 上单调递增，
由可得，解得，即 的取值范围为
.故选D.
√
11.（多选题）已知函数的图象经过点 ，则( )
A.的图象经过点
B.在上的取值范围为
C. 在定义域上单调递减
D.的图象关于 轴对称
√
√
[解析] 将点的坐标代入，可得，则 .
因为，所以的图象经过点 ，A正确；
根据幂函数的图象与性质可知， 为奇函数，图象关于原点对
称，在， 上单调递减，在定义域上不具有单调性，函数
在上的取值范围为 ，故C，D错误，B正确.故
选 .
12.（多选题）［2025·山西太原高一期中］ 已知幂函数 的图象
经过点 ，则下列结论正确的是( )
A.
B. 是增函数
C. 是偶函数
D.不等式的解集为
√
√
[解析] 设幂函数，因为的图象经过点 ，所以将
代入中，可得，则 ， 即.
分析选项A,，其定义域为 ，所以不在定义域内，
则无意义，A选项错误.
分析选项B,由 ，结合幂函数性质得，幂函数在定义域
上单调递增，B选项正确.
分析选项C,的定义域不关于原点对称，则 不是偶函数，C选
项错误.
分析选项D,由，即，得 ，又因为的定义域
为，所以不等式 的解集为，D选项正确.
故选 .
13.［2025·上海上中高一期中］设，， ，则函数
和 的图象的公共点个数是_________.
1或2或3
[解析] 函数 的图象过原点和第一、三象限，且图象关于原点
对称.
对任意的，，，函数 是幂函数，由幂函数
图象都过点，得函数的图象与 的图象在第一
象限有1个公共点.
当是负偶数时，的图象关于 轴对称，不过原点，因此两函
数的图象只在第一象限有1个公共点；
当 是正偶数时，的图象关于 轴对称，过原点，因此两函数
的图象有2个公共点；
当是负奇数时， 的图象关于原点对称，不过原点，因此两函
数的图象有2个公共点；
当是正奇数 时， 的图象关于原点对称，过原点，因此
两函数的图象有3个公共点.
所以所求公共点个数是1或2或3.
14.（15分）［2025·湖南长沙雅礼教育集团高一期中］ 已知幂函数
是定义在 上的偶函数.
（1）求 的解析式；
解：因为 是幂函数，所以
，解得或，
又函数 为偶函数，所以，故 .
14.（15分）［2025·湖南长沙雅礼教育集团高一期中］ 已知幂函数
是定义在 上的偶函数.
（2）在区间上，恒成立，求实数 的取值范围.
解：由（1）知，，则由题意得 对任意
恒成立，即对任意恒成立，则当
时， .
当时， ，当且仅当，即时
取等号，则 ，所以实数的取值范围为 .
15.［2024·湖北鄂东南省级示范高中高一期中］设函数 的定义域
为，如果存在区间，使得在 上的取值范围为
且单调，则称为函数 的保值区间.已知幂函数
在 上单调递增.
（1）函数的解析式为 ____；
[解析] 因为幂函数在 上单调递增，
所以解得，所以函数 的解析式为
.
15.［2024·湖北鄂东南省级示范高中高一期中］设函数 的定义域
为，如果存在区间，使得在 上的取值范围为
且单调，则称为函数 的保值区间.已知幂函数
在 上单调递增.
（2）若函数存在保值区间，则实数 的取值范
围是______.
[解析] 函数在上是增函数，若 存
在保值区间，则即，也就是关于
的方程在 上有两个不等的实根，
令，则，所以在
上有两个不等的实根，
令，则 即
解得，故实数的取值范围是 .
16.（15分）［2025·吉林长春实验中学高一期中］ 已知 为幂函
数，且 .
（1）求的解析式，并直接写出函数 的定义域、值域、单调
性、奇偶性.
解：因为为幂函数，所以可设 ，
因为，所以 ，
令，则，可得，即 ，所以
.
的定义域为，值域为在 上单调递
增， 为非奇非偶函数.
16.（15分）［2025·吉林长春实验中学高一期中］ 已知 为幂函
数，且 .
（2）定义：对于函数，若方程有实根，则称 为函
数的不动点.已知 .
①若，，求 的不动点；
解： 当，时，由（1）可知， ，
由，即，得 ，解
得，所以 的不动点为4.
16.（15分）［2025·吉林长春实验中学高一期中］ 已知 为幂函
数，且 .
（2）定义：对于函数，若方程有实根，则称 为函
数的不动点.已知 .
②当时，有两个不动点，求 的取值范围.
解： 当时， ，
令，即 ，
因为有两个不动点，所以关于的方程
有两个不等的非负实数根，
设，则关于的方程 有两个不
等的非负实数根，
所以解得 ，
所以的取值范围为 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一
自变量 【诊断分析】 不一定
知识点二
奇 偶 奇 奇
非奇非偶 增 减 增 增 减 减 增
【诊断分析】 （1）× （2）√ （3）× （4）×
课中探究 探究点一 例1 （1）AD （2）
变式 （1）A （2）
探究点二 例2 （1）D （2）B 变式 （1）B （2）A
探究点三 例3 （1） （2 （3）
变式1 A 变式2 （1）m>（2）
练习册
基础巩固 1.D 2.A 3.A 4.A 5.D 6.AC 7.3
8.
（答案不唯一，符合题意即可）
9.（1）
（2）
（3）
综合提升
10.D 11.AB 12.BD 13.1或2或3 14.（1） （2）
思维探索
15.（1） （2）
16.（1）.的定义域为，值域为在
上单调递增，为非奇非偶函数
（2）①的不动点为4 ②第6章 幂函数、指数函数和对数函数
6.1 幂函数
【课前预习】
知识点一
y=xα 自变量
诊断分析
解:不一定.例如y=2x-5,y=x2+2x分别为一次函数和二次函数,但它们都不是幂函数.
知识点二
{x|x≠0} [0,+∞) [0,+∞) {y|y≠0} [0,+∞) 奇 偶 奇 奇 非奇非偶 增 减 增 增 减 减 增
(1,1)
诊断分析
(1)× (2)√ (3)× (4)×
【课中探究】
探究点一
例1 (1)AD (2)f(x)=x2 [解析] (1)幂函数是形如y=xα(α为常数)的函数,A选项是α=-1的情形,D选项是α=-的情形,所以A和D都是幂函数;B选项中x2的系数是4,不是幂函数;C选项中x的系数是2且含常数项,不是幂函数.故选AD.
(2)由幂函数定义得m2-4m+5=1,解得m=2,故函数f(x)的解析式为f(x)=x2.
变式 (1)A (2) [解析] (1)设f(x)=xα,依题意得=4α,即22α=2-1,∴α=-,∴f(x)=,∴f(8)====.
(2)由函数f(x)是幂函数,可设f(x)=xα,又f(4)=8f(2),所以4α=8×2α,即22α=23+α,所以2α=3+α,得α=3,所以f(x)=x3,则f(1)+f=13+=.
探究点二
例2 (1)D (2)B [解析] (1)函数f(x)=x-4的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),排除A,B;因为f(x)=x-4,-4<0,所以当x>0时,f(x)单调递减,排除C.故选D.
(2)令x=2,则22>>>2-2,故曲线C1,C2,C3,C4对应的α的值依次为2,,-,-2.故选B.
变式 (1)B (2)A [解析] (1)幂函数f(x)==的定义域为R,故排除D选项;因为f(-x)===f(x),所以f(x)为偶函数,故排除A,C选项.故选B.
(2)因为幂函数y=xα在第一象限内的图象在直线x=1右侧部分从下到上,α逐渐增大,当α>0时y=xα在(0,+∞)上单调递增,且递增速度以α=1为界,当α<0时,y=xα在(0,+∞)上单调递减,所以α1>1>α2>0>α3,故A满足题意.故选A.
探究点三
例3 解:(1)∵y=在[0,+∞)上单调递增,且2.3<2.4,∴2.<2..
(2)∵y=x-2在(0,+∞)上单调递减,且<,∴()-2>()-2.
(3)∵(-0.31)2=0.312,且函数y=x2在[0,+∞)上单调递增,0.31<0.35,∴0.312<0.352,即(-0.31)2<0.352.
变式1 A [解析] ∵函数f(x)=(m2-2m-2)x2-m是幂函数,∴m2-2m-2=1,解得m=3或m=-1.当m=3时,函数f(x)=x-1,y=f(x)在(0,+∞)上单调递减,符合题意;当m=-1时,函数f(x)=x3,y=f(x)在(0,+∞)上单调递增,不符合题意.综上所述,实数m的值为3.故选A.
变式2 解:(1)∵函数f(x)=(m2+3m+3)x3m-1为幂函数,∴m2+3m+3=1,即m2+3m+2=0,解得m=-1或m=-2.当m=-1时,f(x)=x-4,满足f(-x)=f(x),此时f(x)为偶函数,符合题意;
当m=-2时,f(x)=x-7,不满足f(-x)=f(x),此时f(x)不是偶函数,不符合题意.综上可得,f(x)=x-4.
(2)由(1)得f(x)=x-4=,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减,在(-∞,0)上单调递增且f(x)为偶函数,因为f(a-1)≥f(1+2a),所以解得a≤-2或0≤a<1或a>1.故实数a的取值范围为(-∞,-2]∪[0,1)∪(1,+∞).第6章 幂函数、指数函数和对数函数
6.1 幂函数
1.D [解析] 设幂函数f(x)=xα,由于f(x)的图象经过点,所以2α=,即α=-1,所以f(x)=x-1,则f==4.故选D.
2.A [解析] 根据幂函数的定义可知,y=x3为幂函数,且定义域为R,令f(x)=x3,则f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x),所以f(x)为奇函数,故A正确;y=x2为偶函数,故B错误;y=x3+1不是幂函数,故C错误;y=的定义域为[0,+∞),不关于原点对称,所以y=为非奇非偶函数,故D错误.故选A.
3.A [解析] 函数y==的定义域为[0,+∞),排除B,C;因为>1,所以函数y=的图象呈现下凸的趋势,排除D.故选A.
4.A [解析] 由幂函数f(x)=(m2-m-1)x2m-3在(0,+∞)上单调递减,得所以m=-1.故选A.
5.D [解析] 由y=在(0,+∞)上单调递增,2<3.9<4,可知c6.AC [解析] f(1)=1α=1,A正确;当α=-1时,f(x)=在(-∞,0),(0,+∞)上单调递减,在定义域上不单调,B错误;当α=3时,f(x)=x3的定义域为R,且f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x),所以函数f(x)是奇函数,C正确;当α=时,f(x)=的值域为[0,+∞),D错误.故选AC.
7.3 [解析] ∵幂函数y=xα是奇函数,∴α=-1,1,3,5.又幂函数y=xα在(0,+∞)上单调递增,∴α=1,3,5.故满足条件的α的取值个数为3.
8.x-2(答案不唯一,符合题意即可) [解析] 取f(x)=x-2=,可知f(x)的定义域为{x|x≠0},且f(x)>0,所以幂函数f(x)的图象经过第二象限,当x>0时,y=x2单调递增,所以f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,符合题意.
9.解:(1)因为函数y=x-1在(0,+∞)上单调递减,0<3<3.1,所以3-1>3.1-1.
(2)-8-3=-.因为函数y=x3在(0,+∞)上单调递增,>>0,所以>,
所以-<-,即-8-3<-.
(3)=,=.
因为函数y=x-2在(0,+∞)上单调递减,>>0,所以<,即<.
10.D [解析] f(x)为幂函数,可设f(x)=xα,由于函数的图象过点(2,8),则2α=8,所以α=3,即f(x)=x3,所以函数f(x)在R上单调递增,由f(2a+3)>f(3)可得2a+3>3,解得a>0,即a的取值范围为(0,+∞).故选D.
11.AB [解析] 将点的坐标代入f(x)=xa,可得a=-1,则f(x)=.因为f(9)=,所以f(x)的图象经过点,A正确;根据幂函数的图象与性质可知,f(x)=为奇函数,图象关于原点对称,在(-∞,0),(0,+∞)上单调递减,在定义域上不具有单调性,函数f(x)=在(0,+∞)上的取值范围为(0,+∞),故C,D错误,B正确.故选AB.
12.BD [解析] 设幂函数f(x)=xa,因为f(x)的图象经过点(2,),所以将(2,)代入f(x)=xa中,可得2a==,则a=,即f(x)==.分析选项A,f(x)=,其定义域为[0,+∞),所以-2不在定义域内,则f(-2)无意义,A选项错误.分析选项B,由>0,结合幂函数性质得,幂函数f(x)=在定义域[0,+∞)上单调递增,B选项正确.分析选项C,f(x)的定义域不关于原点对称,则f(x)不是偶函数,C选项错误.分析选项D,由f(x)<1,即<1,得x<1,又因为f(x)的定义域为[0,+∞),所以不等式f(x)<1的解集为{x|0≤x<1},D选项正确.故选BD.
13.1或2或3 [解析] 函数y=x3的图象过原点和第一、三象限,且图象关于原点对称.对任意的m∈Z,m≠0,m≠3,函数y=xm是幂函数,由幂函数图象都过点(1,1),得函数y=xm的图象与y=x3的图象在第一象限有1个公共点.当m是负偶数时,y=xm的图象关于y轴对称,不过原点,因此两函数的图象只在第一象限有1个公共点;当m是正偶数时,y=xm的图象关于y轴对称,过原点,因此两函数的图象有2个公共点;当m是负奇数时,y=xm的图象关于原点对称,不过原点,因此两函数的图象有2个公共点;当m是正奇数(m≠3)时,y=xm的图象关于原点对称,过原点,因此两函数的图象有3个公共点.所以所求公共点个数是1或2或3.
14.解:(1)因为f(x)=(2m2-5m+3)xm是幂函数,所以2m2-5m+3=1,解得m=2或m=,又函数f(x)为偶函数,所以m=2,故f(x)=x2.
(2)由(1)知,f(x)=x2,则由题意得x2-kx+2>0对任意x∈[1,4]恒成立,即k当x∈[1,4]时,x+≥2=2,
当且仅当x=,即x=时取等号,则k<2,
所以实数k的取值范围为(-∞,2).
15.(1) (2)[1,2) [解析] (1)因为幂函数f(x)=(p2+p-1)在(0,+∞)上单调递增,所以解得p=1,所以函数f(x)的解析式为f(x)==.
(2)函数φ(x)=2-k在[-1,+∞)上是增函数,若φ(x)存在保值区间[a,b](a≥-1),则即φ(x)=x,也就是关于x的方程2-k=x在[-1,+∞)上有两个不等的实根,令=t≥0,则x=t2-1,所以t2-2t-1+k=0在[0,+∞)上有两个不等的实根,令g(t)=t2-2t-1+k,则即
解得1≤k<2,故实数k的取值范围是[1,2).
16.解:(1)因为f(x)为幂函数,所以可设f(x)=xα,
因为f(4)+f(2)=+2,所以4α+2α=+2,
令2α=t>0,则t2+t=+2,可得t=,即α=,所以f(x)==.
f(x)的定义域为[0,+∞),值域为[0,+∞),f(x)在[0,+∞)上单调递增,f(x)为非奇非偶函数.
(2)①当a=-1,b=3时,由(1)可知,g(x)=-x+3+2,由g(x)=x,即-x+3+2=x,得(2+1)(-2)=0,解得x=4,所以g(x)的不动点为4.
②当b=-2时,g(x)=ax-2+2,
令ax-2+2=x,即(a-1)x-2+2=0,
因为g(x)有两个不动点,所以关于x的方程(a-1)x-2+2=0有两个不等的非负实数根,
设m=≥0,则关于m的方程(a-1)m2-2m+2=0有两个不等的非负实数根,
所以解得1所以a的取值范围为.第6章 幂函数、指数函数和对数函数
6.1 幂函数
【学习目标】
能够通过给出的具体实例,得出幂函数的概念,能够结合五个具体的幂函数y=x,y=,y=x2,y=,y=x3的图象,通过归纳,抽象概括出五个幂函数的基本性质.
◆ 知识点一 幂函数的概念
一般地,我们把形如 的函数称为幂函数,其中x是 ,α是常数.
【诊断分析】 任意的一次函数和二次函数都是幂函数吗
◆ 知识点二 幂函数的图象与性质
解析式 y=x y=x2 y=x3 y= y=
图象
定义域 R R R
值域 R R
奇偶性 函数 函数 函数 函数 函数
单调性 在(-∞,+∞)上单调递 在(-∞,0]上单调递 ,在(0,+∞)上单调递 在(-∞,+∞)上单调递 在(-∞,0)上单调递 ,在(0,+∞)上单调递 在[0,+∞)上单调递
定点
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y=2是幂函数. ( )
(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点. ( )
(3)当n<0时,幂函数y=xn是定义域上的减函数. ( )
(4)当n>0时,幂函数y=xn是定义域上的增函数. ( )
◆ 探究点一 幂函数的概念
例1 (1)(多选题)下列函数中是幂函数的是 ( )
A.y= B.y=4x2
C.y=2x+1 D.y=
(2)已知函数f(x)=(m2-4m+5)xm(m∈R)为幂函数,则函数f(x)的解析式为 .
变式 (1)如果幂函数f(x)的图象过点,那么f(8)的值为 ( )
A. B.64 C.2 D.
(2)若函数f(x)是幂函数,且满足f(4)=8f(2),则f(1)+f= .
[素养小结]
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形式,即函数的解析式为一个幂的形式,且需满足:(1)指数为常数;(2)底数为自变量;(3)系数为1.反之,若一个函数为幂函数,则该函数应具备这一形式,这是我们解决某些问题的隐含条件.
◆ 探究点二 幂函数的图象
例2 (1)[2024·江苏苏州中学高一期中] 已知幂函数f(x)=x-4,则该函数的大致图象是 ( )
(2)如图,图中曲线是幂函数y=xα在第一象限的大致图象,已知α取-2,-,,2四个值,则曲线C1,C2,C3,C4对应的α的值依次为 ( )
A.-2,-,,2 B.2,,-,-2
C.-,-2,2, D.2,,-2,-
变式 (1)幂函数f(x)=的图象大致为 ( )
(2)[2025·上海高桥中学高一期中] 图中C1,C2,C3分别为幂函数y=,y=,y=在第一象限内的图象,则α1,α2,α3依次可以是( )
A.3,,-1
B.3,-1,
C.,3,-1
D.,-1,3
[素养小结]
解决幂函数图象问题应把握的两个原则:
(1)依据图象高低判断幂指数大小,相关结论为:在(0,1)上,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低);在(1,+∞)上,指数越大,幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高).
(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象(即在(0,+∞)上的单调性和递增速度)来判断.
◆ 探究点三 幂函数的性质及应用
例3 比较下列各题中两个值的大小.
(1)2.,2.;
(2)()-2,()-2;
(3)(-0.31)2,0.352.
变式1 [2025·江苏常熟期中] 若函数f(x)=(m2-2m-2)x2-m是幂函数,且y=f(x)在(0,+∞)上单调递减,则实数m的值为 ( )
A.3 B.-1
C.1+ D.1-
变式2 已知幂函数f(x)=(m2+3m+3)x3m-1为偶函数.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若f(a-1)≥f(1+2a),求实数a的取值范围.
[素养小结]
(1)幂函数f(x)=xα的单调性:如果α>0,那么幂函数在(0,+∞)上单调递增;如果α<0,那么幂函数在(0,+∞)上单调递减.
(2)比较幂值大小的方法
①若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时,则可构造函数,利用幂函数的单调性比较大小.
②若底数、指数均不同,则考虑用中间值法比较大小,这里的中间值可以是“0”或“1”.第6章 幂函数、指数函数和对数函数
6.1 幂函数
1.若幂函数f(x)的图象经过点,则f= ( )
A. B.
C. D.4
2.下列函数既是幂函数又是奇函数的是 ( )
A.y=x3 B.y=x2
C.y=x3+1 D.y=
3.[2025·上海奉贤中学高一月考] 下列图象中,最符合函数y=的图象的是 ( )
A B C D
4.若幂函数f(x)=(m2-m-1)x2m-3在(0,+∞)上单调递减,则实数m等于 ( )
A.-1 B.1
C.-2 D.2
5.设a=,b=3.,c=,则它们的大小关系是 ( )
A.cC.b6.(多选题)已知函数f(x)=xα(α为常数),则下列说法正确的是 ( )
A.函数f(x)的图象恒过定点(1,1)
B.当α=-1时,函数f(x)是减函数
C.当α=3时,函数f(x)是奇函数
D.当α=时,函数f(x)的值域为(0,+∞)
7.若α∈,则使幂函数y=xα为奇函数且在(0,+∞)上单调递增的α的取值个数为 .
8.[2025·浙江温州中学高一期中] 已知幂函数f(x)的图象经过第二象限,且在区间(0,+∞)上单调递减,则一个符合要求的f(x)的解析式为f(x)= .
9.(13分)比较下列各组数的大小:
(1)3-1和3.1-1;
(2)-8-3和-;
(3)和.
10.已知幂函数f(x)的图象过点(2,8),若f(2a+3)>f(3),则a的取值范围为 ( )
A.(2,+∞) B.(1,+∞)
C.(-1,+∞) D.(0,+∞)
11.(多选题)已知函数f(x)=xa的图象经过点,则 ( )
A.f(x)的图象经过点
B.f(x)在(0,+∞)上的取值范围为(0,+∞)
C.f(x)在定义域上单调递减
D.f(x)的图象关于y轴对称
12.(多选题)[2025·山西太原高一期中] 已知幂函数f(x)的图象经过点(2,),则下列结论正确的是 ( )
A.f(-2)=-
B.f(x)是增函数
C.f(x)是偶函数
D.不等式f(x)<1的解集为{x|0≤x<1}
13.[2025·上海上中高一期中] 设m∈Z,m≠0,m≠3,则函数y=xm和y=x3的图象的公共点个数是 .
14.(15分)[2025·湖南长沙雅礼教育集团高一期中] 已知幂函数f(x)=(2m2-5m+3)xm是定义在R上的偶函数.
(1)求f(x)的解析式;
(2)在区间[1,4]上,f(x)>kx-2恒成立,求实数k的取值范围.
15.[2024·湖北鄂东南省级示范高中高一期中] 设函数φ(x)的定义域为D,如果存在区间[a,b]∈D,使得φ(x)在[a,b]上的取值范围为[a,b]且单调,则称[a,b]为函数φ(x)的保值区间.已知幂函数f(x)=(p2+p-1)在(0,+∞)上单调递增.
(1)函数f(x)的解析式为f(x)= ;
(2)若函数φ(x)=2f(x+1)-k存在保值区间,则实数k的取值范围是 .
16.(15分)[2025·吉林长春实验中学高一期中] 已知f(x)为幂函数,且f(4)+f(2)=+2.
(1)求f(x)的解析式,并直接写出函数f(x)的定义域、值域、单调性、奇偶性.
(2)定义:对于函数g(x),若方程g(x)=x有实根x0,则称x0为函数g(x)的不动点.已知g(x)=a[f(x)]2+bf(x)+2(a,b∈R).
①若a=-1,b=3,求g(x)的不动点;
②当b=-2时,g(x)有两个不动点,求a的取值范围.