(共83张PPT)
6.2 指数函数
第2课时 指数函数图象与性质的综
合应用
探究点一 与指数函数有关的图象变换
探究点二 与指数函数有关的函数的定义域和值域
探究点三 与指数函数有关的复合函数的单调性与最值
探究点四 指数函数的实际应用
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.了解指数型函数的概念.
2.利用复合函数的性质研究指数型函数的性质，并利用指数型函
数的性质解决问题.
知识点一 指数型函数
形如_________ 的函数称为指数型函数，
这是非常有用的函数模型．
知识点二 与指数函数有关的复合函数
函数且的定义域、值域可转化为函数 进
行研究,其中______.若的定义域为,则 的定义域为
___.函数的值域要根据的值域及函数 的单调性研究.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）函数且的定义域是,值域是 .
( )
√
（2）函数的定义域是,值域是 .( )
×
（3）函数 是减函数.( )
√
[解析] 因为是增函数，所以 是减函数.
探究点一 与指数函数有关的图象变换
例1 利用指数函数 的图象，作出下列各函数的图象：
（1） ；
解：把 的图象向右平移一个单位长度得
到 的图象，如图中实线所示.
例1 利用指数函数 的图象，作出下列各函数的图象：
（2） ；
解：把的图象在 轴及其右侧部分不动，
在轴左侧的部分去掉，在轴右侧部分沿 轴对称过
去，即可得到 的图象，如图中实线所示.
例1 利用指数函数 的图象，作出下列各函数的图象：
（3） ；
解：把的图象向下平移一个单位长度得到 的
图象，如图中实线所示.
例1 利用指数函数 的图象，作出下列各函数的图象：
（4） ；
解：把的图象沿轴翻折得到 的图象，如图中实
线所示.
例1 利用指数函数 的图象，作出下列各函数的图象：
（5） ；
解：把 的图象向下平移一个单位长度得到
的图象，该图象在 轴及其右侧部分不
动，在轴左侧的部分沿 轴翻折即可得到
的图象，如图中实线所示.
例1 利用指数函数 的图象，作出下列各函数的图象：
（6） .
解：把的图象绕着原点旋转 ，即可得到
的图象，如图中实线所示.
变式 已知函数 ，画出下列函数图象，并写出各自值域.
（1） ；
解：将 的图象向下平移1个单位长度后
得到的图象，再将该图象在
轴及其上方部分不变，在轴下方部分沿
轴翻折上去，即可得 的图
象，如图所示.
由图知， 的值域是 .
变式 已知函数 ，画出下列函数图象，并写出各自值域.
（2） .
解：将的图象在 轴及其右侧部分不变，
在轴左侧部分去掉，在轴右侧部分沿 轴对
称过去，可得到 的图象，再将该图象
向下平移1个单位长度，即可得
的图象，如图所示.
由图知，的值域是 .
［素养小结］
图象变换
（1）平移变换
的图象
的图象，
的图象
的图象.
（2）对称变换
的图象 的图象，
的图象 的图象，
的图象 的图象.
（3）翻折变换
的图象 ,的图象，
的图象
的图象.
探究点二 与指数函数有关的函数的定义域和值域
例2 求下列函数的定义域与值域.
（1） ；
解：要使函数有意义,则需,即.
因为函数 是增函数,所以,故函数的定义域为
.
因为,所以,所以,所以 ,
即函数的值域为 .
例2 求下列函数的定义域与值域.
（2） ；
解：要使函数有意义,则需,解得,所以函数 的
定义域为.
因为,所以,
又 ，故函数的值域为且 .
例2 求下列函数的定义域与值域.
（3） ;
解：依题意知，函数的定义域为，
因为 ，所以，
所以函数的值域为 ．
例2 求下列函数的定义域与值域.
（4） .
解：依题意知，函数的定义域为.
，因为，所以，
所以，所以 ，
所以，所以函数的值域为 .
变式（1）函数 的定义域为( )
A. B.
C. D.
[解析] 函数的自变量满足解得 且
，则函数的定义域为 ，故选D.
√
（2）［2025· 上海闵行中学期中］已知函数 ，则
的值域为_________.
[解析] 由题意，设，则，而 在
上单调递减，从而 ，所以
的值域为 .
（3）［2025·北京八十中高一期中］函数 的值域是______.
[解析] 因为函数的定义域为， ，所以
，所以，即函数的值域是 .
［素养小结］
函数
的定义域、值域的求法
（1）定义域：使得
有意义的
的取值集合．
（2）值域：①换元，令
；②求
的定义域
；③求
的值域
；④利用
的单调性求
，
的值域．
需要注意的是，通过建立不等关系求定义域时，解集为各不等关系
解集的交集；当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时
要分类讨论．
探究点三 与指数函数有关的复合函数的单调性与最值
例3 ［2025·江苏响水中学高一期中］已知函数 .
（1）当时，求函数 的单调区间；
解：当时， ，
令，则，
的增区间为，减区间为，且
为减函数， 根据“同增异减”法则知，的
增区间为 ，减区间为 .
例3 ［2025·江苏响水中学高一期中］已知函数 .
（2）若对任意,恒成立，求 的取值范围.
解：对任意,恒成立，即 恒成
立，，即 恒成立，
，解得 .
变式（1）［2025·广东广雅中学高一质检］已知函数
且在区间上单调递增，则 的取值范
围是_ _____.
[解析] 因为函数且在区间 上单调递
增，在上单调递减，所以，且
在上恒成立.
所以解得，则 的取值范围是 .
（2）设函数，则不等式 的解
集是_______.
[解析] 函数的定义域为 ，
，则为奇函数，
又函数 ,分别为上的增函数和减函数，所以是 上
的增函数，不等式可化为 ，
即，解得，所以原不等式的解集为 .
（3）已知函数 .
①若，求函数的最小值及取得最小值时 的取值；
解：若，则 ，
令，则，
令 ，，
由二次函数性质可知， ，
即当时，函数取得最小值1，此时 .
（3）已知函数 .
②若 ，求函数的最小值.
解：，令，则 ，
令， ，
当时，在上单调递增， ，
此时函数的最小值为 ；
当时，在上单调递减，在 上单调递增，
，此时函数的最小值为 .
综上可知，当时，函数的最小值为；当时，
函数 的最小值为 .
［素养小结］
（1）指数函数的单调性与底数有关，因此讨论指数函数的单调性时，
一定要明确底数与1的大小关系.与指数函数有关的函数的单调性也往
往与底数有关，一般是利用函数单调性的定义进行判断.
（2）指数函数本身不具有奇偶性，但是与指数函数有关的函数可以
具有奇偶性，一般是利用函数奇偶性的定义和性质进行判断.
（3）解形如，且 的不等式时，借助于函数
的单调性求解，如果的取值不确定，需分与 两
种情况讨论；解形如，且的不等式时，注意将 转
化为以为底数的指数幂的形式，再借助于函数 的单调性求解．
探究点四 指数函数的实际应用
例4 某林区2025年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、
严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均递增率能达到 .
（1）若经过年后，该林区的木材蓄积量为万立方米，求
的表达式，并求此函数的定义域；
解：现有木材蓄积量为200万立方米，经过1年后木材蓄积量为
（万立方米），经过2年后木材蓄
积量为
（万立方米），
经过年后木材蓄积量为 万立方米，
，函数的定义域为 .
例4 某林区2025年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、
严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均递增率能达到 .
（2）求经过多少年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米
（结果取整数）．
解：如图，作直线与函数 的图象，且
交于点，
设点的横坐标为，由图可知， 经过9年后，林区的
木材蓄积量能达到300万立方米．
变式 某催化剂的活性指标单位：与反应温度
单位：满足函数关系：（其中，为常数，是自然常数）.若该催化剂在时的活性指标为,在 时
的活性指标为,则该催化剂在 时的活性指标为
( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 该催化剂在时的活性指标为,在 时的活
性指标为,则 可得
，解得或 （舍去），
故，，所以该催化剂在 的活性指标为
.故选C.
［素养小结］
涉及单位时间内变化率一定的问题可用
来计算，其中
为初始值，
为变化率，
为自变量，
，
为
年变化后的函数值.
形如,且 的函数的性质
（1）函数与函数 有相同的定义域.
（2）当时,函数与的单调性相同;当
时,函数与函数 的单调性相反.
1.换元法
对于与指数函数复合的函数,求其值域时一般考虑换元法,即通过换元
将复合函数转化为简单函数,再利用简单函数的单调性求其值域.
例1 ［2025·上海闵行中学高一期中］已知函数
，其中且 .
（1）若，求 的最小值；
解：当 时，函数
，
所以当时，函数取得最小值 .
例1 ［2025·上海闵行中学高一期中］已知函数
，其中且 .
（2）若在区间上的最大值为2，求 的值.
解：令，则函数 可转化为 ，
当时，由，得 ，因为函数
在上单调递减，在区间 上的最大值为2，
所以当时， 取得最大值，最大值为
，解得或，均不满足 ，舍去；
当时，由，得 ，
因为函数在上单调递增，在区间 上的
最大值为2，
所以当时， 取得最大值，最大值为
，
解得或，其中不满足 ，舍去.
综上， .
例2 求函数 的值域.
解：,令 ,则
,
当时,取得最小值,所以函数的值域为 .
2.复合函数法
对于与指数函数相关的复合函数的单调性,一般用复合函数法判断.
例3（1）函数 的一个减区间为( )
A. B. C. D.
[解析] 令，，则 是增函数，
由复合函数的单调性可知， 的减区间即为函数
的减区间，
又 ，所以函数为偶函数，其
图象关于纵轴对称.
当 时，，所以可作出 的图象，如图所示，
由图可知函数的减区间为和，则 的减
区间为和 ，结合选项可知选C.
√
（2）已知函数在区间上单调递增，则 的取值
范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 令，，则随 的增大而增大，要使
在上单调递增，只需在上单调递增，则需满足 ，
所以 .故选A.
√
3.与指数函数有关的函数性质综合问题
例4 ［2025·江苏启东汇龙中学高一期中］已知函数， 分别
是定义在上的偶函数和奇函数，且 .
（1）求函数和 的解析式；
解：由题意可得 ，
则，即 ，
则 .
例4 ［2025·江苏启东汇龙中学高一期中］已知函数， 分别
是定义在上的偶函数和奇函数，且 .
（2）若对任意，不等式 恒成立，求实
数 的取值范围.
解：设，当时， ，
由在上单调递增，可得 ，
对任意，不等式 恒成立，
即 恒成立，
又，当且仅当，即 时，等号成立，
所以的最小值为 ，
则 ，
即的取值范围是 .
练习册
1.函数 的定义域是( )
A. B.
C. D.且
[解析] 由题意可知，要有意义，可得 ，所以函数
的定义域是 .故选C.
√
2.［2024·广东实验中学高一期中］函数 的增区间
是( )
A. B. C. D.
[解析] 函数的定义域为 ，函数
在上单调递减，在 上单调递增，
而函数在上单调递减，因此函数在 上单调递增，
在上单调递减，所以函数 的增区间是 .
故选A.
√
3.不等式 的解集为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为是上的减函数，所以 等价于
，则
解得,即不等式的解集为 .故选D.
√
4.已知函数，则 ( )
A.是奇函数，且在上是增函数 B.是偶函数，且在 上是增函数
C.是奇函数，且在上是减函数 D.是偶函数，且在 上是减函数
[解析] 因为的定义域为 ，
，所以是奇函数.
因为在 上是增函数，在上是增函数，所以在
上是增函数.故选A.
√
5. 重庆育才中学诊断］ 设函数在区间 上
单调递减，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 易知函数是由指数函数 和二次函数
复合而成的，
由复合函数单调性结合题意可得，二次函数在区间
上单调递减，因此 ，可得 .故选D.
√
6.函数是增函数，且 ，
则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
[解析] 当时，单调递增；当 时，
单调递增.
因为 是增函数，且，
所以解得 .故选C.
√
7.函数在 上的取值范围是______.
[解析] 当时， ，函数
，
显然当，即 时，，当，即时，
，所以所求取值范围是 .
8.［2025·山东菏泽高一期中］函数 的增区间为
___________.
[解析] 的定义域为 ，设
则在 上单调
递减，在上单调递增.
因为在 上单调递增，所以的增区间为 .
9.（13分）已知函数 .
（1）作出函数 的图象；
解：的定义域为 ，，则为偶函数，
所以函数的图象关于 轴对称.
当时，函数.
作出 的图象如图.
9.（13分）已知函数 .
（2）直接写出函数 的值域；
解：的值域是 .
（3）求 的值.
解： .
10.设偶函数满足，则满足的
的取值范围是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 根据题意，当时，，令 ，
解得
是定义在上的偶函数， 其图象关于轴对称， 不等式
的解集为 ，
因此不等式等价于 ，可得
，故选D.
11.（多选题）［2025·江西南昌十中高一期中］ 已知函数
，则下列结论正确的是( )
A.函数的定义域为
B.函数的值域为
C.
D.函数 为减函数
√
√
[解析] 由函数，得，解得 ，所以函数的
定义域为 ，故A错误；
因为，且，当 时，
，则，当时， ，则
，所以函数的值域为 ，故B正确；
，
故C正确；
当时，，当时，，所以 不会是减
函数，故D错误.故选 .
12.（多选题）已知函数 ，则下列结论中正确的有
( )
A.函数的值域为
B.函数的增区间为
C.方程 有两个不同的实数根
D.函数的图象关于直线 对称
√
√
√
[解析] 对于A项，函数的定义域为 ，
，所以 ，故A正确.
对于B项，函数的定义域为，当 时，
单调递减，函数在 上单调递增，
所以在上单调递减；当 时，
单调递增，函数在 上单调递增，
所以在上单调递增.则 的增区间为
，故B正确.
对于C项,方程即为，所以 ，即
，则 ，所以方程
有两个不同的实数根，即方程 有两个不同
的实数根，故C正确.
对于D项，因为 ，，所以函数的
图象不关于直线 对称，故D错误.故选 .
13.若关于的不等式在 上恒成立，则实数
的取值范围是__________.
[解析] 由关于的不等式在 上恒成立，得
对任意恒成立.
函数 在上是减函数， 当时，
，，则，故实数的取值
范围为 .
14.（15分）［2025·江苏宜兴高一期中］ 已知函数
为奇函数.
（1）求实数 的值;
解：由题知，为 上的奇函数，则，
即 ，整理可得，可得 .
14.（15分）［2025·江苏宜兴高一期中］ 已知函数
为奇函数.
（2）判断 的单调性，并用定义证明;
解：为 上的增函数.证明如下：
由（1）知，设,，且 ，
则 ，
由，结合指数函数的性质，得， ，
，
所以，即，所以
为 上的增函数.
14.（15分）［2025·江苏宜兴高一期中］ 已知函数
为奇函数.
（3）求不等式 的解集.
解：因为为 上的奇函数，所以不等式
可化为 ，
又为上的增函数，所以，解得或 ，
故原不等式的解集为或 .
15.对于给定的正数，定义函数 若对于函数
的定义域内的任意实数，恒有 ，则
( )
A.的最大值为 B.的最小值为
C.的最大值为1 D. 的最小值为1
√
[解析] 由题意知.
由得 ，故函数的定义域
为.
令 ，，则，，
所以 ，因此，则的最小值为 ，无最大值.
故选B.
16.（15分）［2025·江苏十校联盟高一联考］ 定义：若对定义域内任
意，都有为正常数)，则称函数为“ 距”增函数.
（1）若，，试判断 是否为“1距”增
函数，并说明理由；
解： 为“1距”增函数，理由如下：
因为， ，
所以，当 时，
，
所以 为“1距”增函数.
16.（15分）［2025·江苏十校联盟高一联考］ 定义：若对定义域内任
意，都有为正常数)，则称函数为“ 距”增函数.
（2）设，若 是“2距”增函数，求
的取值范围.
解： 是“2距”增函数，
则，即 ，
可得 .
当时， ，
整理得，所以，解得 ；
当时， ，
整理得，所以，解得 .
综上所述，的取值范围为 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一
知识点二
【诊断分析】（1）√ （2）× （3）√
课中探究 探究点一 例1 略
变式 （1）图略，
的值域是
，值域为
（2）定义域为
，值
域为
且
（3）定义域为
，值域为
（4）定义域为
，，<值域为
变式 （1）D （2） （3）
探究点三 例3 （1）的增区间为，减区间为（2）
变式 （1） （2） （3）①函数/m>的最小值为1，此时
②当时，函数的最小值为；当时，函数的最小值为.
探究点四 例4 （1），函数的定义域为变式 C
练习册
基础巩固
1.C 2.A 3.D 4.A 5.D 6.C 7. 8.
9.（1）略（2） （3）
综合提升
10.D 11.BC 12.ABC 13.
14.（1）（2）为上的增函数.证明略（3）或
思维探索
15.B 16.（1）为“1距”增函数，理由略（2）第2课时 指数函数图象与性质的综合应用
【课前预习】
知识点一
y=kax
知识点二
f(x) R
诊断分析
(1)√ (2)× (3)√ [解析] (3)因为y=3x是增函数,所以f(x)=-2·3x是减函数.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)把f(x)=2x的图象向右平移一个单位长度得到y=f(x-1)的图象,如图中实线所示.
(2)把f(x)=2x的图象在y轴及其右侧部分不动,在y轴左侧的部分去掉,在y轴右侧部分沿y轴对称过去,即可得到y=f(|x|)的图象,如图中实线所示.
(3)把f(x)=2x的图象向下平移一个单位长度得到y=f(x)-1的图象,如图中实线所示.
(4)把f(x)=2x的图象沿x轴翻折得到y=-f(x)的图象,如图中实线所示.
(5)把f(x)=2x的图象向下平移一个单位长度得到y=f(x)-1的图象,该图象在y轴及其右侧部分不动,在y轴左侧的部分沿x轴翻折即可得到y=|f(x)-1|的图象,如图中实线所示.
(6)把f(x)=2x的图象绕着原点旋转180°,即可得到y=-f(-x)的图象,如图中实线所示.
变式 解:(1)将f(x)的图象向下平移1个单位长度后得到y=f(x)-1的图象,再将该图象在x轴及其上方部分不变,在x轴下方部分沿x轴翻折上去,即可得n(x)=的图象,如图所示.由图知,n(x)的值域是[0,+∞).
(2)将f(x)的图象在y轴及其右侧部分不变,在y轴左侧部分去掉,在y轴右侧部分沿y轴对称过去,可得到y=f(|x|)的图象,再将该图象向下平移1个单位长度,即可得 m(x)=-1的图象,如图所示.
由图知,m(x)的值域是(-1,0].
探究点二
例2 解:(1)要使函数有意义,则需1-3x≥0,即3x≤1=30.因为函数y=3x是增函数,所以x≤0,故函数y=的定义域为(-∞,0].因为x≤0,所以0<3x≤1,所以0≤1-3x<1,所以∈[0,1),即函数y=的值域为[0,1).
(2)要使函数有意义,则需x-4≠0,解得x≠4,所以函数y=的定义域为{x|x≠4}.因为≠0,所以≠1,又>0,故函数y=的值域为{y|y>0且y≠1}.
(3)依题意知,函数的定义域为R,因为x2+1≥1,所以≥31=3,所以函数y=的值域为[3,+∞).
(4)依题意知,函数的定义域为R.y==1-,因为3x>0,所以1+3x>1,所以0<<1,所以-1<-<0,所以0<1-<1,所以函数的值域为(0,1).
变式 (1)D (2)(0,2025] (3) [解析] (1)函数f(x)=的自变量x满足解得x≥2且x≠5,则函数的定义域为[2,5)∪(5,+∞),故选D.
(2)由题意,设t=x2-1,则t≥0-1=-1,而y=在[-1,+∞)上单调递减,从而0(3)因为函数y=的定义域为R,0.5x>0,所以0.5x+2>2,所以0<<,即函数的值域是.
探究点三
例3 解:(1)当a=-2时,f(x)=,
令t=x2+4x+3,则y=,∵t=x2+4x+3的增区间为(-2,+∞),减区间为(-∞,-2),且y=为减函数,∴根据“同增异减”法则知,f(x)=的增区间为(-∞,-2),减区间为(-2,+∞).
(2)对任意x∈R,f(x)≤恒成立,即f(x)=≤恒成立,∴x2-2ax+3≥2,即x2-2ax+1≥0恒成立,∴Δ=4a2-4≤0,解得-1≤a≤1.
变式 (1) (2)(-3,1) [解析] (1)因为函数f(x)=(a>0且a≠1)在区间[2,3]上单调递增,y=在[2,3]上单调递减,所以0(2)函数f(x)=2x-2-x的定义域为R,f(-x)=2-x-2x=-f(x),则f(x)为奇函数,又函数y=2x,y=2-x分别为R上的增函数和减函数,所以f(x)是R上的增函数,不等式f(x2)+f(2x-3)<0可化为f(x2)(3)解:①若a=1,则f(x)=4x-2×2x+2,
令2x=t,则t∈(0,+∞),令m(t)=t2-2t+2=(t-1)2+1,t∈(0,+∞),由二次函数性质可知,m(t)min=m(1)=1,
即当2x=1时,函数f(x)=4x-2×2x+2取得最小值1,此时x=0.
②x∈[0,+∞),令2x=t,则t∈[1,+∞),
令h(t)=t2-2at+2=(t-a)2+2-a2,t∈[1,+∞),
当a≤1时,h(t)在[1,+∞)上单调递增,h(t)min=h(1)=3-2a,此时函数f(x)的最小值为3-2a;
当a>1时,h(t)在[1,a)上单调递减,在[a,+∞)上单调递增,h(t)min=h(a)=2-a2,此时函数f(x)的最小值为2-a2.综上可知,当a≤1时,函数f(x)的最小值为3-2a;当a>1时,函数f(x)的最小值为2-a2.
探究点四
例4 解:(1)现有木材蓄积量为200万立方米,经过1年后木材蓄积量为200+200×5%=200×(1+5%)(万立方米),经过2年后木材蓄积量为200×(1+5%)+200×(1+5%)×5%=200×(1+5%)2(万立方米),
∴经过x年后木材蓄积量为200×(1+5%)x万立方米,
∴y=f(x)=200×(1+5%)x,函数的定义域为x∈N*.
(2)如图,作直线y=300与函数y=200×(1+5%)x的图象,且交于A点,设A点的横坐标为x0,由图可知8变式 C [解析] 该催化剂在20 ℃时的活性指标为11 kgPP/gCat,在40 ℃时的活性指标为83 kgPP/gCat,则可得(e20a-9)(e20a+8)=0,解得e20a=9或e20a=-8(舍去),故b=2,e10a=3,所以该催化剂在50 ℃的活性指标为e50a+2=35+2=245(kgPP/gCat).故选C.第2课时 指数函数图象与性质的综合应用
【学习目标】
1.了解指数型函数的概念.
2.利用复合函数的性质研究指数型函数的性质,并利用指数型函数的性质解决问题.
◆ 知识点一 指数型函数
形如 (k∈R,k≠0,a>0,a≠1)的函数称为指数型函数,这是非常有用的函数模型.
◆ 知识点二 与指数函数有关的复合函数
函数y=af(x)(a>0且a≠1)的定义域、值域可转化为函数y=at进行研究,其中t= .若f(x)的定义域为R,则y=af(x)的定义域为 .函数y=af(x)的值域要根据f(x)的值域及函数y=at的单调性研究.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y=a2x-1(a>0且a≠1)的定义域是R,值域是(0,+∞). ( )
(2)函数y=3|x|+1的定义域是R,值域是(3,+∞). ( )
(3)函数f(x)=-2·3x是减函数. ( )
◆ 探究点一 与指数函数有关的图象变换
例1 利用指数函数f(x)=2x的图象,作出下列各函数的图象:
(1)y=f(x-1);
(2)y=f(|x|);
(3)y=f(x)-1;
(4)y=-f(x);
(5)y=|f(x)-1|;
(6)y=-f(-x).
变式 已知函数f(x)=,画出下列函数图象,并写出各自值域.
(1)n(x)=|f(x)-1|;
(2)m(x)=f(|x|)-1.
[素养小结]
图象变换
(1)平移变换
y=f(x)的图象y=f(x+a)的图象,
y=f(x)的图象y=f(x)+k的图象.
(2)对称变换
y=f(x)的图象y=-f(x)的图象,
y=f(x)的图象y=f(-x)的图象,
y=f(x)的图象y=-f(-x)的图象.
(3)翻折变换
y=f(x)的图象y=|f(x)|的图象,
y=f(x)的图象y=f(|x|)的图象.
◆ 探究点二 与指数函数有关的函数的定义域和值域
例2 求下列函数的定义域与值域.
(1) y=;(2) y=;(3)y=;(4)y=.
变式 (1)函数f(x)=的定义域为 ( )
A.(-∞,2]
B.(-∞,5)∪(5,+∞)
C.[2,+∞)
D.[2,5)∪(5,+∞)
(2)[2025·上海闵行中学期中] 已知函数f(x)=,则f(x)的值域为 .
(3)[2025·北京八十中高一期中] 函数y=的值域是 .
[素养小结]
函数y=af(x)的定义域、值域的求法
(1)定义域:使得f(x)有意义的x的取值集合.
(2)值域:①换元,令t=f(x);②求t=f(x)的定义域D;③求t=f(x)的值域M;④利用y=at的单调性求y=at,t∈M的值域.
需要注意的是,通过建立不等关系求定义域时,解集为各不等关系解集的交集;当指数型函数的底数含字母时,在求定义域、值域时要分类讨论.
◆ 探究点三 与指数函数有关的复合函数的单调性与最值
例3 [2025·江苏响水中学高一期中] 已知函数f(x)=.
(1)当a=-2时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若对任意x∈R,f(x)≤恒成立,求a的取值范围.
变式 (1)[2025·广东广雅中学高一质检] 已知函数f(x)=(a>0且a≠1)在区间[2,3]上单调递增,则a的取值范围是 .
(2)设函数f(x)=2x-2-x,则不等式f(x2)+f(2x-3)<0的解集是 .
(3)已知函数f(x)=4x-2a·2x+2.
①若a=1,求函数的最小值及取得最小值时x的取值;
②若x∈[0,+∞),求函数的最小值.
[素养小结]
(1)指数函数的单调性与底数有关,因此讨论指数函数的单调性时,一定要明确底数与1的大小关系.与指数函数有关的函数的单调性也往往与底数有关,一般是利用函数单调性的定义进行判断.
(2)指数函数本身不具有奇偶性,但是与指数函数有关的函数可以具有奇偶性,一般是利用函数奇偶性的定义和性质进行判断.
(3)解形如ax>ab(a>0,且a≠1)的不等式时,借助于函数y=ax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0b(a>0,且a≠1)的不等式时,注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式,再借助于函数y=ax的单调性求解.
◆ 探究点四 指数函数的实际应用
例4 某林区2025年木材蓄积量为200万立方米,由于采取了封山育林、严禁采伐等措施,使木材蓄积量的年平均递增率能达到5%.
(1)若经过x年后,该林区的木材蓄积量为y万立方米,求y=f(x)的表达式,并求此函数的定义域;
(2)求经过多少年后,林区的木材蓄积量能达到300万立方米(结果取整数).
变式 某催化剂的活性指标K(单位:kgPP/gCat)与反应温度t(单位:℃)满足函数关系:K=eat+b(其中a,b为常数,e是自然常数).若该催化剂在20 ℃时的活性指标为11 kgPP/gCat,在40 ℃时的活性指标为83 kgPP/gCat,则该催化剂在50 ℃时的活性指标为 ( )
A.125 kgPP/gCat B.225 kgPP/gCat
C.245 kgPP/gCat D.250 kgPP/gCat
[素养小结]
涉及单位时间内变化率一定的问题可用y=a(1+α)x来计算,其中a为初始值,α为变化率,x为自变量,x∈N*,y为x年变化后的函数值.第2课时 指数函数图象与性质的综合应用
1.C [解析] 由题意可知,要有意义,可得x≠0,所以函数y=-1的定义域是{x|x≠0}.故选C.
2.A [解析] 函数f(x)=的定义域为R,函数u=x2-2x-8=(x-1)2-9在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,而函数y=在R上单调递减,因此函数f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以函数f(x)=的增区间是(-∞,1).故选A.
3.D [解析] 因为y=0.5x是R上的减函数,所以0.<0.等价于>,则
解得0≤x<1,即不等式0.<0.的解集为[0,1).故选D.
4.A [解析] 因为f(x)=4x-=4x-4-x的定义域为R,f(-x)=4-x-4x=-f(x),所以f(x)是奇函数.因为y=4x在R上是增函数,y=-4-x在R上是增函数,所以f(x)在R上是增函数.故选A.
5.D [解析] 易知函数f(x)=3x(x-a)是由指数函数y=3t和二次函数t=x(x-a)复合而成的,由复合函数单调性结合题意可得,二次函数t=x(x-a)在区间(0,2)上单调递减,因此≥2,可得a∈[4,+∞).故选D.
6.C [解析] 当-1f(m-1),所以解得07.[1,2] [解析] 当-1≤x≤1时,≤2x≤2,函数f(x)=(2x)2-2·2x+2=(2x-1)2+1,显然当2x=1,即x=0时,f(x)min=1,当2x=2,即x=1时,f(x)max=2,所以所求取值范围是[1,2].
8.(-∞,-2] [解析] f(x)的定义域为R,设g(x)=1-|2x+4|=则g(x)在(-2,+∞)上单调递减,在(-∞,-2]上单调递增.因为y=5x在R上单调递增,所以f(x)的增区间为(-∞,-2].
9.解:(1)f(x)的定义域为R,f(-x)=f(x),则f(x)为偶函数,所以函数f(x)的图象关于y轴对称.
当x≥0时,函数f(x)=.作出f(x)的图象如图.
(2)f(x)的值域是(0,1].
(3)f[f(-1)]=f==.
10.D [解析] 根据题意,当x≥0时,f(x)=2x-4,令f(x)=2x-4>0,解得x>2.∵f(x)是定义在R上的偶函数,∴其图象关于y轴对称,∴不等式f(x)>0的解集为(-∞,-2)∪(2,+∞),因此不等式f(x-2)>0等价于x-2∈(-∞,-2)∪(2,+∞),可得x∈(-∞,0)∪(4,+∞),故选D.
11.BC [解析] 由函数f(x)=,得2x-1≠0,解得x≠0,所以函数的定义域为{x|x≠0},故A错误;因为f(x)===1+,且2x>0,当2x-1>0时,>0,则f(x)>1,当-1<2x-1<0时,<-2,则f(x)<-1,所以函数f(x)的值域为(-∞,-1)∪(1,+∞),故B正确;f(-x)+f(x)=+=+=+=0,故C正确;当x>0时,f(x)>0,当x<0时,f(x)<0,所以f(x)不会是减函数,故D错误.故选BC.
12.ABC [解析] 对于A项,函数f(x)=的定义域为R,x2+2x=(x+1)2-1≥-1,所以f(x)=≥,故A正确.对于B项,函数f(x)=的定义域为R,当x∈(-∞,-1)时,u=x2+2x=(x+1)2-1单调递减,函数y=3u在R上单调递增,所以f(x)=在(-∞,-1)上单调递减;当x∈[-1,+∞)时,u=x2+2x=(x+1)2-1单调递增,函数y=3u在R上单调递增,所以f(x)=在[-1,+∞)上单调递增.则f(x)的增区间为[-1,+∞),故B正确.对于C项,方程f(x)=3即为=31,所以x2+2x=1,即x2+2x-1=0,则Δ=22-4×(-1)×1>0,所以方程x2+2x-1=0有两个不同的实数根,即方程f(x)=3有两个不同的实数根,故C正确.对于D项,因为f(0)=30=1,f(2)=38≠f(0),所以函数f(x)的图象不关于直线x=1对称,故D错误.故选ABC.
13. [解析] 由关于x的不等式1+2x+4x·a≥0在(-∞,1]上恒成立,得a≥-对任意x∈(-∞,1]恒成立.∵函数y=+在R上是减函数,∴当x∈(-∞,1]时,+≥+=,∴-≤-,则a≥-,故实数a的取值范围为.
14.解:(1)由题知,f(x)为R上的奇函数,则f(-x)=-f(x),即a-=-,整理可得2a=+=4,可得a=2.
(2)f(x)为R上的增函数.证明如下:
由(1)知f(x)=2-,设x1,x2∈R,且x1则f(x1)-f(x2)=-=,由x10,+1>0,
所以f(x1)-f(x2)=<0,即f(x1)(3)因为f(x)为R上的奇函数,所以不等式f(x2-x)+f(-x-3)>0可化为f(x2-x)>f(x+3),
又f(x)为R上的增函数,所以x2-x>x+3,解得x<-1或x>3,故原不等式的解集为{x|x<-1或x>3}.
15.B [解析] 由题意知k≥f(x)max.由-x2+x+2≥0得-1≤x≤2,故函数f(x)=的定义域为[-1,2].令t=,x∈[-1,2],则t∈,2t∈[1,2],所以f(x)max=2,因此k≥2,则k的最小值为2,无最大值.故选B.
16.解:(1)f(x)为“1距”增函数,理由如下:
因为f(x+1)=(x+1)2+(x+1)=x2+3x+2,f(x)=x2+x,所以f(x+1)-f(x)=2x+2,当x∈(-1,+∞)时,f(x+1)-f(x)=2x+2>0,
所以f(x)为“1距”增函数.
(2)f(x)=(x∈(-1,+∞))是“2距”增函数,
则f(x+2)>f(x),即>,
可得(x+2)2+k|x+2|>x2+k|x|.
当x∈(-1,0)时,(x+2)2+k(x+2)>x2-kx,
整理得(x+1)(4+2k)>0,所以4+2k>0,解得k>-2;
当x≥0时,(x+2)2+k(x+2)>x2+kx,
整理得4x+4+2k>0,所以4+2k>0,解得k>-2.
综上所述,k的取值范围为(-2,+∞).第2课时 指数函数图象与性质的综合应用
1.函数y=-1的定义域是 ( )
A.R
B.{x|x≠1}
C.{x|x≠0}
D.{x|x≠0且x≠1}
2.[2024·广东实验中学高一期中] 函数f(x)=的增区间是 ( )
A.(-∞,1)
B.(-∞,-2)
C.(4,+∞)
D.(1,+∞)
3.不等式0.<0.的解集为 ( )
A.[0,2) B.(-4,1)
C.(1,2) D.[0,1)
4.已知函数f(x)=4x-,则f(x) ( )
A.是奇函数,且在R上是增函数
B.是偶函数,且在R上是增函数
C.是奇函数,且在R上是减函数
D.是偶函数,且在R上是减函数
5.[2025·重庆育才中学诊断] 设函数f(x)=3x(x-a)在区间(0,2)上单调递减,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞,0] B.[-4,0)
C.(0,4] D.[4,+∞)
6.函数f(x)=是增函数,且f(2m+1)>f(m-1),则实数m的取值范围为 ( )
A.(-2,1] B.(-2,1)
C.(0,1] D.(0,1)
7.函数f(x)=4x-2x+1+2在[-1,1]上的取值范围是 .
8.[2025·山东菏泽高一期中] 函数f(x)=51-|2x+4|的增区间为 .
9.(13分)已知函数f(x)=.
(1)作出函数f(x)的图象;
(2)直接写出函数f(x)的值域;
(3)求f[f(-1)]的值.
10.设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0),则满足f(x-2)>0的x的取值范围是 ( )
A.(-∞,0)
B.(0,4)
C.(4,+∞)
D.(-∞,0)∪(4,+∞)
11.(多选题)[2025·江西南昌十中高一期中] 已知函数f(x)=,则下列结论正确的是( )
A.函数f(x)的定义域为R
B.函数f(x)的值域为(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.f(x)+f(-x)=0
D.函数f(x)为减函数
12.(多选题)已知函数f(x)=,则下列结论中正确的有 ( )
A.函数f(x)的值域为
B.函数f(x)的增区间为[-1,+∞)
C.方程f(x)=3有两个不同的实数根
D.函数f(x)的图象关于直线x=1对称
13.若关于x的不等式1+2x+4x·a≥0在(-∞,1]上恒成立,则实数a的取值范围是 .
14.(15分)[2025·江苏宜兴高一期中] 已知函数f(x)=a-(a∈R)为奇函数.
(1)求实数a的值;
(2)判断f(x)的单调性,并用定义证明;
(3)求不等式f(x2-x)+f(-x-3)>0的解集.
15.对于给定的正数k,定义函数fk(x)=若对于函数f(x)=的定义域内的任意实数x,恒有fk(x)=f(x),则 ( )
A.k的最大值为2
B.k的最小值为2
C.k的最大值为1
D.k的最小值为1
16.(15分)[2025·江苏十校联盟高一联考] 定义:若对定义域内任意x,都有f(x+a)>f(x)(a为正常数),则称函数f(x)为“a距”增函数.
(1)若f(x)=x2+x,x∈(-1,+∞),试判断f(x)是否为“1距”增函数,并说明理由;
(2)设k∈R,若f(x)=(x∈(-1,+∞))是“2距”增函数,求k的取值范围.