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6.3 对数函数
第1课时 对数函数的概念与图象
探究点一 对数函数的概念
探究点二 与对数函数有关的函数的定义域
探究点三 对数函数的图象与性质
探究点四 对数函数的图象与性质的应用
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.能够在熟悉的实际问题情境中，了解对数函数的实际背景，由
具体到一般，抽象概括得出对数函数的概念，能够说出对数函数三
要素及其意义.
2.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并
了解对数函数的单调性与特殊点.
知识点一 对数函数的定义
一般地，函数______ 叫作对数函数,它的定义域是
________.
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）函数 是对数函数．( )
×
（2）函数的定义域是 ．( )
×
（3）函数 是对数函数.( )
×
2.函数是对数函数吗 呢
解：由对数函数的定义知,函数和 都不
是对数函数.
知识点二 对数函数的图象与性质
定义
底数
图象 ______________________________ _________________________________
定义域
值域 ___
单调性 增函数 减函数
共点性 图象过定点______，即 ___
函数值特 征 当时， _____ ___；当 时， ________ 当时， _____
____；当 时，
________
对称性 与 的图象关于___轴对称
趋近 越大，图象越接近 轴 越小，图象越接近 轴
趋势 图象无限趋近于 轴
0
续表
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）函数在 上是增函数.( )
√
[解析] ， 函数在 上是
增函数.
（2）函数的图象过定点 ．( )
√
（3）函数在 上是单调函数． ( )
√
（4）由函数的图象向左平移1个单位可得 的
图象．( )
×
探究点一 对数函数的概念
例1（1）给出下列函数：
；； .
其中是对数函数的为____（填序号）.
①
[解析] ①符合对数函数的结构形式，是对数函数．
②自变量在底数位置上，不是对数函数．
③对数式 后又加上1，不是对数函数．故填①.
（2）若函数是对数函数，则
___.
5
[解析] 由对数函数的定义可知解得 .
［素养小结］
一个函数是对数函数，其解析式必须形如
且
，
即必须满足以下条件：（1）系数为1；（2）底数为大于0且不等于1
的常数；（3）对数的真数仅有自变量
.
探究点二 与对数函数有关的函数的定义域
例2（1）函数 的定义域为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意得解得，则函数 的定义域
为 .故选C.
√
（2）函数 的定义域是( )
A. B. C. D.
[解析] 由题得可得，则函数 的定义域为
.故选D.
√
变式 求下列函数的定义域：
（1） ；
解：要使函数有意义，需解得
即或，故所求函数的定义域为．
变式 求下列函数的定义域：
（2） ；
解：要使函数有意义，需，得 ，
由指数函数的单调性得，所以函数 的定义域为
．
（3） ．
解：要使函数有意义，需解得所以 且
，故所求函数的定义域为 .
［素养小结］
定义域求解问题通常包括以下情况:
①若
为整式,则函数
的定义域为
;②若
为分式,则要求分
母不能为0;③若
为对数式,则要求真数大于0;④若
为根指数是
偶数的根式,则要求被开方数非负;
描述实际问题时,要求使实际
问题有意义.
若
是由以上几种情况的式子构成的,则常常转化为不等式（组）.
探究点三 对数函数的图象与性质
例3（1）已知函数， ，
的图象分别对应图中曲线①②③，则
下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 如图，作出直线,则直线 与
曲线①②③的交点的横坐标分别为,,，
由图知 ，故选A.
√
（2）函数的图象恒过定点，则
点的坐标为( )
A. B. C. D.
[解析] 令，则，则，故定点 .故选D.
√
（3）在同一直角坐标系中指数函数 ，
对数函数 的图象如图所示，则下列
关系成立的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 由题图可得，指数函数为减函数，对数函数
为增函数，所以,，即 .故选B.
√
变式（1）在同一个坐标系中，函数, ,
的图象可能是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为, 的图象在同一坐标系中，所以
,的单调性一定相反，且, 图象均不过原点，故排除
A，D；
在B，C选项中，过原点的图象为幂函数 的图象，
由题图可知，所以在 上单调递减，
在 上单调递增，故排除B.故选C.
（2）已知函数，且 的图象恒
过点，则 ( )
A. B. C.1 D.2
[解析] 令，解得 ，
又 ，所以函数
，且 的图象恒过点，即， ，
所以 .故选B.
√
［素养小结］
1.处理对数函数图象问题的3个注意点：
（1）明确图象的分布区域.对数函数的图象经过第一、四象限.当
趋
近于0时，函数图象会越来越靠近
轴，但永远不会与
轴相交.
（2）建立分类讨论的思想.在画对数函数图象之前要先判断对数的底
数
的取值范围是
，还是
.
（3）牢记特殊点.对数函数
，且
的图象经过
点
，
和
.
2.对数型函数的图象一般以函数
的图象为基础,通过平移、
对称变换得到.
探究点四 对数函数的图象与性质的应用
例4（1）已知函数.若曲线 过点
，则不等式 的解集为_____________.
[解析] 因为曲线过点 ，所以
，所以,则 ，所以
，则在 上单调递增，
所以不等式等价于解得 ，
所以不等式的解集为 .
（2）比较下列各组中两个值的大小.
，;
解：因为在上是增函数,且 ，所以
.
解：因为在上单调递减，且 ，
所以 .
与 ；
（2）比较下列各组中两个值的大小.
③，;
解：因为,,所以 .
④， ；
解： 因为,所以 ,
即 .
解： 当时，在上是增函数，又 ，所以
；当时，在 上是减函数，
又，所以 .
综上，当时， ；
当时， .
（2）比较下列各组中两个值的大小.
⑤，且 .
变式（1）设，， ，则( )
A. B. C. D.
[解析] 因为在 上是增函数，所以
.
因为在 上是增函数，所以
，所
以，所以 .故选A.
√
（2）不等式 的解集为______.
[解析] 由题意可得 解得
，且
为减函数，解得 ，即不
等式的解集为 .
［素养小结］
比较对数值大小的常用方法如下:
（1）同底数的两个对数值的大小比较,根据对数函数的单调性比较；
（2）底数不同且真数也不相同的两个对数值的大小比较,常引入中间
量进行比较,通常取中间量为
,0,1等；
（3）底数不同而真数相同的两个对数值的大小比较,常用数形结合思想
来解决,也可用换底公式化为同底,再根据对数函数的单调性进行比较.
1.对数函数的定义
（1）对数函数在形式上具有严格性,表达式中 前面的
系数必须是1,自变量在真数的位置上,否则不是对数函数.
（2）在对数函数中,底数,且,自变量 ,函数
值 .对于对数函数的三个要素,要做到了解意义、牢固记忆、准
确运用.
2.对数函数的判断
判断一个函数是不是对数函数,只需看其形式是否符合对数函数的定义.
3.底数对对数函数图象的影响
（1）对数函数,且的图象与直线 的交点
是 ,交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大.也就是说,沿
直线由左向右看,底数 增大，如图所示.
（2）当时,底数越大,图象越靠近轴;当 时,底数越小,
图象越靠近 轴.
（3）与，且的图象关于 轴对称.
4.对数函数的图象与性质的关系
图象特征 函数性质
位于 轴右侧，过定点 定义域为,值域为 ,对于任意的
，且,都有
图象可以分两类:一类是在 区间 内的图象上各点 的纵坐标都小于0,在区间 内的图象上各点的 纵坐标都大于0;另一类图 象恰好相反 当 时,
（1）若,则 ;
（2）若,则
当 时,
（1）若,则 ;
（2）若,则
图象特征 函数性质
自左向右看,当 时， 图象逐渐上升;当 时,图象逐渐下 降 当时, 是增函数;
当时, 是减函数
续表
1.判断一个函数是不是对数函数的关键是分析所给函数是否具有
，且 这种形式．
例1 给出下列函数:
,且,;; ;
.
其中为对数函数的是______.（填序号）
②③
[解析] 函数,且,的底数是自变量 ,不
是常数,故①不是对数函数;
函数 符合对数函数的定义，故②是对数函数；
函数 符合对数函数的定义，故③是对数函数；
函数的真数是,不是自变量 ,故④不是对数函数.
故填②③.
2.与对数函数有关的定义域问题,需注意真数恒大于0.
例2 ［2025·山东淄博七中高一月考］函数
的定义域是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，所以 解得
，所以函数的定义域是 .故选C.
√
3.比较多个对数式大小的方法
比较多个对数式的大小，则应先根据每个数的结构特征，以及它们
与中间量“0”和“1”的大小关系进行分组，再比较各组内的对数式的
大小即可．
例3（1）［2025·广东中山华侨中学高一月考］设 ，
， ，则( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为 ，，
且， ，所以.
因为，且，所以，即 ，
所以，即.
因为，且 ，
所以，即，所以，即.
所以 ，故 .故选D.
（2）［2025·云南宝山高一期末］已知， ，
，则,, 的大小关系是( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意，得 ，则
，
而，则 ，所以 .故选C.
√
4.利用单调性解不等式
解对数不等式主要是利用对数函数的单调性，如果含有参数，还需
要对参数分类讨论.
常见的对数不等式的三种类型及求解方法
（1）形如的不等式，借助 的单调性求解，
如果的取值不确定，需分与 两种情况讨论；
（2）形如的不等式，应将化为以 为底数的对数式的形
式，再借助 的单调性求解；
（3）形如 的不等式，可利用图象求解.
例4 已知不等式成立，则实数 的取值
范围是______．
[解析] 原不等式等价于 或，
解不等式组①得 ，不等式组②无解，
所以实数的取值范围是 .
练习册
1.下列函数是对数函数的是( )
A. B.
C.，且 D.
[解析] 对于A，真数为，而不是 ，故A不是对数函数；
显然B是对数函数；
对于C，真数为常数，而不是 ，故C不是对数函数；
对于D，真数为，而不是 ，故D不是对数函数．故选B.
√
2.函数且 的图象过定点( )
A. B. C. D.
[解析] 函数且的图象恒过点 .
令，则， ，故函数
的图象恒过定点 .故选C.
√
3.函数在 上的取值范围为( )
A. B. C. D.
[解析] ，在 上单调递增，
在 上单调递增，
又， ，
在上的取值范围为 .故选B.
√
4.［2025·甘肃天水一中期中］若且，则 的取
值范围是( )
A. B.
C. D.
[解析] 当时，恒成立；
当 时，，则.
综上可得 .故选C.
√
5.如图中曲线，，，是底数取不同值时指数函数 或
对数函数的图象，已知取,,,2，则图中曲线,, ,
对应的函数中 的值依次为( )
A.,,,2 B.,,2, C.2,,, D.2,,,
√
[解析] 曲线,是指数函数 的图象，且
该函数在上单调递增，所以, 对应的函数中
的取值范围均为，
又直线与 的交点纵坐标大于直线与
的交点纵坐标，故,对应的函数中的值分别为2,；
曲线 ，是对数函数的图象，且该函数在区间 上
单调递减，所以,对应的函数中的取值范围均为，
又直线 与的交点横坐标小于直线与的交点横坐标，
故, 对应的函数中的值分别为, .故选C.
6.已知,, ，则( )
A. B. C. D.
[解析] , ,
，则，.
因为， ，且在上单调递增，
所以 ，则，所以 .故选A.
√
7.［2025·北京北师大实验中学高一月考］函数
的定义域为____________.
[解析] 要使函数有意义，则解得 且
.
8.已知函数的图象经过点 ，则不等
式 的解集为______.
[解析] 由题意可得，则，解得 .
由函数在上单调递减，且 ，可得
解得 .
9.（13分）求下列函数的定义域：
（1） ；
解：要使函数有意义，需满足
即且 ，
该函数的定义域为且 .
（2） .
解：要使函数有意义，需满足 ，
该函数的定义域为 .
10.［2025·江苏苏州中学月考］已知偶函数 满足
且在 上的解析式为
则 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
√
[解析] 由，可得 ，即
，
为偶函数， ，
， ，
.故选D.
11.［2025·江苏金湖中学高一月考］设,, ，
则( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，所以 ，
又，，所以 ，故选B.
√
12.（多选题）已知函数，且 的图象经过点
，则下列说法正确的是( )
A.
B.函数 为增函数
C.若，则
D.若，则
√
√
[解析] 由题意知，，解得，所以 ，所以
函数为增函数，故A错误，B正确；
当 时，，所以 ，故C正确；
对于D，， ，
因为，所以，所以 ，
即，故D错误.故选 .
13.若函数是减函数，则实数 的取值
范围为______.
[解析] 函数 是减函数，则
解得，则实数的取值范围为 .
14.（15分）已知且 .
（1）若曲线过点，求函数 的值域；
解：由曲线过点，可得，则 ，
，
因为 恒成立，故函数的定义域为 ，
由可得 ，
故函数的值域为 .
14.（15分）已知且 .
（2）若存在，使 成立，
求实数 的取值范围.
解：由题知得 ，
由 ，可得
,化简得
,，即 ，
设，则， ，
令，则， ，
因为在上单调递减，所以 ，即
，
又且，故实数 的取值范围为 .
15.［2025·江苏苏州大学附中高一检测］给定条件：
；②对任意,, ，都有
.写出同时满足条件①②的函数 的一个解析式：
___________________.
（答案不唯一）
[解析] 由对任意,,，都有 ，可知
在上单调递增.
取 ，则，且在
上单调递增，符合题意.
16.（15分）［2025·上海师大附中月考］ 已知函数 ，
其中且 .
（1）若函数的图象过点，求不等式
的解集；
解：，，，
， ，，其定义域为 ，
由不等式， 在定义域内是增函数，得
，，， ，即不等
式的解集为 .
16.（15分）［2025·上海师大附中月考］ 已知函数 ，
其中且 .
（2）若存在实数，使得成立，求 的
取值范围.
解：的定义域为， 由方程
，得
又且，，问题转化为当 时，方程
有实数解.
，则 ，
即
为单调函数，，两边同除以得
.
令，由，得， 关于的方程
在 时有解.
又在 上单调递增，
，即，
又且 ，，则的取值范围为 .
快速核答案(导学案）
课前预习 知识点一
【诊断分析】 1.（1）× （2）× （3）×
2. 函数
和
都不是对数函数
知识点二
0
【诊断分析】 （1）√ （2）√ （3）√ （4）×
课中探究 探究点一 例1 （1）① （2）5
探究点二 例2 （1）C （2）D 变式 （1）
（2）
（3）
探究点三 例3 （1）A （2）D （3）B 变式 （1）C （2）B
探究点四 例4 （1）
（2）①
②
③
④
⑤当
时，
；当
时，
变式 （1）A （2）
m>
练习册
基础巩固
1.B 2.C 3.B 4.C 5.C 6.A 7.
8.
9.（1）
且
（2）
综合提升
10.D 11.B 12.BC 13.
14.（1）
（2）
思维探索
15.（答案不唯一） 16.（1）（2）>6.3 对数函数
第1课时 对数函数的概念与图象
【课前预习】
知识点一
logax (0,+∞)
诊断分析
1.(1)× (2)× (3)×
2.解:由对数函数的定义知,函数y=log2(x-3)和y=log2x-3都不是对数函数.
知识点二
R (1,0) 0 (-∞,0) (0,+∞) (0,+∞)
(-∞,0) x
诊断分析
(1)√ (2)√ (3)√ (4)× [解析] (1)∵m2+2≥2>1,∴函数f(x)=lox在(0,+∞)上是增函数.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)① (2)5 [解析] (1)①符合对数函数的结构形式,是对数函数.
②自变量在底数位置上,不是对数函数.
③对数式log2x后又加上1,不是对数函数.故填①.
(2)由对数函数的定义可知解得a=5.
探究点二
例2 (1)C (2)D [解析] (1)由题意得解得-3(2)由题得可得变式 解:(1)要使函数有意义,需解得
即-3(2)要使函数有意义,需16-4x>0,得4x<16=42,由指数函数的单调性得x<2,所以函数y=log2(16-4x)的定义域为(-∞,2).
(3)要使函数有意义,需解得所以x>且x≠,故所求函数的定义域为∪.
探究点三
例3 (1)A (2)D (3)B
[解析] (1)如图,作出直线y=1,则直线y=1与曲线①②③的交点的横坐标分别为a,b,c,由图知a>b>1>c,故选A.
(2)令x+3=1,则x=-2,则y=5,故定点A(-2,5).故选D.
(3)由题图可得,指数函数y=ax为减函数,对数函数y=logbx为增函数,所以01,即0变式 (1)C (2)B [解析] (1)因为f(x)=logax,g(x)=a-x的图象在同一坐标系中,所以f(x),g(x)的单调性一定相反,且f(x),g(x)图象均不过原点,故排除A,D;在B,C选项中,过原点的图象为幂函数h(x)=xa的图象,由题图可知0(2)令4x-7=1,解得x=2,又f(2)=loga(4×2-7)-3=-3,所以函数f(x)=loga(4x-7)-3(a>0,且a≠1)的图象恒过点P(2,-3),即m=2,n=-3,所以m+n=-1.故选B.
探究点四
例4 (1){x|0(2)解:①因为y=log2x在(0,+∞)上是增函数,且1.9>1.5,所以log21.9>log21.5.
②因为y=log0.7x在(0,+∞)上单调递减,且0.1<0.2,
所以log0.70.1>log0.70.2.
③因为log23>log21=0,log0.32log0.32.
④因为0=log0.21>log0.23>log0.24,所以<,
即log30.2⑤当a>1时,y=logax在(0,+∞)上是增函数,又5.1<5.9,所以loga5.1loga5.9.
综上,当a>1时,loga5.1当0loga5.9.
变式 (1)A (2)(2,3) [解析] (1)因为y=log3x在(0,+∞)上是增函数,所以a=log30,所以b>c>0,所以b>c>a.故选A.
(2)由题意可得解得x>2.∵lo(x2-x-2)>lo(x-1)-1=lo[2(x-1)],且y=lox为减函数,∴解得2第1课时 对数函数的概念与图象
1.B [解析] 对于A,真数为x+2,而不是x,故A不是对数函数;显然B是对数函数;对于C,真数为常数,而不是x,故C不是对数函数;对于D,真数为,而不是x,故D不是对数函数.故选B.
2.C [解析] 函数y=logax(a>0且a≠1)的图象恒过点(1,0).令x-1=1,则x=2,y=loga1+2=2,故函数y=loga(x-1)+2的图象恒过定点(2,2).故选C.
3.B [解析] ∵2>1,∴y=log2x在[,8]上单调递增,∴f(x)=log2x-2在[,8]上单调递增,又f()=log2-2=-,f(8)=log28-2=1,∴f(x)=log2x-2在[,8]上的取值范围为.故选B.
4.C [解析] 当a>1时,loga<0<1恒成立;当05.C [解析] 曲线C1,C2是指数函数y=ax的图象,且该函数在R上单调递增,所以C1,C2对应的函数中a的取值范围均为a>1,又直线x=1与C1的交点纵坐标大于直线x=1与C2的交点纵坐标,故C1,C2对应的函数中a的值分别为2,;曲线C3,C4是对数函数y=logax的图象,且该函数在区间(0,+∞)上单调递减,所以C3,C4对应的函数中a的取值范围均为06.A [解析] a=log43log44=1,则a7.(0,1)∪(1,2) [解析] 要使函数f(x)有意义,则解得08. [解析] 由题意可得f(2)=loga2=-1,则a-1=2,解得a=.由函数f(x)=lox在(0,+∞)上单调递减,且f(x)9.解:(1)要使函数有意义,需满足
即∴x>-1且x≠1,
∴该函数的定义域为{x|x>-1且x≠1}.
(2)要使函数有意义,需满足∴-1∴该函数的定义域为{x|-110.D [解析] 由f(x-2)=f(x+2),可得f(x)=f(x+4),即f(x)=f(x+4k)(k∈Z),∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),∴f(2026)=f(2)=log22+1=2,f(2027)=f(-1)=f(1)=1,∴f(2026)+f(2027)=1+2=3.故选D.
11.B [解析] 因为log3321=2,c=lo412.BC [解析] 由题意知,loga9=2,解得a=3,所以f(x)=log3x,所以函数f(x)为增函数,故A错误,B正确;当x>3时,f(x)=log3x>log33=1,所以f(x)>1,故C正确;对于D,==log3,f=log3,因为013. [解析] 函数f(x)=是减函数,则解得≤a<,则实数a的取值范围为.
14.解:(1)由曲线y=logax过点,可得a=,则f(x)=lox,f(x2+2)=lo(x2+2),因为x2+2>0恒成立,故函数y=f(x2+2)的定义域为R,
由x2+2≥2可得lo(x2+2)≤lo2=-1,
故函数y=f(x2+2)的值域为(-∞,-1].
(2)由题知得x>1,由f(x-1)+f(2x+3)-2f[a(x+1)]=0,可得loga(x-1)+loga(2x+3)-2loga[a(x+1)]=0,化简得(x-1)(2x+3)=a2(x+1)2,x>1,即a2=,
设t=x+1,则t>2,a2===2--,令u=,则u∈,a2=-2u2-3u+2=-2+,
因为y=-2+在上单调递减,所以00且a≠1,故实数a的取值范围为(0,1)∪(1,).
15.ln x(答案不唯一) [解析] 由对任意x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,都有>0,可知f(x)在(0,+∞)上单调递增.取f(x)=ln x,则f(x2)=ln x2=2ln x=2f(x),且f(x)=ln x在(0,+∞)上单调递增,符合题意.
16.解:(1)∵f(4)=2,∴loga4=2,∴a2=4,∵a>0,∴a=2,
∴f(x)=log2x,其定义域为(0,+∞),
由不等式f(2x-2)(2)∵f(x)的定义域为(0,+∞),∴由方程2f(ax)=f(x+1)+f(x+2),得
又a>0且a≠1,∴x>0,问题转化为当x>0时,方程f(x+1)+f(x+2)=2f(ax)有实数解.
f(x)=logax,则loga(x+1)+loga(x+2)=2loga(ax),
即loga(a2x2)=loga(x2+3x+2).∵f(x)为单调函数,
∴a2x2=x2+3x+2(x>0),两边同除以x2得a2=++1.令t=,由x>0,得t∈(0,+∞),∴关于t的方程a2=2t2+3t+1在t>0时有解.
又y=2t2+3t+1=2-在(0,+∞)上单调递增,∴y=2t2+3t+1∈(1,+∞),即a2∈(1,+∞),又a>0且a≠1,∴a>1,则a的取值范围为(1,+∞).6.3 对数函数
第1课时 对数函数的概念与图象
【学习目标】
1.能够在熟悉的实际问题情境中,了解对数函数的实际背景,由具体到一般,抽象概括得出对数函数的概念,能够说出对数函数三要素及其意义.
2.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点.
◆ 知识点一 对数函数的定义
一般地,函数y= (a>0,a≠1)叫作对数函数,它的定义域是 .
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y=logx3是对数函数. ( )
(2)函数y=log3(x-1)的定义域是(0,+∞). ( )
(3)函数y=log3(x+1)是对数函数. ( )
2.函数y=log2(x-3)是对数函数吗 y=log2x-3呢
◆ 知识点二 对数函数的图象与性质
定义 y=logax(a>0,a≠1)
底数 a>1 0图象
定义域 (0,+∞)
值域
单调性 增函数 减函数
共点性 图象过定点 ,即loga1=
函数值 特征 当x∈(0,1)时,y∈ ;当x∈(1,+∞)时,y∈ 当x∈(0,1)时,y∈ ;当x∈(1,+∞)时,y∈
对称性 y=logax与y=lox的图象关于 轴对称
趋近 a越大,图象越接近x轴 a越小,图象越接近x轴
趋势 图象无限趋近于y轴
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数f(x)=lox在(0,+∞)上是增函数. ( )
(2)函数y=logax(a>0,a≠1)的图象过定点(1,0). ( )
(3)函数y=logax(a>0,a≠1)在(0,+∞)上是单调函数. ( )
(4)由函数y=log2x的图象向左平移1个单位可得y=log2x+1的图象. ( )
◆ 探究点一 对数函数的概念
例1 (1)给出下列函数:
①y=log6x;②y=logx5;③y=log2x+1.
其中是对数函数的为 (填序号).
(2)若函数f(x)=log(a-1)x+(a2-3a-10)是对数函数,则a= .
[素养小结]
一个函数是对数函数,其解析式必须形如y=logax(a>0且a≠1),即必须满足以下条件:(1)系数为1;(2)底数为大于0且不等于1的常数;(3)对数的真数仅有自变量x.
◆ 探究点二 与对数函数有关的函数的定义域
例2 (1)函数f(x)=ln(3+x)+的定义域为 ( )
A.[-3,0] B.[-3,0)
C.(-3,0] D.(-3,0)
(2)函数f(x)=+的定义域是 ( )
A.(-∞,1) B.
C. D.
变式 求下列函数的定义域:
(1)y=;(2)y=log2(16-4x);(3)y=log(3x-1)(2x+3).
[素养小结]
定义域求解问题通常包括以下情况:
①若f(x)为整式,则函数f(x)的定义域为R;②若f(x)为分式,则要求分母不能为0;③若f(x)为对数式,则要求真数大于0;④若f(x)为根指数是偶数的根式,则要求被开方数非负;⑤f(x)描述实际问题时,要求使实际问题有意义.
若f(x)是由以上几种情况的式子构成的,则常常转化为不等式(组).
◆ 探究点三 对数函数的图象与性质
例3 (1)已知函数f(x)=logax,g(x)=logbx,h(x)=logcx的图象分别对应图中曲线①②③,则下列结论正确的是 ( )
A.a>b>1>c
B.b>a>1>c
C.c>1>a>b
D.c>a>1>b
(2)函数y=loga(x+3)+5(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,则A点的坐标为 ( )
A.(2,-3) B.(-2,6)
C.(-3,5) D.(-2,5)
(3)在同一直角坐标系中指数函数y=ax,对数函数y=logbx的图象如图所示,则下列关系成立的是 ( )
A.0C.0变式 (1)在同一个坐标系中,函数f(x)=logax,g(x)=a-x,h(x)=xa的图象可能是 ( )
(2)已知函数f(x)=loga(4x-7)-3(a>0,且a≠1)的图象恒过点P(m,n),则m+n= ( )
A.-2 B.-1
C.1 D.2
[素养小结]
1.处理对数函数图象问题的3个注意点:
(1)明确图象的分布区域.对数函数的图象经过第一、四象限.当x趋近于0时,函数图象会越来越靠近y轴,但永远不会与y轴相交.
(2)建立分类讨论的思想.在画对数函数图象之前要先判断对数的底数a的取值范围是a>1,还是0(3)牢记特殊点.对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象经过点(1,0),(a,1)和.
2.对数型函数的图象一般以函数y=logax的图象为基础,通过平移、对称变换得到.
◆ 探究点四 对数函数的图象与性质的应用
例4 (1)已知函数f(x)=logax(a>0,a≠1).若曲线y=f(x)过点(8,3),则不等式f(2x)(2)比较下列各组中两个值的大小.
①log21.9,log21.5;②log0.70.1与log0.70.2;
③log23,log0.32;④log30.2,log40.2;
⑤loga5.1,loga5.9(a>0且a≠1).
变式 (1)设a=log3,b=log53,c=,则 ( )
A.aC.b(2)不等式lo(x2-x-2)>lo(x-1)-1的解集为 .
[素养小结]
比较对数值大小的常用方法如下:
(1)同底数的两个对数值的大小比较,根据对数函数的单调性比较;
(2)底数不同且真数也不相同的两个对数值的大小比较,常引入中间量进行比较,通常取中间量为-1,0,1等;
(3)底数不同而真数相同的两个对数值的大小比较,常用数形结合思想来解决,也可用换底公式化为同底,再根据对数函数的单调性进行比较.6.3 对数函数
第1课时 对数函数的概念与图象
1.下列函数是对数函数的是 ( )
A.y=log2(x+2)
B.y=log(π-e)x
C.y=logx2(x>0,且x≠1)
D.y=log2
2.函数y=loga(x-1)+2(a>0且a≠1)的图象过定点 ( )
A.(1,0) B.(1,1)
C.(2,2) D.(2,0)
3.函数f(x)=log2x-2在[,8]上的取值范围为 ( )
A. B.
C. D.
4.[2025·甘肃天水一中期中] 若loga<1(a>0且a≠1),则a的取值范围是 ( )
A.
B.
C.∪(1,+∞)
D.∪
5.如图中曲线C1,C2,C3,C4是底数a取不同值时指数函数y=ax或对数函数y=logax的图象,已知a取,,,2,则图中曲线C1,C2,C3,C4对应的函数中a的值依次为 ( )
A.,,,2
B.,,2,
C.2,,,
D.2,,,
6.已知a=log43,b=log53,c=log45,则 ( )
A.bC.a7.[2025·北京北师大实验中学高一月考] 函数f(x)=ln(-x2+2x)+的定义域为 .
8.已知函数f(x)=logax(a>0,a≠1)的图象经过点(2,-1),则不等式f(x)9.(13分)求下列函数的定义域:
(1)y=;
(2)y=ln(x+1)+.
10.[2025·江苏苏州中学月考] 已知偶函数f(x)满足f(x-2)=f(x+2)且在[0,2]上的解析式为f(x)=则f(2026)+f(2027)= ( )
A.0 B.1
C.2 D.3
11.[2025·江苏金湖中学高一月考] 设a=log36,b=21.2,c=lo4,则 ( )
A.bC.c12.(多选题)已知函数f(x)=logax(a>0,且a≠1)的图象经过点(9,2),则下列说法正确的是( )
A.a=2
B.函数f(x)为增函数
C.若x>3,则f(x)>1
D.若0f
13.若函数f(x)=是减函数,则实数a的取值范围为 .
14.(15分)已知f(x)=logax(a>0且a≠1).
(1)若曲线y=f(x)过点,求函数y=f(x2+2)的值域;
(2)若存在x,使f(x-1)+f(2x+3)-2f[a(x+1)]=0成立,求实数a的取值范围.
15.[2025·江苏苏州大学附中高一检测] 给定条件:①f(x2)=2f(x);②对任意x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,都有>0.写出同时满足条件①②的函数f(x)的一个解析式:f(x)= .
16.(15分)[2025·上海师大附中月考] 已知函数f(x)=logax,其中a>0且a≠1.
(1)若函数y=f(x)的图象过点(4,2),求不等式f(2x-2)(2)若存在实数x,使得f(x+1)+f(x+2)=2f(ax)成立,求a的取值范围.