(共86张PPT)
6.3 对数函数
第2课时 对数函数图象与性质的综
合应用
探究点一 与对数函数有关的图象变换
探究点二 反函数的概念
探究点三 对数型函数图象、性质的综合应用
探究点四 对数函数的实际应用
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
能借助于具体的指数函数和对数函数的图象，得出对数函数
,且与指数函数 互为反函数.
知识点一 反函数的概念
对数函数 和_______互为反函数.若两个函数
互为反函数,则它们的图象关于直线 对称.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）函数与 互为反函数．( )
×
（2）函数与的图象关于直线 对称．( )
√
（3）函数与的图象关于直线 对称.( )
×
[解析] 由，得，因此 的反函数为
，则与的图象关于直线 对称.
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（4）函数与的图象关于直线 对称.( )
×
[解析] 由，得,则函数的反函数为 ，
另外 也不是指数函数.
知识点二 型函数性质的研究
1.定义域:由解得 的取值范围,即为函数的定义域.
2.值域:先由函数的定义域确定 的值域,再由
的单调性确定函数的值域.
3.单调性:在定义域内考虑与 的单调性,根据_______
_____法则判定.（或运用单调性定义判定）
同增
异减
4.奇偶性:根据奇偶函数的定义判定.
5.最值:先在的条件下,确定的值域,再根据 确定函数
的单调性,最后确定最值.
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）在 上单调递增．( )
√
（2）函数的值域为 ．( )
×
（3）函数的最小值为 .( )
×
[解析] 因为，而函数在 上是减函数，
所以的最大值为 .
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（4）函数 是偶函数.( )
√
[解析] 函数的定义域为 ，关于原点对称，且
对任意 ，都有
，则函数 为偶函数.
2.函数 的定义域是___________________，值域是___，
奇偶性是________，增区间是________.
偶函数
探究点一 与对数函数有关的图象变换
例1 已知，满足 ，试画出函数
的图象.
解：由题意得，解得 ，
故，
作 的图象，如图中虚线所示，
将函数 的图象向左平移1个单位长度，
即可得函数 的图象，如图中实线所示.
变式（1）分别说出下列两个函数的图象和函数 图象的关系，
并在同一平面直角坐标系中画出它们的图象：
① ；
解：函数 的图象与函数
的图象关于 轴对称，两图象
如图甲（横、纵轴单位长度不同）.
变式（1）分别说出下列两个函数的图象和函数 图象的关系，
并在同一平面直角坐标系中画出它们的图象：
② .
解：函数的图象与函数 的图象关于
轴对称，两图象如图乙（横、纵轴单位长度不同）.
（2）画出函数 的图象，并写出函数的值域及单调
区间.
解： 函数 的图象可以按下面步骤得到：
①先把函数 的图象向左平移1个单位长度，得到
函数 的图象；
②再把函数的图象在轴及其上方部分不变，在 轴
下方的部分沿轴翻折到轴上方，即可得到函数 的
图象，如图所示.
函数的值域为 .
由图知，函数的减区间为 ，增区间为
.
探究点二 反函数的概念
例2（1）函数 的反函数为________________，该反
函数的值域为________，定义域为________.
[解析] 由得 ，所以函数
的反函数为，
值域为 ，定义域为 .
（2）函数 的反函数图象过定点
______.
[解析] 互为反函数的函数图象关于直线 对称，
由于函数的图象恒过点 ，所以其反函数的
图象过点 .
变式 若点在函数 的图象上，点
在的反函数图象上，则 ____.
[解析] 方法一：由点在函数 的图象上，得
，即，解得.
由 的反函数为，则，解得 .
方法二：由点在函数 的图象上，得
，即，解得，则 .
又点在的反函数图象上， 点在 的图象上，则
.
［素养小结］
（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线
对称；（2）原函
数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域.
探究点三 对数型函数图象、性质的综合应用
角度1 与对数函数有关的复合函数的单调性
例3（1）函数 的增区间是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 令，解得或，可知 的定义域
为，
因为二次函数 的图象开口向上，对称轴为，所
以在 内单调递增，在内单调递减，
又因为 在定义域内单调递增，所以在
内单调递增，在 内单调递减，所以的增区间是
，故选D.
（2）［2025·江西南昌二中高一月考］已知关于 的函数
在上单调递增，则实数 的取值范
围是( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意，函数在 上单调递减，且
对于任意 恒成立，
则 解得 .故选A.
√
变式（1）已知函数在 上单调递增，
则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 由或 ，
易知函数在上单调递减，在 上单调递增.
又函数在上单调递增，所以，即的取值范围为
.故选D.
√
（2）（多选题）下列函数在区间 上单调递增的是( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] 在 上单调递增，故 A正确;
的定义域为，故该函数在
上无意义，故B错误;
是由 （减函数）和（在上单调递
减）复合而成的，故该函数在 上单调递增，故C正确;
因为 恒成立，所以函数
的定义域为 ，又是由
（减函数）和 （在上不单调）复合而成的，
所以该函数在 上不单调，故D错误.故选 .
［素养小结］
求形如
的函数的单调区间时,一定树立定义域优先的意
识,即由
先求定义域，然后借助函数的性质研究函数
和
在定义域内的单调性,从而判定
的
单调性，即可求得函数的单调区间.
角度2 与对数函数有关的复合函数的值域或最值
例4 ［2025·福建莆田二中高一月考］设
，且 .
（1）求的值及 的定义域；
解：因为 ，且
，
所以，即，解得 .
故 ,
由解得,故的定义域为 .
例4 ［2025·福建莆田二中高一月考］设
，且 .
（2）求在区间 上的最值.
解：因为， ，
且，在上单调递增，在
上单调递减， 在定义域上单调递增，
所以在上单调递增，在 上单调递减，
又，， ，
所以在区间上的最大值为，最小值为 .
变式 已知函数, .
（1）当时，求 的值域；
解：当时，, ,
令,因为在上单调递增，所以 ,
则在上单调递减，在 上单调递增.
当时，；当或时， .
所以的值域为 .
变式 已知函数, .
（2）设的最小值为,求 的解析式.
解：, ,
令,则 ,
则, .
①当，即时,在 上单
调递增，
又 在定义域上是增函数，所以
;
②当，即时, 在
上单调递减，在 上单调递增，
又 在定义域上是增函数，所以
;
③当，即时,在 上单
调递减，
又 在定义域上是增函数，所以
.
综上，
［素养小结］
求与对数函数有关的复合函数的值域或最值时,主要考虑对数函数的
单调性，若是与二次函数复合的函数,还要考虑二次函数的单调性.
探究点四 对数函数的实际应用
例5 （多选题）氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核
由一个质子和两个中子组成，并带有放射性，会发生 衰变，其半
衰期是12.43年.样本中氚的质量随时间 （单位:年）的衰变规律满
足，其中 表示氚原有的质量，则（参考数据:
）( )
A.
B.经过24.86年后，样本中的氚元素会全部消失
C.经过62.15年后，样本中的氚元素变为原来的
D.若经过年后，样本中氚元素的含量为，则
√
√
[解析] 由题意得，则 ，左右两边同时取对
数得，可得 ，故A错误；
当时， ，即经过24.86年后，
样本中的氚元素变为原来的，故B错误；
当 时， ，即经过62.15年后，
样本中的氚元素变为原来的 ，故C正确；
对于D，由题意得 ，化简得
，将
代入，可得 ，故D
正确.故选 .
变式 某公司制订了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超
过10万元时，按销售利润的 进行奖励；当销售利润超过10万元
时，若超出万元，则超出部分按 进行奖励．记销售人
员获得的奖金为（单位：万元），销售利润为 （单位：万元）．
（1）写出销售人员获得的奖金关于销售利润 的关系式；
解：由题意知
变式 某公司制订了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超
过10万元时，按销售利润的 进行奖励；当销售利润超过10万元
时，若超出万元，则超出部分按 进行奖励．记销售人
员获得的奖金为（单位：万元），销售利润为 （单位：万元）．
（2）如果销售员老江获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少
万元？
解：由题意知老江的销售利润超过10万元，
令，即， ，解得
， 老江的销售利润是34万元．
［素养小结］
实际问题中对数型函数模型要建模准确，计算时充分利用对数运算
性质，注意变量的实际意义．
对反函数的理解
（1）由，且得出 ,根据函数定义知,对
每一个在区间上的值,均有唯一的值与之对应,故是 的函
数,习惯上用作为自变量,用作为函数值,则称是 的
反函数.与，且 互为反函数.
（2）指数函数，且 的定义域、值域分别是对数
函数，且 的值域、定义域.
（3）指数函数，且 的图象与对数函数
，且的图象关于直线 对称.
（4）函数，且与，且 在
各自的定义域内单调性相同,即当时,都为增函数,当 时,
都为减函数.
1.利用换元法和复合函数的单调性求复合函数 的值域
（1）分解成 , 两个函数;
（2）求 的定义域;
（3）求 的取值范围;
（4）利用 的单调性进行求解.
例1 函数 的值域为__________.
[解析] 要使函数有意义，则 ，解得
，则函数的定义域为 .
设 ，则
在上的取值范围为 ，
又函数在上单调递减，所以，则函数
的值域为 .
例2 ［2025·河南洛阳强基联盟高一联考］已知函数
.
（1）当时，求函数 的值域；
解：当时，，
因为 ，
所以，故的值域是 .
例2 ［2025·河南洛阳强基联盟高一联考］已知函数
.
（2）若函数的最大值是，求 的值；
解：因为函数的最大值是，所以由对数函数 的单调
性知的最大值为 .
令， ，
若，则 的图象为开口向上的抛物线在纵轴右侧的部分，没
有最大值，不满足题意.
由（1）知 也不满足题意.
所以，此时，在 处取得最大值，
，解得
（舍去正值）.
例2 ［2025·河南洛阳强基联盟高一联考］已知函数
.
（3）已知，，且在区间 上的取值范围
为，求实数 的取值范围.
解：令，，当
时， ，
令，则图象的对称轴为 ，
由得 ，所以在上单调递增，
又在 上单调递增，
所以在 上单调递增，
所以即
所以关于的方程 有两个不
等正实根，
即 有两个不等正实根，
即 有两个大于1的不等实根，
所以解得 ，
即实数的取值范围为 .
2.利用对数型函数综合性质解决问题
例3 ［2025·广东深圳宝安中学高一期中］已知函数
, .
（1）求关于的不等式 的解集；
解：不等式即为 ，
令，则 ，即
，
即，即 .
当时，，解得，所以，解得 且
；
当时，，则由，解得 或
，
所以或，解得或 ；
当时，，则由，解得 或
，
所以或，解得或 .
综上，当时，不等式的解集为 ；
当时，不等式的解集为 ；
当时，不等式的解集为 .
例3 ［2025·广东深圳宝安中学高一期中］已知函数
, .
（2）当时，若对任意恒成立，求 的
取值范围.
解：由题意知对任意 恒
成立，
令，，则， 对任意
恒成立，
所以对任意 恒成立.
因为函数在上单调递增，也在 上单调递增，
所以函数在上单调递增，该函数在 上的最大
值为 ，
故 .
练习册
1.函数 的反函数的定义域为( )
A. B. C. D.
[解析] 由对数函数的性质可得，函数 的值域
为，则其反函数的定义域为 .故选D.
√
2.函数 的值域为( )
A. B. C. D.
[解析] ,,， 函数 的值
域为 .故选A.
√
3.某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的
特殊动物，已知该动物的繁殖数量（只）与引入时间 （年）的关
系为 ，若该动物在引入一年后的数量为100只，则
第7年它们发展到( )
A.300只 B.400只 C.600只 D.700只
[解析] 将，代入 ，得
，解得，当 时，
.故选A.
√
4.[ 江苏淮安中学高一二联］函数 的大致图象是
( )
A. B. C. D.
[解析] 的图象就是由的图象在 轴及其上方部分不
变，在轴下方部分沿轴翻折到 轴上方得到.故选D.
√
5.［2025·福建厦门一中期中］函数 的增区间为
( )
A. B. C. D.
[解析] 由，即 ，
解得，则函数的定义域为 .
由函数表示开口向下，且对称轴为 的抛物线，
为增函数，
结合复合函数的单调性的判定方法，可得函数
的增区间为 .故选A.
√
6.设函数 ，则下列说法正确的是( )
A.在上是增函数 B.在 上是减函数
C.在上单调递增 D.在 上单调递增
[解析] 因为在 上为
增函数，所以在上单调递减，在 上单调递增.故选C.
√
7.函数与且互为反函数，且 的图象
过点，则 ____.
[解析] 由题意可得，的图象过点 ，则点
在的图象上，即，解得 ，所以
，所以 .
8.已知函数为奇函数，则实数 的值为___.
1
[解析] 由得,由函数 为奇函数，得
的定义域关于原点对称，，所以 ，
，显然等式成立，所以 .
9.（13分）已知定义在上的函数 ，且
在 上的最大值为1.
（1）求 的值；
解：， 函数在 上单调递增.
在 上的最大值为1，
，解得 .
9.（13分）已知定义在上的函数 ，且
在 上的最大值为1.
（2）令，求函数 的值域.
解： ，
.
由解得， 函数的定义域为 .
令，则， ，
的值域为 .
10.（13分）［2025·北京北大附中元培学院高一期中］ 天文学中用
星等表示星体亮度，星等的数值越小，星体越亮.视星等是指观测者
用肉眼所看到的星体亮度；绝对星等是假定把恒星放在距地球32.6光
年的地方测得的恒星的亮度，反应恒星的真实发光本领.如果两颗恒
星的亮度分别为,，视星等分别为, ，那么
.
（1）已知太阳的视星等是 ，夜空中最亮的恒星天狼星的视星
等是 ，求太阳与天狼星的亮度之比.（保留两位有效数字，
）
解：设太阳、天狼星的视星等分别是, ，亮
度分别为, ，
由题意可知 ，可得
，
所以太阳与天狼星的亮度之比约为 .
10.（13分）［2025·北京北大附中元培学院高一期中］ 天文学中用
星等表示星体亮度，星等的数值越小，星体越亮.视星等是指观测者
用肉眼所看到的星体亮度；绝对星等是假定把恒星放在距地球32.6光
年的地方测得的恒星的亮度，反应恒星的真实发光本领.如果两颗恒
星的亮度分别为,，视星等分别为, ，那么
.
（2）如果一颗恒星的绝对星等、视星等分别是, ，与地球的距离
是光年，那么 .已知天狼星、织女星、牛郎星的
绝对星等、视星等如下表：
星体 视星等 绝对星等
天狼星 1.44
织女星 0.00 0.55
牛郎星 0.75 2.19
把这三颗恒星按照距离地球从近到远的顺序排序.
解：由，可得 ，
则随着 增大而增大，
星体 视星等 绝对星等
天狼星 1.44
织女星 0.00 0.55
牛郎星 0.75 2.19
由表可知， 由小到大依次为天狼星、牛郎星、织女星，
所以这三颗恒星按照距离地球从近到远的顺序排序为天狼星、牛郎
星、织女星.
10.（13分）［2025·北京北大附中元培学院高一期中］ 天文学中用
星等表示星体亮度，星等的数值越小，星体越亮.视星等是指观测者
用肉眼所看到的星体亮度；绝对星等是假定把恒星放在距地球32.6光
年的地方测得的恒星的亮度，反应恒星的真实发光本领.如果两颗恒
星的亮度分别为,，视星等分别为, ，那么
.
（3）如果一颗恒星的视星等大于绝对星等，能由此推断出什么结论？
解：由（2）知，若一颗恒星的视星等大于绝对星等，则 ，
可知 ，
所以该恒星与地球的距离大于32.616光年.
11.（多选题）［2025·江西南昌十中高一月考］ 关于函数
，下列说法正确的有( )
A. B.函数的图象关于 轴对称
C.函数的图象关于原点对称 D. 在定义域上单调递减
√
√
[解析] 对于A，由，可得 ，故
A正确；
对于B,C,因为 ，其定义域为
，显然定义域关于原点对称，
且，即 为奇函
数，所以 的图象关于原点对称，故B错误，C正确；
设，则，因为在和
上单调递减，且 在定义域上单调递增，所以
在和 上单调递减，故D错误.故
选 .
12.［2025·江苏太湖高级中学高一月考］已知函数
若，则 的取
值范围为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为函数在上单调递减，在 上单调递增，且
，所以， ，且，
令，则， ，，所以
，
设函数，，则易知在 上单调
递增，所以，即，所以
.故选B.
13.已知函数在 上单调递增，则实
数 的取值范围为________.
[解析] 令，，因为 在定义域上
为增函数,函数在 上单调递增，所
以在上单调递增，且
对任意恒成立，
则解得 ，故实数的取值范围是 .
14.已知函数,，则函数
的值域为_______.
[解析] 由得，所以 的定义
域是
，
令，，则 ，，所以当 时，，当时，
，所以所求函数的值域为 .
15.已知函数，若当的定义域为 时实
数的取值范围为集合，当的值域为时实数 的取值范围为集
合 ，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 对于A选项，若的定义域为,则对任意 ，都有
.当时，，解得，故 的
定义域不是，不满足题意；当 时，由
.故要想的定义域为，实数 的取值
范围为，故 ，A错误.
对于B选项，若的值域为，则 能取到所有正
数.当时，能取到所有正数，满足要求；当 时，要
想能取到所有正数，必须且 ，解
得.综上，，故 ，故B错误.
对于C，D选项， , ，故C错误，D正确.
故选D.
16.（15分）[ 江苏盐城中学高一月考］
（1）已知函数，求在 上的最大值.
解：作函数 的图象如图，
所以函数在上单调递减，在 上
单调递增，且 .
所以当时，在上的最大值为 ；
当时，在上的最大值为 .
16.（15分）[ 江苏盐城中学高一月考］
（2）设函数的定义域为，若存在区间 ，满足：对任意
，存在，使得，则称区间为的“
区间”.已知函数的定义域为 ，若区间
为函数的“ 区间”，求 的最大值.
解：当时，在 上的取值范围为
，在上的取值范围为 ，
满足对任意，存在，使得 ;
当时，在上的取值范围为在 上的
取值范围为 ，当时，，所以
存在 ，，即存在，对任意 ，
都有 ，不满足题意；
当时，同理可得不满足题意.
所以，即 的最大值是1.
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一
【诊断分析】 （1）× （2）√ （3）× （4）×
知识点二
3.同增异减 【诊断分析】 1.（1）√ （2）× （3）× （4）√
2. 偶函数
课中探究 探究点一 例1 图略 变式（1）①图象关于轴对称，图略 ②图象关于轴对称，图略
（2）图略， ， 值域为
，增区间为
探究点二 例2 （1）
（2）
变式
探究点三 角度1 例3 （1）D （2）A 变式 （1）D （2）AC
角度2 例4 （1）
，
的定义域为
（2）最大值为
，最小值为
.
变式 （1）
（2）
m>探究点四 例5 CD 变式 （1）
（2）34万元
练习册
基础巩固 1.D 2.A 3.A 4.D 5.A 6.C 7. 8.1 9.（1）（2）
10.（1）约为
（2）这三颗恒星按照距离地球从近到远的顺序排序为天狼星、牛郎星、织女星.
（3）该恒星与地球的距离大于32.616光年
综合提升 11.AC 12.B 13.
14.
思维探索 15.D 16.（1）当
时，
在
上的最大值为
；当
时，
在
上的最大值为
（2）
的最大值是1
第2课时 对数函数图象与性质的综合应用
【课前预习】
知识点一
y=ax
诊断分析
(1)× (2)√ (3)× (4)× [解析] (3)由y=2x+1,得x=y-,因此y=2x+1的反函数为y=x-,则y=2x+1与y=x-的图象关于直线y=x对称.
(4)由y=log5x,得x=5y,则函数y=log5x的反函数为y=5x,另外y=(-5)x也不是指数函数.
知识点二
3.同增异减
诊断分析
1.(1)√ (2)× (3)× (4)√ [解析] (3)因为t=x2+5≥5,而函数y=log0.2t在(0,+∞)上是减函数,所以y=log0.2(x2+5)的最大值为log0.25=lo5=-1.
(4)函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,且对任意x∈(-∞,0)∪(0,+∞),都有f(-x)=log5|-x|=log5|x|=f(x),则函数f(x)为偶函数.
2.(-∞,-1)∪(1,+∞) R 偶函数 (1,+∞)
【课中探究】
探究点一
例1 解:由题意得f(-5)=loga|-5|=loga5=1,解得a=5,
故f(x)=log5|x|,作f(x)的图象,如图中虚线所示,将函数f(x)=log5|x|的图象向左平移1个单位长度,
即可得函数y=log5|x+1|的图象,如图中实线所示.
变式 解:(1)①函数y=lg x的图象与函数y=lg(-x)的图象关于y轴对称,两图象如图甲(横、纵轴单位长度不同).
②函数y=-lg x的图象与函数y=lg x的图象关于x轴对称,两图象如图乙(横、纵轴单位长度不同).
(2)函数y=|log2(x+1)|的图象可以按下面步骤得到:
①先把函数y=log2x的图象向左平移1个单位长度,得到函数y=log2(x+1)的图象;
②再把函数y=log2(x+1)的图象在x轴及其上方部分不变,在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方,即可得到函数y=|log2(x+1)|的图象,如图所示.∴函数y=|log2(x+1)|的值域为[0,+∞).
由图知,函数y=|log2(x+1)|的减区间为(-∞,0),增区间为(0,+∞).
探究点二
例2 (1)y=lox(x≥1) [0,+∞) [1,+∞) (2)(2,0)
[解析] (1)由y=(x≥0)得x=loy(y≥1),所以函数y=(x≥0)的反函数为y=lox(x≥1),值域为[0,+∞),定义域为[1,+∞).
(2)互为反函数的函数图象关于直线y=x对称,由于函数y=loga(x+1)+2的图象恒过点(0,2),所以其反函数的图象过点(2,0).
变式 -2 [解析] 方法一:由点P(4,2)在函数f(x)=logax的图象上,得f(4)=loga4=2,即a2=4,解得a=2.由f(x)=log2x的反函数为g(x)=2x,则g(m)=2m=,解得m=-2.
方法二:由点P(4,2)在函数f(x)=logax的图象上,得f(4)=loga4=2,即a2=4,解得a=2,则f(x)=log2x.又点Q在f(x)的反函数图象上,∴点在f(x)的图象上,则m=log2=-2.
探究点三
例3 (1)D (2)A [解析] (1)令x2-2x-8>0,解得x>4或x<-2,可知f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(4,+∞),因为二次函数u=x2-2x-8的图象开口向上,对称轴为x=1,所以u=x2-2x-8在(4,+∞)内单调递增,在(-∞,-2)内单调递减,又因为y=ln u在定义域内单调递增,所以f(x)=ln(x2-2x-8)在(4,+∞)内单调递增,在(-∞,-2)内单调递减,所以f(x)的增区间是(4,+∞),故选D.
(2)由题意,函数y=x2+ax+a-1在(-4,-3)上单调递减,且x2+ax+a-1>0对于任意x∈(-4,-3)恒成立,则解得a≤4.故选A.
变式 (1)D (2)AC [解析] (1)由x2-4x-5>0 (x+1)(x-5)>0 x<-1或x>5,易知函数f(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(5,+∞)上单调递增.又函数f(x)在(a,+∞)上单调递增,所以a≥5,即a的取值范围为[5,+∞).故选D.
(2)y=log2(x+1)在(0,+∞)上单调递增,故 A正确;y=log2的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),故该函数在(0,1]上无意义,故B错误;y=log0.2是由y=log0.2u(减函数)和u=(在(0,+∞)上单调递减)复合而成的,故该函数在(0,+∞)上单调递增,故C正确;因为x2-4x+5=(x-2)2+1>0恒成立,所以函数y=lo(x2-4x+5)的定义域为R,又y=lo(x2-4x+5)是由y=lot(减函数)和t=x2-4x+5(在(0,+∞)上不单调)复合而成的,所以该函数在(0,+∞)上不单调,故D错误.故选AC.
例4 解:(1)因为f(x)=loga(1+x)+loga(3-x)(a>0,a≠1),且f(1)=2,
所以f(1)=loga2+loga2=2,即loga2=1,解得a=2.
故f(x)=log2(1+x)+log2(3-x),
由解得-1(2)因为f(x)=log2(1+x)+log2(3-x)=log2[(1+x)(3-x)]=log2(-x2+2x+3),x∈,
且y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,在上单调递增,在(1,2)上单调递减,y=log2x在定义域上单调递增,
所以f(x)在上单调递增,在(1,2)上单调递减,
又f(1)=2,f(2)=log23,f=log2>log23,
所以f(x)在区间上的最大值为f(1)=2,最小值为f(2)=log23.
变式 解:(1)当m=-2时,f(x)=(log2x)2-4log2x+4,x∈[2,8],令t=log2x,因为t=log2x在[2,8]上单调递增,所以t=log2x∈[1,3],则y=t2-4t+4=(t-2)2在[1,2]上单调递减,在[2,3]上单调递增.
当t=2时,ymin=0;当t=1或t=3时,ymax=1.
所以f(x)的值域为[0,1].
(2)f(x)=(log2x)2+2mlog2x+2-m,x∈[2,8],
令t=log2x,则t=log2x∈[1,3],
则y=t2+2mt+2-m=(t+m)2-m2+2-m,t∈[1,3].
①当-m≤1,即m≥-1时,y=(t+m)2-m2+2-m在[1,3]上单调递增,
又t=log2x在定义域上是增函数,所以h(m)=(1+m)2-m2+2-m=m+3;
②当1<-m<3,即-3又t=log2x在定义域上是增函数,所以h(m)=(-m+m)2-m2+2-m=-m2-m+2;
③当-m≥3,即m≤-3时,y=(t+m)2-m2+2-m在[1,3]上单调递减,
又t=log2x在定义域上是增函数,所以h(m)=(3+m)2-m2+2-m=5m+11.
综上,h(m)=
探究点四
例5 CD [解析] 由题意得N=N0·,则=,左右两边同时取对数得log2=-,可得t=-12.43log2,故A错误;当t=24.86时,N=N0·=2-2·N0=N0,即经过24.86年后,样本中的氚元素变为原来的,故B错误;当t=62.15时,N=N0·=2-5·N0=N0,即经过62.15年后,样本中的氚元素变为原来的,故C正确;对于D,由题意得0.4N0=N0·,化简得x=-12.43log2=-12.43log2=-12.43(log22-log25)=-12.43(1-log25)=-12.43=-12.43,将lg 2≈0.301代入,可得x≈-12.43≈16.44>16,故D正确.故选CD.
变式 解:(1)由题意知y=
(2)由题意知老江的销售利润超过10万元,令1.5+2log5(x-9)=5.5,即log5(x-9)=2,∴x-9=52,解得x=34,∴老江的销售利润是34万元.第2课时 对数函数图象与性质的综合应用
1.D [解析] 由对数函数的性质可得,函数y=log3x的值域为[-1,4],则其反函数的定义域为[-1,4].故选D.
2.A [解析] ∵3x>0,∴3x+1>1,∴log2(3x+1)>0,∴函数f(x)的值域为(0,+∞).故选A.
3.A [解析] 将x=1,y=100代入y=alog2(x+1),得100=alog2(1+1),解得a=100,当x=7时,y=100log2(7+1)=300.故选A.
4.D [解析] y=|ln x|的图象就是由y=ln x的图象在x轴及其上方部分不变,在x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方得到.故选D.
5.A [解析] 由-x2+2x+3>0,即x2-2x-3=(x-3)(x+1)<0,解得-16.C [解析] f(x)=|lg x|=因为y=lg x在(0,+∞)上为增函数,所以f(x)在(0,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增.故选C.
7.-1 [解析] 由题意可得f(x)=logax,g(x)的图象过点(-2,4),则点(4,-2)在f(x)的图象上,即-2=loga4,解得a=,所以f(x)=lox,所以f(1)+f(2)=lo1+lo2=0-1=-1.
8.1 [解析] 由>0得(x+1)(x-a)<0,由函数f(x)为奇函数,得f(x)的定义域关于原点对称,f(x)=-f(-x),所以a=1,log3=-log3,显然等式成立,所以a=1.
9.解:(1)∵a>1,∴函数f(x)=logax在上单调递增.
∵f(x)在上的最大值为1,
∴f(3)=loga3=1,解得a=3.
(2)∵a=3,∴F(x)=log3+log3=log3=log3.
由解得-令t=-x2,则t∈,∴F(x)≤log3=-2,
∴F(x)的值域为(-∞,-2].
10.解:(1)设太阳、天狼星的视星等分别是m2=-26.70,m1=-1.47,亮度分别为E2,E1,
由题意可知(-26.70)-(-1.47)=-2.5lg,可得=1010.092=1010×100.092≈1.2×1010,
所以太阳与天狼星的亮度之比约为1.2×1010.
(2)由M=m+5lg,可得d=32.616×1,
则d随着m-M增大而增大,
星体 视星等 绝对星等 m-M
天狼星 -1.47 1.44 -2.91
织女星 0.00 0.55 -0.55
牛郎星 0.75 2.19 -1.44
由表可知,m-M由小到大依次为天狼星、牛郎星、织女星,
所以这三颗恒星按照距离地球从近到远的顺序排序为天狼星、牛郎星、织女星.
(3)由(2)知,若一颗恒星的视星等大于绝对星等,则m-M>0,可知d=32.616×1>32.616,
所以该恒星与地球的距离大于32.616光年.
11.AC [解析] 对于A,由f(x)=log3,可得f(2)=log33=1,故A正确;对于B,C,因为f(x)=log3=log3,其定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),显然定义域关于原点对称,且f(-x)=log3=log3=log3=-f(x),即f(x)为奇函数,所以f(x)的图象关于原点对称,故B错误,C正确;设t=+1,则y=log3t,因为t=+1在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递减,且y=log3t在定义域上单调递增,所以f(x)=log3在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递减,故D错误.故选AC.
12.B [解析] 因为函数f(x)在上单调递减,在[1,2]上单调递增,且f(a)=f(b)(a13.[8,+∞) [解析] 令t=-x2+ax+15,x∈,因为y=log2t在定义域上为增函数,函数f(x)=log2(-x2+ax+15)在上单调递增,所以t=-x2+ax+15在上单调递增,且t=-x2+ax+15>0对任意x∈恒成立,则解得a≥8,故实数a的取值范围是[8,+∞).
14.[6,13] [解析] 由得1≤x≤3,所以y=[f(x)]2+f(x2)的定义域是[1,3].y=[f(x)]2+f(x2)=(2+log3x)2+2+log3x2=(log3x)2+6log3x+6,令t=log3x,x∈[1,3],则t∈[0,1],y=[f(x)]2+f(x2)=t2+6t+6=(t+3)2-3,所以当t=0时,ymin=6,当t=1时,ymax=13,所以所求函数的值域为[6,13].
15.D [解析] 对于A选项,若f(x)的定义域为R,则对任意x∈R,都有ax2+2x+3>0.当a=0时,2x+3>0,解得x>-,故f(x)的定义域不是R,不满足题意;当a≠0时,由 a>.故要想f(x)的定义域为R,实数a的取值范围为a>,故A=,A错误.对于B选项,若f(x)的值域为R,则y=ax2+2x+3能取到所有正数.当a=0时,2x+3能取到所有正数,满足要求;当a≠0时,要想ax2+2x+3能取到所有正数,必须Δ=4-12a≥0且a>0,解得016.解:(1)f(x)=作函数f(x)的图象如图,所以函数f(x)在(0,1]上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,且f=f(2)=1.
所以当当m>2时,f(x)在上的最大值为f(m)=log2m.
(2)当满足对任意x1∈A,存在x2∈ IA,使得f(x1)=f(x2);
当1当1≤x1当a=2时,同理可得不满足题意.所以【学习目标】
能借助于具体的指数函数和对数函数的图象,得出对数函数y=logax(a>0,且a≠1)与指数函数y=ax互为反函数.
◆ 知识点一 反函数的概念
对数函数y=logax(a>0,a≠1)和 互为反函数.若两个函数互为反函数,则它们的图象关于直线y=x对称.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y=log4x与y=x4互为反函数. ( )
(2)函数y=3x与y=log3x的图象关于直线y=x对称. ( )
(3)函数y=2x+1与y=2x-1的图象关于直线y=x对称. ( )
(4)函数y=log5x与y=(-5)x的图象关于直线y=x对称. ( )
◆ 知识点二 y=logaf(x)型函数性质的研究
1.定义域:由f(x)>0解得x的取值范围,即为函数的定义域.
2.值域:先由函数y=logaf(x)的定义域确定t=f(x)的值域,再由y=logat的单调性确定函数的值域.
3.单调性:在定义域内考虑t=f(x)与y=logat的单调性,根据 法则判定.(或运用单调性定义判定)
4.奇偶性:根据奇偶函数的定义判定.
5.最值:先在f(x)>0的条件下,确定t=f(x)的值域,再根据a确定函数y=logat的单调性,最后确定最值.
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)y=log2x2在(0,+∞)上单调递增. ( )
(2)函数y=lo(x2+1)的值域为[0,+∞).( )
(3)函数y=log0.2(x2+5)的最小值为-1. ( )
(4)函数f(x)=log5|x|是偶函数. ( )
2.函数y=log2(x2-1)的定义域是 ,值域是 ,奇偶性是 ,增区间是 .
◆ 探究点一 与对数函数有关的图象变换
例1 已知f(x)=loga|x|,满足f(-5)=1,试画出函数y=loga|x+1|的图象.
变式 (1)分别说出下列两个函数的图象和函数y=lg x图象的关系,并在同一平面直角坐标系中画出它们的图象:
①y=lg(-x);
②y=-lg x.
(2)画出函数y=|log2(x+1)|的图象,并写出函数的值域及单调区间.
◆ 探究点二 反函数的概念
例2 (1)函数y=(x≥0)的反函数为 ,该反函数的值域为 ,定义域为 .
(2)函数y=loga(x+1)+2(a>0,a≠1)的反函数图象过定点 .
变式 若点P(4,2)在函数f(x)=logax(a>0,a≠1)的图象上,点Q在f(x)的反函数图象上,则m= .
[素养小结]
(1)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称;(2)原函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域.
◆ 探究点三 对数型函数图象、性质的综合应用
角度1 与对数函数有关的复合函数的单调性
例3 (1)函数f(x)=ln(x2-2x-8)的增区间是 ( )
A.(-∞,-2) B.(-∞,-1)
C.(1,+∞) D.(4,+∞)
(2)[2025·江西南昌二中高一月考] 已知关于x的函数y=lo(x2+ax+a-1)在(-4,-3)上单调递增,则实数a的取值范围是 ( )
A.a≤4 B.a<4
C.a≤6 D.a<6
变式 (1)已知函数f(x)=lg(x2-4x-5)在(a,+∞)上单调递增,则a的取值范围是 ( )
A.(-∞,-1] B.(-∞,2]
C.[2,+∞) D.[5,+∞)
(2)(多选题)下列函数在区间(0,+∞)上单调递增的是 ( )
A.y=log2(x+1)
B.y=log2
C.y=log0.2
D.y=lo(x2-4x+5)
[素养小结]
求形如y=logaf(x)的函数的单调区间时,一定树立定义域优先的意识,即由f(x)>0先求定义域,然后借助函数的性质研究函数t=f(x)和y=logat在定义域内的单调性,从而判定y=logaf(x)的单调性,即可求得函数的单调区间.
角度2 与对数函数有关的复合函数的值域或最值
例4 [2025·福建莆田二中高一月考] 设f(x)=loga(1+x)+loga(3-x)(a>0,a≠1),且f(1)=2.
(1)求a的值及f(x)的定义域;
(2)求f(x)在区间上的最值.
变式 已知函数f(x)=(log2x)2+2mlog2x+2-m,x∈[2,8].
(1)当m=-2时,求f(x)的值域;
(2)设f(x)的最小值为h(m),求h(m)的解析式.
[素养小结]
求与对数函数有关的复合函数的值域或最值时,主要考虑对数函数的单调性,若是与二次函数复合的函数,还要考虑二次函数的单调性.
◆ 探究点四 对数函数的实际应用
例5 (多选题)氚,亦称超重氢,是氢的同位素之一,它的原子核由一个质子和两个中子组成,并带有放射性,会发生β衰变,其半衰期是12.43年.样本中氚的质量N随时间t(单位:年)的衰变规律满足N=N0·,其中N0表示氚原有的质量,则(参考数据:lg 2≈0.301) ( )
A.t=12.43log2
B.经过24.86年后,样本中的氚元素会全部消失
C.经过62.15年后,样本中的氚元素变为原来的
D.若经过x年后,样本中氚元素的含量为0.4N0,则x>16
变式 某公司制订了一个激励销售人员的奖励方案:当销售利润不超过10万元时,按销售利润的15%进行奖励;当销售利润超过10万元时,若超出A万元,则超出部分按2log5(A+1)进行奖励.记销售人员获得的奖金为y(单位:万元),销售利润为x(单位:万元).
(1)写出销售人员获得的奖金y关于销售利润x的关系式;
(2)如果销售员老江获得5.5万元的奖金,那么他的销售利润是多少万元
[素养小结]
实际问题中对数型函数模型要建模准确,计算时充分利用对数运算性质,注意变量的实际意义.第2课时 对数函数图象与性质的综合应用
1.函数y=log3x的反函数的定义域为 ( )
A.(0,+∞) B.
C.(1,4) D.[-1,4]
2.函数f(x)=log2(3x+1)的值域为 ( )
A.(0,+∞) B.[0,+∞)
C.(1,+∞) D.[1,+∞)
3.某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖,引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物,已知该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y=alog2(x+1),若该动物在引入一年后的数量为100只,则第7年它们发展到 ( )
A.300只 B.400只
C.600只 D.700只
4.[2025·江苏淮安中学高一二联] 函数y=|ln x|的大致图象是 ( )
A B C D
5.[2025·福建厦门一中期中] 函数y=ln(-x2+2x+3)的增区间为 ( )
A.(-1,1) B.(-∞,1)
C.(1,3) D.(1,+∞)
6.设函数f(x)=|lg x|,则下列说法正确的是 ( )
A.f(x)在(0,+∞)上是增函数
B.f(x)在(0,+∞)上是减函数
C.f(x)在[1,+∞)上单调递增
D.f(x)在(0,1]上单调递增
7.函数f(x)与g(x)=ax(a>0且a≠1)互为反函数,且g(x)的图象过点(-2,4),则f(1)+f(2)= .
8.已知函数f(x)=log3为奇函数,则实数a的值为 .
9.(13分)已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)=logax(a>1),且f(x)在上的最大值为1.
(1)求a的值;
(2)令F(x)=f+f,求函数F(x)的值域.
10.(13分)[2025·北京北大附中元培学院高一期中] 天文学中用星等表示星体亮度,星等的数值越小,星体越亮.视星等是指观测者用肉眼所看到的星体亮度;绝对星等是假定把恒星放在距地球32.6光年的地方测得的恒星的亮度,反应恒星的真实发光本领.如果两颗恒星的亮度分别为E1,E2,视星等分别为m1,m2,那么m2-m1=-2.5lg.
(1)已知太阳的视星等是-26.70,夜空中最亮的恒星天狼星的视星等是-1.47,求太阳与天狼星的亮度之比.(保留两位有效数字,100.092=1.235…)
(2)如果一颗恒星的绝对星等、视星等分别是M,m,与地球的距离是d光年,那么M=m+5lg.已知天狼星、织女星、牛郎星的绝对星等、视星等如下表:
星体 视星等 绝对星等
天狼星 -1.47 1.44
织女星 0.00 0.55
牛郎星 0.75 2.19
把这三颗恒星按照距离地球从近到远的顺序排序.
(3)如果一颗恒星的视星等大于绝对星等,能由此推断出什么结论
11.(多选题)[2025·江西南昌十中高一月考] 关于函数f(x)=log3,下列说法正确的有 ( )
A.f(2)=1
B.函数f(x)的图象关于y轴对称
C.函数f(x)的图象关于原点对称
D.f(x)在定义域上单调递减
12.[2025·江苏太湖高级中学高一月考] 已知函数f(x)=若f(a)=f(b)(aA. B.
C. D.
13.已知函数f(x)=log2(-x2+ax+15)在上单调递增,则实数a的取值范围为 .
14.已知函数f(x)=2+log3x,x∈[1,9],则函数y=[f(x)]2+f(x2)的值域为 .
15.已知函数f(x)=log4(ax2+2x+3),若当f(x)的定义域为R时实数a的取值范围为集合A,当f(x)的值域为R时实数a的取值范围为集合B,则下列结论正确的是 ( )
A.A= B.B=
C.A∩B= D.A∪B=[0,+∞)
16.(15分)[2025·江苏盐城中学高一月考] (1)已知函数f(x)=|log2x|,求f(x)在上的最大值.
(2)设函数f(x)的定义域为I,若存在区间A I,满足:对任意x1∈A,存在x2∈ IA,使得f(x1)=f(x2),则称区间A为f(x)的“Γ区间”.已知函数f(x)=|log2x|的定义域为I=,若区间A=为函数f(x)的“Γ区间”,求a的最大值.