本章总结提升
【素养提升】
题型一
例1 (1)D (2)C [解析] (1)由函数f(x)=(3m2-7m-5)xm-1是幂函数,得3m2-7m-5=1,解得m=3或m=-,当m=3时,f(x)=x2是R上的偶函数,不符合题意;当m=-时,f(x)==是(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,符合题意.所以m=-.故选D.
(2)由题图知y=xa在(0,+∞)上单调递增,且y=xa在(1,+∞)上的图象在直线y=x的上方,∴a>1.y=xb在(0,+∞)上单调递增,且y=xb在(1,+∞)上的图象在直线y=x的下方,∴0
b>c.故选C.
变式 (1)AB (2) [解析] (1)因为函数f(x)=(9m2-3)xm为幂函数,所以9m2-3=1,解得m=±.当m=时,幂函数f(x)=的图象不可能过点,不符合题意;当m=-时,幂函数f(x)=的图象过点,则=,解得n=±=±,故A正确,C错误;f(x)=的定义域为{x|x≠0},且f(-x)=(-x==f(x),则f(x)为偶函数,故B正确;函数f(x)=在(0,+∞)上单调递减,由f(a+1)>f(3-a),可得f(|a+1|)>f(|3-a|),所以解得a<1且a≠-1,故D错误.故选AB.
(2)因为幂函数f(x)=xm-2的图象关于原点对称,且在(0,+∞)上单调递减,所以m-2<0,解得m<2,又m∈N,所以m=0或m=1.当m=0时,f(x)=x-2,为偶函数,其图象关于y轴对称,不满足题意;当m=1时,f(x)=x-1,为奇函数,其图象关于原点对称,满足题意.所以原不等式可化为(a+1<(3-2a,又函数y=是定义域为(0,+∞)的减函数,所以解得(3)解:①由幂函数的定义得(m-1)2=1,解得m=0或m=2.
当m=2时,f(x)=x-2在(0,+∞)上单调递减,与题设矛盾,舍去;当m=0时,f(x)=x2在(0,+∞)上单调递增,符合题意.
综上可知m=0.
②由①得f(x)=x2,当x∈[1,2)时,f(x)∈[1,4),即A=[1,4),g(x)∈[2-k,4-k),即B=[2-k,4-k).
由p是q的必要条件,则B A,显然B≠ ,则即所以实数k的取值范围为0≤k≤1.
③由①可得F(x)=x2-kx+1-k2,则二次函数F(x)的图象开口向上,对称轴为x=,
要使y=|F(x)|在[0,1]上单调递增,则分两种情况如图甲、乙所示,
由图知或解得-1≤k≤0或k≥2,
所以实数k的取值范围为[-1,0]∪[2,+∞).
题型二
例2 (1)C (2)D (3)A [解析] (1)方法一:因为函数f(x)=2-e|x|的定义域为R,f(-x)=2-e|-x|=2-e|x|=f(x),所以函数f(x)为偶函数,排除B,D选项;f(0)=2-1=1,排除A选项.故选C.
方法二:将指数函数y=ex的图象在y轴及其右侧部分不变,在y轴左侧部分去掉,在y轴右侧部分沿y轴对称过去,可得到y=e|x|的图象,再将该图象沿x轴翻折到x轴下方后,向上平移2个单位长度,即可得到f(x)的图象.故选C.
(2)对于y=5-x=,y=2-x=,两函数的定义域为R,因为>,所以①为y=2-x=的图象,②为y=5-x=的图象;对于y=lg x,y=ln x,两函数的定义域为(0,+∞),因为10>e,所以③为y=ln x的图象,④为y=lg x的图象.故选D.
(3)当01时,函数f(x)=loga(x+a)的图象经过第一、二、三象限,如图②.综上可知,函数f(x)=loga(x+a)的图象必经过第一、二象限.故选A.
变式 (1)A (2)A (3)BD [解析] (1)由于对数函数的图象恒过定点(1,0),则令x+3=1,解得x=-2,从而A的坐标为(-2,-1).由A在f(x)图象上,得-1=3-2+b,解得b=-,所以f(x)=3x-.因为log94====log32,所以f(log94)=f(log32)=-=2-=.故选A.
(2)由图可知,函数f(x)的定义域为R,该函数为奇函数,且函数f(x)在(0,+∞)上不单调.对于B选项,由函数f(x)=,得2x-2-x≠0,即2x≠2-x,即x≠-x,解得x≠0,即函数f(x)=的定义域为{x|x≠0},不合乎要求,排除B;对于C选项,函数f(x)=的定义域为R,f(-x)=-=-x·2x≠-f(x),即函数f(x)=不是奇函数,不合乎要求,排除C;对于D选项,函数f(x)=x·2|x|的定义域为R,f(-x)=-x·2|-x|=-x·2|x|=-f(x),则函数f(x)=x·2|x|为奇函数,任取x1,x2∈(0,+∞),且x1>x2,则=>=>0,所以x1·>x2·,即f(x1)>f(x2),则函数f(x)=x·2|x|在(0,+∞)上单调递增,不合乎要求,排除D.故选A.
(3)对于函数y=loga(x-2),有x-2>0,可得x>2,则函数y=loga(x-2)的定义域为(2,+∞).当a>1时,函数y=ax为R上的增函数,函数y=loga(x-2)在(2,+∞)上为增函数,A不合乎要求,B合乎要求;当0题型三
例3 (1)B (2)C (3)1 [解析] (1)对于A,函数y=log0.5x的定义域为(0,+∞),定义域不关于原点对称,则其不具有奇偶性,则A错误;对于B,根据幂函数的性质知,函数y=x3是奇函数,且在R上单调递增,则函数y=-x3也是奇函数,且在R上单调递减,则B正确;对于C,根据幂函数的性质知,函数y=x-1是奇函数,其在(-∞,0)和(0,+∞)上分别单调递减,但在定义域上不是减函数,则C错误;对于D,根据指数函数的性质知,函数y=0.5x不具有奇偶性,则D错误.故选B.
(2)因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0.因为当x∈(0,+∞)时,f(x)=2x,所以f(1)=2.因为f(-1)=-f(1)=-2,所以f(-1)+f(0)=-2.故选C.
(3)由偶函数的定义得f(-x)=f(x),所以ln(e-2x+m)+x=ln(e2x+m)-x,即ln=2x,所以=e2x,即e2x+m=1+me2x,整理得(m-1)(e2x-1)=0,此等式在函数f(x)的定义域内恒成立,所以m-1=0,即m=1.
变式 (1)[-3,-1] (2)x=log34 [解析] (1)由题意,函数f(x)=lg(1+|x|)-满足f(-x)=f(x),故f(x)为偶函数.当x≥0时,f(x)=lg(1+x)-单调递增,当x<0时,f(x)=lg(1-x)-单调递减,故由不等式f(x+2)≤f(-1),得|x+2|≤|-1|,即-1≤x+2≤1,得-3≤x≤-1.
(2)由f(x)是奇函数知f(x)+f(-x)=0,即+a++a=0,化简得2a-1=0,解得a=,因此f(x)=+.依题意,由+=,即3x=4,解得x=log34.故f(x)=的解为x=log34.
例4 (1)B (2)B [解析] (1)因为函数y=0.5x在R上单调递减,且0.6>0.5,所以0.50.6<0.50.5,因为函数y=x0.5在(0,+∞)上单调递增,且0.6>0.5,所以0.60.5>0.50.5,所以0.50.6<0.60.5,又因为0.60.5<0.60=1,所以0log66=1,所以a(2)已知幂函数f(x)=xα的图象经过点,可得3α=,解得α=-2,即f(x)=x-2,易知f(x)=x-2在(0,+∞)上单调递减.由于1=log22f(log23)>f(),即b>a>c.故选B.
变式 (1)C (2)ACD [解析] (1)因为f(x)是定义域为R的偶函数,所以a=f(-)=f(),b=f,c=f=f,因为=,且y=3x是R上的增函数,所以>,又=<33=()9,所以0<<<=.因为f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以f(2)对于A,因为0<0.30.2<1,且y=2x在R上单调递增,所以0<0.30.2<20=1<20.3<20.4=40.2,故A正确;对于B,由f(x)=x-0.1在(0,+∞)上单调递减,可得0.3-0.1>0.4-0.1>0.5-0.1,故B错误;对于C,由g(x)=log3x在(0,+∞)上单调递增,则log30.21可得lg 5>,故D正确.故选ACD.
题型四
例5 解:(1)函数f(x)=logax的定义域为(0,+∞),且f(x)在(0,+∞)上单调,
由函数f(x)在区间[1,4]上的最大值与最小值之和为2,
得loga1+loga4=2,即2loga2=2logaa,解得a=2,于是f(x)=log2x.
由f<1,得log20,得x<-1或x>1;
由<2,即>0,得x<-3或x>-1.
因此x<-3或x>1,所以不等式f<1的解集为{x|x<-3或x>1}.
(2)由(1)知,g(x)=f·f(2x)=log2·log2(2x)=(log2x-2)·(log2x+1)=(log2x)2-log2x-2,
令log2x=t,由x∈[1,4],得t∈[0,2],令h(t)=t2-t-2=-,t∈[0,2],
当t=时,h(t)取得最小值-,此时x=;
当t=2时,h(t)取得最大值0,此时x=4.
所以函数g(x)的值域为,当g(x)取最小值时x=,当g(x)取最大值时x=4.
变式1 解:(1)由得-2f(x)=loga[(x+2)(4-x)],令t=(x+2)(4-x)=-(x-1)2+9,该函数在(-2,1)上单调递增,在(1,4)上单调递减,
而f(t)=logat,0所以f(x)的减区间为(-2,1).
(2)f(x)=loga[(x+2)(4-x)],x∈[0,3],令t=(x+2)(4-x)=-(x-1)2+9,
当0≤x≤3时,5≤t≤9,因为0(3)证明:因为f(2-x)=loga(4-x)+loga(2+x)=f(x),所以f(x)的图象关于直线x=1对称,即f(x)的图象是轴对称图形.
变式2 解:(1)函数f(x)=中,3x+a≠0.
因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即=-,整理得(a+1)(3x+1)=0,所以a=-1.
(2)由(1)可知f(x)==1+,其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),
由f(x)>2得1+>2,即>1,整理得0<3x-1<2,解得02的解集为(0,1).
(3)由(2)知,f(x)=1+,
当0所以f(x)=1+在(0,1]上的取值范围为[2,+∞).
g(x)=log3·log3+m=(log3x-1)(log3x-2)+m=(log3x)2-3log3x+2+m,
令log3x=t,由x∈[3,27],得t∈[1,3],设y=t2-3t+2+m=-+m,t∈[1,3],
所以当t=时,ymin=-+m,当t=3时,ymax=2+m,所以函数g(x)在[3,27]上的取值范围为.
因为对任意的x1∈[3,27],总存在x2∈(0,1],使得g(x1)≥f(x2)成立,
所以g(x)在[3,27]上的最小值大于或等于f(x)在(0,1]上的最小值,
所以-+m≥2,解得m≥,
所以实数m的取值范围为.本章总结提升
◆ 题型一 幂函数
[类型总述] (1)幂函数的定义;(2)幂函数的图象与性质.
例1 (1)已知幂函数f(x)=(3m2-7m-5)xm-1是定义域上的奇函数,则m= ( )
A.-或3 B.3
C. D.-
(2)当x∈(0,+∞)时,若三个幂函数y=xa,y=xb,y=xc在同一坐标系中的图象如图所示,则a,b,c的大小关系是 ( )
A.c>b>a B.c>a>b
C.a>b>c D.a>c>b
变式 (1)(多选题)已知幂函数f(x)=(9m2-3)xm的图象过点,则 ( )
A.m=-
B.f(x)为偶函数
C.n=
D.不等式f(a+1)>f(3-a)的解集为(-∞,1)
(2)[2025·江苏无锡锡山高级中学高一期末] 已知幂函数f(x)=xm-2(m∈N)的图象关于原点对称,且在(0,+∞)上单调递减,若(a+1<(3-2a,则实数a的取值范围是 .
(3)已知幂函数f(x)=(m-1)2在(0,+∞)上单调递增,函数g(x)=2x-k.
①求m的值;
②当x∈[1,2)时,记f(x),g(x)的取值范围分别为集合A,B,设p:x∈A,q:x∈B,若p是q的必要条件,求实数k的取值范围;
③设F(x)=f(x)-kx+1-k2,且y=|F(x)|在[0,1]上单调递增,求实数k的取值范围.
◆ 题型二 指数函数和对数函数的图象
[类型总述] (1)指数函数、对数函数的图象过定点、单调性;(2)指数函数、对数函数的图象平移、翻折变换;(3)分类讨论思想.
例2 (1)函数f(x)=2-e|x|的图象大致是 ( )
(2)函数y=5-x,y=2-x,y=lg x,y=ln x的图象所对应图中的序号依次为 ( )
A.①②③④
B.②①③④
C.①②④③
D.②①④③
(3)已知a>0且a≠1,则函数f(x)=loga(x+a)的图象必经过 ( )
A.第一、二象限 B.第二、三象限
C.第三、四象限 D.第一、四象限
变式 (1)[2025·广东广州五中高一期中] 已知函数y=loga(x+3)-1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A,若点A也在函数f(x)=3x+b的图象上,则f(log94)= ( )
A. B. C. D.
(2)已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可以为 ( )
A.f(x)=
B.f(x)=
C.f(x)=
D.f(x)=x·2|x|
(3)(多选题)[2025·江苏盐城一中高一月考] 已知a>0且a≠1,在同一直角坐标系中,函数y=ax与y=loga(x-2)的图象可能是 ( )
◆ 题型三 指数函数、对数函数性质的综合应用
[类型总述] (1)判断与基本初等函数有关的函数的奇偶性;(2)基本初等函数的单调性判断及应用;(3)利用单调性比较大小.
角度1 奇偶性与单调性问题
例3 (1)下列函数中,既是奇函数又是减函数的是 ( )
A.y=log0.5x B.y=-x3
C.y=x-1 D.y=0.5x
(2)[2025·江苏大丰中学高一期中] 已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)=2x,则f(-1)+f(0)= ( )
A. B.3
C.-2 D.2
(3)已知函数f(x)=ln(e2x+m)-x(m>0)为偶函数,则实数m= .
变式 (1)已知函数f(x)=lg(1+|x|)-,则不等式f(x+2)≤f(-1)的解集是 .
(2)已知奇函数f(x)=+a(a≠0),则方程f(x)=的解为 .
角度2 比较大小
例4 (1)[2025·江苏扬州邗江中学高一期末] 若a=0.50.6,b=0.60.5,c=3log62,则a,b,c的大小关系为 ( )
A.cC.b(2)[2025·河南洛阳强基联盟高一联考] 已知点在幂函数f(x)=xα的图象上,设a=f(log23),b=f(ln 2),c=f(),则a,b,c的大小关系为 ( )
A.a>b>c B.b>a>c
C.b>c>a D.a>c>b
变式 (1)已知f(x)是定义域为R的偶函数,且在(0,+∞)上单调递增,a=f(-),b=f(),c=f,则 ( )
A.aB.aC.cD.c(2)(多选题)[2025·浙江宁波余姚中学高一期中] 下列不等关系正确的是 ( )
A.0.30.2<20.3<40.2
B.0.3-0.1<0.4-0.1<0.5-0.1
C.log0.43D.log63<◆ 题型四 指数函数、对数函数有关的复合函数性质
[类型总述] (1)指数函数、对数函数有关的复合函数的单调性、最值;(2)指数函数、对数函数有关的复合函数的奇偶性、恒成立、求参问题.
例5 [2025·江苏南京六校高一调研] 已知函数f(x)=logax(a>0,且a≠1),若函数f(x)在区间[1,4]上的最大值与最小值之和为2.
(1)求函数f(x)的解析式,并求出关于x的不等式f<1的解集;
(2)求函数g(x)=f·f(2x),x∈[1,4]的值域,并求出g(x)取得最值时对应的x的值.
变式1 已知函数f(x)=loga(x+2)+loga(4-x)(0(1)求函数f(x)的减区间;
(2)若函数f(x)在区间[0,3]上的最小值为-2,求实数a的值;
(3)证明:f(x)的图象是轴对称图形.
变式2 已知函数f(x)=为奇函数.
(1)求实数a的值;
(2)解不等式f(x)>2;
(3)设函数g(x)=log3·log3+m,若对任意的x1∈[3,27],总存在x2∈(0,1],使得g(x1)≥f(x2)成立,求实数m的取值范围.(共48张PPT)
本章总结提升
题型一 幂函数
题型二 指数函数和对数函数的图象
题型三 指数函数、对数函数性质的综合应用
题型四 指数函数、对数函数有关的复合函数性质
答案核查
题型一 幂函数
［类型总述］（1）幂函数的定义；（2）幂函数的图象与性质.
例1（1）已知幂函数 是定义域上的奇函
数，则 ( )
A.或3 B.3 C. D.
[解析] 由函数 是幂函数，得
，解得或，当时，
是上的偶函数，不符合题意；
当时， 是上的奇函数，
符合题意.所以 .故选D.
√
（2）当时，若三个幂函数 ，
， 在同一坐标系中的图象如图所示，
则，， 的大小关系是( )
A. B.
C. D.
[解析] 由题图知在上单调递增，且在
上的图象在直线的上方，
在 上单调递增，且在上的图象在直线
的下方，
在上单调递减， ．故选C．
√
变式（1）（多选题）已知幂函数 的图象过点
,则( )
A.
B. 为偶函数
C.
D.不等式的解集为
√
√
[解析] 因为函数为幂函数,所以 ,解
得.当时,幂函数的图象不可能过点 ,不
符合题意；当时,幂函数的图象过点 ,则
,解得,故A正确,C错误;
的定义域为,且,则
为偶函数,故B正确;
函数在上单调递减,由 ,可得
,所以解得且 ,
故D错误.故选 .
（2）［2025·江苏无锡锡山高级中学高一期末］已知幂函数
的图象关于原点对称，且在 上单调递减，
若，则实数 的取值范围是______.
[解析] 因为幂函数的图象关于原点对称，且在
上单调递减，所以，解得，
又，所以 或.
当时，，为偶函数，其图象关于 轴对称，不满足题意；
当时， ，为奇函数，其图象关于原点对称，满足题意.
所以原不等式可化为 ，
又函数是定义域为的减函数，所以 解得
，即实数的取值范围是 .
（3）已知幂函数在 上单调递增,函
数 .
①求 的值;
解：由幂函数的定义得，解得或 .
当时,在 上单调递减,与题设矛盾,舍去;
当时,在 上单调递增,符合题意.
综上可知 .
（3）已知幂函数在 上单调递增,函
数 .
②当时,记,的取值范围分别为集合,,设 ,
,若是的必要条件,求实数 的取值范围;
解：由①得,当时,,即 ,
,即 .
由是的必要条件,则,显然 ,则即 所以
实数的取值范围为 .
（3）已知幂函数在 上单调递增,函
数 .
③设,且在 上单调递增,求实
数 的取值范围.
解：由①可得,则二次函数 的图象开口
向上,对称轴为 ,
要使在 上单调递增,则分两种情况如图甲、乙所示，
由图知或解得或 ，
所以实数的取值范围为 .
题型二 指数函数和对数函数的图象
［类型总述］（1）指数函数、对数函数的图象过定点、单调性;（2）
指数函数、对数函数的图象平移、翻折变换;（3）分类讨论思想.
例2（1）函数 的图象大致是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 方法一：因为函数的定义域为 ，
，所以函数 为偶函数，排除
B，D选项；
，排除A选项.故选C.
方法二：将指数函数的图象在轴及其右侧部分不变，在 轴
左侧部分去掉，在轴右侧部分沿轴对称过去，可得到 的图
象，再将该图象沿轴翻折到 轴下方后，向上平移2个单位长度，即
可得到 的图象.故选C.
（2）函数,,, 的图象
所对应图中的序号依次为( )
A.①②③④ B.②①③④ C.①②④③ D.②①④③
[解析] 对于, ，两函数
的定义域为，因为，所以①为 的图象，②为
的图象；
对于, ，两函数的定义域为，因为，
所以③为的图象，④为 的图象.故选D.
√
（3）已知且，则函数 的图象必经过
( )
A.第一、二象限 B.第二、三象限
C.第三、四象限 D.第一、四象限
√
[解析] 当时，函数 的图象经过第一、
二、四象限，如图①；
当时，函数 的图象经过第一、二、三象限，
如图②.
综上可知，函数 的图象必经过第一、二象限.故选A.
变式（1）［2025·广东广州五中高一期中］已知函数
且的图象恒过定点，若点 也在函
数的图象上，则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由于对数函数的图象恒过定点，则令 ，解得
，从而的坐标为.
由在 图象上，得，解得，所以
.
因为 ,所以
.故选A.
（2）已知函数的图象如图所示，则 的
解析式可以为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由图可知，函数的定义域为 ，该函
数为奇函数，且函数在 上不单调.
对于B选项，由函数 ，得
，即，即 ，解得
，即函数的定义域为 ，不合乎要求，排
除B；
对于C选项，函数的定义域为 ，
，即函数 不是奇函数，不 合乎要求，排除C；
对于D选项，函数的定义域为 ，
，则函数为奇函数，
任取， ，且，则 ，所
以，即 ，则函数在
上单调递增，不合乎要求，排除D.故选A.
（3）（多选题）［2025·江苏盐城一中高一月考］ 已知 且
，在同一直角坐标系中，函数与 的图象
可能是( )
A. B. C. D.
√
√
[解析] 对于函数，有，可得 ，则函数
的定义域为.当时，函数为 上的
增函数，函数在 上为增函数，A不合乎要求，
B合乎要求；
当时，函数为 上的减函数，函数在
上为减函数，C不合乎要求，D合乎要求.故选 .
题型三 指数函数、对数函数性质的综合应用
［类型总述］（1）判断与基本初等函数有关的函数的奇偶性;（2）
基本初等函数的单调性判断及应用;（3）利用单调性比较大小.
角度1 奇偶性与单调性问题
例3（1）下列函数中，既是奇函数又是减函数的是( )
A. B. C. D.
[解析] 对于A，函数的定义域为 ，定义域不关于
原点对称，则其不具有奇偶性，则A错误；
对于B，根据幂函数的性质知，函数是奇函数，且在上单调
递增，则函数 也是奇函数，且在 上单调递减，则B正确；
对于C，根据幂函数的性质知，函数是奇函数，其在
和 上分别单调递减，但在定义域上不是减函数，则C错误；
对于D，根据指数函数的性质知，函数 不具有奇偶性，则D
错误.故选B.
√
（2）［2025·江苏大丰中学高一期中］已知是定义在 上的奇函
数，且当时，，则 ( )
A. B.3 C. D.2
[解析] 因为是定义在上的奇函数，所以 .
因为当时，，所以 .
因为，所以 .故选C.
√
（3）已知函数 为偶函数，则实数
___．
1
[解析] 由偶函数的定义得 ，所以
，即 ，所以
，即，整理得 ，
此等式在函数的定义域内恒成立，所以，即 .
变式（1）已知函数 ，则不等式
的解集是_________．
[解析] 由题意，函数满足 ，
故为偶函数．
当时， 单调递增，
当时， 单调递减，
故由不等式，得，即
，得 .
（2）已知奇函数，则方程 的解为
__________．
[解析] 由是奇函数知 ，即
，化简得，解得 ，因此
.
依题意，由，即 ，解得．
故的解为 .
角度2 比较大小
例4（1）［2025·江苏扬州邗江中学高一期末］若 ，
，，则,, 的大小关系为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为函数在上单调递减，且 ，所以
，
因为函数在 上单调递增，且，
所以，所以 ，
又因为，所以.
因为函数在 上单调递增，所以
，所以 .故选B.
√
（2）［2025·河南洛阳强基联盟高一联考］已知点 在幂函数
的图象上，设，， ，
则，， 的大小关系为( )
A. B. C. D.
[解析] 已知幂函数 的图象经过点，可得 ，解
得，即，
易知在 上单调递减.
由于 ，所以
，所以 ，
即 .故选B.
√
变式（1）已知是定义域为的偶函数，且在 上单调递
增，,, ，则( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为是定义域为的偶函数，所以 ,
,，
因为，且是 上的增函数，所以，
又 ，所以.
因为在 上单调递增，所以，所以
，即 .故选C.
（2）（多选题）［2025·浙江宁波余姚中学高一期中］ 下列不等关
系正确的是( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 对于A，因为，且在 上单调递增，所以
，故A正确；
对于B，由在上单调递减，可得
，故B错误；
对于C，由在 上单调递增，则
，所以 ，即
，故C正确；
对于D，由可得 ，由
可得，故D正确.故选 .
题型四 指数函数、对数函数有关的复合函数性质
［类型总述］（1）指数函数、对数函数有关的复合函数的单调性、
最值;（2）指数函数、对数函数有关的复合函数的奇偶性、恒成立、
求参问题.
例5 ［2025·江苏南京六校高一调研］已知函数
,且，若函数在区间 上的最大值与最小值之和
为2.
（1）求函数的解析式，并求出关于的不等式 的解集；
解：函数的定义域为，且在 上单调，
由函数在区间 上的最大值与最小值之和为2，
得，即，解得 ，于是
.
由,得，则.
由 ，得或 ；
由，即，得或 .
因此或，所以不等式的解集为 或
.
例5 ［2025·江苏南京六校高一调研］已知函数
,且，若函数在区间 上的最大值与最小值之和
为2.
（2）求函数，的值域，并求出 取得
最值时对应的 的值.
解：由（1）知，
，
令，由，得 ，
令， ，
当时，取得最小值，此时 ；
当时，取得最大值0，此时 .
所以函数的值域为，当取最小值时，当
取最大值时 .
变式1 已知函数 .
（1）求函数 的减区间;
解：由得，所以的定义域为 .
，令 ，
该函数在上单调递增，在 上单调递减，
而,在 上单调递减，
所以的减区间为 .
变式1 已知函数 .
（2）若函数在区间上的最小值为，求实数 的值;
解：， ，
令 ，
当时，，
因为 ，所以，所以
，即 ，所以 .
（3）证明： 的图象是轴对称图形.
证明：因为，所以
的图象关于直线对称，即 的图象是轴对称图形.
变式2 已知函数 为奇函数.
（1）求实数 的值；
解：函数中， .
因为为奇函数，所以，即 ，整理
得，所以 .
变式2 已知函数 为奇函数.
（2）解不等式 ；
解：由（1）可知 ，其定义域为
，
由得，即，整理得 ，解
得，所以不等式的解集为 .
变式2 已知函数 为奇函数.
（3）设函数，若对任意的 ，总
存在，使得成立，求实数 的取值范围.
解：由（2）知， ，
当时，，故 ，
所以在上的取值范围为 .
,
令，由，得 ，
设， ，
所以当时，，当时， ，所以
函数在上的取值范围为 .
因为对任意的，总存在，使得 成立，
所以在上的最小值大于或等于在 上的最小值，
所以，解得 ，
所以实数的取值范围为 .
快速核答案
题型一 例1 （1）D （2）C 变式 （1）AB （2）
（3）① ② m> ③
题型二 例2 （1）C （2）D （3）A 变式 （1）A （2）A （3）BD
题型三 角度1 例3（1）B （2）C （3）1 变式（1） （2）
角度2 例4 （1）B （2）B 变式 （1）C （2）ACD
题型四 例5 （1）或 （2）函数的值域为，
当取最小值时，当取最大值时
变式1 （1）（2）（3）证明略
变式2 （1）（2）（3）>