滚动习题(六)
1.C [解析] 因为函数y=(2a-1)x(x是自变量)是指数函数,所以解得a>且a≠1.故选C.
2.D [解析] 要使f(x)有意义,则1-|x|>0,即|x|<1,解得-1
3.A [解析] 将y=lg x的图象向左平移一个单位长度,然后把所得图象在x轴及其上方部分不变,在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方,即可得到y=|lg(x+1)|的图象.故选A.
4.A [解析] 因为y=-x2+ax+3=-+3+是开口向下、对称轴为x=的抛物线,且y=2x是增函数,所以由复合函数的单调性可知≤2,解得a≤4,故选A.
5.B [解析] a=30.1>1,b==30.5>1,由y=3x在R上单调递增,得30.1<30.5,则16.C [解析] 因为函数f(x)=lo(x2+3)的定义域为R,且f(-x)=lo[(-x)2+3]=lo(x2+3)=f(x),所以f(x)=lo(x2+3)为偶函数,又y=x2+3在(0,+∞)上单调递增,y=lox在(0,+∞)上单调递减,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减,同理,f(x)在(-∞,0)上单调递增,所以不等式f(log2m)>f(2)即为|log2m|<2,即-27.BC [解析] 由ab=1,a>0,且a≠1,得b=,所以y=bx=.若01,所以函数y=为增函数,又y=logax为减函数,函数y=loga(-x)与y=logax的图象关于y轴对称,所以y=loga(-x)为增函数,选项B符合条件,选项D不符合条件;若a>1,则0<<1,所以函数y=为减函数,又y=logax是增函数,函数y=loga(-x)与y=logax的图象关于y轴对称,所以函数y=loga(-x)为减函数,选项A不符合条件,选项C符合条件.故选BC.
8.ABD [解析] 画出y=2x-2的图象,将该图象在x轴及其上方部分不变,在x轴下方的部分沿x轴翻折上去,得到f(x)的图象,如图,由图可得,函数f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,且f(1)=0.A,C项中,因为f(a)=f(b),a2,两边同时平方得16>4×2a+b,化简a+b<2,所以选项B正确.D项中,由2a+2b=4,得2b=4-2a,所以f(a)·2b=(2-2a)(4-2a),令t=2a,t∈(0,2),则y=(2-t)(4-t)=t2-6t+8=(t-3)2-1,当t∈(0,2)时,y∈(0,8),即f(a)·2b∈(0,8),所以选项D正确.故选ABD.
9. [解析] 幂函数f(x)=(m-2)xn的图象经过点(8,2),则解得故m+n=.
10.53 [解析] 由题意得解得所以c=×.当c=时,得=×,即=,两边取对数得=lo=log240=3+log25≈3+2.32=5.32,所以t≈5.32×10=53.2≈53,所以大约需要53年.
11. [解析] 当01时,y=logax在上单调递增,且logax<0,显然4x=logax无解,故舍去;当0logax有解,只需解得012.解:(1)依题意得f(2)=,即a2-1=,故a=.
(2)由(1)知f(x)=(x≥0),∵x≥0,∴x-1≥-1,
∴0<≤=2,即函数f(x)的值域为(0,2].
13.解:(1)∵f(x)是定义域为R上的奇函数,
∴f(0)=0,∴a·20-2-0=0,
即a-1=0,∴a=1,此时f(x)=2x-2-x,
则f(-x)=2-x-2x=-f(x),故a=1符合题意.
任取x1,x2∈R,且x10,
∴函数f(x)在R上单调递增.
(2)由(1)可知f(x)=2x-2-x,且f(x)是在R上单调递增的奇函数,由f(3x2-5x)+f(x-4)>0可得f(3x2-5x)>f(4-x),∴3x2-5x>4-x,即3x2-4x-4=(3x+2)(x-2)>0,∴x>2或x<-,
∴原不等式的解集为.
14.解:(1)证明:由得-1(2)f(x)在(-1,1)上单调递增,证明如下:f(x)=log3(1+x)-log3(1-x)=log3,设-1因为-1所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)所以f(x)在(-1,1)上单调递增.
(3)由(2)可知f(x)在上单调递增,所以f(x)在上的最小值为f=-1,由题知t2+at-16≤-1对任意t∈[-3,3]恒成立,所以
解得-2≤a≤2,所以实数a的取值范围是[-2,2].滚动习题(六)
(时间:45分钟 分值:100分)
一、单项选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
1.若函数y=(2a-1)x(x是自变量)是指数函数,则a的取值范围是 ( )
A.(0,1)∪(1,+∞) B.[0,1)∪(1,+∞)
C.∪(1,+∞) D.
2.[2025·江苏南京期末] 函数f(x)=lg(1-|x|)的定义域为 ( )
A.(-∞,-1]∪[1,+∞)
B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.[-1,1]
D.(-1,1)
3.函数y=|lg(x+1)|的图象大致是 ( )
A B C D
4.若函数f(x)=在区间(2,3)上单调递减,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞,4] B.(-∞,6]
C.[6,+∞) D.[4,+∞)
5.[2025·江苏天一中学高一期末] 设a=30.1,b=,c=log0.30.5,则a,b,c的大小关系为 ( )
A.bC.b6.[2025·江苏十校联盟高一月考] 已知函数f(x)=lo(x2+3),且f(log2m)>f(2),则实数m的取值范围为 ( )
A.(4,+∞)
B.
C.
D.∪(4,+∞)
二、多项选择题(本大题共2小题,每小题6分,共12分)
7.[2025·湖南长沙长郡中学期中] 已知ab=1,a>0,且a≠1,函数y=loga(-x)与y=bx的图象可能是 ( )
A B C D
8.[2025·江苏淮阴中学高一期中] 已知函数f(x)=|2x-2|,且f(a)=f(b),aA.2a+2b=4
B.a+b<2
C.b<1
D.f(a)·2b∈(0,8)
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
9.[2025·江苏丹阳期末] 已知幂函数f(x)=(m-2)xn的图象经过点(8,2),则m+n的值是 .
10.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度c(Bq/L)与时间t(年)近似满足关系式c=k·at(k,a为大于0的常数且a≠1).当c=时,t=10;当c=时,t=20.据此估计,这种有机体体液内该放射性元素浓度为 Bq/L时,大约需要 年.(结果四舍五入取整数,参考数据: log23≈1.58,log25≈2.32)
11.[2025·福建莆田二中高一月考] 已知当0四、解答题(本大题共3小题,共43分)
12.(13分)已知函数f(x)=ax-1(x≥0)的图象经过点,其中a>0且a≠1.
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)=ax-1(x≥0)的值域.
13.(15分)[2025·黑龙江密山一中期中] 已知函数f(x)=a·2x-2-x是定义在R上的奇函数.
(1)求a的值,并证明f(x)在R上单调递增;
(2)求不等式f(3x2-5x)+f(x-4)>0的解集.
14.(15分)[2025·天津外国语大学附属滨海外国语学校高一质检] 已知函数f(x)=log3(1+x)-log3(1-x).
(1)证明:函数f(x)是奇函数;
(2)判断f(x)的单调性,并用定义证明;
(3)若对任意x∈,t∈[-3,3],不等式f(x)≥t2+at-16恒成立,求实数a的取值范围.(共25张PPT)
滚动习题（六）
范围
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
1.若函数（是自变量）是指数函数，则 的取值范围
是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 因为函数（ 是自变量）是指数函数，所以
解得且 .故选C.
2.[ 江苏南京期末］函数 的定义域为( )
A. B.
C. D.
[解析] 要使有意义，则，即 ，解得
，所以函数的定义域为 .故选D.
√
3.函数 的图象大致是( )
A. B. C. D.
[解析] 将 的图象向左平移一个单位长度，然后把所得图象在
轴及其上方部分不变，在轴下方的部分沿轴翻折到 轴上方，即
可得到 的图象.故选A.
√
4.若函数在区间上单调递减，则实数 的取值
范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为 是开口向下、对
称轴为的抛物线，且 是增函数，所以由复合函数的单调
性可知，解得 ，故选A.
√
5.[ 江苏天一中学高一期末］设， ，
，则，， 的大小关系为( )
A. B. C. D.
[解析] ，，由在 上单调递
增，得，则.
又 ，所以 .故选B.
√
6.［2025·江苏十校联盟高一月考］已知函数 ，且
，则实数 的取值范围为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 因为函数的定义域为 ，且
，所以
为偶函数，
又在 上单调递增，在上单调递减，
所以在 上单调递减，
同理，在上单调递增，所以不等式 即为
，即，解得，所以实数 的取
值范围为 .故选C.
二、多项选择题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
7.［2025·湖南长沙长郡中学期中］已知，，且 ，
函数与 的图象可能是( )
A. B. C. D.
√
√
[解析] 由，，且，得，所以 .若
，则，所以函数为增函数，又 为减
函数，函数与的图象关于 轴对称，所以
为增函数，选项B符合条件，选项D不符合条件；
若，则，所以函数为减函数，又 是
增函数，函数与的图象关于 轴对称，所以函数
为减函数，选项A不符合条件，选项C符合条件.故选 .
8.［2025·江苏淮阴中学高一期中］已知函数 ，且
， ，则( )
A. B.
C. D.
[解析] 画出的图象，将该图象在 轴及其上方
部分不变，在轴下方的部分沿轴翻折上去，得到
的图象，如图，
由图可得，函数在 上单调递减，在
上单调递增，且 .
√
√
√
，移项可得 ，所以选项A正确，选项
C错误
项中，由 ，结合基本不等式
得 ，两边同时平方得
，化简，所以选项B正确
项中，由，得 ，所以
，令， ，则
，当时，
，即 ，所以选项D正确.故选 .
三、填空题（本大题共3小题,每小题5分,共15分）
9.［2025·江苏丹阳期末］已知幂函数 的图象经过
点，则 的值是___.
[解析] 幂函数的图象经过点 ，则
解得故 .
10.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度与时间 （年）
近似满足关系式，为大于0的常数且.当 时，
；当时， .据此估计，这种有机体体液内该放射性
元素浓度为 时，大约需要____年.（结果四舍五入取整数，
参考数据： ， ）
53
[解析] 由题意得解得所以 .
当时，得，即 ，两边取对数得
，所以
，所以大约需要53年.
11.［2025·福建莆田二中高一月考］已知当时，
有解，则实数 的取值范围是_______.
[解析] 当时，，当时，在
上单调递增，且，显然 无解，故舍去；
当时，在上单调递减，且 ，要
使当时， 有解，只需解得.
综上可得，实数 的取值范围是 .
四、解答题（本大题共3小题,共43分）
12.（13分）已知函数的图象经过点 ，其中
且 .
（1）求 的值；
解：依题意得，即，故 .
（2）求函数 的值域.
解：由（1）知，， ，
，即函数的值域为 .
13.（15分）［2025·黑龙江密山一中期中］ 已知函数
是定义在 上的奇函数.
（1）求的值，并证明在 上单调递增；
解：是定义域为 上的奇函数，
， ，
即，，此时 ,
则，故 符合题意.
任取，，且 ，则
，
函数在 上单调递增.
13.（15分）［2025·黑龙江密山一中期中］ 已知函数
是定义在 上的奇函数.
（2）求不等式 的解集.
解：由（1）可知，且是在 上单调递增的奇函
数，
由可得 ，
，即 ，
或 ， 原不等式的解集为 .
14.（15分）［2025·天津外国语大学附属滨海外国语学校高一质检］
已知函数 .
（1）证明:函数 是奇函数;
证明:由得，即的定义域为 ，
所以的定义域关于原点对称，对任意 ，都有
，所以函数 是奇函数.
14.（15分）［2025·天津外国语大学附属滨海外国语学校高一质检］
已知函数 .
（2）判断 的单调性，并用定义证明;
解：在 上单调递增，证明如下：
，
设 ，
则 ，
因为，所以 ，
，所以 ，
所以，即 ，
所以在 上单调递增.
14.（15分）［2025·天津外国语大学附属滨海外国语学校高一质检］
已知函数 .
（3）若对任意，，不等式
恒成立，求实数 的取值范围.
解：由（2）可知在上单调递增，所以在 上的
最小值为，
由题知对任意 恒成立，所以
解得，所以实数的取值范围是 .
快速核答案
1.C 2.D 3.A 4.A 5.B 6.C 7.BC 8.ABD 9. 10.53
11.
12.（1） （2）
13.（1），证明略（2）
14.（1）证明略（2）在上单调递增，证明略（3）