第8章 函数应用
8.1 二分法与求方程近似解
8.1.1 函数的零点
【课前预习】
知识点一
实数x 零点
诊断分析
(1)√ (2)× (3)× (4)× [解析] (4)因为x2+2x+1=0有两个相等的实数根x1=x2=-1,所以函数f(x)只有一个零点.
知识点二
实数解 交点的横坐标 x轴有交点 有零点
诊断分析
(1)√ (2)× (3)√ (4)√
知识点三
不间断 f(a)f(b)<0
诊断分析
(1)× (2)× [解析] (1)取函数f(x)=x2,x∈[-1,1],满足f(-1)f(1)>0,但f(x)在[-1,1]内有零点0.
(2)f(a)·f(b)<0不一定成立.可能y=f(x)在x=a或x=b处无定义,即使有定义,也可能f(a)f(b)>0.如函数f(x)=(x-1)2在(0,2)内有零点,但f(0)f(2)>0.
【课中探究】
探究点一
例1 (1) (2)1 (3)2和0 [解析] (1)令f(x)=2x-1=0,可得x=,所以函数f(x)=2x-1的零点为.
(2)令f(x)=0,即=0,则x-1=0或ln x=0,∴x=1,故函数f(x)的零点为1.
(3)f(x-1)=(x-1)2-1,令f(x-1)=0,即(x-1)2=1,∴x-1=1或x-1=-1,∴x=2或0.
变式 (1)5 -6 (2)-1和0 (3)e-2-1 [解析] (1)因为函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3,所以2和3是方程x2-ax-b=0的两个根,所以2+3=-(-a),2×3=-b,所以a=5,b=-6.
(2)因为f(x)=ax-b的零点是3,所以f(3)=0,即3a-b=0,即b=3a,所以g(x)=bx2+3ax=bx2+bx=bx(x+1),所以方程g(x)=0的两个根为-1和0,即函数g(x)的零点为-1和0.
(3)由题意,得f(x+1)=ln(x+1)+2,解方程ln(x+1)+2=0,得x=e-2-1,则函数f(x+1)的零点是e-2-1.
探究点二
例2 (1)C (2)C [解析] (1)函数y=2x-40,y=2x都是R上的增函数,则函数f(x)=2x+2x-40是R上的增函数,又f(4)=-16<0,f(5)=2>0,所以函数f(x)=2x+2x-40的零点所在的一个区间是(4,5).故选C.
(2)令f(x)=ex-x-2,则由表中数据知f(-1)=0.37-1=-0.63<0,f(0)=1-2=-1<0,f(1)=2.72-3=-0.28<0,f(2)=7.39-4=3.39>0,f(3)=20.09-5=15.09>0,因为f(1)·f(2)<0,f(x)的图象是连续不断的曲线,所以f(x)的一个零点在区间(1,2)内,即方程ex-x-2=0的一个根在区间(1,2)内.故选C.
变式 (1)B (2)1 [解析] (1)f(1)=log21-=-1<0,f(2)=log22-=1-=>0,且f(x)=log2x-在(0,+∞)上单调递增,所以由零点存在定理得函数f(x)的零点所在的区间为(1,2).故选B.
(2)因为函数f(x)=2x+2x-7在R上单调递增,且f(1)=2+2-7=-3<0,f(2)=4+4-7=1>0,所以f(x)的零点所在的区间为(1,2),所以正整数k的值为1.
探究点三
例3 解:方法一,令f(x)=0,得3x=lox.在同一平面直角坐标系中作出y=3x和y=lox的大致图象,如图所示,由图可知,y=3x和y=lox的图象有1个交点,
所以f(x)=3x-lox有1个零点.
方法二,依题意知,函数f(x)=3x-lox在(0,+∞)上单调递增,并且图象连续不断,
因为f=-2<0,f=-1>0,
所以f(x)=3x-lox有1个零点.
变式 (1)C (2)C [解析] (1)f(x)=2x--1的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),因为y=2x,y=--1在(-∞,0),(0,+∞)上单调递增,所以f(x)=2x--1在(-∞,0),(0,+∞)上单调递增,又f(-2)=-<0,f(-1)=2-1>0,所以存在唯一的x0∈(-2,-1),使得f(x0)=0,又f(1)=0,所以f(x)=2x--1的零点个数为2.故选C.
(2)y=f(x)-log5|x|的零点个数等于函数y=f(x)的图象与函数y=log5|x|的图象的交点个数.因为偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),所以偶函数f(x)的周期为2,又当x∈[0,1]时,f(x)=x,所以可作出y=f(x)与y=log5|x|的大致图象,如图所示,由图可知函数y=f(x)的图象与函数y=log5|x|的图象的交点个数为8,所以y=f(x)-log5|x|的零点个数为8.故选C.
拓展 C [解析] 令f(x)=0,则3x-ln(x+1)-2=0 3x=ln(x+1)+2,在同一坐标系中画出函数g(x)=3x,h(x)=ln(x+1)+2的大致图象,如图所示,由图可知g(x)=3x,h(x)=ln(x+1)+2的图象有两个交点,所以f(x)=3x-ln(x+1)-2的零点个数为2.故选C.
例4 D [解析] 设f(x)=|ax-1|,关于x的方程|ax-1|=2a(a>0且a≠1)有两个不等实根等价于函数f(x)=|ax-1|的图象与函数y=2a的图象有两个交点.当a>1时,在同一平面直角坐标系内,作出函数f(x)=|ax-1|与函数y=2a的大致图象如图①所示,显然函数f(x)=|ax-1|的图象与函数y=2a的图象只有一个交点,不符合题意;当0
变式 (1)D (2)(-2,-)∪(,2) [解析] (1)因为函数f(x)=x2-ax+4在(1,2)上有且只有一个零点,所以关于x的方程x2+4=ax,即x+=a在(1,2)上有且只有一个实根,所以y=x+与y=a的图象当x∈(1,2)时有一个公共点,因为y=x+在(1,2)上单调递减,所以2+(2)因为函数g(x)=f(x)-有3个零点,所以y=f(x)的图象与y=的图象有3个交点.f(x)=当x≤0时,y=ln|x-1|≥0,当x>0时,y=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1,作出y=f(x)与y=的大致图象,如图所示,要使y=f(x)与y=的图象有3个交点,则需满足1<<2,解得拓展 A [解析] 因为[f(x)]2-(a+2)f(x)+2a=0,所以f(x)=2或f(x)=a,因为关于x的方程[f(x)]2-(a+2)f(x)+2a=0有6个不同的实数根,所以f(x)的图象与直线y=2和直线y=a共有6个不同的交点.作出函数f(x)的图象与直线y=2,如图所示,由图可知,f(x)的图象与直线y=2有3个交点,所以只需f(x)的图象与直线y=a(a≠2)有3个交点,可得a∈(1,2)∪(2,3].故选A.第8章 函数应用
8.1 二分法与求方程近似解
8.1.1 函数的零点
1.C [解析] 易知f(x)=x3+x-5在R上单调递增,f(0)=-5,f(1)=-,f(2)=-,f(3)=7,f(4)=,所以函数f(x)=x3+x-5的零点所在的区间是(2,3).故选C.
2.B [解析] 依题意得f(2)>0,f(3)<0,f(4)>0,f(5)<0,根据函数零点存在定理可知,f(x)在区间(2,3),(3,4),(4,5)上均至少含有1个零点,故函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有3个.
3.C [解析] f(x)=当x≤1时,令f(x)=0,得2x-1=0,解得x=0;当x>1时,令f(x)=0,得1+log2x=0,解得x=(舍去).所以函数f(x)的零点为0.故选C.
4.D [解析] 由函数y=2sin(x+φ)的一个零点是,可得2sin=0,则+φ=kπ,k∈Z,解得φ=-+kπ,k∈Z,当k=0时,可得φ=-.故选D.
5.B [解析] 因为函数y=x2-2,y=-在区间(1,3)内都单调递增,所以函数f(x)=x2--2在区间(1,3)内单调递增,又f(1)=-2,f(3)=,所以f(1)·f(3)<0,所以函数f(x)=x2--2在区间(1,3)内的零点个数是1.故选B.
6.B [解析] 函数f(x)=当x≤0时,令f(x)=0,得x2+3x-4=0,解得x=-4或x=1(舍去);当x>0时,令f(x)=0,得log2(x+2)-3=0,解得x=6.所以函数的零点个数为2.故选B.
7.1 [解析] 令f(x)=0,得4x-2x-2=(2x-2)(2x+1)=0,所以2x=2,则x=1.
8.[1,+∞) [解析] 当x>0时,f(x)=-x,则f(x)在(0,+∞)上单调递减,f(1)=0.令g(x)=0可得f(x)=x+a,作出函数y=f(x)与函数y=x+a的图象,如图所示.由图可知,当a<1时,函数y=f(x)与函数y=x+a的图象有1个交点,则g(x)有1个零点,不符合题意;当a≥1时,函数y=f(x)与函数y=x+a的图象有2个交点,此时,函数g(x)有2个零点,符合题意.因此,实数a的取值范围是[1,+∞).
9.解: (1)解方程x2+7x+6=0,得x=-1或x=-6,所以函数的零点是-1,-6.
(2)解方程1-log2(x+3)=0,得x=-1,所以函数的零点是-1.
(3)解方程2x-1-3=0,得x=log26,所以函数的零点是log26.
(4)解方程=0,得x=-6,所以函数的零点是-6.
10.A [解析] 因为y=ln x,y=-+a在(1,e)上单调递增,所以f(x)=ln x-+a在(1,e)上单调递增.因为f(x)=ln x-+a在(1,e)上存在零点,所以f(x)=ln x-+a在(1,e)上存在唯一零点,所以即解得-111.C [解析] 令h(x)=lg|x|,g(x)=sin=cos x,则所给方程根的个数等于函数h(x)的图象与g(x)的图象的交点个数.易知h(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上为偶函数,g(x)在R上为偶函数,故只需求出h(x)的图象与g(x)的图象在(0,+∞)上的交点个数.当x∈(0,+∞)时,g(x)=cos x∈[-1,1],g(2π)=cos(2π)=1,h(2π)=lg(2π)lg 10=1,当x=6π,8π,10π,…时,g(x)=1,h(x)>lg(4π)>1,由以上分析作出h(x)与g(x)在(0,+∞)上的图象,如图所示.由图可知,两函数图象在(0,+∞)上共有3个交点,则两函数图象在(-∞,0)∪(0,+∞)上共有6个交点,所以方程lg|x|=sin的实数根的个数为6.故选C.
12.BD [解析] 对于A,因为f(1)=13-3+2=0,所以x=1是f(x)的一个零点,A错误;对于B,f(-3)=(-3)3-3×(-3)+2=-16<0,f(-1)=(-1)3-3×(-1)+2=4>0,则f(-3)f(-1)<0,故f(x)在区间(-3,-1)内存在零点,B正确;对于C,g(x)=f(x)-+3x=x3-+2,因为y=x3+2在R上单调递增,y=-在R上单调递增,所以g(x)在R上单调递增,所以g(x)=f(x)-+3x至多有1个零点,C错误;对于D,函数f(x)=x3-3x+2的零点,即为方程x3-3x+2=0的解,故f(x)的零点个数与方程x3-3x+2=0的解的个数相等,D正确.故选BD.
13.(2,+∞) [解析] 作出函数f(x)=|2x-1|的图象,如图所示,令t=f(x),因为关于x的方程[f(x)]2-af(x)+1=0恰有3个不同的实数根,所以由图可得,t2-at+1=0有两个不同的实数根t1,t2,且t1∈(0,1),t2∈[1,+∞).记g(t)=t2-at+1,则解得a>2,所以实数a的取值范围为(2,+∞).
14.解:(1)证明:由题意可知函数f(x)=2x--2的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且f(x)=2x--2在(-∞,0),(0,+∞)上均单调递增且图象连续不断.
因为f(-1)=-<0,f=>0,
所以f(-1)f<0,
故f(x)在内有一个零点.
又f(1)=-1<0,f(2)=>0,
所以f(1)f(2)<0,故f(x)在(1,2)内有一个零点.
综上,函数f(x)有且只有两个不同的零点.
(2)①③为真命题,②④为假命题,理由如下.
由(1)可知x1∈,则x1∈,x1 ,所以①为真命题,②为假命题.
因为f(1)=-1<0,f=--2=-=->0,所以x2∈,
则x2∈,x2 ,所以③为真命题,④为假命题.
综上可知①③为真命题,②④为假命题.
15.ACD [解析] 对于A,当f(x)=0时,x=b或x=0或x=-b,故当f[g(x)]=0时,g(x)=b或g(x)=0或g(x)=-b.因为a>b>0,所以b∈[-a,a],-b∈[-a,a],又g(x)在[-a,a]上单调递减,所以方程g(x)=b,g(x)=0,g(x)=-b都有唯一解,则方程f[g(x)]=0有且仅有三个解,故A正确.对于B,当g(x)=0时,x=b,故当g[f(x)]=0时,f(x)=b.因为a>b>c>0,所以由y=f(x)的图象可知方程f(x)=b有一个解,则方程g[f(x)]=0有且仅有一个解,故B错误.对于C,当f(x)=0时,x=b或x=0或x=-b,故当f[f(x)]=0时,f(x)=b或f(x)=0或f(x)=-b.因为a>b>c>0,所以-c>-b>-a,则方程f(x)=b和f(x)=-b各有一个解,方程f(x)=0有三个解,则方程f[f(x)]=0有且仅有五个解,故C正确.对于D,当g(x)=0时,x=b,故当g[g(x)]=0时,g(x)=b,因为a>b>0,y=g(x)在[-a,a]上单调递减,所以方程g(x)=b有唯一解,则方程g[g(x)]=0有且仅有一个解,故D正确.故选ACD.
16.解:(1)当m=1,n=2时,f(x)=x2-2x+2,设x0为f(x)的不动点,则由题知-2x0+2=x0,即-3x0+2=0,解得x0=1或x0=2,所以函数f(x)的不动点为1和2.
(2)因为f(x)恒有两个相异的不动点,所以方程mx2-(m+1)x+n=x恒有两个不等实根,
整理方程得mx2-(m+2)x+n=0,所以m≠0且Δ=(m+2)2-4mn>0恒成立.
由题知对于任意n∈,-4mn+m2+4m+4>0恒成立.
令g(n)=-4mn+m2+4m+4,可得
即解得m<-4或m>-1,又m≠0,所以实数m的取值范围为(-∞,-4)∪(-1,0)∪(0,+∞).第8章 函数应用
8.1 二分法与求方程近似解
8.1.1 函数的零点
【学习目标】
了解函数的零点与方程解的关系.
◆ 知识点一 函数的零点的定义
一般地,我们把使函数y= f(x)的值为0的 称为函数y=f(x)的 .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f(x)=x3的零点是0. ( )
(2)若方程f(x)=0有两个不等实根x1,x2,则函数y=f(x)的零点为(x1,0),(x2,0). ( )
(3)任何函数都有零点. ( )
(4)函数f(x)=x2+2x+1有两个零点. ( )
◆ 知识点二 函数的零点、方程的根、函数图象与x轴的交点的关系
函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的 ,也就是函数y=f(x)的图象与x轴的 ,即方程f(x)=0有实数解 函数y=f(x)的图象与 函数y=f(x) .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数f(x)有零点,则方程f(x)=0必有实数解. ( )
(2)函数f(x)的零点是函数f(x)的图象与x轴的公共点. ( )
(3)若函数y=f(x)的图象都在x轴上方,则函数f(x)没有零点. ( )
(4)因为2x+x-2=0有一个实数根,所以函数f(x)=2x+x-2有一个零点. ( )
◆ 知识点三 函数零点存在定理
若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条 的曲线,且 ,则函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若f(a)f(b)>0,则f(x)在[a,b]内无零点. ( )
(2)若函数y=f(x)在(a,b)内有零点,则f(a)·f(b)<0. ( )
◆ 探究点一 求函数的零点
例1 (1)函数f(x)=2x-1的零点为 .
(2)函数f(x)=的零点是 .
(3)已知函数f(x)=x2-1,则函数f(x-1)的零点是 .
变式 (1)若函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3,则a= ,b= .
(2)若函数f(x)=ax-b(b≠0)有一个零点3,则函数g(x)=bx2+3ax的零点是 .
(3)已知函数f(x)=ln x+2,则函数f(x+1)的零点是 .
[素养小结]
求函数零点的常用方法:
(1)代数法:求方程f(x)=0的实数根.若存在实数根,则函数f(x)存在零点,否则函数f(x)不存在零点.
(2)几何法:与函数y=f(x)的图象联系起来,图象与x轴的交点的横坐标即为函数f(x)的零点.
◆ 探究点二 探求函数零点所在区间
例2 (1)函数f(x)=2x+2x-40的零点所在的一个区间是 ( )
A.(2,3) B.(3,4)
C.(4,5) D.(5,6)
(2)根据下表中的数据,可以判断方程ex-x-2=0的一个根所在的区间为 ( )
x -1 0 1 2 3
ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09
x+2 1 2 3 4 5
A.(-1,0) B.(0,1)
C.(1,2) D.(2,3)
变式 (1)函数f(x)=log2x-的零点所在的区间为 ( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,+∞)
(2)函数f(x)=2x+2x-7的零点所在的区间为(k,k+1),则正整数k的值为 .
[素养小结]
判断函数零点所在区间的方法:将区间端点值代入函数解析式求出函数值,进行符号判断即可得出结论.此类问题的难点往往是函数值符号的判断,对此可运用函数的有关性质进行判断.
◆ 探究点三 判断函数零点的个数
角度1 确定函数零点个数
例3 求函数f(x)=3x-lox的零点个数.
变式 (1)[2025·江苏无锡一中高一期末] 函数f(x)=2x--1的零点个数是 ( )
A.0 B.1
C.2 D.3
(2)[2025·广东高州一中高一月考] 已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x∈[0,1]时,f(x)=x,则y=f(x)-log5|x|的零点个数为 ( )
A.4 B.6
C.8 D.10
[素养小结]
确定函数零点个数的方法:
(1)分解因式法:转化为一元n次方程根的个数问题,一般采用分解因式法解决.
(2)判别式法:转化为一元二次方程根的问题,通常用判别式法来判断根的个数.
(3)图象法:将函数的零点问题转化为两个函数图象的交点问题,再用图象法解决.
(4)单调性法:如果能够确定函数在所给区间上有零点,且是单调函数,那么零点只有一个.
拓展 函数f(x)=3x-ln(x+1)-2的零点个数为 ( )
A.0 B.1
C.2 D.3
角度2 由零点个数求参数
例4 若关于x的方程|ax-1|=2a(a>0且a≠1)有两个不等实根,则a的取值范围是 ( )
A.(0,1)∪(1,+∞) B.(0,1)
C.(1,+∞) D.
变式 (1)已知函数f(x)=x2-ax+4在(1,2)上有且只有一个零点,则实数a的取值范围是 ( )
A.[8,10) B.(8,10)
C.[4,5) D.(4,5)
(2)[2025·南京高一检测] 已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-有3个零点,则实数m的取值范围为 .
[素养小结]
解此类题的关键是将零点问题转化为两个函数图象的交点问题,求解时首先根据已知条件构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系内画出两个函数的图象,最后结合函数图象的交点个数确定参数的取值范围.
拓展 已知函数f(x)=若关于x的方程[f(x)]2-(a+2)f(x)+2a=0有6个不同的实数根,则实数a的取值范围为 ( )
A.(1,2)∪(2,3] B.(0,2)∪(2,4]
C.(1,3) D.(0,4]第8章 函数应用
8.1 二分法与求方程近似解
8.1.1 函数的零点
1.[2025·江苏镇江实验高级中学高一期末] 函数f(x)=x3+x-5的零点所在的区间是 ( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
2.已知函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线,且有如下的对应值表:
x 1 2 3 4 5 6
f(x) 124.4 33 -74 24.5 -36.7 -123.6
则函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有 ( )
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
3.[2025·湖南衡阳三中高一月考] 已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为 ( )
A.,0 B.,(0,0)
C.0 D.(0,0)
4.[2025·北京顺义区一中高一月考] 如果函数y=2sin(x+φ)的一个零点是,那么φ可以是 ( )
A.- B.
C. D.-
5.函数f(x)=x2--2在区间(1,3)内的零点个数是 ( )
A.0 B.1
C.2 D.3
6.函数f(x)=的零点个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
7.函数f(x)=4x-2x-2的零点是 .
8.已知函数f(x)=g(x)=f(x)-x-a.若g(x)有2个零点,则实数a的取值范围是 .
9.(13分)求出下列函数的零点.
(1)f(x)=x2+7x+6;
(2)g(x)=1-log2(x+3);
(3)h(x)=2x-1-3;
(4)m(x)=.
10.若函数f(x)=ln x-+a在区间(1,e)上存在零点,则a的取值范围为 ( )
A. B.
C. D.
11.方程lg |x|=sin的实数根的个数为 ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
12.(多选题)关于函数f(x)=x3-3x+2的零点,下列说法正确的是 ( )
A.(1,0)是f(x)的一个零点
B.f(x)在区间(-3,-1)内存在零点
C.g(x)=f(x)-+3x有两个零点
D.f(x)的零点个数与方程x3-3x+2=0的解的个数相等
13.已知函数f(x)=|2x-1|,且关于x的方程[f(x)]2-af(x)+1=0有3个不同的实数解,则a的取值范围为 .
14.(15分)[2024·江苏镇江期末] 已知函数f(x)=2x--2.
(1)证明:函数f(x)有且只有两个不同的零点.
(2)已知n∈Z,设函数f(x)的两个零点为x1,x2(x1①x1∈;②x1∈;
③x2∈;④x2∈.
15.(多选题)定义域和值域均为[-a,a]的函数y=f(x)和y=g(x)的图象如图所示,其中a>b>c>0,则下列四个结论中正确的是 ( )
A.方程f[g(x)]=0有且仅有三个解
B. 方程g[f(x)]=0有且仅有三个解
C.方程f[f(x)]=0有且仅有五个解
D. 方程g[g(x)]=0有且仅有一个解
16.(15分)对于图象连续不间断的函数f(x),若其定义域内一点x0满足f(x0)=x0,则称x0为函数f(x)的一个不动点.已知函数f(x)=mx2-(m+1)x+n.
(1)当m=1,n=2时,求函数f(x)的不动点;
(2)若对于任意n∈,函数f(x)恒有两个相异的不动点,求实数m的取值范围.(共86张PPT)
8.1 二分法与求方程近似解
8.1.1 函数的零点
探究点一 求函数的零点
探究点二 探求函数零点所在区间
探究点三 判断函数零点的个数
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
了解函数的零点与方程解的关系.
知识点一 函数的零点的定义
一般地，我们把使函数 的值为0的_______称为函数
的______.
实数
零点
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1） 的零点是0.( )
√
（2）若方程有两个不等实根，，则函数 的零
点为， ．( )
×
（3）任何函数都有零点．( )
×
（4）函数 有两个零点.( )
×
[解析] 因为有两个相等的实数根 ，所
以函数 只有一个零点.
知识点二 函数的零点、方程的根、函数图象与 轴的交点的关系
函数的零点就是方程 的________,也就是函数
的图象与轴的______________,即方程有实数解
函数的图象与___________ 函数 ________.
实数解
交点的横坐标
轴有交点
有零点
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）函数有零点，则方程 必有实数解.( )
√
（2）函数的零点是函数的图象与 轴的公共点.( )
×
（3）若函数的图象都在轴上方，则函数 没有零点.
( )
√
（4）因为 有一个实数根，所以函数
有一个零点.( )
√
知识点三 函数零点存在定理
若函数在区间 上的图象是一条________的曲线,且
_______________,则函数在区间 上有零点.
不间断
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若，则在 内无零点．( )
×
[解析] 取函数，，满足，但
在 内有零点0.
（2）若函数在内有零点,则 .( )
×
[解析] 不一定成立.
可能在或 处无定义,即使有定义,也可能.
如函数在 内有零点,但 .
探究点一 求函数的零点
例1（1）函数 的零点为__.
[解析] 令，可得，所以函数 的
零点为 .
（2）函数 的零点是___．
1
[解析] 令，即，则或, ，
故函数 的零点为1.
（3）已知函数，则函数 的零点是______．
2和0
[解析] ，令，即 ，
或， 或0.
变式（1）若函数的两个零点是2和3,则 ___,
___.
5
-6
[解析] 因为函数 的两个零点是2和3,所以2和3是
方程的两个根,所以, ,所以
, .
（2）若函数 有一个零点3,则函数
的零点是_______.
和0
[解析] 因为的零点是3,所以,即 ,即
,所以 ,所以方程
的两个根为和0,即函数的零点为 和0.
（3）已知函数，则函数 的零点是________.
[解析] 由题意，得 ，解方程
，得，则函数的零点是 .
［素养小结］
求函数零点的常用方法：
（1）代数法：求方程的实数根.若存在实数根，则函数
存在零点，否则函数不存在零点.
（2）几何法：与函数的图象联系起来，图象与轴的交点
的横坐标即为函数的零点.
探究点二 探求函数零点所在区间
例2（1）函数 的零点所在的一个区间是( )
A. B. C. D.
[解析] 函数，都是 上的增函数，则函数
是上的增函数，
又 ，，所以函数 的
零点所在的一个区间是 .故选C.
√
（2）根据下表中的数据，可以判断方程 的一个根所
在的区间为( )
0 1 2 3
0.37 1 2.72 7.39 20.09
1 2 3 4 5
A. B. C. D.
√
[解析] 令 ，则由表中数据知
， ，
， ，
，
因为， 的图象是连续不断的曲线，所以的一个
零点在区间 内，即方程的一个根在区间 内.故选C.
变式（1）函数 的零点所在的区间为( )
A. B. C. D.
[解析] ，
，且在 上
单调递增，所以由零点存在定理得函数 的零点所在的区间为
.故选B.
√
（2）函数的零点所在的区间为 ，则正
整数 的值为___.
1
[解析] 因为函数在 上单调递增，且
，，所以
的零点所在的区间为，所以正整数 的值为1.
［素养小结］
判断函数零点所在区间的方法:将区间端点值代入函数解析式求出函
数值,进行符号判断即可得出结论.此类问题的难点往往是函数值符号
的判断,对此可运用函数的有关性质进行判断.
探究点三 判断函数零点的个数
角度1 确定函数零点个数
例3 求函数 的零点个数.
解：方法一，令，得 .
在同一平面直角坐标系中作出和 的
大致图象，如图所示,
由图可知,和 的图象有1个交点,
所以 有1个零点.
方法二，依题意知，函数 在 上单调递增，
并且图象连续不断，
因为， ，
所以 有1个零点.
变式（1）［2025·江苏无锡一中高一期末］函数 的
零点个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
√
[解析] 的定义域为 ，
因为,在, 上单调递增，
所以在, 上单调递增，
又，，所以存在唯一的 ，
使得，
又，所以 的零点个数为2. 故选C.
（2）［2025·广东高州一中高一月考］已知定义在上的偶函数
满足，且当时， ，则
的零点个数为( )
A.4 B.6 C.8 D.10
√
[解析] 的零点
个数等于函数 的图象与函
数 的图象的交点个数.
因为偶函数满足，所以偶函数 的周期为2，
又当时，，所以可作出与 的大
致图象，如图所示,
由图可知函数的图象与函数 的图象的交点个数为
8，所以 的零点个数为8.故选C.
［素养小结］
确定函数零点个数的方法:
（1）分解因式法:转化为一元次方程根的个数问题,一般采用分解因
式法解决.
（2）判别式法:转化为一元二次方程根的问题,通常用判别式法来判
断根的个数.
（3）图象法:将函数的零点问题转化为两个函数图象的交点问题,再
用图象法解决.
（4）单调性法:如果能够确定函数在所给区间上有零点,且是单调函
数,那么零点只有一个.
拓展 函数 的零点个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
[解析] 令 ，则
，
在同一坐标系中画出函数 ,
的大致图象，如图所示，
由图可知, 的图象
有两个交点，所以 的
零点个数为2.故选C.
√
角度2 由零点个数求参数
例4 若关于的方程且 有两个不等实根,则
的取值范围是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 设,关于的方程且
有两个不等实根等价于函数的图象与函数 的
图象有两个交点.
当 时,在同一平面直角坐标系内,作出函数
与函数 的大致图象如图①所示,
显然函数的图象与函数 的图象
只有一个交点,不符合题意;
当时,在同一平面直角坐标系内,作出函数 与
函数的大致图象如图②所示,
因为函数 的图象与函数的图象有两个交点,
所以,解得 .故选D.
变式（1）已知函数在 上有且只有一个零点，
则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为函数在 上有且只有一个零点，所
以关于的方程，即在 上有且只有一个实
根，所以与的图象当 时有一个公共点，
因为在上单调递减，所以，即
. 故选D.
√
（2）［2025· 南京高一检测］已知函数
若函数有3个零点，则实数 的取值范围为_______
_________________________________________________________.
[解析] 因为函数 有3个零
点，所以的图象与 的图象有
3个交点.
当时，，
当 时， ，
作出与 的大致图象，如图所示，
要使与 的图象有3个交点，则需满足，
解得 或 .
［素养小结］
解此类题的关键是将零点问题转化为两个函数图象的交点问题,求解时
首先根据已知条件构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系内画出两
个函数的图象,最后结合函数图象的交点个数确定参数的取值范围.
拓展 已知函数若关于 的方程
有6个不同的实数根，则实数 的取值
范围为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为 ，
所以或，
因为关于 的方程
有6个不同的实数根，所以的图象与直线
和直线 共有6个不同的交点.
作出函数的图象与直线，如图所示，
由图可知， 的图象与直线有3个交点，所以只需的图象
与直线 有3个交点，可得 .故选A.
1.对函数零点概念的认识
（1）函数零点是一个实数,不是一个点.当函数的自变量取这个实数
时,函数值为零.
（2）函数是否有零点是针对对应方程是否有实数解而言的,若方程没
有实数解,则函数没有零点,反映在图象上就是函数图象与 轴无交点.
（3）方程有几个解,其对应的函数就有几个零点.若函数 有零点,
则零点一定在其定义域内.
2.函数在区间 上的零点可能出现的三种情况
（1）有唯一零点,此时在上的图象与 轴有唯一公共点.若
在上满足①图象是一条连续不断的曲线, ,
在上是单调函数,则在 上有唯一零点.
（2）有多个零点.若在上满足情况（1）中的 ,且其图象
与轴多次相交,则在 上有多个零点.
（3）无零点.在上无零点的情况有两种:在 上的
图象不是连续不断的,如在 上没有零点;
在 上的最小（大）值大（小）于零,如
在 上没有零点.
1.应用函数零点存在定理应注意的问题
（1）并非所有函数的零点都能用这种方法找到,如 的零
点就不能用这种方法找到.只有函数值在零点的左右两侧异号时,才能
用这种方法.
（2）利用该定理只能判断函数在区间 上零点的存在性,但
不能确定其零点的个数.
例1 ［2025·陕西安康高一期末］ 在下列区间中，函数
一定存在零点的是( )
A. B. C. D.
[解析] 显然，函数的图象在 上连续不断.
， ，
，， .
因为，所以函数在区间 内不一定存在零点.
因为，所以根据函数零点存在定理，函数 在区间
内一定存在零点.
√
因为，所以函数 在区间内不一定存在零点.
因为，所以函数 在区间内不一定存
在零点.
综上，函数 在区间 内一定存在零点.故选B.
2.复合函数零点问题
例2 已知函数 若函数
恰有5个零点，则实数 的取
值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 令，得，故 或
.
令，则或可得或 ，
故有2个不同的解.
结合题意需满足 有3个不同的解，且异于,9，故
有一个解，且 有两个解，且解不为,9，
故，且，解得 .故选B.
例3 （多选题）［2025·山东淄博高一期末］ 已知函数
则( )
A.若方程有四个不同的实根，则其中两个负根之和为
B.若方程 有四个不同的实根，则其中两个正根之积为1
C.若方程有三个不同的实根，则的取值范围为
D.方程 的两根之积小于1
√
√
√
[解析] 函数 的图象如图所示.
对于A，方程 有四个不同的实根，即直
线与函数 的图象有4个交点，则
，设4个交点的横坐标依次为,, ,
，且，显然, 是方程
的两个不等实根，则 ，A正确.
对于B，由，得，则
，所以，B正确.
对于C，当时，直线 与函数的图象有3个交点，
C错误.
对于D，当时， ，所以由得 ，所以
或.当 时，
，因为函数 单调递增，所以是方程
唯一的实根. 当时，, ，则
在内无解.当 时，
令，因为 ,
，所以在 内有零点，
即 在 内有解. 因此方程
的两根之积小于1，D正确.故选 .
3.函数的性质与零点的综合问题
函数性质与零点的综合问题，经常结合函数的奇偶性、周期性和对称
性等，考查与函数零点有关的问题，大部分题目可借助函数图象求解.
例4（1）（多选题）［2025·陕西咸阳高一期末］ 已知函数
方程 有四个不同的实数根
，，，，且满足 ，则( )
A.符合题意 B.
C. D.
√
√
√
[解析] 画出函数
的图
象，如图所示.
对于A，方程有四个不同的实数根，则函数 与
的图象有四个不同的交点，由图可知，所以
符合题意，A正确；
对于B，由题意知, 为方程的两个负根，
所以， ，B正确；
对于C，因为 ，所以
，C正确；
对于D，由图可知， ，由 ，得，则 ，则 ，又
， ，所以
，
当时， ，此时
，D错误.故选 .
（2）［2025·哈尔滨九中高一期末］定义在上的奇函数 ，满足
，当时，，则 ___；
若方程在上有且只有3个不同的实根，则
的取值范围为_ ____________.
1
[解析] 因为函数为定义在 上的奇函
数，所以 ，
又因为 ，
所以 ，
，所以是周期为4的周期函数，
图象关于直线对称，
因为当 时，，
所以.
当 时，与 的大致图象如图①所示，
因为方程在
上有3个不同的实数根，
所以需满足
解得；
当 时，与
的大致图象如图②所示，
因为方程 在 上有3个不同的实数根，
所以需满足解得.
则 的取值范围为 .
练习册
1.［2025·江苏镇江实验高级中学高一期末］函数
的零点所在的区间是( )
A. B. C. D.
[解析] 易知在上单调递增， ，
，，， ，所以函数
的零点所在的区间是 .故选C.
√
2.已知函数 的图象是一条连续不断的曲线，且有如下的对应值表：
1 2 3 4 5 6
124.4 33 24.5
则函数在区间 上的零点至少有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
[解析] 依题意得，，， ，
根据函数零点存在定理可知，在区间，， 上均至
少含有1个零点，故函数在区间 上的零点至少有3个．
√
3.［2025·湖南衡阳三中高一月考］已知函数
则函数 的零点为( )
A.，0 B.，
C.0 D.
[解析] 当时，令 ，得
，解得；
当时，令，得 ，解得（舍去）.
所以函数 的零点为0.故选C.
√
4.［2025·北京顺义区一中高一月考］如果函数 的一
个零点是，那么 可以是( )
A. B. C. D.
[解析] 由函数的一个零点是 ，可得
，则 ,，解得 , ，
当时，可得 .故选D.
√
5.函数在区间 内的零点个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
[解析] 因为函数,在区间 内都单调递增，所以
函数在区间内单调递增，
又 , ,所以，所以函数
在区间 内的零点个数是1.故选B.
√
6.函数 的零点个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 函数当时，令 ，
得，解得或（舍去）；
当 时，令，得，解得 .
所以函数的零点个数为2.故选B.
√
7.函数 的零点是___.
1
[解析] 令，得 ,所以
,则 .
8.已知函数.若 有2个零
点，则实数 的取值范围是________.
[解析] 当时，，则在
上单调递减，.
令可得 ，作出函数与
函数 的图象，如图所示.
由图可知，当时，函数 与函数的图象有1个
交点，则 有1个零点，不符合题意；
当时，函数与函数 的图象有2个交点，此时，
函数有2个零点，符合题意.
因此，实数的取值范围是 .
9.（13分）求出下列函数的零点．
（1） ；
解：解方程，得或 ，所以函数的零点
是， .
（2） ；
解：解方程，得，所以函数的零点是 .
（3） ；
解：解方程，得，所以函数的零点是 .
9.（13分）求出下列函数的零点．
（4） .
解：解方程，得，所以函数的零点是 .
10.若函数在区间上存在零点，则 的取值范
围为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为，在 上单调递增，所以
在上单调递增.
因为 在上存在零点，
所以在 上存在唯一零点，
所以即解得 .故选A.
11.方程 的实数根的个数为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
[解析] 令 , ，则所给方程根的
个数等于函数的图象与 的图象的交点个数.
易知在 上为偶函数，在上为偶函数，
故只需求出的图象与 的图象在上的交点个数.
当时， ，，
， ，
√
，当 ，
， ， 时， ，
，
由以上分析作出 与在 上的
图象，如图所示.
由图可知，两函数图象在 上共有3个交点，则两函数图象在
上共有6个交点，所以方程 的
实数根的个数为6.故选C.
12.（多选题）关于函数 的零点，下列说法正确的
是( )
A.是 的一个零点
B.在区间 内存在零点
C. 有两个零点
D.的零点个数与方程 的解的个数相等
√
√
[解析] 对于A，因为，所以是 的一
个零点，A错误；
对于B， ,
，则 ，故
在区间 内存在零点，B正确；
对于C，，因为
在 上单调递增，在上单调递增，所以在 上单调
递增，所以 至多有1个零点，C错误；
对于D，函数的零点，即为方程的
解，故 的零点个数与方程的解的个数相等，D正确.
故选 .
13.已知函数，且关于的方程
有3个不同的实数解，则 的取值范围为________.
[解析] 作出函数 的图象，如图所示，
令，因为关于 的方程
恰有3个不同的实数根，所以由图可得，
有两个不同的实数根 ，，且，.
记 ，
则解得，所以实数 的取值范围为 .
14.（15分）［2024·江苏镇江期末］ 已知函数 .
（1）证明：函数 有且只有两个不同的零点.
证明：由题意可知函数 的定义域为
，且在， 上均单
调递增且图象连续不断.
因为， ，所以 ，
故在 内有一个零点.
又， ，
所以，故在 内有一个零点.
综上，函数 有且只有两个不同的零点.
14.（15分）［2024·江苏镇江期末］ 已知函数 .
（2）已知，设函数的两个零点为， ，试判
断下列四个命题的真假，并说明理由：
； ；
； .
解：①③为真命题，②④为假命题，理由如下.
由（1）可知，则， ，
所以①为真命题，②为假命题.
因为， ，
所以 ，则， ，
所以③为真命题，④为假命题.
综上可知①③为真命题，②④为假命题.
15.（多选题）定义域和值域均为的函数和
的图象如图所示，其中 ，则下列四个结论中正确的是
( )
A.方程 有且仅有三个解
B.方程 有且仅有三个解
C.方程 有且仅有五个解
D.方程 有且仅有一个解
√
√
√
[解析] 对于A，当时，或或 ，故当
时，或或.因为 ,所
以,，又在 上单调递减，所以方程
,,都有唯一解，则方程
有且仅有三个解，故A正确.
对于B，当时， ，故当时，
.因为，所以由 的图
象可知方程有一个解，则方程
有且仅有一个解，故B错误.
对于C，当时，或或 ，故当时，
或或 .因为 ,所以
，则方程和 各有一个解，
方程有三个解，则方程 有
且仅有五个解，故C正确.
对于D，当时，，故当
时，，因为，在
上单调递减，所以方程有唯一解，则方程
有且仅有一个解，故D正确.故选 .
16.（15分）对于图象连续不间断的函数，若其定义域内一点
满足，则称为函数 的一个不动点.已知函数
.
（1）当,时，求函数 的不动点；
解：当,时，，
设为 的不动点，则由题知，
即，解得 或，所以函数 的不动点
为1和2.
16.（15分）对于图象连续不间断的函数，若其定义域内一点
满足，则称为函数 的一个不动点.已知函数
.
（2）若对于任意，函数 恒有两个相异的不动点，求
实数 的取值范围.
解：因为 恒有两个相异的不动点，所以方程
恒有两个不等实根，整理方程得，所
以 且 恒成立.
由题知对于任意， 恒成立.
令，可得
即解得或，
又，所以实数 的取值范围为 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 实数 零点 【诊断分析】（1）√ （2）× （3）× （4）×
知识点二 实数解 交点的横坐标 轴有交点 有零点
【诊断分析】 （1）√ （2）× （3）√ （4）√
知识点三 不间断 【诊断分析】 （1）× （2）×
课中探究 探究点一 例1 （1） （2）1 （3）2和0
变式 （1）5 6 （2）和0 （3）
探究点二 例2 （1）C （2）C 变式 （1）B （2）1
探究点三 角度1 例3 有1个零点 . 变式 （1）C （2）C 拓展 C
角度2 例4 D 变式 （1）D （2） 拓展 A
练习册
基础巩固
1.C 2.B 3.C 4.D 5.B 6.B 7.1 8.
9.（1）， （2） （3） （4）
综合提升
10.A 11.C 12.BD 13.
14.（1）证明略 （2）①③为真命题，②④为假命题，理由略
思维探索
15.ACD
16.（1）函数的不动点为1和2 （2）