(共53张PPT)
8.1 二分法与求方程近似解
8.1.2 用二分法求方程的近似解
探究点一 二分法的概念
探究点二 求方程的近似解
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
能利用零点存在定理，借助具体连续函数的图象，利用二分法
求方程的近似解.
知识点一 二分法的定义
一般地，对于在区间 上图象连续不断且_____________的函数
,通过不断地把它的零点所在区间__________,使所得区间的
两个端点________________________,进而得到零点________的方法.
一分为二
逐步逼近函数的零点
近似值
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）函数 可以用二分法求零点．( )
×
（2）所有函数的零点都可以用二分法来求． ( )
×
2.已知函数在区间 内有零点,且单调递增，采用什么方
法能进一步有效缩小零点所在的区间
解：可采用“取中点”的方法逐步缩小零点所在的区间.
知识点二 用二分法求方程近似解的步骤
给定精确度,用二分法求函数零点 的近似值的一般步骤:
（1）确定零点 所在的初始区间______.这一步的关键是①使区间长
度尽量小;,的值比较容易计算;, 异号.
（2）求区间的______.利用公式 即可求解.
中点
给定精确度,用二分法求函数零点 的近似值的一般步骤:
（3）计算,并进一步确定零点 所在的区间.
①若_________（此时）,则 就是函数的零点;②若
（此时 ______）,则令;③若
此时,则令 .这一步的目的是缩小零点所在的区间,也
就是所谓的“二分”.
（4）判断是否达到精确度若___________,则得到零点近似值
（或 ）；否则重复第（2）（3）（4）步.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定
在右侧区间内．( )
×
[解析] 用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点既
可以在左侧区间内，也可以在右侧区间内.
（2）用二分法所求出的方程的解都是近似解．( )
×
[解析] 用二分法所求出的方程的解可能是准确解．
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（3）用二分法求方程在区间 上的近似解时,经计算得
,,则方程的一个近似解可取为
（精确度为0.1）.( )
[解析] 因为,所以方程 的
一个近似解可取为0.6.
√
探究点一 二分法的概念
例1（1）已知函数 的图象如图所示，其中零
点的个数与可以用二分法求解的零点个数分别为
( )
A.4,4 B.3,4 C.5,4 D.4,3
[解析] 题中图象与 轴有4个交点，所以零点的个数为4.
左右两侧函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求解的零点个数
为3.故选D.
√
（2）［2025·上海大同中学高一月考］用“二分法”求方程
在区间 内的实根，取区间中点三次，可以确定
根所在的最小区间是( )
A. B.
C. D.
[解析] 令，则， ，
由，， ，得所求区间
为 .故选C.
√
（3）已知函数在区间 内单调递增且
，用二分法求方程 近似解（精确度为0.05）
时，需要求中点值的次数为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
[解析] 所给区间 的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变
为原来的一半.
经过1次操作，区间长度变为 ；经过两次操作，区间长度变为；
经过3次操作，区间长度变为 ，经过4次操作，区间长度变为
，经过5次操作区间长度变为 .
所以需要求中点值的次数为5.故选C.
√
［素养小结］
判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是其图象在零点附近是连
续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似
值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．
探究点二 求方程的近似解
例2 用二分法求方程 的近似解（精确度为0.1）.
解：令，因为， ，
所以，
又易知是增函数，所以函数 有一个零点且在 内存在零点，
即方程在 内有解．
列表如下，
1 0.5
0.5 0.75
0.25 0.625
0.125
因为 ，所以方程的近似解为0.75．
变式 ［2025·湖北黄冈蕲春一中高一月考］ 函数
的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次
计算，参考数据如表：
那么方程 的一个近似根（精确度为0.1）为
___________________.
1.4（答案不唯一）
[解析] 因为，所以函数的一个零点在 内；
因为，所以函数的一个零点在 内；
因为，所以函数的一个零点在 内；
因为，所以函数 的一个零点在
内.
因为 ，所以方程
的一个近似根（精确到0.1）可取为1.4.
［素养小结］
用二分法求方程的近似解的思路和方法:
（1）根据函数的零点与对应方程解的关系可知,求函数的零点与求对
应方程的解是等价的,所以求方程的近似解,可按照用二分法
求函数零点近似值的步骤求解.
（2）对于求形如的方程的近似解,可以通过移项转化为
求函数的零点的近似值,然后按照用二分法求函
数零点近似值的步骤求解.
应用二分法求方程的近似解应注意的问题
二分法不是万能的,只有满足的图象在区间 上连续不断,
时，方程 的解才能用二分法求解.因此,它
只能求解函数的变号零点,不能求解不变号零点.
求函数零点的近似值
利用二分法求函数在区间上的零点,就是不断地把函数
的零点所在的区间一分为二,并通过判断区间两端点处函数值乘积的
正负情况,使区间的两个端点逐步逼近零点,从而找到零点的近似值.
例 已知函数在 上单调递增，用二分法求方
程的正根精确度为 .
解：因为函数在 上单调递增，
所以方程 的正根最多有一个.
因为， ，
所以方程的正根在内，取 为初始区间，用二分法逐次计算，
列出下表：
区间 中点值 中点函数值的近似值
0.5 0.732
0.25
0.375 0.328
0.124
0.021
因为，所以方程 的正根
可取为 .
练习册
1.给出下列关于函数, 的说法:
①若,且满足,则是 的一个零点;
②若是在上的零点,则可用二分法求 的近似值;
③函数的零点是方程的根,但方程 的根不一定
是函数 的零点;
④用二分法求方程的根时,得到的都是近似值.
其中正确说法的序号为( )
A.① B.② C.③ D.④
√
[解析] ,且,是的一个零点, 中说
法正确;
②函数的图象不一定连续不断,且不一定是 的变号
零点，则不一定能用二分法求的近似值， 中说法错误;
③方程的根一定是函数的零点, 中说法错误;
④用二分法求方程的根时,得到的根也可能是精确值, 中说法错误.
故选A.
2.小明同学在用二分法研究函数在区间 上的零点时，发现
，， ，那么他下一步应计算( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意知，零点在区间上，因此下一步应计算 ，
故选C.
√
3.要用二分法求函数在区间 内的一个零点的
近似值，一组数据如下表所示：
1 1.5 1.25 1.375
0.875 0.225
那么的一个零点的近似值精确度为 可取为( )
A.1 B.1.5 C.1.25 D.
√
[解析] 在 上的图象连续不断，
， ，且
，所以函数 的一个零点的近似
值可取为 .故选D.
4.用二分法求方程 的近似解时，已经将根锁定在区
间 内，则下一步可断定该根所在的区间为( )
A. B. C. D.
[解析] ,
，
因为 ,所以，所以,所以
，则，所以下一步可断定该根所在的区间为
. 故选B.
√
5.用二分法求函数在区间 上的零点，要求精确度
为 ，则需要二分区间的次数为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
[解析] 初始区间 的长度等于1，每经过一次二分区间的操作，
区间长度变为原来的一半，则经过次操作，区间的长度为 ,
因为, ，所以需要二分区间的次数为7.
故选C.
√
6.［2025·广东深圳外国语学校高一期末］用二分法求方程
的近似解时，所取的第一个区间可以是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 令，则 ，
，
，
， .
故用二分法求方程 的近似解时，所取的第一个区间可
以是 .故选B.
7.用二分法研究函数 的零点时，第一次计算得
,，第二次应计算，则 等于_____.
0.25
[解析] 因为,，所以函数在 上有零点，
又，所以第二次应计算，即 .
8.［2025·上海徐汇区高一诊断］用二分法求函数在区间 上
的零点的近似值，计算得， ,
,.下一次应求，则 ______.
2.875
[解析] 由二分法的求解过程知，下一次所求 为
，所以 .
9.（13分）用二分法求函数的零点.精确度为
解：易知函数在 上单调递增，
因为,，所以 ，
所以在上存在唯一的零点，记为 .
又，
所以 ，所以.
因为 ，
所以，所以 .
因为，所以 ,所
以 .
因为 ,
所以,所以 .
因为 ,
所以,所以 .
因为 ，
所以 的零点可取为1.2.
10.（13分）证明在区间 内有解，设
，根据下表，并求方程的近似解精确度为 .
区间
解：易知在定义域内是增函数，因为 ，
，所以方程在区间 内有唯
一解.
由题中所给数据得 ，所以方
程 的近似解可取为1.4.
11.［2024·上海虹口区期末］若在用二分法寻找函数
零点的过程中，依次确定了零点所在区间
为,,，则实数和 分别等于( )
A., B.2，3 C.,2 D.,
√
[解析] 函数 ，
根据指数函数与反比例函数的性质，可得函数在 上单调
递增，所以函数在 内至多有一个零点.
因为依次确定了零点所在区间为,,，
所以 即解得 故选A.
12.（多选题）用二分法求方程 的近似解时，设函数
，通过计算给出如下对应值表：
1.25 1.375 1.5
0.02 0.33
分析表中数据，下列说法正确的是( )
A.
B.方程 有实数解
C.若精确度为 ，则近似解可取为1.4
D.若精确度为 ，则近似解可取为1.3
√
√
[解析] 与都是 上的增函数，
是上的增函数，在 上至多有一个零点.
由表格中的数据可知，，在
上有唯一零点，且零点所在的区间为， ，
A错误；
方程有实数解，B正确；
，，，
方程的近似解可取为，C正确，D错误.故选 .
13.（多选题）下列方程中，可以用二分法求近似解的有( )
A. B.
C. D.
[解析] 对于A，在上单调递增，在
上图象连续不断，且， ，则可以使
用二分法求原方程的近似解；
对于B，在 上图象连续不断且单调递增，又
， ，所以可以使用二分法求原方程的近似解；
√
√
√
对于C， ，故不可以使用二分法求原方程的
近似解；
对于D，在上单调递增，在 上
图象连续不断，且， ，则可以使用二
分法求原方程的近似解.故选 .
14.函数有零点，但不能用二分法求出，则，
的关系是________．
[解析] 函数有零点，但不能用二分法求出，
函数的图象与轴相切， ，
.
15.在16枚崭新的金币中，有1枚外表与真币完全相同的假币
（比真币略轻）.现只有一台天平，利用二分法的思想（每次均二等
分），则需要___次就可以找出这枚假币.
4
[解析] 利用二分法的思想，需要4次就可以找出这枚假币.
第一次把16枚金币平均分成两组，放在天平上称，天平一定不平衡，
轻的一组（8枚金币）含假币；
第二次把含假币的8枚金币平均分成两组，放在天平上称，天平一定
不平衡，轻的一组（4枚金币）含假币；
第三次把含假币的4枚金币平均分成两组，放在天平上称，天平一定不
平衡，轻的一组（2枚金币）含假币；
第四次把含假币的2枚金币放在天平上称，天平一定不平衡，轻的一边
是假币.
16.（15分）随着社会的发展，电动车进入了千家万户，给我们的生
活带来了极大的方便.某品牌电动车2021年平均每台电动车的生产成
本为15万元，并以纯利润 标定出厂价.2022年开始，公司加强管
理，降低生产成本.2025年平均每台电动车尽管出厂价仅是2021年出
厂价的，但却实现了纯利润 的高收益.以2021年的生产成本
为基数，用二分法求 年生产成本平均每年降低的百分数
精确度为参考数据：, ,
,,, ,
.
解：设2025年平均每台电动车的生产成本为 万元，依题意得
，解得 ，所以2025
年平均每台电动车的生产成本约为9.24万元.
设年生产成本平均每年降低的百分数为 ，
根据题意，得 ，
令，可得, 的对应值如表，
0.1 0.15 0.2 0.3
则，故函数在区间内有零点 .
取区间的中点，可得 ，则
，得 .
取的中点，得 ，因为
，所以 ，
同理 ，
又 ，所以原方程的近似解可取为，
故 年生产成本平均每年降低约 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 一分为二 逐步逼近函数的零点 近似值
【诊断分析】 1.（1）× （2）× 2. 可采用“取中点”的方法
知识点二 （1） （2）中点 （3） （4）
【诊断分析】 （1）× （2）× （3）√
课中探究 探究点一 例1 （1）D （2）C （3）C
探究点二 例2 0.75 变式 1.4（答案不唯一）
练习册
基础巩固
1.A 2.C 3.D 4.B 5.C 6.B 7.0.25 8.2.875
9. 的零点可取为1.2
10. 方程的近似解可取为1.4
综合提升
11.A 12.BC 13.ABD 14.
思维探索
15.4
16. 年生产成本平均每年降低约8.1.2 用二分法求方程的近似解
【课前预习】
知识点一
f(a)f(b)<0 一分为二 逐步逼近函数f(x)的零点
近似值
诊断分析
1.(1)× (2)×
2.解:可采用“取中点”的方法逐步缩小零点所在的区间.
知识点二
(1)[a,b] (2)中点c (3)①f(c)=0 ②(a,c)
(4)|a-b|<ε
诊断分析
(1)× (2)× (3)√ [解析] (1)用二分法求函数零点的近似值时,每次等分区间后,零点既可以在左侧区间内,也可以在右侧区间内.
(2)用二分法所求出的方程的解可能是准确解.
(3)因为|0.562 5-0.625|=0.062 5<0.1,所以方程f(x)=0的一个近似解可取为0.6.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)D (2)C (3)C [解析] (1)题中图象与x轴有4个交点,所以零点的个数为4.左右两侧函数值异号的零点有3个,所以可以用二分法求解的零点个数为3.故选D.
(2)令f(x)=x3-2x-5,则f(2)=-1,f(3)=16,由f(2.5)=5.625,f(2.25)≈1.891,f(2.125)≈0.346,得所求区间为(2,2.125).故选C.
(3)所给区间(2,3)的长度等于1,每经过一次操作,区间长度变为原来的一半.经过1次操作,区间长度变为;经过两次操作,区间长度变为;经过3次操作,区间长度变为>0.05,经过4次操作,区间长度变为>0.05,经过5次操作区间长度变为<0.05.所以需要求中点值的次数为5.故选C.
探究点二
例2 解:令f(x)=2x3+3x-3,因为f(0)=-3<0,f(1)=2>0,所以f(0)f(1)<0,又易知f(x)是增函数,所以函数f(x)有一个零点且在(0,1)内存在零点,
即方程2x3+3x-3=0在(0,1)内有解.列表如下,
(a,b) b-a f的正负
(0,1) 1 0.5 f(0.5)<0
(0.5,1) 0.5 0.75 f(0.75)>0
(0.5,0.75) 0.25 0.625 f(0.625)<0
(0.625,0.75) 0.125 0.687 5 f(0.687 5)<0
(0.687 5,0.75) 0.062 5
因为|0.75-0.687 5|=0.062 5<0.1,所以方程的近似解为0.75.
变式 1.4(答案不唯一) [解析] 因为f(1)f(1.5)<0,所以函数f(x)的一个零点在(1,1.5)内;因为f(1.25)f(1.5)<0,所以函数f(x)的一个零点在(1.25,1.5)内;因为f(1.375)f(1.5)<0,所以函数f(x)的一个零点在(1.375,1.5)内;因为f(1.375)f(1.437 5)<0,所以函数f(x)的一个零点在(1.375,1.437 5)内.因为|1.437 5-1.375|=0.062 5<0.1,所以方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精确到0.1)可取为1.4.8.1.2 用二分法求方程的近似解
1.A [解析] ①∵x0∈[a,b],且f(x0)=0,∴x0是f(x)的一个零点,∴①中说法正确;②函数f(x)的图象不一定连续不断,且x0不一定是f(x)的变号零点,则不一定能用二分法求x0的近似值,∴②中说法错误;③方程f(x)=0的根一定是函数f(x)的零点,∴③中说法错误;④用二分法求方程的根时,得到的根也可能是精确值,∴④中说法错误.故选A.
2.C [解析] 由题意知,零点在区间(0,0.5)上,因此下一步应计算f(0.25),故选C.
3.D [解析] f(x)=x3-x-1在R上的图象连续不断,f(1.375)=0.225>0,f(1.312 5)=-0.052<0,且1.375-1.312 5=0.062 5<0.1,所以函数f(x)的一个零点的近似值可取为1.312 5.故选D.
4.B [解析] log34+4-5=log34-1>0,log33.5+3.5-5=log33.5-log331.5,因为33=27,所以31.5=>4,所以3.5<31.5,所以log33.5-1.5<0,则log33.5+3.5-5<0,所以下一步可断定该根所在的区间为(3.5,4).故选B.
5.C [解析] 初始区间(1,2)的长度等于1,每经过一次二分区间的操作,区间长度变为原来的一半,则经过n次操作,区间的长度为,因为=>0.01,=<0.01,所以需要二分区间的次数为7.故选C.
6.B [解析] 令f(x)=-3-x,则f(0)=0-1=-1<0,f=-=-<0,f=-=->0,f=-=->0,f(1)=-3-1=1->0.故用二分法求方程-3-x=0的近似解时,所取的第一个区间可以是.故选B.
7.0.25 [解析] 因为f(0)<0,f(0.5)>0,所以函数f(x)在(0,0.5)上有零点,又=0.25,所以第二次应计算f(0.25),即x1=0.25.
8.2.875 [解析] 由二分法的求解过程知,下一次所求f(m)为f=f(2.875),所以m=2.875.
9.解:易知函数f(x)=x3+x-3在R上单调递增,
因为f(1)=-1,f(2)=7,所以f(1)·f(2)<0,
所以f(x)在(1,2)上存在唯一的零点,记为x0.
又f=f(1.5)=1.875,所以f(1)·f(1.5)<0,
所以x0∈(1,1.5).因为f=f(1.25)≈0.203,所以f(1)·f(1.25)<0,所以x0∈(1,1.25).
因为f=f(1.125)≈-0.451,所以f(1.25)·f(1.125)<0,所以x0∈(1.125,1.25).
因为f=f(1.187 5)≈-0.138,
所以f(1.187 5)·f(1.25)<0,所以x0∈(1.187 5,1.25).
因为f=f(1.218 75)≈0.029,
所以f(1.187 5)·f(1.218 75)<0,所以x0∈(1.187 5,1.218 75).因为|1.187 5-1.218 75|=0.031 25<0.05,
所以f(x)的零点可取为1.2.
10.解:易知f(x)在定义域内是增函数,因为f(1)=2+1-4<0,f(2)=22+2-4>0,所以方程2x+x-4=0在区间[1,2]内有唯一解.由题中所给数据得|1.375-1.437 5|=0.062 5<0.1,所以方程2x+x=4的近似解可取为1.4.
11.A [解析] 函数f(x)=2x-=2x-=2x--2,根据指数函数与反比例函数的性质,可得函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,所以函数f(x)在(1,+∞)内至多有一个零点.因为依次确定了零点所在区间为[a,b],,,所以即解得故选A.
12.BC [解析] ∵y=2x与y=3x-7都是R上的增函数,∴f(x)=2x+3x-7是R上的增函数,∴f(x)在R上至多有一个零点.由表格中的数据可知f(1.421 875)<0,f(1.437 5)>0,∴f(x)在R上有唯一零点,且零点所在的区间为(1.421 875,1.437 5),∴h<0,A错误;方程2x+3x-7=0有实数解,B正确;∵f(1.375)<0,f(1.437 5)>0,|1.437 5-1.375|=0.062 5<0.1,∴方程的近似解可取为1.4,C正确,D错误.故选BC.
13.ABD [解析] 对于A,f(x)=log2x+x在(0,+∞)上单调递增,在(0,+∞)上图象连续不断,且f=-1+<0,f(1)=1>0,则可以使用二分法求原方程的近似解;对于B,g(x)=ex+x在R上图象连续不断且单调递增,又g(0)=1>0,g(-1)=e-1-1<0,所以可以使用二分法求原方程的近似解;对于C,x2-2x+1=(x-1)2≥0,故不可以使用二分法求原方程的近似解;对于D,h(x)=+ln x在(0,+∞)上单调递增,在(0,+∞)上图象连续不断,且h=-1<0,h(1)=1>0,则可以使用二分法求原方程的近似解.故选ABD.
14.a2=4b [解析] ∵函数f(x)=x2+ax+b有零点,但不能用二分法求出,∴函数f(x)=x2+ax+b的图象与x轴相切,∴Δ=a2-4b=0,∴a2=4b.
15.4 [解析] 利用二分法的思想,需要4次就可以找出这枚假币.第一次把16枚金币平均分成两组,放在天平上称,天平一定不平衡,轻的一组(8枚金币)含假币;第二次把含假币的8枚金币平均分成两组,放在天平上称,天平一定不平衡,轻的一组(4枚金币)含假币;第三次把含假币的4枚金币平均分成两组,放在天平上称,天平一定不平衡,轻的一组(2枚金币)含假币;第四次把含假币的2枚金币放在天平上称,天平一定不平衡,轻的一边是假币.
16.解:设2025年平均每台电动车的生产成本为M万元,依题意得M(1+40%)=15×(1+15%)×75%,解得M≈9.24,所以2025年平均每台电动车的生产成本约为9.24万元.
设2022~2025年生产成本平均每年降低的百分数为x,
根据题意,得15(1-x)4=9.24(0x 0.1 0.15 0.2 0.3
f(x) 0.601 5 -1.41 -3.096 -5.638 5
则f(0.1)·f(0.15)<0,故函数在区间(0.1,0.15)内有零点x0.
取区间(0.1,0.15)的中点x1=0.125,可得f(0.125)≈-0.447,则f(0.125)·f(0.1)<0,得x0∈(0.1,0.125).
取(0.1,0.125)的中点x2=0.112 5,得f(0.112 5)≈0.066,因为f(0.112 5)·f(0.125)<0,所以x0∈(0.112 5,0.125),同理x0∈(0.112 5,0.118 75),
又|0.118 75-0.112 5|<0.01,
所以原方程的近似解可取为0.112 5,故2022~2025年生产成本平均每年降低约11.25%.8.1.2 用二分法求方程的近似解
【学习目标】
能利用零点存在定理,借助具体连续函数的图象,利用二分法求方程的近似解.
◆ 知识点一 二分法的定义
一般地,对于在区间[a,b]上图象连续不断且 的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间 ,使所得区间的两个端点 ,进而得到零点 的方法.
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数f(x)=|x+1|可以用二分法求零点.( )
(2)所有函数的零点都可以用二分法来求. ( )
2.已知函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,且单调递增,采用什么方法能进一步有效缩小零点所在的区间
◆ 知识点二 用二分法求方程近似解的步骤
给定精确度ε,用二分法求函数y=f(x)零点x0的近似值的一般步骤:
(1)确定零点x0所在的初始区间 .这一步的关键是①使区间长度尽量小;②f(a),f(b)的值比较容易计算;③f(a),f(b)异号.
(2)求区间(a,b)的 .利用公式c=即可求解.
(3)计算f(c),并进一步确定零点x0所在的区间.
①若 (此时x0=c),则c就是函数的零点;②若f(a)·f(c)<0(此时x0∈ ),则令b=c;③若f(c)·f(b)<0(此时x0∈(c,b)),则令a=c.这一步的目的是缩小零点所在的区间,也就是所谓的“二分”.
(4)判断是否达到精确度ε:若 ,则得到零点近似值a(或b);否则重复第(2)(3)(4)步.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)用二分法求函数零点的近似值时,每次等分区间后,零点必定在右侧区间内. ( )
(2)用二分法所求出的方程的解都是近似解.( )
(3)用二分法求方程f(x)=0在区间[0,1]上的近似解时,经计算得f(0.562 5)<0,f(0.625)>0,则方程的一个近似解可取为0.6 (精确度为0.1). ( )
◆ 探究点一 二分法的概念
例1 (1)已知函数f(x)的图象如图所示,其中零点的个数与可以用二分法求解的零点个数分别为( )
A.4,4
B.3,4
C.5,4
D.4,3
(2)[2025·上海大同中学高一月考] 用“二分法”求方程x3-2x-5=0在区间(2,3)内的实根,取区间中点三次,可以确定根所在的最小区间是( )
A.(2,2.5) B.(2,2.25)
C.(2,2.125) D.(2.062 5,2.125)
(3)已知函数f(x)=ln x+x-3在区间(2,3)内单调递增且f(2)·f(3)<0,用二分法求方程f(x)=0近似解(精确度为0.05)时,需要求中点值的次数为 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
[素养小结]
判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是其图象在零点附近是连续不断的,且该零点为变号零点.因此,用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用,对函数的不变号零点不适用.
◆ 探究点二 求方程的近似解
例2 用二分法求方程2x3+3x-3=0的近似解(精确度为0.1).
变式 [2025·湖北黄冈蕲春一中高一月考] 函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如表:
f(1)=-2 f(1.5)=0.625
f(1.25)≈-0.984 f(1.375)≈-0.260
f(1.437 5)≈0.162 f(1.406 25)≈-0.054
那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精确度为0.1)为 .
[素养小结]
用二分法求方程的近似解的思路和方法:
(1)根据函数的零点与对应方程解的关系可知,求函数的零点与求对应方程的解是等价的,所以求方程f(x)=0的近似解,可按照用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤求解.
(2)对于求形如f(x)=g(x)的方程的近似解,可以通过移项转化为求函数F(x)=f(x)-g(x)的零点的近似值,然后按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解.8.1.2 用二分法求方程的近似解
1.给出下列关于函数f(x),x∈[a,b]的说法:
①若x0∈[a,b],且满足f(x0)=0,则x0是f(x)的一个零点;
②若x0是f(x)在[a,b]上的零点,则可用二分法求x0的近似值;
③函数f(x)的零点是方程f(x)=0的根,但方程f(x)=0的根不一定是函数f(x)的零点;
④用二分法求方程的根时,得到的都是近似值.
其中正确说法的序号为 ( )
A.① B.②
C.③ D.④
2.小明同学在用二分法研究函数f(x)在区间(0,1)上的零点时,发现f(0)>0,f(1)<0,f(0.5)<0,那么他下一步应计算 ( )
A.f(0.75) B.f(0.625)
C.f(0.25) D.f(0.125)
3.要用二分法求函数f(x)=x3-x-1在区间[1,1.5]内的一个零点的近似值,一组数据如下表所示:
x 1 1.5 1.25 1.375 1.312 5
f(x) -1 0.875 -0.297 0.225 -0.052
那么f(x)的一个零点的近似值(精确度为0.1)可取为 ( )
A.1 B.1.5
C.1.25 D.1.312 5
4.用二分法求方程log3x+x-5=0的近似解时,已经将根锁定在区间(3,4)内,则下一步可断定该根所在的区间为 ( )
A.(3,3.5) B.(3.5,4)
C.(3,3.25) D.(3.5,3.75)
5.用二分法求函数f(x)=2x-在区间(1,2)上的零点,要求精确度为0.01,则需要二分区间的次数为 ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
6.[2025·广东深圳外国语学校高一期末] 用二分法求方程-3-x=0的近似解时,所取的第一个区间可以是 ( )
A. B.
C. D.
7.用二分法研究函数f(x)=x3+2x-1的零点时,第一次计算得f(0)<0,f(0.5)>0,第二次应计算f(x1),则x1等于 .
8.[2025·上海徐汇区高一诊断] 用二分法求函数f(x)在区间(2,3)上的零点的近似值,计算得f(2)=-2,f(3)=0.625,f(2.5)=-0.984,f(2.75)=-0.26.下一次应求f(m),则m= .
9.(13分)用二分法求函数f(x)=x3+x-3的零点.(精确度为0.05)
10.(13分)证明2x+x=4在区间[1,2]内有解,设f(x)=2x+x-4,根据下表,并求方程的近似解(精确度为0.1).
区间 区间中点值xn f(xn)的值
(1,2) x1=1.5 f(x1)≈0.328
(1,1.5) x2=1.25 f(x2)≈-0.372
(1.25,1.5) x3=1.375 f(x3)≈-0.031
(1.375,1.5) x4=1.437 5 f(x4)≈0.146
11.[2024·上海虹口区期末] 若在用二分法寻找函数f(x)=2x-(x>1)零点的过程中,依次确定了零点所在区间为[a,b],,,则实数a和b分别等于 ( )
A., B.2,3
C.,2 D.,
12.(多选题)用二分法求方程2x+3x-7=0的近似解时,设函数f(x)=2x+3x-7,通过计算给出如下对应值表:
x 1.25 1.375 1.406 25 1.421 875 1.429 687 5 1.437 5 1.5
f(x) -0.87 -0.28 h -0.06 -0.02 0.02 0.33
分析表中数据,下列说法正确的是 ( )
A.h>0
B.方程2x+3x-7=0有实数解
C.若精确度为0.1,则近似解可取为1.4
D.若精确度为0.1,则近似解可取为1.3
13.(多选题)下列方程中,可以用二分法求近似解的有 ( )
A.log2x+x=0 B.ex+x=0
C.x2-2x+1=0 D.+ln x=0
14.函数f(x)=x2+ax+b有零点,但不能用二分法求出,则a,b的关系是 .
15.在16枚崭新的金币中,有1枚外表与真币完全相同的假币(比真币略轻).现只有一台天平,利用二分法的思想(每次均二等分),则需要 次就可以找出这枚假币.
16.(15分)随着社会的发展,电动车进入了千家万户,给我们的生活带来了极大的方便.某品牌电动车2021年平均每台电动车的生产成本为15万元,并以纯利润15%标定出厂价.2022年开始,公司加强管理,降低生产成本.2025年平均每台电动车尽管出厂价仅是2021年出厂价的75%,但却实现了纯利润40%的高收益.以2021年的生产成本为基数,用二分法求2022~2025年生产成本平均每年降低的百分数(精确度为0.01)(参考数据:0.74=0.240 1,0.84=0.409 6,0.854≈0.522 0,0.8754≈0.586 2,0.887 54≈0.620 4,0.94=0.656 1,0.881 254≈0.603 1).
