(共83张PPT)
8.2 函数与数学模型
8.2.1 几个函数模型的比较
探究点一 计算并比较指数的值
探究点二 增长速度的比较
探究点三 函数模型增长比较的实际应用
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、
一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”
“指数爆炸”等术语的现实含义.
知识点一 指数变化
当时，指数函数随着 的增大而______,且增大的速度越来
越____，呈“爆炸”的趋势，因此“指数增长”可以用“指数爆炸”来形容.
当时，指数函数随着 的增大而______，并逐步趋
向于___.
增大
快
减小
0
知识点二 幂函数、指数函数、对数函数增长的比较
函数性质、 图象变化、 增长速度 函数
__________ __________ __________
图象的变化 趋势
单调递增
单调递增
单调递增
轴
轴
函数性质、 图象变化、 增长速度 函数
增长速度 越来越快
越来越慢
续表
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）当足够大时，函数比 增长的速度更快些．( )
×
（2）函数 的增长特点是直线上升，其增长速度不
变．( )
√
（3）对数函数 的增长特点是随自变量的增大，函
数值增大的速度越来越慢．( )
√
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（4）函数 的变化特点是随自变量的增大,函数值增大的
速度越来越快.( )
×
[解析] 当时， 随自变量的增大,函数值减小.
2.（1）如何描述指数函数和幂函数 在
区间 上的函数值的变化关系
解：在区间上,指数函数 与幂函数
都单调递增，
但无论比 大多少,尽管在一定变化范围内可能,但由于当
足够大时的增长速度大于 的增长速度,因此总存在一个,使得
当时, 恒成立.
（2）如何描述对数函数和幂函数 在
区间 上的函数值的变化关系
解：在区间上,对数函数 与幂函数
都单调递增，
尽管在一定变化范围内可能 ，但由于当足够大时的
增长速度小于 的增长速度，因此总存在一个,使得当时,
恒成立.
（3）如何描述函数,,
在区间 上的函数值的变化关系
解：在区间上,函数, ,
都单调递增,但它们的增长速度变化不同.
的增长速度越来越快,当 充分大时会超过并远远大于
的增长速度,而 的增长速度会越来越
慢,故总存在一个,使得当时, 恒成立.
探究点一 计算并比较指数的值
例1 四个变量，，，随变量 变化的数据如下表：
1 5 10 15 20 25 30
2 26 101 226 401 626 901
2 32 1024 32 768
2 10 20 30 40 50 60
2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907
关于 呈指数函数变化的变量最可能是___.
[解析] 以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的.
从题中表格中的数据可以看出，四个变量，，， 均是从2开
始变化的，变量，，，都是越来越大的，但是增长速度不同，
其中变量 的增长速度最快，可知变量最可能关于 呈指数函数变化.
变式 （多选题）三个变量,,随变量 变化的数据如下表：
0 5 10 15 20 25 30
5 130 505 1130 2005 3130 4505
5 90 1620 29 160 524 880 9 447 840 170 061 120
5 30 55 80 105 130 155
则下列说法合理的是( )
A.关于呈对数增长 B.关于 呈指数爆炸
C.关于呈直线上升 D. 的增长速度最快
√
√
√
[解析] 随 的增大而增大，增加量依次是125，375，625，875，
1125，1375，故增加得越来越快，不呈对数增长，故A错误；
随 的增大而增大，增加量依次是25，25，25， ，增加速度固定，
故呈一次函数变化，即关于呈直线上升，故C正确；
随 的增大而增大，增加量依次是85，1530，，， ，
故增加得越来越快，呈指数爆炸，增长速度最快，故B，D正确.
故选 .
［素养小结］
指数函数增长的特点：
指数函数
是增函数，随着
的增大，
的
增长速度越来越快，形象地称为“指数爆炸”.
探究点二 增长速度的比较
例2（1）［2025·江苏南菁中学高一月考］当 足够大时，下列四个
函数中增长速度最快的是( )
A. B. C. D.
[解析] 为一次函数，为对数函数，
为幂函数，为指数函数，当 足够大时，指数函数
的增长速度最快.故选D.
√
（2）（多选题）已知函数,, ，则在
区间 上( )
A. 的增长速度越来越快
B. 的增长速度越来越慢
C. 的增长速度越来越慢
D.当足够大时，的增长速度慢于 的增长速度
√
√
√
[解析] 根据指数函数，对数函数及幂函数的图象和性质可知，在区
间上，的增长速度越来越快，故A正确；
的增长速度越来越慢，故B正确；
的增长速度不变，故C错误；
当 足够大时，的增长速度慢于的增长速度，故D正确.
故选 .
变式（1）三个变量，，随着变量 的变化情况如表：
1 3 5 7 9 11
5 135 625 1715 3635 6655
5 29 245 2189 19 685 177 149
5 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40
则与 呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数关系的变量依次是
( )
A.，， B.，， C.，， D.，，
√
[解析] 由指数函数、对数函数、幂函数的增长速度比较可知，指数
函数增长最快，对数函数增长最慢，
由题中表格中数据可知，与 呈幂函数型函数关系，与呈指数型
函数关系，与 呈对数型函数关系.故选C.
（2）函数和 图象的示意图如图
所示.设两函数的图象交于点, ,且
.
①图中曲线对应的函数为__________,曲线 对应
的函数为__________.
[解析] 由题中图可知，曲线对应的函数为，曲线 对应
的函数为 .
（2）函数和 图象的示意图如图所示.设两函数的
图象交于点,,且 .
②结合函数图象,函数值,,, 从大到小依次为
________________________________.
[解析] 因为,,, ,所
以,,所以, .
由题中图可知,当时,,所以,
当 时,,所以,
又 ,所以 .
［素养小结］
三种函数（指数函数、幂函数、对数函数）中,当自变量充分大时,指
数函数的函数值最大,该结论的前提是自变量的值大到一定程度,因此
判断一个增函数是否为指数型函数时,一般判断当自变量增加到一定
程度时,自变量增加相同的量时,函数值的增长量是否最大,若是,则这
个函数就可能是指数型函数.
探究点三 函数模型增长比较的实际应用
例3 某企业拟用10万元投资甲、乙两种商品.已知各投入 万元时，
甲、乙两种商品分别可获得, 万元的利润，利润曲线
， ，如图所示.
（1）求函数, 的解析式；
解：由题知点，在曲线上，则 可得
所以 .
由题知点在曲线上，且，则，解得 ，所以
.
例3 某企业拟用10万元投资甲、乙两种商品.已知各投入 万元时，
甲、乙两种商品分别可获得, 万元的利润，利润曲线
， ，如图所示.
（2）应怎样分配投资资金，才能使投资获得的利润最大？
解：设投资甲商品万元，则投资乙商品 万元，投资获得的
利润为万元，所以 ，
令 ，
所以 .
当，即时，，此时 .
因此，当投资甲商品6.25万元，投资乙商品3.75万元时，所获得的利
润最大，最大利润为 万元.
变式 ［2025·福建三明一中高一期中］ 金骏眉是红茶代表，色泽乌
黑有油光，香气甜香浓郁，滋味甜醇鲜爽，营养价值高.在饮用中发
现，茶水的口感与水的温度有关.经实验表明，用 的水泡制，
待茶水温度降至 时，饮用口感最佳.某实验小组为探究室温下刚
泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔 测量一次茶水
温度，得到茶水温度随时间变化的数据如下表：
0 1 2 3 4 5
100 91 82.9 75.61 69.05 63.14
设经过茶水温度从变为 ，现给出以下三种函数模
型： ；
；
.
（1）从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根
据前3组数据求出该解析式；
解：由表格中数据知，函数单调递减且递减速度逐渐变慢，所以模
型①③不符合题意，应选模型②，
则即可得 所以
且 .
变式 ［2025·福建三明一中高一期中］ 金骏眉是红茶代表，色泽乌
黑有油光，香气甜香浓郁，滋味甜醇鲜爽，营养价值高.在饮用中发
现，茶水的口感与水的温度有关.经实验表明，用 的水泡制，
待茶水温度降至 时，饮用口感最佳.某实验小组为探究室温下刚
泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔 测量一次茶水
温度，得到茶水温度随时间变化的数据如下表：
0 1 2 3 4 5
100 91 82.9 75.61 69.05 63.14
设经过茶水温度从变为 ，现给出以下三种函数模
型： ；
；
.
（2）根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的茶达到最佳饮用口感
的放置时间；
解：令，则 ，
所以刚泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间约为 .
变式 ［2025·福建三明一中高一期中］ 金骏眉是红茶代表，色泽乌
黑有油光，香气甜香浓郁，滋味甜醇鲜爽，营养价值高.在饮用中发
现，茶水的口感与水的温度有关.经实验表明，用 的水泡制，
待茶水温度降至 时，饮用口感最佳.某实验小组为探究室温下刚
泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔 测量一次茶水
温度，得到茶水温度随时间变化的数据如下表：
0 1 2 3 4 5
100 91 82.9 75.61 69.05 63.14
设经过茶水温度从变为 ，现给出以下三种函数模
型： ；
；
.
（3）考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，求进行实验时的
室温最低约为多少.参考数据：,
解：由，得 ，所以进行实验时的室温最低约
为 .
［素养小结］
几类不同增长函数模型的选择方法：
（1）增长速度不变，即自变量增加相同量时，函数值的增量相等，
此时的函数模型是一次函数模型．
（2）增长速度越来越快，即自变量增加相同量时，函数值的增量越
来越大，此时的函数模型是指数函数模型.
（3）增长速度越来越慢，即自变量增加相同量时，函数值的增量越
来越小，此时的函数模型是对数函数模型．
一次函数、指数函数和对数函数增长的函数模型
（1）指数函数增长的函数模型:
表达式为,,为常数,, ,增长的特点是
随着自变量 的增大,函数值增大的速度越来越快,常称之为“指数爆
炸”.例如生活中经常接触的储蓄问题,也就是增长率问题,就是指数型
增长,指数型增长随底数的不同而不同.
复利是一种计算利息的方法,即把前一期的利息和本金加在一起作本
金,再计算下一期的利息.
（2）对数函数增长的函数模型:
表达式为,,为常数,, ,增长的特点
是开始阶段增长得较快,但随着 的逐渐增大,其函数值变化得越来越
慢,常称之为“蜗牛式增长”.
（3）一次函数增长的函数模型:
表达式为,为常数,,其增长情况由 的取值决定.
函数模型的选择
例 ［2025·贵州遵义高一期末］ 已知某工厂在生产和销售某种产品
的过程中，年利润（单位：百万元）是关于投资成本 （单位：百
万元）的函数.下表是该工厂最近几年来的年利润与年投资成本的一
组数据：
年份 2021 2022 2023 2024
1 2 3 4
1 2
给出以下三个函数模型： ；
； .
（1）从以上三个函数模型中选出最符合表格中数据的函数模型，并
求出该解析式；
解：对于模型，将， 代入可得
可得则，将代入得 ；
对于模型，将，， 代入
可得
解得则，将 代入得
；
对于模型，将， 代入可得
即可得
将代入得 .
综上所述，模型②是最符合所给数据的函数模型，且函数解析式为
.
例 ［2025·贵州遵义高一期末］ 已知某工厂在生产和销售某种产品
的过程中，年利润（单位：百万元）是关于投资成本 （单位：百
万元）的函数.下表是该工厂最近几年来的年利润与年投资成本的一
组数据：
年份 2021 2022 2023 2024
1 2 3 4
1 2
给出以下三个函数模型： ；
； .
（2）若今年的投资成本为5百万元，预计今年的年利润为多少百万元？
解：由题意，将代入，得 ，
所以预计今年的年利润为 百万元.
例 ［2025·贵州遵义高一期末］ 已知某工厂在生产和销售某种产品
的过程中，年利润（单位：百万元）是关于投资成本 （单位：百
万元）的函数.下表是该工厂最近几年来的年利润与年投资成本的一
组数据：
年份 2021 2022 2023 2024
1 2 3 4
1 2
给出以下三个函数模型： ；
； .
（3）若想要年利润达到15百万元及以上，则投资成本至少需要多少
百万元精确到 .
参考数据：,
解：由题意，得，化简得 ，
因为， ，所以 ，
则 .
因此，想要年利润达到15百万元及以上，则投资成本至少需要6.13百
万元.
练习册
1.下列函数中,当足够大时，随着 的增长,增长速度最快的是( )
A. B. C. D.
[解析] 根据一次函数、幂函数、对数函数、指数函数的性质可知,当
足够大时，随着 的增长,增长速度最快的是指数函数,故选D.
√
2.如图反映的是下列哪类函数的增长趋势( )
A.一次函数 B.幂函数 C.对数函数 D.指数函数
[解析] 从题图可以看出这个函数的增长速率越来越慢，反映的是对
数函数的增长趋势，选择C.
√
3.在一次数学实验中，小胡同学运用图形计算器采集到如下一组数据：
3 5 7 9 11 13
21.01 21.11 21.99 30.03 101.96 749.36
在以下四个函数模型中，,为常数，最能反映, 间函数关
系的可能是( )
A. B.
C. D.
[解析] 根据表格提供的数据可知，自变量变化量相同时，函数值增长
越来越快，所以指数型函数模型符合题意，即B选项符合题意.故选B.
√
4.下列各项是四种生意预期的收益关于时间 的函数，从足够长远
的角度看，更为有前途的生意是( )
A. B.
C. D.
[解析] 结合所给函数的增长差异可知，从足够长远的角度看，选项
A的预期收益最大，故选A.
√
5.已知当时，不等式恒成立,则 的取值范围是
( )
A. B. C. D.
[解析] 作出，，
的图象（横、纵坐标单位长度不同），如
图所示，
由图可知，当 时，
恒成立，故 的取值范围
是 .故选D.
√
6.[2025·江苏南京六校高一联考］某工程需要向一个容器内源源不断
地注入某种液体，有三种方案可以选择，这三种方案的注入量与时
间的关系如图所示，图中横轴为时间（单位：小时），纵轴为注入
量，根据以上信息，若使注入量最多，则下列说法中错误的是
( )
A.注入时间在3小时以内（含3小时），采用方
案一
B.注入时间恰为4小时，不采用方案三
C.注入时间恰为6小时，采用方案二
D.注入时间恰为12小时，采用方案二
√
[解析] 对于A，由题中图可知，注入时间在3小时
以内（含3小时）时，方案一的注入量大于其他
两种方案，故A中说法正确；
对于B，当注入时间恰为4小时时，方案三的注入
量小于其他两种方案，故B中说法正确；
对于 C，当注入时间恰为6小时时，方案二的注入量大于其他两种
方案，故C中说法正确；
对于D，当注入时间大于10小时时，方案三的注入量最大，故应选择
方案三，D中说法错误.故选D.
7.一般地,对于对数函数与一次函数 ,
随着的增大,一次函数 保持固定的增长速度,而
的增长速度越来越____.（填“快”或“慢”）
慢
[解析] 对数函数 的增长速度越来越慢.
8.［2025·江苏太湖高级中学高一月考］在某种新型材料的研制中，
实验人员获得了如下一组实验数据：
2 2.99 4 5
4 8.02 15.99 32
现准备用下列四个函数中的一个近似地描述这些数据的规律：
；；； .其中最适合的
一个是____（填序号）
④
[解析] 将所给数据分别代入函数①②③④，可得下表：
2 2.99 4 5
4 8.02 15.99 32
4 5.98 8 10
1.5 3.97 7.5 12
1 1.58 2 2.32
4 7.94 16 32
由上表数据可知所给函数中最适合的一个是 .
9.（13分）下表是随的变化而得到的，， 的函数值：
1 2 9 0
2 4 11 1
3 8 13
4 16 15 2
5 32 17
6 64 19
7 128 21
8 256 23 3
9 512 25
10 1024 27
续表
试回答：
（1）随着 的增大，各函数的函数值有什么共同的变化趋势？
解：随着 的增大,各函数的函数值都在增大.
（2）各函数增长的快慢有什么不同？
解：各函数增长的快慢不同,随着的增大, 的增长速度越来
越快;均匀增长; 的增长速度越来越慢.
10.［2025·山东菏泽期末］预测人口变化趋势有多种方法，直接推算
法使用的公式是，其中 为预测期人口
数，为初期人口数，为预测期内人口增长率， 为预测期间隔年
数，则下列说法错误的为( )
A.若在某一时期内 ，则这期间人口数呈下降趋势
B.若在某一时期内 ，则这期间人口数呈上升趋势
C.若在某一时期内 ，则这期间人口数呈摆动变化
D.若在某一时期内 ，则这期间人口数不变
√
[解析] 对于A选项，当时， ，所以这期间
人口数呈下降趋势，A选项说法正确.
对于B，C选项，当 时， ，所以这期间人口数呈上升
趋势，B选项说法正确，C选项说法错误.
对于D选项，当时， ，所以这期间人口数不变，D选项
说法正确.故选C.
11.（多选题）下列说法正确的是( )
A.函数 减小的速度越来越慢
B.在指数函数中，当时，底数 越大，其增长速
度越快
C.不存在一个实数，使得当时，
D.当，时，在区间内，对任意的 ，总有
成立
√
√
[解析] 对于A，由对数函数的性质知，函数 减小的速度越
来越慢，选项A正确；
对于B，由指数函数的性质知，指数函数中，当
时，底数 越大，其增长速度越快，选项B正确；
对于C，由指数函数的性质知，当足够大时 的增长速度远远
超过幂函数的增长速度，因此一定存在一个实数 ，使得当
时，，选项C不正确；
对于D，取 , ，则当时，，所以在区间
内，不恒成立，选项D不正确.故选 .
12.图①②③分别是与 在不同范围内的图象，估算出使
成立的的取值范围是______________________. 参考数据：
，
[解析] 因为当时，，当 时，
，所以与 的图象的交点情况如
图所示，
结合图象可知使成立的 的取值范围是 .
13.［2025·天津塘沽一中高一期中］已知 ，则函数
，， 中，增长速度越来越快的一个是_______
____，使成立的 的取值范围是______.
[解析] 作出函数，， 在
上的图象，如图所示.
从增长速度看，的增长速度越来越慢，
均匀增长， 的增长速度越来越快.
由图可得使成立的的取值范围
是 .
14.（15分）［2024·黑龙江牡丹江六校高一期末］ 退耕还林工程就
是从保护生态环境出发，将水土流失严重的耕地，沙化、盐碱化、
石漠化严重的耕地以及粮食产量低而不稳的耕地，有计划、有步骤
地停止耕种，因地制宜地造林种草，恢复植被.某地区执行退耕还林
以来，生态环境恢复良好，2024年1月底的生物量为 ，到了2024
年4月底，生物量增长为 .现有两个函数模型可以用来模拟生物量
单位：与月份代码年1月底月份代码为1，以此类推 的内
在关系，即且与 .
（1）分别使用两个函数模型对本次退耕还林进行分析，求出对应的
解析式；
解：若选，由题意得解得 所以
若选，由题意得解得 所以
.
14.（15分）［2024·黑龙江牡丹江六校高一期末］ 退耕还林工程就
是从保护生态环境出发，将水土流失严重的耕地，沙化、盐碱化、
石漠化严重的耕地以及粮食产量低而不稳的耕地，有计划、有步骤
地停止耕种，因地制宜地造林种草，恢复植被.某地区执行退耕还林
以来，生态环境恢复良好，2024年1月底的生物量为 ，到了2024
年4月底，生物量增长为 .现有两个函数模型可以用来模拟生物量
单位：与月份代码年1月底月份代码为1，以此类推 的内
在关系，即且与 .
（2）若测得2024年5月底生物量约为 ，判断上述两个函数模型中
哪个更合适.
解：对于，当时，；
对于 ，当时，.
所以模型 更合适.
15.已知，是定义在上的增函数， ，
若对任意，存在，使得 成立，则称
是在上的“追逐函数”.已知 ，则下列四个函
数中是在 上的“追逐函数”的个数为( )
； ；
； .
A.1 B.2 C.3 D.4
√
[解析] 由题意，需满足与均在 上单调递增，
在上的取值范围都是，且对任意的，
的图象恒在的图象上方.
对于①,在 上单调递增，且在 上的取值范围是
在 上恒成
立，符合题意；
对于②，在上单调递增，且在 上的取值范围是
在 上恒成立，符合题意；
，不符合题意；
对于④， 在上的取值范围为，不符合题意.综上所述，是 在 上的“追逐函数”的有2个.故选B.
16.（15分）[ 辽宁省实验中学高一期中］地下矿产资源勘探
建模是一种重要的技术手段，用于帮助人们更好地了解地下矿产资
源的分布和特征.在某个矿藏区域，通过前期的勘探活动，测得了某
物理指标随着地理位置变化的一组数据，如表所示：
1 2 3 4 5 6
5.7 4.0 2.8 2.0 1.4 1.0
其中表示采样点距离矿藏中心标记点的距离， 表示物理指标的数值.
（1）根据矿藏分布可能的情况，数据分析人员估计物理指标随着
变化的模型可能为两种，分别是， ，请
根据表格中的数据绘制散点图，并简要分析此矿藏区域应该用哪一
个模型来估计物理指标随着 变化的趋势.
解：根据题设表格数据，画出散点图，如图所
示.
由图可知随着变大的递减趋势变缓， 应选
模型来估计物理指标随着 变化
的趋势.
16.（15分）[ 辽宁省实验中学高一期中］地下矿产资源勘探
建模是一种重要的技术手段，用于帮助人们更好地了解地下矿产资
源的分布和特征.在某个矿藏区域，通过前期的勘探活动，测得了某
物理指标随着地理位置变化的一组数据，如表所示：
1 2 3 4 5 6
5.7 4.0 2.8 2.0 1.4 1.0
其中表示采样点距离矿藏中心标记点的距离， 表示物理指标的数值.
（2）根据（1）中的结论，选取表格中， 的两对数据，
建立数学模型描述物理指标随着 变化的趋势.根据以往经验，当物
理指标低于0.1时，不具备开采条件，请问正整数 的范围应该如何
选取，才能保证范围内所有区域都具备开采条件？
解：依题意知解得随 变化的趋势可表示
为，该函数在定义域 内单调递减.
又当时，，当时， ，
正整数的取值范围为 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 增大 快 减小 0
知识点二 单调递增 单调递增 单调递增
轴
轴 越来越快 越来越慢
【诊断分析】1.（1）× （2）√ （3）√ （4）×
2.（1）略（2）略（3）略
课中探究 探究点一 例1
变式 BCD
探究点二 例2 （1）D （2）ABD 变式 （1）C
（2）①
②
探究点三 例3 （1）
，
（2）当投资甲商品6.25万元，
投资乙商品3.75万元时，所获得的利润最大，最大利润为
万元
变式 （1）应选模型②，则
且
（2）约为
（3）约为
练习册
基础巩固 1.D 2.C 3.B 4.A 5.D 6.D 7.慢 8.④
9.（1）各函数的函数值都在增大 （2）随着
的增大,
的增长速度越来
越快;
均匀增长;
的增长速度越来越慢.
综合提升 10.C 11.AB 12.
13.
14.（1）若选
，
若选
，
.
（2）模型
更合适
思维探索 15.B
16.（1）散点图略，应选模型
来估计物理指标
随着
变化的趋势
（2）正整数
的取值范围为
8.2 函数与数学模型
8.2.1 几个函数模型的比较
【课前预习】
知识点一
增大 快 减小 0
知识点二
单调递增 单调递增 单调递增 y轴 x轴 ①越来越快
越来越慢 ②ax>xα>logax
诊断分析
1.(1) × (2)√ (3)√ (4)× [解析] (4)当k<0时,f(x)=k·2x随自变量的增大,函数值减小.
2.解:(1)在区间(0,+∞)上,指数函数y=ax(a>1)与幂函数y=xn(n>0)都单调递增,但无论n比a大多少,尽管在一定变化范围内可能 ax
x0时,ax>xn恒成立.
(2)在区间(0,+∞)上,对数函数y=logax(a>1)与幂函数y=xn(n>0)都单调递增,尽管在一定变化范围内可能logax>xn,但由于当x足够大时logax的增长速度小于xn的增长速度,因此总存在一个x0,使得当x>x0时,logax(3)在区间(0,+∞)上,函数y=ax(a>1),y=logax(a>1),y=xn(n>0)都单调递增,但它们的增长速度变化不同.y=ax(a>1)的增长速度越来越快,当x充分大时会超过并远远大于y=xn(n>0)的增长速度,而y=logax(a>1)的增长速度会越来越慢,故总存在一个x0,使得当x>x0时,logax【课中探究】
探究点一
例1 y2 [解析] 以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的.从题中表格中的数据可以看出,四个变量y1,y2,y3,y4均是从2开始变化的,变量y1,y2,y3,y4都是越来越大的,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,可知变量y2最可能关于x呈指数函数变化.
变式 BCD [解析] y1随x的增大而增大,增加量依次是125,375,625,875,1125,1375,故增加得越来越快,不呈对数增长,故A错误;y3随x的增大而增大,增加量依次是25,25,25,…,增加速度固定,故y3呈一次函数变化,即y3关于x呈直线上升,故C正确;y2随x的增大而增大,增加量依次是85,1530,27 540,495 720,…,故增加得越来越快,呈指数爆炸,增长速度最快,故B,D正确.故选BCD.
探究点二
例2 (1)D (2)ABD [解析] (1)y=2025x为一次函数,y=log2025x为对数函数,y=x2025为幂函数,y=2025x为指数函数,当x足够大时,指数函数y=2025x的增长速度最快.故选D.
(2)根据指数函数,对数函数及幂函数的图象和性质可知,在区间(0,+∞)上,f(x)的增长速度越来越快,故A正确;g(x)的增长速度越来越慢,故B正确;h(x)的增长速度不变,故C错误;当x足够大时,g(x)的增长速度慢于h(x)的增长速度,故D正确.故选ABD.
变式 (1)C (2)①g(x)=x3 f(x)=2x ②f(2025)>g(2025)>g(8)>f(8) [解析] (1)由指数函数、对数函数、幂函数的增长速度比较可知,指数函数增长最快,对数函数增长最慢,由题中表格中数据可知,y1与x呈幂函数型函数关系,y2与x呈指数型函数关系,y3与x呈对数型函数关系.故选C.
(2)①由题中图可知,曲线C1对应的函数为g(x)=x3,曲线C2对应的函数为f(x)=2x.②因为f(1)>g(1),f(2)g(10),所以1x2.由题中图可知,当x1x2时,f(x)>g(x),所以f(2025)>g(2025),又g(2025)>g(8),所以f(2025)>g(2025)>g(8)>f(8).
探究点三
例3 解:(1)由题知点(1,1.25),(4,2.5)在曲线P1上,则可得所以y1=(x≥0).
由题知点(4,1)在曲线P2上,且c=0,则1=4b,解得b=,所以y2=x(x≥0).
(2)设投资甲商品x万元,则投资乙商品(10-x)万元,投资获得的利润为y万元,所以y=+(10-x)=-x+,令=t∈[0,],
所以y=-t2+t+=-+.
当t=,即x==6.25时,ymax=,此时10-x=3.75.
因此,当投资甲商品6.25万元,投资乙商品3.75万元时,所获得的利润最大,最大利润为万元.
变式 解:(1)由表格中数据知,函数单调递减且递减速度逐渐变慢,所以模型①③不符合题意,应选模型②,
则即可得所以y=90×0.9x+10且x≥0.
(2)令90×0.9x+10=60,则x=log0.9=≈6.5(min),所以刚泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间约为6.5 min.
(3)由0.9x∈(0,1],得y∈(10,100],所以进行实验时的室温最低约为10 ℃.8.2 函数与数学模型
8.2.1 几个函数模型的比较
1.D [解析] 根据一次函数、幂函数、对数函数、指数函数的性质可知,当x足够大时,随着x的增长,增长速度最快的是指数函数,故选D.
2.C [解析] 从题图可以看出这个函数的增长速率越来越慢,反映的是对数函数的增长趋势,选择C.
3.B [解析] 根据表格提供的数据可知,自变量变化量相同时,函数值增长越来越快,所以指数型函数模型符合题意,即B选项符合题意.故选B.
4.A [解析] 结合所给函数的增长差异可知,从足够长远的角度看,选项A的预期收益最大,故选A.
5.D [解析] 作出y=log2x,y=x2,y=2x的图象(横、纵坐标单位长度不同),如图所示,由图可知,当x>4时,log2x6.D [解析] 对于A,由题中图可知,注入时间在3小时以内(含3小时)时,方案一的注入量大于其他两种方案,故A中说法正确;对于B,当注入时间恰为4小时时,方案三的注入量小于其他两种方案,故B中说法正确;对于 C,当注入时间恰为6小时时,方案二的注入量大于其他两种方案,故C中说法正确;对于D,当注入时间大于10小时时,方案三的注入量最大,故应选择方案三,D中说法错误.故选D.
7.慢 [解析] 对数函数y=logax(a>1)的增长速度越来越慢.
8.④ [解析] 将所给数据分别代入函数①②③④,可得下表:
x 2 2.99 4 5
y 4 8.02 15.99 32
①y=2x 4 5.98 8 10
②y=(x2-1) 1.5 3.97 7.5 12
③y=log2x 1 1.58 2 2.32
④y=2x 4 7.94 16 32
由上表数据可知所给函数中最适合的一个是④y=2x.
9.解:(1)随着x的增大,各函数的函数值都在增大.
(2)各函数增长的快慢不同,随着x的增大,f1(x)=2x的增长速度越来越快;f2(x)=2x+7均匀增长;f3(x)=log2x的增长速度越来越慢.
10.C [解析] 对于A选项,当-10时,1+k>1,所以这期间人口数呈上升趋势,B选项说法正确,C选项说法错误.对于D选项,当k=0时,1+k=1,所以这期间人口数不变,D选项说法正确.故选C.
11.AB [解析] 对于A,由对数函数的性质知,函数y=lox减小的速度越来越慢,选项A正确;对于B,由指数函数的性质知,指数函数y=ax(a>1)中,当x>0时,底数a越大,其增长速度越快,选项B正确;对于C,由指数函数的性质知,当x足够大时y=1.1x的增长速度远远超过幂函数y=x100的增长速度,因此一定存在一个实数m,使得当x>m时,1.1x>x100,选项C不正确;对于D,取a=2,k=4,则当x=1时,4×1>21,所以在区间(0,+∞)内,logax12.(-∞,0.27)∪(2.17,+∞) [解析] 因为当x=0.27时,30.27≈1.35=5×0.27,当x=2.17时,32.17≈10.85=5×2.17,所以y=3x与y=5x的图象的交点情况如图所示,结合图象可知使3x>5x成立的x的取值范围是(-∞,0.27)∪(2.17,+∞).
13.y=2x (1,2) [解析] 作出函数y=log2x,y=2x,y=2x在(0,+∞)上的图象,如图所示.从增长速度看,y=log2x的增长速度越来越慢,y=2x均匀增长,y=2x的增长速度越来越快.由图可得使log2x<2x<2x成立的x的取值范围是(1,2).
14.解:(1)若选y=kax,由题意得解得所以y=.
若选y=mx2+n,由题意得解得所以y=x2+.
(2)对于y=,当x=5时,y=81;对于y=x2+,当x=5时,y=76.8.所以模型y=更合适.
15.B [解析] 由题意,需满足f(x)=x2与g(x)均在[1,+∞)上单调递增,在[1,+∞)上的取值范围都是[1,+∞),且对任意的x∈(1,+∞),f(x)的图象恒在g(x)的图象上方.对于①,g(x)在[1,+∞)上单调递增,且在[1,+∞)上的取值范围是[1,+∞),f(x)-g(x)=x2-2x+1=(x-1)2>0在(1,+∞)上恒成立,符合题意;对于②,g(x)在[1,+∞)上单调递增,且在[1,+∞)上的取值范围是[1,+∞),f(x)-g(x)=(x2-1)>0在(1,+∞)上恒成立,符合题意;对于③,f(x)-g(x)=x2-,当x=15时,152-=×=×=×<0,不符合题意;对于④,g(x)=2-在[1,+∞)上的取值范围为[1,2),不符合题意.综上所述,是f(x)在 [1,+∞)上的“追逐函数”的有2个.故选B.
16.解:(1)根据题设表格数据,画出散点图,如图所示.
由图可知随着x变大y的递减趋势变缓,∴应选模型②y=2mx+n来估计物理指标y随着x变化的趋势.
(2)依题意知解得∴y随x变化的趋势可表示为y==8×,该函数在定义域[0,+∞)内单调递减.
又当x=12时,y=>0.1,当x=13时,y=<0.1,
∴正整数x的取值范围为{x∈N|1≤x≤12}.8.2 函数与数学模型
8.2.1 几个函数模型的比较
【学习目标】
结合现实情境中的具体问题,利用计算工具,比较对数函数、一次函数、指数函数增长速度的差异,理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.
◆ 知识点一 指数变化
当a>1时,指数函数y=ax随着x的增大而 ,且增大的速度越来越 ,呈“爆炸”的趋势,因此“指数增长”可以用“指数爆炸”来形容.
当0◆ 知识点二 幂函数、指数函数、对数函数增
长的比较
函数性质、 图象变化、 增长速度 函数
y=ax (a>1) y=logax (a>1) y=xα (α>0)
在(0,+∞)上 的单调性
图象的 变化趋势 随x增大逐渐近似与 平行 随x增大逐渐近似与 平行 随α值的不同而不同
(续表)
函数性质、 图象变化、 增长速度 函数
y=ax (a>1) y=logax (a>1) y=xα (α>0)
增长速度 ①y=ax(a>1)随着x的增大,y的增长速度 ,会远远大于y=xα(α>0)的增长速度,y=logax(a>1)的增长速度 ; ②当x足够大时,有
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当x足够大时,函数y=x4比y=3x增长的速度更快些. ( )
(2)函数y=kx+b(k>0)的增长特点是直线上升,其增长速度不变. ( )
(3)对数函数y=logax(a>1)的增长特点是随自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢. ( )
(4)函数f(x)=k·2x的变化特点是随自变量的增大,函数值增大的速度越来越快. ( )
2.(1)如何描述指数函数y=ax(a>1)和幂函数y=xn(n>0)在区间(0,+∞)上的函数值的变化关系
(2)如何描述对数函数y=logax(a>1)和幂函数y=xn(n>0)在区间(0,+∞)上的函数值的变化关系
(3)如何描述函数y=ax(a>1),y=logax(a>1),y=xn(n>0)在区间(0,+∞)上的函数值的变化关系
◆ 探究点一 计算并比较指数的值
例1 四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如下表:
x 1 5 10 15 20 25 30
y1 2 26 101 226 401 626 901
y2 2 32 1024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109
y3 2 10 20 30 40 50 60
y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907
关于x呈指数函数变化的变量最可能是 .
变式 (多选题)三个变量y1,y2,y3随变量x变化的数据如下表:
x 0 5 10 15 20 25 30
y1 5 130 505 1130 2005 3130 4505
y2 5 90 1620 29 160 524 880 9 447 840 170 061 120
y3 5 30 55 80 105 130 155
则下列说法合理的是 ( )
A.y1关于x呈对数增长
B.y2关于x呈指数爆炸
C.y3关于x呈直线上升
D.y2的增长速度最快
[素养小结]
指数函数增长的特点:
指数函数y=ax(a>1)是增函数,随着x的增大,y=ax(a>1)的增长速度越来越快,形象地称为“指数爆炸”.
◆ 探究点二 增长速度的比较
例2 (1)[2025·江苏南菁中学高一月考] 当x足够大时,下列四个函数中增长速度最快的是( )
A.y=2025x B.y=log2025x
C.y=x2025 D.y=2025x
(2)(多选题)已知函数f(x)=2x,g(x)=log2x,h(x)=x,则在区间(0,+∞)上 ( )
A.f(x)的增长速度越来越快
B.g(x)的增长速度越来越慢
C.h(x)的增长速度越来越慢
D.当x足够大时,g(x)的增长速度慢于h(x)的增长速度
变式 (1)三个变量y1,y2,y3随着变量x的变化情况如表:
x 1 3 5 7 9 11
y1 5 135 625 1715 3635 6655
y2 5 29 245 2189 19 685 177 149
y3 5 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40
则与x呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数关系的变量依次是 ( )
A.y1,y2,y3 B.y2,y1,y3
C.y3,y2,y1 D.y3,y1,y2
(2)函数f(x)=2x和g(x)=x3图象的示意图如图所示.设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1①图中曲线C1对应的函数为 ,曲线C2对应的函数为 .
②结合函数图象,函数值f(8),g(8),f(2025),g(2025)从大到小依次为 .
[素养小结]
三种函数(指数函数、幂函数、对数函数)中,当自变量充分大时,指数函数的函数值最大,该结论的前提是自变量的值大到一定程度,因此判断一个增函数是否为指数型函数时,一般判断当自变量增加到一定程度时,自变量增加相同的量时,函数值的增长量是否最大,若是,则这个函数就可能是指数型函数.
◆ 探究点三 函数模型增长比较的实际应用
例3 某企业拟用10万元投资甲、乙两种商品.已知各投入x万元时,甲、乙两种商品分别可获得y1,y2万元的利润,利润曲线P1:y1=axn,P2:y2=bx+c,如图所示.
(1)求函数y1=axn,y2=bx+c的解析式;
(2)应怎样分配投资资金,才能使投资获得的利润最大
变式 [2025·福建三明一中高一期中] 金骏眉是红茶代表,色泽乌黑有油光,香气甜香浓郁,滋味甜醇鲜爽,营养价值高.在饮用中发现,茶水的口感与水的温度有关.经实验表明,用100 ℃的水泡制,待茶水温度降至60 ℃时,饮用口感最佳.某实验小组为探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间,每隔1 min测量一次茶水温度,得到茶水温度随时间变化的数据如下表:
时间/min 0 1 2 3 4 5
水温/℃ 100 91 82.9 75.61 69.05 63.14
设经过x min茶水温度从100 ℃变为y ℃,现给出以下三种函数模型:①y=cx+b(c<0,x≥0);②y=cax+b(c>0,01,c>0,x≥0).
(1)从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型,并根据前3组数据求出该解析式;
(2)根据(1)中所求函数模型,求刚泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间;
(3)考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实,求进行实验时的室温最低约为多少.(参考数据:lg 3≈0.48,lg 5≈0.70)
[素养小结]
几类不同增长函数模型的选择方法:
(1)增长速度不变,即自变量增加相同量时,函数值的增量相等,此时的函数模型是一次函数模型.
(2)增长速度越来越快,即自变量增加相同量时,函数值的增量越来越大,此时的函数模型是指数函数模型.
(3)增长速度越来越慢,即自变量增加相同量时,函数值的增量越来越小,此时的函数模型是对数函数模型.8.2 函数与数学模型
8.2.1 几个函数模型的比较
1.下列函数中,当x足够大时,随着x的增长,增长速度最快的是 ( )
A.y=10x B.y=x10
C.y=lg x D.y=10x
2.如图反映的是下列哪类函数的增长趋势 ( )
A.一次函数 B.幂函数
C.对数函数 D.指数函数
3.在一次数学实验中,小胡同学运用图形计算器采集到如下一组数据:
x 3 5 7 9 11 13
y 21.01 21.11 21.99 30.03 101.96 749.36
在以下四个函数模型中,a(a>1),b为常数,最能反映x,y间函数关系的可能是 ( )
A.y=ax+b
B.y=ax+b
C.y=ax2+b
D.y=logax+b
4.下列各项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数,从足够长远的角度看,更为有前途的生意是 ( )
A.y=10×1.05x
B.y=20+x1.5
C.y=30+lg(x-1)
D.y=50
5.已知当x>m时,不等式log2xA.(0,+∞) B.[2,+∞)
C.(0,2) D.[4,+∞)
6.[2025·江苏南京六校高一联考] 某工程需要向一个容器内源源不断地注入某种液体,有三种方案可以选择,这三种方案的注入量与时间的关系如图所示,图中横轴为时间(单位:小时),纵轴为注入量,根据以上信息,若使注入量最多,则下列说法中错误的是 ( )
A.注入时间在3小时以内(含3小时),采用方案一
B.注入时间恰为4小时,不采用方案三
C.注入时间恰为6小时,采用方案二
D.注入时间恰为12小时,采用方案二
7.一般地,对于对数函数y=logax(a>1)与一次函数y=kx(k>0),随着x的增大,一次函数y=kx(k>0)保持固定的增长速度,而y=logax(a>1)的增长速度越来越 .(填“快”或“慢”)
8.[2025·江苏太湖高级中学高一月考] 在某种新型材料的研制中,实验人员获得了如下一组实验数据:
x 2 2.99 4 5
y 4 8.02 15.99 32
现准备用下列四个函数中的一个近似地描述这些数据的规律:①y=2x;②y=(x2-1);③y=log2x;④y=2x.其中最适合的一个是 (填序号)
9.(13分)下表是随x的变化而得到的f1(x),f2(x),f3(x)的函数值:
x f1(x)=2x f2(x)=2x+7 f3(x)=log2x
1 2 9 0
2 4 11 1
3 8 13 1.585 0
4 16 15 2
5 32 17 2.321 9
6 64 19 2.585 0
7 128 21 2.807 4
8 256 23 3
9 512 25 3.169 9
10 1024 27 3.321 9
试回答:
(1)随着x的增大,各函数的函数值有什么共同的变化趋势
(2)各函数增长的快慢有什么不同
10.[2025·山东菏泽期末] 预测人口变化趋势有多种方法,直接推算法使用的公式是Pn=P0(1+k)n(k>-1),其中Pn为预测期人口数,P0为初期人口数,k为预测期内人口增长率,n为预测期间隔年数,则下列说法错误的为 ( )
A.若在某一时期内-1B.若在某一时期内k>0,则这期间人口数呈上升趋势
C.若在某一时期内0D.若在某一时期内k=0,则这期间人口数不变
11.(多选题)下列说法正确的是 ( )
A.函数y=lox减小的速度越来越慢
B.在指数函数y=ax(a>1)中,当x>0时,底数a越大,其增长速度越快
C.不存在一个实数m,使得当x>m时,1.1x>x100
D.当a>1,k>0时,在区间(0,+∞)内,对任意的x,总有logax12.图①②③分别是y=3x与y=5x在不同范围内的图象,估算出使3x>5x成立的x的取值范围是 .(参考数据:30.27≈1.35,32.17≈10.85)
13.[2025·天津塘沽一中高一期中] 已知x∈(0,+∞),则函数y=log2x,y=2x,y=2x中,增长速度越来越快的一个是 ,使log2x<2x<2x成立的x的取值范围是 .
14.(15分)[2024·黑龙江牡丹江六校高一期末] 退耕还林工程就是从保护生态环境出发,将水土流失严重的耕地,沙化、盐碱化、石漠化严重的耕地以及粮食产量低而不稳的耕地,有计划、有步骤地停止耕种,因地制宜地造林种草,恢复植被.某地区执行退耕还林以来,生态环境恢复良好,2024年1月底的生物量为16 t,到了2024年4月底,生物量增长为54 t.现有两个函数模型可以用来模拟生物量y(单位:t)与月份代码x(2024年1月底月份代码为1,以此类推)的内在关系,即y=kax(k>0且a>1)与y=mx2+n(m>0).
(1)分别使用两个函数模型对本次退耕还林进行分析,求出对应的解析式;
(2)若测得2024年5月底生物量约为80 t,判断上述两个函数模型中哪个更合适.
15.已知f(x),g(x)是定义在[t,+∞)上的增函数,f(t)=g(t)=M,若对任意k>M,存在x1①g(x)=2x-1;②g(x)=x2+;
③g(x)=;④g(x)=2-.
A.1 B.2 C.3 D.4
16.(15分)[2025·辽宁省实验中学高一期中] 地下矿产资源勘探建模是一种重要的技术手段,用于帮助人们更好地了解地下矿产资源的分布和特征.在某个矿藏区域,通过前期的勘探活动,测得了某物理指标随着地理位置变化的一组数据,如表所示:
x 1 2 3 4 5 6
y 5.7 4.0 2.8 2.0 1.4 1.0
其中x表示采样点距离矿藏中心标记点的距离,y表示物理指标的数值.
(1)根据矿藏分布可能的情况,数据分析人员估计物理指标y随着x变化的模型可能为两种,分别是①y=ax2+b,②y=2mx+n,请根据表格中的数据绘制散点图,并简要分析此矿藏区域应该用哪一个模型来估计物理指标y随着x变化的趋势.
(2)根据(1)中的结论,选取表格中x=2,x=4的两对数据,建立数学模型描述物理指标y随着x变化的趋势.根据以往经验,当物理指标y低于0.1时,不具备开采条件,请问正整数x的范围应该如何选取,才能保证范围内所有区域都具备开采条件