(共101张PPT)
8.2 函数与数学模型
8.2.2 函数的实际应用
探究点一 一次函数、二次函数模型
探究点二 指数函数模型
探究点三 对数函数模型
探究点四 函数模型的选择
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语
言和工具.
2.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.
3.收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模
型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题，感悟数学模型中参数
的现实意义.
知识点一 一次函数、二次函数模型
1.一次函数模型:解析式 ______________.
2.二次函数模型:
（1）一般式: ___________________；
（2）顶点式: _ _________________________；
（3）两根式: _______________________.
知识点二 指数函数模型
解析式:,条件:,,为常数,,, .
知识点三 对数函数模型
解析式:,条件:,,为常数,,, .
知识点四 应用函数知识解决实际问题的基本步骤
（1）审题——弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,明确要求解
的问题;
（2）建模——将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语
言,利用数学知识建立相应的数学模型;
（3）求模——求解数学模型,得出数学结论;
（4）还原——将数学结论还原为实际问题的答案.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）银行利率、细胞分裂等增长率问题可以用指数函数模型来表
述．( )
√
（2）在函数建模中，散点图可以帮助我们选择恰当的函数模
型．( )
√
（3）当在不同的范围内，变量的对应关系不同时，可以选择分段函
数模型．( )
√
（4）函数 属于幂函数模型．( )
×
探究点一 一次函数、二次函数模型
例1 ［2025·江苏宿迁中学高一期中］某地因地制宜发展生态农业，
打造特色水果示范区，该地区某果树的单株年产量 （单位：千
克）与单株施肥量 （单位：千克）之间的函数关系为
且单株投入的年平均成本为 元，若
这种水果的销售价格为10元/千克，且水果销路畅通.记该果树的单株
年利润为 （单位：元）.
（1）求函数 的解析式.
解：由题意可得，当 时，
，
当时， ，
所以
例1 ［2025·江苏宿迁中学高一期中］某地因地制宜发展生态农业，
打造特色水果示范区，该地区某果树的单株年产量 （单位：千
克）与单株施肥量 （单位：千克）之间的函数关系为
且单株投入的年平均成本为 元，若
这种水果的销售价格为10元/千克，且水果销路畅通.记该果树的单株
年利润为 （单位：元）.
（2）求单株施肥量为多少千克时，该果树的单株年利润最大？最大
单株年利润是多少？
解：当时， ，
因为 ,
所以由二次函数的性质可知，当时在 上取得最大值，
最大值为.
当 时， ，
当且仅当，即 时取等号，
所以在 上的最大值为350.
显然 ，所以单株施肥量为3千克时，该果树的单株年利润
最大，最大单株年利润为420元.
变式 某光伏产业公司为了提高生产效率，决定投入98万元购进一套
生产设备.预计使用该设备后，每年的总收入为50万元，前
为正整数年维修、保养费用总和为万元，设使用 年时
该设备的盈利总额为 万元.
（1）写出与 之间的函数关系式，并求从第几年开始，该设备开始
盈利（盈利额为正值）.
解：由题意得 ，
，
令，则 ，
又，所以 ，
故从第3年开始，该设备开始盈利.
变式 某光伏产业公司为了提高生产效率，决定投入98万元购进一套
生产设备.预计使用该设备后，每年的总收入为50万元，前
为正整数年维修、保养费用总和为万元，设使用 年时
该设备的盈利总额为 万元.
（2）使用若干年后，对该设备的处理方案有两种：
方案一：当年平均盈利额达到最大值时，以30万元的价格处理该设备；
方案二：当盈利总额达到最大值时，以12万元的价格处理该设备.
请你研究一下哪种方案处理较为合理？并说明理由.（注：年平均盈
利额 ）
解：方案一：年平均盈利额
，
当且仅当时，即当 时，上式等号成立，
故使用7年时，该设备的年平均盈利额达到最大值，
此时卖掉此设备，该企业可获得的总利润为
（万元）.
方案二：盈利总额 ，
当时， 取得最大值102，故使用10年时，该设备的盈利总额
达到最大值102，
此时卖掉此设备，该企业可获得的总利润为 （万元）.
因为两种方案企业获得的总利润相同，而方案一用时较短，故应选
用方案一.
［素养小结］
（1）一次函数模型的求解比较为容易,一般情况下可以用“问什么,设
什么,列什么”这一方法来处理.
（2）对于一次函数在实际问题中的应用的题目,要认真读题、审题,
弄清题意,明确题目中的数量关系,可充分借助图象、表格信息确定解
析式,同时要特别注意定义域.
（3）在函数模型中,二次函数模型占有重要的地位,根据实际问题得
到函数解析式后,可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性
等方法或知识来求函数的最值,从而解决实际问题中的最大、最小值
等问题.
探究点二 指数函数模型
例2 某公司计划到2034年将生产成本控制在80万元，要比2024年下
降 ，假设这期间每一年生产成本降低的百分比都相等，记2024
年后第年的成本为 万元.
（1）求2024年的生产成本；
解：设2024年的生产成本为万元，则 ，解得
，
所以2024年的生产成本为100万元.
例2 某公司计划到2034年将生产成本控制在80万元，要比2024年下
降 ，假设这期间每一年生产成本降低的百分比都相等，记2024
年后第年的成本为 万元.
（2）求 的解析式；
解：设每一年生产成本降低的百分比都为 ，
则，解得 ，
所以， .
例2 某公司计划到2034年将生产成本控制在80万元，要比2024年下
降 ，假设这期间每一年生产成本降低的百分比都相等，记2024
年后第年的成本为 万元.
（3）按此计划，自哪一年开始，该工厂的成本不超过45万元？
（本题参考数据：,， ）
解：依题意得，即，则 ，两边
取对数得 ，解得
，
，所以按此计划，自2058年开始，该工厂的成本
不超过45万元.
变式 ［2025·浙江杭州学军中学高一期中］ 鸡蛋在冰箱冷藏的环境
下，可以延长其保质期.已知新鲜鸡蛋的存储温度 （单位：摄氏度）
与保鲜时间（单位：小时）之间的函数关系式为 .新鲜
鸡蛋在存储温度为8摄氏度的情况下，其保鲜时间为432小时；在存
储温度为6摄氏度的情况下，其保鲜时间为576小时.
（1）求新鲜鸡蛋在存储温度为7摄氏度的情况下的保鲜时间
（结果保留整数）；
解：依题意得则 ，
所以 ，
所以新鲜鸡蛋在存储温度为7摄氏度的情况下的保鲜时间约为499小时.
变式 ［2025·浙江杭州学军中学高一期中］ 鸡蛋在冰箱冷藏的环境
下，可以延长其保质期.已知新鲜鸡蛋的存储温度 （单位：摄氏度）
与保鲜时间（单位：小时）之间的函数关系式为 .新鲜
鸡蛋在存储温度为8摄氏度的情况下，其保鲜时间为432小时；在存
储温度为6摄氏度的情况下，其保鲜时间为576小时.
（2）已知新鲜鸡蛋在冰箱里冷藏一般能存30天至45天，若某超市希
望保证其出售的新鲜鸡蛋的保鲜时间不少于40天，则估计超市对新鲜
鸡蛋的存储温度设置应该不高于多少摄氏度？（结果保留两位小数）
参考数据：, .
解：由题意，，令 ，得
，即 ，
则，则 ，
所以 ，所以
，
则估计超市对新鲜鸡蛋的存储温度设置应该不高于2.33摄氏度.
［素养小结］
在实际问题的应用中，常见的增长率问题的解析式可以表示为
（其中为基础数，为增长率，为时间）的形式．有
关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型求解．
探究点三 对数函数模型
例3 我国在航天领域取得的巨大成就，得益于我国先进的运载火箭
技术.根据火箭理想速度公式 ，可以计算理想状态下火箭
的最大速度（单位：），其中（单位： ）是喷流相对速
度，（单位：）是火箭（除推进剂外）的质量，（单位： ）
是推进剂与火箭质量的总和，应称为总质比.已知 型火箭的喷流相
对速度为 .
（1）当总质比为50时，求 型火箭的最大速度；
解：当总质比为50时，型火箭的最大速度为 .
例3 我国在航天领域取得的巨大成就，得益于我国先进的运载火箭
技术.根据火箭理想速度公式 ，可以计算理想状态下火箭
的最大速度（单位：），其中（单位： ）是喷流相对速
度，（单位：）是火箭（除推进剂外）的质量，（单位： ）
是推进剂与火箭质量的总和，应称为总质比.已知 型火箭的喷流相
对速度为 .
（2）若经过材料更新和技术改进后， 型火箭的喷流相对速度提高
到原来的2倍，总质比变为原来的 ，若要使火箭的最大速度至少增
加 ，则在材料更新和技术改进前总质比的最小值为多少？
（所有结果保留整数，参考数据：， ，
）
解：经过材料更新和技术改进后， 型火箭的喷流相对速度为
，总质比为，要使火箭的最大速度至少增加 ，
则 ，
即，即 ，
即，
所以 ，
所以在材料更新和技术改进前总质比的最小值为68.
变式 ［2025·四川绵阳高一期末］ 某工厂生产,两种产品， 产品
的利润（单位：万元）与投入金额 （单位：万元）的关系式为
产品的利润 （单位：万元）
与投入金额 （单位：万元）的关系式为
.已知投入3万元生产 产
品可获利润为7万元，投入32万元生产 产品可获利润为65万元.
（1）求实数, 的值.
解：, ，
，解得 .
, ，
，解得 .
变式 ［2025·四川绵阳高一期末］ 某工厂生产,两种产品， 产品
的利润（单位：万元）与投入金额 （单位：万元）的关系式为
产品的利润 （单位：万元）
与投入金额 （单位：万元）的关系式为
.已知投入3万元生产 产
品可获利润为7万元，投入32万元生产 产品可获利润为65万元.
（2）该企业现有47万元资金全部投入, 两种产品中，探究怎样分
配资金，才能使企业获得最大利润？并求出利润的最大值.
解：设产品投入万元，则产品投入 万元，企
业获得的利润为 （单位：万元）.
由（1）得， ，
，
整理得 ，变形得
.
，当且仅当 时等号成立，
，
当产品投入15万元， 产品投入32万元时，企业能获得最大利润，
利润的最大值为97万元.
［素养小结］
此类问题一般是先给出对数函数模型,再利用对数的运算性质求解.
探究点四 函数模型的选择
例4 ［2025·辽宁抚顺六校协作体高一期末］学校
鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，每天能用
于锻炼的课余时间有60分钟，现需要制订一个课
余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分 与当天
锻炼时间 （单位：分钟）的函数关系.要求如下：（1）函数在区间
上单调递增；（2）每天锻炼时间为0分钟时，当天得分为0分；
（3）每天锻炼时间为20分钟时，当天得分为3分；（4）每天最多得
分不超过6分.且函数的大致图象如图所示. 现有以下三个函数模型供
选择：， ，
.
（1）请你根据要求从以上给出的三个函数模型中
选择一个合适的函数模型，不需要说明理由；
解：符合题中要求的函数模型为
.
例4 ［2025·辽宁抚顺六校协作体高一期末］学校
鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，每天能用
于锻炼的课余时间有60分钟，现需要制订一个课
余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分 与当天
（2）根据所给信息求出所选函数的解析式；
锻炼时间 （单位：分钟）的函数关系.要求如下：（1）函数在区间
上单调递增；（2）每天锻炼时间为0分钟时，当天得分为0分；
（3）每天锻炼时间为20分钟时，当天得分为3分；（4）每天最多得
分不超过6分.且函数的大致图象如图所示. 现有以下三个函数模型供
选择：， ，
.
解：由题意知，函数图象过点， ，所
以解得
故 .
当时， ，符合题
意.
综上所述，函数的解析式为
.
例4 ［2025·辽宁抚顺六校协作体高一期末］学校
鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，每天能用
于锻炼的课余时间有60分钟，现需要制订一个课
余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分 与当天
锻炼时间 （单位：分钟）的函数关系.要求如下：（1）函数在区间
上单调递增；（2）每天锻炼时间为0分钟时，当天得分为0分；
（3）每天锻炼时间为20分钟时，当天得分为3分；（4）每天最多得
分不超过6分.且函数的大致图象如图所示. 现有以下三个函数模型供
选择：， ，
.
（3）若每天的得分不少于4.5分，则至少需要锻
炼多少分钟？（注： ，结果保留整数）
解：因为每天的得分不少于4.5分，所以令
，
即 ，
所以 ，
则 ，
即至少需要锻炼37分钟.
变式 ［2025·湖南长沙明德中学高一月考］ 某公司的股票在交易市
场过去的一个月内（以30天计），第 天每股的交易价格满足函数关
系（单位：元），第天的日交易量 （单位：万股）
的部分数据如表.
10 15 20 25 30
50 55 60 55 50
给出以下四个函数模型：
；； ；
.
（1）请你根据上表中的数据，从①②③④中选择你认为最合适的一
种函数模型来描述该股票日交易量与 的函数关系（简要说明理
由），并求出该函数的关系式；
解：由题意知，当变化时， 先增加后减小，
因为①③④都是单调函数，
所以应选择函数模型 .
由，可得,解得 ，
由，，解得， ，
所以与 的函数关系式为
.
变式 ［2025·湖南长沙明德中学高一月考］ 某公司的股票在交易市
场过去的一个月内（以30天计），第 天每股的交易价格满足函数关
系（单位：元），第天的日交易量 （单位：万股）
的部分数据如表.
10 15 20 25 30
50 55 60 55 50
给出以下四个函数模型：
；； ；
.
（2）根据（1）的结论，求出该股票在过去一个月内第 天的日交易
额 （单位：万元）的函数关系式，并求其最小值.
解：由（1）知
，所以
.
当， 时，由基本不等式可得
，
当且仅当，即 时等号成立.
当，时，，可知 随
着 的增大而减小，
所以此时的最小值为 .
综上可知，当时，函数 取得最小值，最小值为441万元.
［素养小结］
当一组数据所对应的函数关系不确定时,可根据题设条件,将这几个函
数模型求出来,再根据题中的其他条件,对这几个函数模型的可靠性进
行评估,选出与数据最吻合的函数模型.
1.何为数学建模 其目的是什么
对现实生活中的实际问题加以提炼,抽象为数学模型,验证模型的可靠
性与合理性,并用该数学模型来解决现实问题.数学知识的这一应用过
程称为数学建模,所以数学建模的目的就是用数学知识解决实际问题.
2.建立函数模型应把握三关
（1）事理关:通过阅读、理解,明确问题是什么,熟悉实际背景,为解题
打开突破口.
（2）文理关:将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言,用数学
式子表达数量关系.
（3）数理关:在构建数学模型的过程中,对已有的数学知识进行检验,
从而认定或构建相应的数学模型.
函数模型应满足的条件
例 ［2025·上海奉贤区高一期末］某创业投资公司拟投资开发某种
新能源产品，估计能获得10万元至1000万元的投资收益.现准备制订
一个对科研课题组的奖励方案：
①奖金（单位：万元）随投资收益 （单位：万元）的增加而增加；
②奖金不超过9万元；
③奖金不超过投资收益的 .
（1）请你再写出一条奖励方案④；
解：奖励方案④：出勤率、考核分越高，奖金越高（答案不唯一）.
例 ［2025·上海奉贤区高一期末］某创业投资公司拟投资开发某种
新能源产品，估计能获得10万元至1000万元的投资收益.现准备制订
一个对科研课题组的奖励方案：
①奖金（单位：万元）随投资收益 （单位：万元）的增加而增加；
②奖金不超过9万元；
③奖金不超过投资收益的 .
（2）若以函数 作为奖励方案，试用数学语言表述函数
应满足的三个基本条件；
解：函数应满足的条件是：当 时，
单调递增；恒成立； 恒成立.
例 ［2025·上海奉贤区高一期末］某创业投资公司拟投资开发某种
新能源产品，估计能获得10万元至1000万元的投资收益.现准备制订
一个对科研课题组的奖励方案：
①奖金（单位：万元）随投资收益 （单位：万元）的增加而增加；
②奖金不超过9万元；
③奖金不超过投资收益的 .
（3）现有奖励函数符合公司要求，求整数 的取值范围.
解：对于函数 ，
对于①，函数在 上单调递增.
对于②，对任意，恒成立，则 ，
即，解得 .
对于③，对任意，，即 恒成立，
即 ，
令， ，则
，
易知函数在 上单调递减，
则当，即时， ，因此
.
因为，所以 ，
又 ，
所以整数的取值范围是 .
练习册
1.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水
价”.计算方法如表：
每户每月用水量 水价
已知某用户本月的用水量为 ，则该用户本月应交纳的水费
（单位：元）是( )
A.45 B.54 C.72 D.90
√
[解析] 该用户本月的用水量为 ，则该用户本月应交纳的水费
为 （元）.故选B.
2.加快县域范围内农业转移人口市民化，是“十四五”期间我国城镇化
和城市化战略的实践重点.某数学兴趣小组，通过查找历年数据，发
现某县城区常住人口每年大约以 的增长率递增，若要据此预测该
县城区若干年后的常住人口，则在建立模型阶段，该小组可以选择
的函数模型为( )
A.
B.，，且
C.
D.，，且
√
[解析] 由题意可知，该县城区常住人口每年大约以 的增长率递增，
则该县城区常住人口与年份 的函数关系为指数型函数.故选B.
3.［2025·广东惠州一中期中］为了衡量星星的明暗程度，公元前二
世纪古希腊天文学家喜帕恰斯提出了星等这个概念.星等的数值越小，
星星就越亮.由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森
又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两
颗星星的星等与亮度满足 ，其中星等为
的星星的亮度为 .已知小熊座的“北极星”与大熊座的
“玉衡”的星等分别为2.02和，且当 较小时，
，则“玉衡”与“北极星”的亮度的比值大约为
( )
A.1.28 B.1.26 C.1.24 D.1.22
√
[解析] 设， ，由题意得
，可得 ，
.故选B.
4.某学校科技创新小组制作的飞行器的飞行高度（单位：米）与飞行
时间（单位：秒）之间的关系可以近似用函数 来表示.
已知飞行器发射后经过2秒时的高度为10米，经过6秒时的高度为30
米，欲达到50米的高度，则需要( )
A.15秒 B.16秒 C.18秒 D.20秒
[解析] 由题意可得，，解得 ,
.
设达到50米的高度需要 秒，则，解得
，所以达到50米的高度需要18秒.故选C.
√
5.［2025·山东青岛期中］为了保障交通安全，某地根据《道路交通
安全法》规定：汽车驾驶员血液中的酒精含量不得超过 .
据仪器监测，某驾驶员饮酒后，血液中的酒精含量迅速上升到
，在停止喝酒后，血液中每小时末的酒精含量都比上一个
小时末减少 ，那么此人在开车前至少需要休息（参考数据：
， ）( )
A.4.1小时 B.4.2小时 C.4.3小时 D.4.4小时
√
[解析] 设经过小时，血液中的酒精含量为 ，则
.
由 ，得，则.
因为 ，所以 ，
所以开车前至少需要休息4.2小时.故选B.
6.（多选题）常见的《标准对数视力表》中有两
列数据，分别表示五分记录和小数记录数据，把
小数记录数据记为，对应的五分记录数据记为 ，
现有两个函数模型： ；
.根据如图所示标准对数视力表中的
数据，下列结论中正确的是（参考数据：
）( )
A.选择函数模型①
B.选择函数模型②
C.根据函数模型，若小明视力的五分记录数据为
，则小明视力的小数记录数据为0.9
D.根据函数模型，若小明视力的五分记录数据为
，则小明视力的小数记录数据约为0.8
√
√
[解析] 将代入 ，得
；将代入 ，得
.故选择函数模型②，A错误，B正
确.
当时，由，解得 ，则小
明视力的小数记录数据为，C错误；
当 时，由，解得 ，则小明视力的
小数记录数据约为，D正确.故选 .
7.统计某种水果在一年中四个季度的每千克售价（单位：元），所得
数据如表.
季度 1 2 3 4
每千克售价 19.55 20.05 20.45 19.95
某公司计划按这一年各季度每千克售价的最佳近似值 收购这种水
果，其中最佳近似值满足与上表中各售价差的平方和最小，那么
的值为____.
20
[解析] 设
，则当
时， 取得最小值，
故最佳近似值 的值为20.
8.有一种专门侵占内存的计算机病毒，开机时占据内存 ，然后
每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后
经过____分钟，该病毒占据内存．
45
[解析] 因为开机时占据内存 ，每3分钟自身复制一次，复制后所
占内存是原来的2倍，所以经过3分钟病毒占据内存 ，经过6分钟
病毒占据内存，经过9分钟病毒占据内存，故经过 个3分
钟，病毒所占内存为.
令，可得 ，因为，所以开机后
经过45分钟，该病毒占据 内存.
9.（13分）［2025·浙江绍兴高一期末］ 声强级（单位： ）由公
式给出，其中为声强（单位：），， 为常数.研
究发现正常人听觉能忍受的最高声强为 ，此时声强级为
；平时常人交谈时的声强约为 ，此时声强级为
.
（1）求， 的值.
解：由题意知解得
所以 .
9.（13分）［2025·浙江绍兴高一期末］ 声强级（单位： ）由公
式给出，其中为声强（单位：），， 为常数.研
究发现正常人听觉能忍受的最高声强为 ，此时声强级为
；平时常人交谈时的声强约为 ，此时声强级为
.
（2）实验结果表明，噪声可以降低人的视力敏感性，当噪声声强级
达到至 时，视网膜中的视杆细胞对光亮度的敏感性会下
降，识别弱光反应的时间也会延长.某种型号的拖拉机声的声强约为
，若司机长时间在这种噪音环境下驾驶，试判断是否会
降低他的视力敏感性？
解：由（1）知，将 代入上式，
得 ，所以司机长时间在这种
噪音环境下驾驶，会降低他的视力敏感性.
10.近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐受到越来越多
人们的关注和喜爱.某平台从2021年建立开始，得到了很多网民的关注，
会员人数逐年增加.已知从2021年到2024年，每年年末该平台的会员人
数如表所示（注：第4年数据为截止到2024年10月底的数据）.
1 2 3 4
28 36 52 77
为了估算该平台建立年时的会员人数 （千人），给出以
下三个函数模型供选择： ；
且；且 .选
择最符合实际的函数模型，则预测2024年年末的会员人数为( )
A.80千人 B.84千人 C.86千人 D.90千人
√
[解析] 由数据可知，随 的增加而增加，且增加的速度越来越快，
故选择模型③，
由表格中的数据可得， ，，解得
，， ，故.
令 ，则可预测2024年年末的会员人数为 （千人），
故选B.
11.［2025·江苏无锡高一期末］已知汽车从踩刹车到停车所滑行的距
离（单位：）与速度（单位： ）之间的关系为
，其中是比例系数，且, 是汽车质量
（单位： ）.已知某辆卡车不装货物（司机体重忽略不计）以
的速度行驶时，从踩刹车到停车需要走 .当这辆卡车装
着等于车重的货物行驶时，为保证安全，要在发现前面 处有障
碍物时能在离障碍物 以外处停车，则这辆卡车的最高行驶速度应
低于（假设司机从发现障碍物到踩刹车需要经过 ）( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设这辆卡车本身的质量为，行驶速度为 ，刹车经
过的距离为，当这辆卡车不装货物时，依题意可得 ，
将，代入上式，可得，则 .
当这辆卡车装着等于车重的货物行驶时，因为卡车司机发现障碍物
到踩刹车需要经过，所以卡车行驶的路程为 ，
此时由题意得，则 ，可
得，解得 .
根据速度的实际意义，可得.所以这辆卡车的最高行驶速
度应低于 .故选B.
12.（多选题）［2025·广东佛山高一期末］ 某机构根据逻辑斯蒂增
长模型结合过去15年的数据，对 年我国新能源汽车的市
场渗透率进行了模拟和预测，得到我国新能源汽车的市场渗透率
与时间代码（规定 表示2010年初，依次类推）的函数关
系为 ，则下列结论正确的是
（参考数据： ）( )
A.的图象关于点 中心对称
B.的图象关于直线 对称
C.2022年初，我国新能源汽车的市场渗透率不足
D.预计2030年初，我国新能源汽车的市场渗透率超过
√
√
√
[解析] 对于A，
，所以的图象关于点 中心对称，故A正确；
，所以的图象不关于直线 对称，故B错误；
，所以 ，
故C正确；
对于D，，因为，所以 ，
所以，故D正确.故选 .
13.为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要
对文件加密，有一种加密密钥系统，其加密、解密原理为：发送方
由明文 密文（加密），接收方由密文 明文（解密）.现在加密
密钥为 ，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接收方接到密文“
”，则解密后得到的明文是__.
[解析] 由题可知加密密钥为，当时， ，所以
，解得，故.
令，得 ，解得，则 .
14.（15分）［2025·江苏连云港赣榆高级中学高一期末］ 近年来，
某企业每年消耗电费36万元.为了节能减排，决定安装一个可使用20
年的太阳能供电设备，并接入本企业的电网.安装这种供电设备的费
用（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位： ）成正比，比
例系数为 .为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的
模式.设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费 （单位：万元）
与安装的这种太阳能电池板的面积（单位： ）之间的函数关系
是（， 为常数），记该企业安装这种太阳能供
电设备的费用与20年所消耗的电费之和为 （单位：万元）.
（1）解释的实际意义，并写出关于 的函数关系式.
解： 表示太阳能电池板的面积为0时，该企业每年消耗的电费，
即未安装太阳能供电设备时，该企业每年消耗的电费.
当 时，该企业每年消耗电费36万元，
将代入 ，
可得，则 ，
所以 .
14.（15分）［2025·江苏连云港赣榆高级中学高一期末］ 近年来，
某企业每年消耗电费36万元.为了节能减排，决定安装一个可使用20
年的太阳能供电设备，并接入本企业的电网.安装这种供电设备的费
用（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位： ）成正比，比
例系数为 .为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的
模式.设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费 （单位：万元）
与安装的这种太阳能电池板的面积（单位： ）之间的函数关系
是（， 为常数），记该企业安装这种太阳能供
电设备的费用与20年所消耗的电费之和为 （单位：万元）.
（2）当为何值时，取得最小值？并求出 的最小值.
解：因为，所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，
即，即，即 时，等号成立，
所以当时，取得最小值，最小值为 .
14.（15分）［2025·江苏连云港赣榆高级中学高一期末］ 近年来，
某企业每年消耗电费36万元.为了节能减排，决定安装一个可使用20
年的太阳能供电设备，并接入本企业的电网.安装这种供电设备的费
用（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位： ）成正比，比
例系数为 .为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的
模式.设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费 （单位：万元）
与安装的这种太阳能电池板的面积（单位： ）之间的函数关系
是（， 为常数），记该企业安装这种太阳能供
电设备的费用与20年所消耗的电费之和为 （单位：万元）.
（3）要使不超过未安装太阳能供电设备时20年所消耗电费的 ，求
的取值范围.
解：由题可知 ，
即，即 ，
解得 ，
即的取值范围为 .
15.［2025·上海建平中学高一月考］数学建模在实际生产生活中有广
泛的运用.某公司通过统计分析发现，工人工作效率 与工作年限
，劳累程度，劳动动机 相关，并
建立了数学模型 ，已知甲、乙为该公司的员工，
给出下列四个结论：
①甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲
比乙工作效率高；
②甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲
比乙工作效率高；
③甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲
比乙劳累程度强；
④甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短，则甲
比乙劳累程度弱.
其中正确结论的序号是( )
A.①③④ B.①②③ C.①②④ D.①②③④
√
[解析] 设甲与乙的工人工作效率分别为， ，工作年限分别为
，，劳累程度分别为，，劳动动机分别为， .
对于①，，，，则，
，所以，
又 ，所以
，
所以，即甲比乙工作效率高，故①正确；
对于②， ，，，所以 ，则，则 ，
所以 ，即甲比乙工作效率高，故②正确；
对于③，，，，则 ，所以
，即
，则 ，所以
，即甲比乙劳累程度弱，故③错误；
对于④， ，，，
所以 ，
即，所以 ，所
以 ，即甲比乙劳累程度弱，故④正确.故选C.
16.（多选题）［2025·湖北沙市中学月考］ 若物体原来的温度为
（单位:），环境温度为（单位: ），物体的温度冷却到
，单位:与所用时间 （单位:分钟）满足
,为大于0的常数.现有一杯开水 放在室
温为 的房间里，根据函数关系研究这杯开水冷却的情况
，则( )
A.当时，经过10分钟，这杯水的温度大约为
B.当时，这杯开水冷却到 大约需要14分钟
C.若，则
D.这杯水从冷却到所需时间比从冷却到 所需时
间短
√
√
√
[解析] 对于A，,,, ，则
，得，所以 ，解得
，故A错误.
对于B，, , , ，则
，故B正确.
对于C，由，得，即
，则 ，故C正确.
对于D， 设这杯水从冷却到所需时间为 分钟，则
，设这杯水从冷却到所需时间为
分钟，则 ，因为
，所以 ，故D正
确.故选 .
快速核答案(导学案）
课前预习 知识点一 1. 2.（1）
（2） （3）
知识点四 【诊断分析】 （1）√ （2）√ （3）√ （4）×
课中探究 探究点一 例1 （1）
（2）单株施肥量为3千克时，该果树的单株年利润最大，最大单株年利润为420元
变式 （1），，从第3年开始，该设备开始盈利
（2）两种方案企业获得的总利润相同，而方案一用时较短，故应选用方案一.
探究点二 例2 （1）100万元（2），
（3）自2058年开始 变式 （1）约为499小时 （2）应该不高于2.33摄氏度
探究点三 例3 （1）约为 <约为（2） 68 变式 （1），
（2） 当产品投入15万元，产品投入32万元时，企业能获得最大利润，利润的最大值为97万元.
探究点四 例4 （1） （2）（3）37分钟
变式 （1）选择函数模型.
（2）. 最小值为441万元
练习册
基础巩固 1.B 2.B 3.B 4.C 5.B 6.BD 7.20 8.45
9.（1） ，（2）会降低他的视力敏感性
综合提升 10.B 11.B 12.ACD 13.
14.（1）m>表示未安装太阳能供电设备时，该企业每年消耗的电费.
（2）当时，取得最小值，最小值为
（3）
思维探索 15.C 16.BCD8.2.2 函数的实际应用
【课前预习】
知识点一
1.kx+b(k≠0)
2.(1)ax2+bx+c(a≠0) (2)a+(a≠0) (3)a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
知识点四
诊断分析
(1)√ (2)√ (3)√ (4)×
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)由题意可得,当x∈[0,3]时,f(x)=10×(x2+36)-10x=10x2-10x+360,
当x∈(3,6]时,f(x)=10×-10x=450--10x,
所以f(x)=
(2)当x∈[0,3]时,f(x)=10x2-10x+360=10+,
因为<,
所以由二次函数的性质可知,当x=3时f(x)在[0,3]上取得最大值,最大值为f(3)=420.当x∈(3,6]时,f(x)=450--10x≤450-2=350,
当且仅当=10x,即x=5时取等号,
所以f(x)在(3,6]上的最大值为350.
显然350<420,所以单株施肥量为3千克时,该果树的单株年利润最大,最大单株年利润为420元.
变式 解:(1)由题意得y=50x-(2x2+10x)-98=-2x2+40x-98,x∈N*,
令-2x2+40x-98>0,则10-又x∈N*,所以3≤x≤17,
故从第3年开始,该设备开始盈利.
(2)方案一:年平均盈利额=-2x+40-=40-2≤40-4=12,
当且仅当x=时,即当x=7时,上式等号成立,
故使用7年时,该设备的年平均盈利额达到最大值,
此时卖掉此设备,该企业可获得的总利润为12×7+30=114(万元).
方案二:盈利总额y=-2x2+40x-98=-2(x-10)2+102,
当x=10时,y取得最大值102,故使用10年时,该设备的盈利总额达到最大值102,此时卖掉此设备,该企业可获得的总利润为102+12=114(万元).
因为两种方案企业获得的总利润相同,而方案一用时较短,故应选用方案一.
探究点二
例2 解:(1)设2024年的生产成本为a万元,则a·(1-20%)=80,解得a=100,
所以2024年的生产成本为100万元.
(2)设每一年生产成本降低的百分比都为q(0则100(1-q)10=80,解得(1-q)10=,
所以f(x)=100(1-q)x=100[(1-q)10=100×,x∈N*.
(3)依题意得f(x)≤45,即100×≤45,则≤,两边取对数得lg≤lg,解得x≥10×=10×≈10×=34,2024+34=2058,所以按此计划,自2058年开始,该工厂的成本不超过45万元.
变式 解:(1)依题意得则e2a==,
所以t(7)=e7a+b==≈499,
所以新鲜鸡蛋在存储温度为7摄氏度的情况下的保鲜时间约为499小时.
(2)由题意,40×24=960,令eax+b≥960,得e6a+b·(e2a≥960,即576·≥960,
则≥,则lg≥lg ,
所以x-3≤==,所以x≤+6≈2.33,
则估计超市对新鲜鸡蛋的存储温度设置应该不高于2.33摄氏度.
探究点三
例3 解:(1)当总质比为50时,A型火箭的最大速度为800×ln 50=800×(2ln 5+ln 2)≈800×(2×1.609+0.693)=3128.8≈3129(m/s).
(2)经过材料更新和技术改进后,A型火箭的喷流相对速度为1600 m/s,总质比为,要使火箭的最大速度至少增加800 m/s,则1600·ln-800·ln≥800,
即2·ln-ln≥1,即ln-ln≥1,
即ln≥1,所以≥25e≈25×2.718=67.95≈68,所以在材料更新和技术改进前总质比的最小值为68.
变式 解:(1)∵u(x)=mx+log2,u(3)=7,
∴log2+3m=7,解得m=2.
∵v(x)=2x-log2(64-x)+n(0≤x<64),v(32)=65,
∴64-log2(64-32)+n=65,解得n=6.
(2)设A产品投入x(0≤x≤47)万元,则B产品投入47-x万元,企业获得的利润为t(x)(单位:万元).
由(1)得u(x)=2x+log2,v(x)=2x-log2(64-x)+6,
∴t(x)=u(x)+v(47-x)=2x+log2+2(47-x)-log2(17+x)+6,
整理得t(x)=log2-log2(17+x)+100,变形得t(x)=log2+100=log2+100.
∵+≥2=8,当且仅当x=15时等号成立,
∴t(x)=log2+100≤100-log28=97,
∴当A产品投入15万元,B产品投入32万元时,企业能获得最大利润,利润的最大值为97万元.
探究点四
例4 解:(1)符合题中要求的函数模型为③y=k·log2+n(k>0).
(2)由题意知,函数图象过点(0,0),(20,3),所以解得
故y=3log2-3.
当x=60时,y=3log2-3=6,符合题意.
综上所述,函数的解析式为y=3log2-3.
(3)因为每天的得分不少于4.5分,所以令3log2-3≥4.5,即log2≥,
所以+2≥=4,则x≥40-20≈40×1.414-20=36.56≈37,即至少需要锻炼37分钟.
变式 解:(1)由题意知,当x变化时,Q(x)先增加后减小,
因为①③④都是单调函数,
所以应选择函数模型②Q(x)=a|x-m|+b.
由Q(15)=Q(25),可得|15-m|=|25-m|,解得m=20,
由Q(15)=5a+b=55,Q(20)=b=60,解得a=-1,b=60,
所以Q(x)与x的函数关系式为Q(x)=-|x-20|+60(1≤x≤30,x∈N*).
(2)由(1)知Q(x)=-|x-20|+60=(x∈N*),所以f(x)=P(x)·Q(x)=(x∈N*).
当1≤x≤20,x∈N*时,由基本不等式可得f(x)=10x++401≥2+401=441,
当且仅当10x=,即x=2时等号成立.
当20所以此时f(x)的最小值为f(30)=499+>441.
综上可知,当x=2时,函数f(x)取得最小值,最小值为441万元.8.2.2 函数的实际应用
1.B [解析] 该用户本月的用水量为15 m3,则该用户本月应交纳的水费为12×3+(15-12)×6=54(元).故选B.
2.B [解析] 由题意可知,该县城区常住人口每年大约以5%的增长率递增,则该县城区常住人口y与年份x的函数关系为指数型函数.故选B.
3.B [解析] 设m1=2.02,m2=1.77,由题意得2.02-1.77=2.5(lg E2-lg E1),可得lg=0.1,∴=100.1≈1+2.3×0.1+2.7×0.12=1.257≈1.26.故选B.
4.C [解析] 由题意可得10=alog32+b,30=alog36+b,解得a=20,b=10-20log32.设达到50米的高度需要x秒,则20log3x+10-20log32=50,解得x=18,所以达到50米的高度需要18秒.故选C.
5.B [解析] 设经过x小时,血液中的酒精含量为y mg/mL,则y=0.3×(1-25%)x=0.3×0.75x.由0.3×0.75x≤0.09,得0.75x≤0.3,则xlg 0.75≤lg 0.3.因为lg 0.75<0,所以x≥=≈==4.184,所以开车前至少需要休息4.2小时.故选B.
6.BD [解析] 将x=0.1代入y=5+2lg x,得y=5-2=3;将x=0.1代入y=5-lg,得y=5-1=4.故选择函数模型②,A错误,B正确.当y=5时,由y=5-lg,解得x=1,则小明视力的小数记录数据为1.0,C错误;当y=4.9时,由y=5-lg,解得x≈0.8,则小明视力的小数记录数据约为0.8,D正确.故选BD.
7.20 [解析] 设y=(m-19.55)2+(m-20.05)2+(m-20.45)2+(m-19.95)2=4m2-2×(19.55+20.05+20.45+19.95)m+19.552+20.052+20.452+19.952,则当m=×(19.55+20.05+20.45+19.95)=20时,y取得最小值,故最佳近似值m的值为20.
8.45 [解析] 因为开机时占据内存2 KB,每3分钟自身复制一次,复制后所占内存是原来的2倍,所以经过3分钟病毒占据内存22 KB,经过6分钟病毒占据内存23 KB,经过9分钟病毒占据内存24 KB,故经过n个3分钟,病毒所占内存为2n+1 KB.令2n+1=64×210=216,可得n=15,因为15×3=45,所以开机后经过45分钟,该病毒占据64 MB内存.
9.解:(1)由题意知解得
所以LI=10lg I+120.
(2)由(1)知LI=10lg I+120,将I=10-2代入上式,
得LI=10lg 10-2+120=100∈[90,115],所以司机长时间在这种噪音环境下驾驶,会降低他的视力敏感性.
10.B [解析] 由数据可知,y随x的增加而增加,且增加的速度越来越快,故选择模型③,由表格中的数据可得ta+s=28,ta2+s=36,ta3+s=52,解得a=2,t=4,s=20,故y=4·2x+20(x∈N*).令x=4,则可预测2024年年末的会员人数为4×24+20=84(千人),故选B.
11.B [解析] 设这辆卡车本身的质量为M t,行驶速度为v km/h,刹车经过的距离为L m,当这辆卡车不装货物时,依题意可得L=k·M·v2,将L=20,v=36代入上式,可得20=k·M·362,则k·M=.当这辆卡车装着等于车重的货物行驶时,因为卡车司机发现障碍物到踩刹车需要经过1 s,所以1 s卡车行驶的路程为=(m),此时由题意得+k·2M·v2<20-5,则+2×·v2<15,可得·v2+-3<0,解得-2712.ACD [解析] 对于A,f(x)+f(30-x)=+=+=1,所以f(x)的图象关于点中心对称,故A正确;对于B,f(x)-f(30-x)=-=-=≠0,所以f(x)的图象不关于直线x=15对称,故B错误;对于C,f(12)==,因为ln 3≈1.1,所以e1.1≈3,所以e1.5>3,所以f(12)=<==25%,故C正确;对于D,f(20)==,因为e2.5>32,所以e-2.5<,所以f(20)=>==90%,故D正确.故选ACD.
13. [解析] 由题可知加密密钥为y=kx3,当x=4时,y=2,所以2=k×43,解得k==,故y=x3.令y=,得=x3,解得x3=,则x=.
14.解:(1)C(0)表示太阳能电池板的面积为0时,该企业每年消耗的电费,
即未安装太阳能供电设备时,该企业每年消耗的电费.
当x=0时,该企业每年消耗电费36万元,
将(0,36)代入C(x)=,
可得36=,则k=3600,
所以y=x+=x+(x≥0).
(2)因为x≥0,所以x+5>0,
所以y=x+=(x+5)+-≥2-=,
当且仅当(x+5)=,
即(x+5)2=3600×4,即x+5=120,即x=115时,等号成立,
所以当x=115时,y取得最小值,最小值为.
(3)由题可知y=x+≤×36×20,
即x2-355x+12 600≤0,即(x-40)(x-315)≤0,
解得40≤x≤315,
即x的取值范围为[40,315].
15.C [解析] 设甲与乙的工人工作效率分别为E1,E2,工作年限分别为r1,r2,劳累程度分别为T1,T2,劳动动机分别为b1,b2.对于①,b1=b2,r1>r2,T1>0,又T2>T1>0,所以E1-E2=10-10T1·-(10-10T2·)=10(T2·-T1·)>0,所以E1>E2,即甲比乙工作效率高,故①正确;对于②,T1=T2,r1>r2,b1>b2,所以1>>>0,则>>,则E1-E2=10-10T1·-(10-10T2·)=10T1(-)>0,所以E1>E2,即甲比乙工作效率高,故②正确;对于③,r1=r2,E1>E2,b10,即T2>T1,则>=>1,所以T2>T1,即甲比乙劳累程度弱,故③错误;对于④,b1=b2,E1>E2,r10,即T2>T1,所以>=>1,所以T2>T1,即甲比乙劳累程度弱,故④正确.故选C.
16.BCD [解析] 对于A,k=,θ0=100,θ1=20,t=10,则10=10ln,得ln=1,所以=e,解得θ=20+≈20+≈50,故A错误.对于B,k=,θ0=100,θ1=20,θ=60,则t=20ln=20ln=20ln 2≈20×0.7=14,故B正确.对于C,由f(60)=10,得ln=ln=ln 2=10,即k=ln 2,则f(40)=ln=ln 4=ln 2=20,故C正确.对于D,设这杯水从100 ℃冷却到80 ℃所需时间为t1分钟,则t1=ln=ln,设这杯水从80 ℃冷却到60 ℃所需时间为t2分钟,则t2=ln=ln,因为t1-t2==ln=ln<0,所以t1【学习目标】
1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.
2.在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.
3.收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型,体会人们是如何借助函数刻画实际问题,感悟数学模型中参数的现实意义.
◆ 知识点一 一次函数、二次函数模型
1.一次函数模型:解析式y= .
2.二次函数模型:
(1)一般式:y= ;
(2)顶点式: y= ;
(3)两根式:y= .
◆ 知识点二 指数函数模型
解析式:y=abx+c,条件:a,b,c为常数,a≠0,b>0,b≠1.
◆ 知识点三 对数函数模型
解析式:y=mlogax+n,条件:m,n,a为常数,m≠0,a>0,a≠1.
◆ 知识点四 应用函数知识解决实际问题的基本步骤
(1)审题——弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,明确要求解的问题;
(2)建模——将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识建立相应的数学模型;
(3)求模——求解数学模型,得出数学结论;
(4)还原——将数学结论还原为实际问题的答案.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)银行利率、细胞分裂等增长率问题可以用指数函数模型来表述. ( )
(2)在函数建模中,散点图可以帮助我们选择恰当的函数模型. ( )
(3)当在不同的范围内,变量的对应关系不同时,可以选择分段函数模型. ( )
(4)函数y=×3x+1属于幂函数模型. ( )
◆ 探究点一 一次函数、二次函数模型
例1 [2025·江苏宿迁中学高一期中] 某地因地制宜发展生态农业,打造特色水果示范区,该地区某果树的单株年产量φ(x)(单位:千克)与单株施肥量x(单位:千克)之间的函数关系为φ(x)=且单株投入的年平均成本为10x元,若这种水果的销售价格为10元/千克,且水果销路畅通.记该果树的单株年利润为f(x)(单位:元).
(1)求函数f(x)的解析式.
(2)求单株施肥量为多少千克时,该果树的单株年利润最大 最大单株年利润是多少
变式 某光伏产业公司为了提高生产效率,决定投入98万元购进一套生产设备.预计使用该设备后,每年的总收入为50万元,前x(x为正整数)年维修、保养费用总和为2x2+10x万元,设使用x年时该设备的盈利总额为y万元.
(1)写出y与x之间的函数关系式,并求从第几年开始,该设备开始盈利(盈利额为正值).
(2)使用若干年后,对该设备的处理方案有两种:
方案一:当年平均盈利额达到最大值时,以30万元的价格处理该设备;
方案二:当盈利总额达到最大值时,以12万元的价格处理该设备.
请你研究一下哪种方案处理较为合理 并说明理由.
[素养小结]
(1)一次函数模型的求解比较为容易,一般情况下可以用“问什么,设什么,列什么”这一方法来处理.
(2)对于一次函数在实际问题中的应用的题目,要认真读题、审题,弄清题意,明确题目中的数量关系,可充分借助图象、表格信息确定解析式,同时要特别注意定义域.
(3)在函数模型中,二次函数模型占有重要的地位,根据实际问题得到函数解析式后,可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法或知识来求函数的最值,从而解决实际问题中的最大、最小值等问题.
◆ 探究点二 指数函数模型
例2 某公司计划到2034年将生产成本控制在80万元,要比2024年下降20%,假设这期间每一年生产成本降低的百分比都相等,记2024年后第x(x∈N*)年的成本为f(x)万元.
(1)求2024年的生产成本;
(2)求f(x)的解析式;
(3)按此计划,自哪一年开始,该工厂的成本不超过45万元 (本题参考数据:lg 2≈0.30,lg 3≈0.48,lg 7≈0.85)
变式 [2025·浙江杭州学军中学高一期中] 鸡蛋在冰箱冷藏的环境下,可以延长其保质期.已知新鲜鸡蛋的存储温度x(单位:摄氏度)与保鲜时间t(单位:小时)之间的函数关系式为t(x)=eax+b.新鲜鸡蛋在存储温度为8摄氏度的情况下,其保鲜时间为432小时;在存储温度为6摄氏度的情况下,其保鲜时间为576小时.
(1)求新鲜鸡蛋在存储温度为7摄氏度的情况下的保鲜时间(结果保留整数);
(2)已知新鲜鸡蛋在冰箱里冷藏一般能存30天至45天,若某超市希望保证其出售的新鲜鸡蛋的保鲜时间不少于40天,则估计超市对新鲜鸡蛋的存储温度设置应该不高于多少摄氏度 (结果保留两位小数)
参考数据:lg 2≈0.30,lg 3≈0.48.
[素养小结]
在实际问题的应用中,常见的增长率问题的解析式可以表示为y=N(1+p)x(其中N为基础数,p为增长率,x为时间)的形式.有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型求解.
◆ 探究点三 对数函数模型
例3 我国在航天领域取得的巨大成就,得益于我国先进的运载火箭技术.根据火箭理想速度公式v=v0·ln,可以计算理想状态下火箭的最大速度v(单位:m/s),其中v0(单位:m/s)是喷流相对速度,m(单位:kg)是火箭(除推进剂外)的质量,M(单位:kg)是推进剂与火箭质量的总和,应称为总质比.已知A型火箭的喷流相对速度为800 m/s.
(1)当总质比为50时,求A型火箭的最大速度;
(2)若经过材料更新和技术改进后,A型火箭的喷流相对速度提高到原来的2倍,总质比变为原来的,若要使火箭的最大速度至少增加800 m/s,则在材料更新和技术改进前总质比的最小值为多少 (所有结果保留整数,参考数据:ln 2≈0.693,ln 5≈1.609,e≈2.718)
变式 [2025·四川绵阳高一期末] 某工厂生产A,B两种产品,A产品的利润u(x)(单位:万元)与投入金额x(单位:万元)的关系式为u(x)=mx+log2(x≥0).B产品的利润v(x)(单位:万元)与投入金额x(单位:万元)的关系式为v(x)=2x-log2(64-x)+n(0≤x<64).已知投入3万元生产A产品可获利润为7万元,投入32万元生产B产品可获利润为65万元.
(1)求实数m,n的值.
(2)该企业现有47万元资金全部投入A,B两种产品中,探究怎样分配资金,才能使企业获得最大利润 并求出利润的最大值.
[素养小结]
此类问题一般是先给出对数函数模型,再利用对数的运算性质求解.
◆ 探究点四 函数模型的选择
例4 [2025·辽宁抚顺六校协作体高一期末] 学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼,每天能用于锻炼的课余时间有60分钟,现需要制订一个课余锻炼考核评分制度,建立一个每天得分y与当天锻炼时间x(单位:分钟)的函数关系.要求如下:(1)函数在区间[0,60]上单调递增;(2)每天锻炼时间为0分钟时,当天得分为0分;(3)每天锻炼时间为20分钟时,当天得分为3分;(4)每天最多得分不超过6分.且函数的大致图象如图所示.现有以下三个函数模型供选择:①y=kx+b(k>0),②y=k·1.2x+b(k>0),③y=k·log2+n(k>0).
(1)请你根据要求从以上给出的三个函数模型中选择一个合适的函数模型,不需要说明理由;
(2)根据所给信息求出所选函数的解析式;
(3)若每天的得分不少于4.5分,则至少需要锻炼多少分钟 (注:≈1.414,结果保留整数)
变式 [2025·湖南长沙明德中学高一月考] 某公司的股票在交易市场过去的一个月内(以30天计),第x天每股的交易价格满足函数关系P(x)=10+(单位:元),第x天的日交易量Q(x)(单位:万股)的部分数据如表.
x 10 15 20 25 30
Q(x) 50 55 60 55 50
给出以下四个函数模型:
①Q(x)=ax+b;②Q(x)=a|x-m|+b;③Q(x)=a-bx;④Q(x)=a·logbx.
(1)请你根据上表中的数据,从①②③④中选择你认为最合适的一种函数模型来描述该股票日交易量Q(x)与x的函数关系(简要说明理由),并求出该函数的关系式;
(2)根据(1)的结论,求出该股票在过去一个月内第x天的日交易额f(x)(单位:万元)的函数关系式,并求其最小值.
[素养小结]
当一组数据所对应的函数关系不确定时,可根据题设条件,将这几个函数模型求出来,再根据题中的其他条件,对这几个函数模型的可靠性进行评估,选出与数据最吻合的函数模型.8.2.2 函数的实际应用
1.为了保护水资源,提倡节约用水,某城市对居民用水实行“阶梯水价”.计算方法如表:
每户每月用水量 水价
不超过12 m3的部分 3元/m3
超过12 m3但不超过18 m3的部分 6元/m3
超过18 m3的部分 9元/m3
已知某用户本月的用水量为15 m3,则该用户本月应交纳的水费(单位:元)是 ( )
A.45 B.54
C.72 D.90
2.加快县域范围内农业转移人口市民化,是“十四五”期间我国城镇化和城市化战略的实践重点.某数学兴趣小组,通过查找历年数据,发现某县城区常住人口每年大约以5%的增长率递增,若要据此预测该县城区若干年后的常住人口,则在建立模型阶段,该小组可以选择的函数模型为 ( )
A.f(x)=ax+b
B.f(x)=a·bx+c(a≠0,b>0,且b≠1)
C.f(x)=a·x2+bx+c(a≠0)
D.f(x)=a·logbx+c(a≠0,b>0,且b≠1)
3.[2025·广东惠州一中期中] 为了衡量星星的明暗程度,公元前二世纪古希腊天文学家喜帕恰斯提出了星等这个概念.星等的数值越小,星星就越亮.由于光度计在天体光度测量的应用,英国天文学家普森又提出了亮度的概念,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星星的星等与亮度满足m1-m2=2.5(lg E2-lg E1),其中星等为mk的星星的亮度为Ek(k=1,2).已知小熊座的“北极星”与大熊座的“玉衡”的星等分别为2.02和1.77,且当|x|较小时,10x≈1+2.3x+2.7x2,则“玉衡”与“北极星”的亮度的比值大约为 ( )
A.1.28 B.1.26
C.1.24 D.1.22
4.某学校科技创新小组制作的飞行器的飞行高度(单位:米)与飞行时间(单位:秒)之间的关系可以近似用函数y=alog3x+b来表示.已知飞行器发射后经过2秒时的高度为10米,经过6秒时的高度为30米,欲达到50米的高度,则需要( )
A.15秒 B.16秒
C.18秒 D.20秒
5.[2025·山东青岛期中] 为了保障交通安全,某地根据《道路交通安全法》规定:汽车驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL.据仪器监测,某驾驶员饮酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL,在停止喝酒后,血液中每小时末的酒精含量都比上一个小时末减少25%,那么此人在开车前至少需要休息(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477) ( )
A.4.1小时 B.4.2小时
C.4.3小时 D.4.4小时
6.(多选题)常见的《标准对数视力表》中有两列数据,分别表示五分记录和小数记录数据,把小数记录数据记为x,对应的五分记录数据记为y,现有两个函数模型:①y=5+2lg x;②y=5-lg.根据如图所示标准对数视力表中的数据,下列结论中正确的是(参考数据:10-0.1≈0.8)( )
A.选择函数模型①
B.选择函数模型②
C.根据函数模型,若小明视力的五分记录数据为5.0,则小明视力的小数记录数据为0.9
D.根据函数模型,若小明视力的五分记录数据为4.9,则小明视力的小数记录数据约为0.8
7.统计某种水果在一年中四个季度的每千克售价(单位:元),所得数据如表.
季度 1 2 3 4
每千克售价 19.55 20.05 20.45 19.95
某公司计划按这一年各季度每千克售价的最佳近似值m收购这种水果,其中最佳近似值m满足与上表中各售价差的平方和最小,那么m的值为 .
8.有一种专门侵占内存的计算机病毒,开机时占据内存2 KB,然后每3分钟自身复制一次,复制后所占内存是原来的2倍,那么开机后经过 分钟,该病毒占据64 MB内存.(1 MB=1024 KB)
9.(13分)[2025·浙江绍兴高一期末] 声强级LI(单位:dB)由公式LI=klg I+b给出,其中I为声强(单位:W/m2),k,b为常数.研究发现正常人听觉能忍受的最高声强为1 W/m2,此时声强级为120 dB;平时常人交谈时的声强约为10-6 W/m2,此时声强级为60 dB.
(1)求k,b的值.
(2)实验结果表明,噪声可以降低人的视力敏感性,当噪声声强级达到90 dB至115 dB时,视网膜中的视杆细胞对光亮度的敏感性会下降,识别弱光反应的时间也会延长.某种型号的拖拉机声的声强约为10-2 W/m2,若司机长时间在这种噪音环境下驾驶,试判断是否会降低他的视力敏感性
10.近几年,直播平台作为一种新型的学习渠道,正逐渐受到越来越多人们的关注和喜爱.某平台从2021年建立开始,得到了很多网民的关注,会员人数逐年增加.已知从2021年到2024年,每年年末该平台的会员人数如表所示(注:第4年数据为截止到2024年10月底的数据).
建立平台第x年 1 2 3 4
会员人数y(千人) 28 36 52 77
为了估算该平台建立x(x∈N*)年时的会员人数y(千人),给出以下三个函数模型供选择:①y=+c(b>0);②y=dlogrx+e(r>0且r≠1);③y=tax+s(a>0且a≠1).选择最符合实际的函数模型,则预测2024年年末的会员人数为 ( )
A.80千人 B.84千人
C.86千人 D.90千人
11.[2025·江苏无锡高一期末] 已知汽车从踩刹车到停车所滑行的距离L(单位:m)与速度v(单位:km/h)之间的关系为L=k·M·v2,其中k是比例系数,且k>0,M是汽车质量(单位:t).已知某辆卡车不装货物(司机体重忽略不计)以36 km/h的速度行驶时,从踩刹车到停车需要走20 m.当这辆卡车装着等于车重的货物行驶时,为保证安全,要在发现前面20 m处有障碍物时能在离障碍物5 m以外处停车,则这辆卡车的最高行驶速度应低于(假设司机从发现障碍物到踩刹车需要经过1 s) ( )
A.20 km/h B.18 km/h
C.24 km/h D.27 km/h
12.(多选题)[2025·广东佛山高一期末] 某机构根据逻辑斯蒂增长模型结合过去15年的数据,对2010~2040年我国新能源汽车的市场渗透率进行了模拟和预测,得到我国新能源汽车的市场渗透率f(x)与时间代码x(规定x=0表示2010年初,依次类推)的函数关系为f(x)=(0≤x≤30,x∈N),则下列结论正确的是(参考数据:ln 3≈1.1) ( )
A.f(x)的图象关于点中心对称
B.f(x)的图象关于直线x=15对称
C.2022年初,我国新能源汽车的市场渗透率不足25%
D.预计2030年初,我国新能源汽车的市场渗透率超过90%
13.为了预防信息泄露,保证信息的安全传输,在传输过程中都需要对文件加密,有一种加密密钥系统,其加密、解密原理为:发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密).现在加密密钥为y=kx3,如“4”通过加密后得到密文“2”,若接收方接到密文“”,则解密后得到的明文是 .
14.(15分)[2025·江苏连云港赣榆高级中学高一期末] 近年来,某企业每年消耗电费36万元.为了节能减排,决定安装一个可使用20年的太阳能供电设备,并接入本企业的电网.安装这种供电设备的费用(单位:万元)与太阳能电池板的面积(单位:m2)成正比,比例系数为.为了保证正常用电,安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.设在此模式下,安装后该企业每年消耗的电费C(单位:万元)与安装的这种太阳能电池板的面积x(单位:m2)之间的函数关系是C(x)=(x≥0,k为常数),记该企业安装这种太阳能供电设备的费用与20年所消耗的电费之和为y(单位:万元).
(1)解释C(0)的实际意义,并写出y关于x的函数关系式.
(2)当x为何值时,y取得最小值 并求出y的最小值.
(3)要使y不超过未安装太阳能供电设备时20年所消耗电费的,求x的取值范围.
15.[2025·上海建平中学高一月考] 数学建模在实际生产生活中有广泛的运用.某公司通过统计分析发现,工人工作效率E与工作年限r(r>0),劳累程度T(0①甲与乙劳动动机相同,且甲比乙工作年限长,劳累程度弱,则甲比乙工作效率高;
②甲与乙劳累程度相同,且甲比乙工作年限长,劳动动机高,则甲比乙工作效率高;
③甲与乙工作年限相同,且甲比乙工作效率高,劳动动机低,则甲比乙劳累程度强;
④甲与乙劳动动机相同,且甲比乙工作效率高,工作年限短,则甲比乙劳累程度弱.
其中正确结论的序号是 ( )
A.①③④ B.①②③
C.①②④ D.①②③④
16.(多选题)[2025·湖北沙市中学月考] 若物体原来的温度为θ0(单位:℃),环境温度为θ1(单位:℃),物体的温度冷却到θ(θ>θ1,单位:℃)与所用时间t(单位:分钟)满足t=f(θ)=ln,k为大于0的常数.现有一杯开水(100 ℃)放在室温为20 ℃的房间里,根据函数关系研究这杯开水冷却的情况(e≈2.7,ln 2≈0.7),则 ( )
A.当k=时,经过10分钟,这杯水的温度大约为40 ℃
B.当k=时,这杯开水冷却到60 ℃大约需要14分钟
C.若f(60)=10,则f(40)=20
D.这杯水从100 ℃冷却到80 ℃所需时间比从80 ℃冷却到60 ℃所需时间短
