本章总结提升
【素养提升】
题型一
例1 (1)3 (2) [解析] (1)令f(x)=lg x+x-4,因为f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(3)=lg 3-1<0,f(4)=lg 4>0,所以f(3)f(4)<0,所以f(x)有且仅有一个零点,且该零点在(3,4)内,所以k=3.
(2)画出y=2x-1(x>-1),y=lo(x+1)(x>-1)和y=2的图象,如图所示.由2x-1=2解得x=log23.由lo(x+1)=2,解得x=-.对于函数f(x)=要使y=f(x)与y=2的图象有两个交点,需满足-
变式 (1)C (2)7 [解析] (1)对于A,因为f(x)=x3在(1,2)内单调递增,且f(1)=1>0,所以f(x)=x3在(1,2)内不存在零点,故A不符合题意;对于B,因为f(x)=x+ln x在(1,2)内单调递增,且f(1)=1>0,所以f(x)=x+ln x在(1,2)内不存在零点,故B不符合题意;对于C,令f(x)=x2-2=0,解得x=±,因为∈(1,2),所以f(x)=x2-2在(1,2)内存在零点,故C符合题意;对于D,令f(x)=x2-ln x=0,得x2=ln x,在同一平面直角坐标系中作出函数y=x2与y=ln x的图象如图所示,由图可知两函数的图象在(1,2)内无交点,所以f(x)=x2-ln x在(1,2)内不存在零点,故D不符合题意.故选C.
(2)初始区间[0,1]的长度等于1,每经过一次二分区间操作,区间长度变为原来的一半,易知==0.015 625>0.01,==0.007 812 5<0.01,则所需二分区间的次数为7.
题型二
例2 (1)3 (2) [解析] (1)因为当x<0时,f(x)=2x,当x≥0时,f(x)=f(x-2),所以当0≤x<2时,f(x)=f(x-2)=2x-2;当2≤x<4时,f(x)=f(x-2)=2x-4;当4≤x<6时,f(x)=f(x-2)=2x-6;…;当2k≤x<2k+2(k∈N)时,f(x)=f(x-2)=2x-2k-2.方程f(x)=-x+m的根的个数即为方程f(x)+x=m的根的个数.当x<0时,f(x)+x=2x+x∈(-∞,1),此时方程f(x)+x=m的根只有一个;当0≤x<2时,f(x)+x=2x-2+x∈,此时方程f(x)+x=m的根只有一个;当2≤x<4时,f(x)+x=2x-4+x∈,此时方程f(x)+x=m的根只有一个;当4≤x<6时,f(x)+x=2x-6+x∈,此时方程f(x)+x=m没有实数根.易知当x≥6时,f(x)+x=m没有实数根.综上可知方程f(x)=-x+m的根的个数为3.
(2)作出函数f(x)=的大致图象,如图所示.∵f(x1)=f(x2)=f(x3)且x1变式 (1)(0,1) 4 (2)2 [解析] (1)①f(x)=|2-x-1|=由题意可知,直线y=m与函数y=f(x)的图象有两个不同的交点,作出直线y=m与函数y=f(x)的图象,如图甲所示,由图可知,当0②方程g[f(x)]=m(*)中,设t=f(x)∈(0,+∞),则方程(*)为g(t)=m,作出函数g(t)=的大致图象与直线y=m(0(2)方法一:令h(x)=f(x)-g(x)=ax2+a-1-cos x,则h(x)为偶函数,因为当x∈(-1,1)时,曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点,所以h(0)=a-2=0,得a=2.
方法二:令f(x)=g(x),得ax2+2ax+a-1=cos x+2ax,即ax2+a-1=cos x.设F(x)=ax2+a-1(x∈(-1,1)),G(x)=cos x(x∈(-1,1)),易知F(x),G(x)都为偶函数.当a≤0时,F(x)<0,G(x)>0,故曲线y=F(x)与y=G(x)无交点;当a>0时,作出F(x)与G(x)的大致图象,如图所示,因为曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点,且G(0)=1,所以F(0)=a-1=1,则a=2.
题型三
例3 (1)ACD [解析] 方法一:由题意可得燃油汽车的声压级=20×lg∈[60,90],所以=1,∈[60,90]①.同理,=1,∈[50,60]②,=1=102=100③.对于A,由表知≥,可得p1≥p2,故A正确;对于B,②÷③得=1∈[1,10],所以p2≤10p3,故B错误;对于C,=100,即p3=100p0,故C正确;对于D,①÷②得=1∈[100,102],即∈[1,100],即p1≤100p2,故D正确.故选ACD.
方法二:因为Lp=20×lg,所以-=20×lg-20×lg=20×lg,又因为-≥0,所以lg≥0,即≥1,所以p1≥p2,故A正确;同理,-=20×lg-20×lg=20×lg,因为-=20×lg∈[10,20],所以lg∈,即∈[,10],所以∈,则p2≤10p3,故B错误;因为=40,所以20×lg=40,则lg=2,即=100,所以p3=100p0,故C正确;因为-≤40,即20×lg≤40,所以lg≤2,即p1≤100p2,故D正确.故选ACD.
(2)解:(i)从题图中数据可以得知,函数是一个增函数,故不可能是①,
∵函数增长的速度越来越快,∴②不满足题意,③满足题意,则应选择③y=m·ax+n(a>0且a≠1).
将(1,14),(2,20),(3,29)代入上式可得解得则y=8·+2,易知(4,42.5)满足方程,
∴y=8·+2,x∈N*.
(ii)由(i)可知f(x)=8·+2,x∈N*,
故不等式8·+2≤k·对任意x∈N*恒成立,
∴k≥+=2·+8·对任意x∈N*恒成立,令=t,则t∈,并设g(t)=2t2+8t,t∈,
∵g(t)在上单调递增,∴g(t)≤g=,当且仅当t=,即x=1时取等号,∴k≥,当且仅当x=1时取等号,∴k的最小值为.
变式 解:(1)由题意可得,C(4)=9.2,所以=9.2,解得k=200,即k的值为200.
(2)由题意可知F(x)=15C(x)+0.5x,
又由(1)得C(x)=
当0≤x≤10时,F(x)=15C(x)+0.5x=15×+0.5x=-x2+x+150,
当x>10时,F(x)=15C(x)+0.5x=15×+0.5x=+x,
所以F(x)=
(3)当0≤x≤10时,F(x)=-x2+x+150,
易知F(x)在上单调递增,在上单调递减,所以此时F(x)的最小值为F(10)=80.
当x>10时,F(x)=+x=+-≥2-=37.5,
当且仅当=,即x=35时取等号.
因为80>37.5,所以F(x)min=37.5,即当x为35平方米时,F(x)取得最小值,最小值为37.5万元.本章总结提升
◆ 题型一 函数的零点与方程的根
[类型总述] (1)求函数的零点;(2)判断函数零点或方程根的个数;(3)利用二分法求函数零点或方程的近似解.
例1 (1)方程lg x-4=-x的解所在的区间为(k,k+1)(k∈N),则k= .
(2)已知函数f(x)=
若函数g(x)=f(x)-2有两个零点,则实数a的取值范围是 .
变式 (1)下列函数在区间(1,2)内存在零点的是 ( )
A.f(x)=x3
B.f(x)=x+ln x
C.f(x)=x2-2
D.f(x)=x2-ln x
(2)用二分法求函数f(x)=ln(x+1)+x-1在区间[0,1]上的零点,要求精确度为0.01时,所需二分区间的次数为 .
◆ 题型二 函数零点的应用
[类型总述] (1)利用函数零点求参数的值;(2)利用函数零点求参数的取值范围.
例2 (1)已知函数f(x)=当≤m<时,方程f(x)=-x+m的根的个数为 .
(2)设函数f(x)=若f(x1)=f(x2)=f(x3)且x1变式 (1)[2025·湖北黄冈高一期末] 已知函数f(x)=|2-x-1|,g(x)=且方程f(x)=m有两个不同的解,则实数m的取值范围为 ;关于x的方程g[f(x)]=m解的个数为 .
(2)[2024·新课标Ⅱ卷改编] 设函数f(x)=a(x+1)2-1,g(x)=cos x+2ax(a为常数),当x∈(-1,1)时,曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点,则a= .
◆ 题型三 函数模型及其应用
[类型总述] (1)已知函数模型解应用题;(2)选择函数模型解应用题.
例3 (1)(多选题)[2023·新课标Ⅰ卷] 噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级Lp=20×lg,其中常数p0(p0>0) 是听觉下限阈值,p是实际声压.下表为不同声源的声压级:
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 60~90
混合动力汽车 10 50~60
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则 ( )
A.p1≥p2 B.p2>10p3
C.p3=100p0 D.p1≤100p2
(2)[2025·福建莆田十五中高一期末] 随着经济发展,越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系,一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台,从建立起,得到了很多人的关注,也有越来越多的人成为平台的会员,主动在平台上进行学习.已知前四年,平台会员的人数如图所示.
(i)依据图中数据,从下列三种模型中选择一种恰当的模型估算建立平台x(x∈N*)年时平台会员的人数y(单位:千),并求出你选择模型的解析式;
①y=+b(t>0),②y=d·logrx+s(r>0且r≠1),③y=m·ax+n(a>0且a≠1).
(ii)为控制平台会员盲目扩大,平台规定无论怎样发展,会员不得超过k·(k>0)千人,请依据(i)中你选择的函数模型求k的最小值.
变式 [2025·江苏盐城五校联考] 为了节能减排,某企业决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备,并接入本企业的电网.安装这种供电设备的费用y(单位:万元)与太阳能电池板的面积x(单位:平方米)成正比,比例系数为0.5.为了保证正常用电,安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.设在此模式下,安装后该企业每年消耗的电费C(单位:万元)与安装的这种太阳能电池板的面积x(单位:平方米)之间的函数关系是C(x)=(k为常数).已知太阳能电池板的面积为4平方米时,每年消耗的电费为9.2万元,记F(x)(单位:万元)为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业15年所消耗的电费之和.
(1)求常数k的值.
(2)写出F(x)的解析式.
(3)当x为多少平方米时,F(x)取得最小值 最小值是多少万元 (共36张PPT)
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题型一 函数的零点与方程的根
题型二 函数零点的应用
题型三 函数模型及其应用
答案核查
题型一 函数的零点与方程的根
［类型总述］（1）求函数的零点;（2）判断函数零点或方程根的个
数;（3）利用二分法求函数零点或方程的近似解.
例1（1）方程的解所在的区间为 ，则
___.
3
[解析] 令，因为在 上单调递增，
，，所以 ，所以
有且仅有一个零点，且该零点在内，所以 .
（2）已知函数
若函数有两个零点，则实数 的取值范围是
____________.
[解析] 画出 ，
和 的图象，如图所示.
由解得.
由 ，解得 .
对于函数要使 与的图象
有两个交点，需满足 .
变式（1）下列函数在区间 内存在零点的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 对于A,因为在 内单调递增,且,
所以在 内不存在零点, 故A不符合题意;
对于B,因为在 内单调递增,且,所以
在内不存在零点,故B不符合题意;
√
对于C,令 ,解得,因为，
所以在 内存在零点,故C符合题意;
对于D,令 ,得
,在同一平面直角坐标系中作出函数
与 的图象如图所示,由图可知两函数
的图象在内无交点,所以 在
内不存在零点, 故D不符合题意.故选C.
（2）用二分法求函数在区间 上的零点，
要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数为___.
7
[解析] 初始区间 的长度等于1，每经过一次二分区间操作，区间
长度变为原来的一半，易知 ，
，则所需二分区间的次数为7.
题型二 函数零点的应用
［类型总述］（1）利用函数零点求参数的值;（2）利用函数零点求
参数的取值范围.
例2（1）已知函数当 时，方程
的根的个数为___.
[解析] 因为当时，，当时， ,所
以当时，；当 时，
；当 时，
；…；当 时，
.
方程 的根的个数即为方程的根的个数.
3
，此时方程
的根只有一个；
当时， ，此时方程
的根只有一个；
当 时，，此时方程
的根只有一个；
当时， ，此时方程
没有实数根.
易知当时， 没有实数根.
综上可知方程 的根的个数为3.
（2）设函数若 且
，则 的取值范围是__________________.
[解析] 作出函数 的
大致图象，如图所示.
且，
，，则， ，于是
.
，由对勾函数的性质可知， 在内
单调递增，
又, ，，
，
即 的取值范围是 .
变式（1）［2025·湖北黄冈高一期末］已知函数 ，
且方程 有两个不同的解，则实
数的取值范围为______；关于的方程 解的个数为___.
4
[解析] ① 由题
意可知，直线与函数 的图象有两
个不同的交点，作出直线与函数
的图象，如图甲所示，
由图可知，当时，直线 与函数的图象有两
个不同的交点，故 .
②方程中，设 ，则
方程为 ，作出函数
的大致图象与直线
，如图乙所示，
因为 ，所以函数的图象与直线有3个交点，
即方程 有三个根，，，其中，，
，
再结合的图象可知，方程有2个不同的根，方程
有1个根，方程有1个根.
综上所述，方程 有4个不同的解.
（2）［2024·新课标Ⅱ卷改编］设函数 ,
为常数,当时，曲线 与
恰有一个交点，则 ___.
2
[解析] 方法一：令 ，则
为偶函数，
因为当时，曲线与 恰有一个交点，所以
,得 .
方法二：令 ，得
，即
.
设 ,
,易知, 都为偶函数.
当时，,,故曲线与 无交点；
当时，作出与 的大致图象，如图所示，因为曲线
与恰有一个交点，且 ,所以
,则 .
题型三 函数模型及其应用
［类型总述］（1）已知函数模型解应用题;（2）选择函数模型解应
用题.
例3（1）（多选题）［2023· 新课标Ⅰ卷］ 噪声污染问题越来越受到
重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级 ，其中
常数是听觉下限阈值， 是实际声压.下表为不同声源的声压
级：
声源 与声源的距离/ 声压级/
燃油汽车 10
混合动力汽车 10
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车 处测得实际声压
分别为，， ，则( )
A. B. C. D.
√
√
√
[解析] 方法一：由题意可得燃油汽车的声压级
，所以, .
同理，,， .
对于A，由表知，可得，故A正确；
对于B， 得，所以 ，故B错误；
对于C，，即，故C正确；
对于D， 得，即,即
，故D正确.故选 .
方法二：因为 ，所以
，又因为
，所以，即，所以 ，故A正确；
同理， ，因为
，所以 ，即
，所以，则 ，故B错误；
因为，所以，则，即 ，所以
，故C正确；
因为，即 ，所以，即
，故D正确.故选 .
（2）［2025·福建莆田十五中高一期末］随
着经济发展，越来越多的家庭开始关注到
家庭成员的关系，一个以“从心定义家庭关
系”为主题的应用心理学的学习平台，从建
立起，得到了很多人的关注，也有越来越
多的人成为平台的会员，主动在平台上进行学习.已知前四年，平台
会员的人数如图所示.
（ⅰ）依据图中数据，从下列三种模型中选
择一种恰当的模型估算建立平台
年时平台会员的人数 （单位：千），并求
出你选择模型的解析式；
，
且 ，
且 .
解：从题图中数据可以得知，函数是一个增函数，故不可能是①，
函数增长的速度越来越快， 不满足题意，③满足题意，则应选择
且 .
将，， 代入上式可得
解得 则
，
易知 满足方程，, .
（2）［2025·福建莆田十五中高一期末］
随着经济发展，越来越多的家庭开始关注
到家庭成员的关系，一个以“从心定义家庭
关系”为主题的应用心理学的学习平台，从
建立起，得到了很多人的关注，也有越来
（ⅱ）为控制平台会员盲目扩大，平台规定无论怎样发展，会员不得
超过千人，请依据中你选择的函数模型求 的最小值.
越多的人成为平台的会员，主动在平台上进行学习.已知前四年，平
台会员的人数如图所示.
解：由可知, ，
故不等式对任意 恒成立，
对任意恒成立，
令，则,并设 ， ，
在上单调递增，，当且仅当 ，即
时取等号，，当且仅当 时取等号，的最小值为 .
变式 ［2025·江苏盐城五校联考］为了节能减排，某企业决定安装
一个可使用15年的太阳能供电设备，并接入本企业的电网.安装这种
供电设备的费用（单位：万元）与太阳能电池板的面积
（单位：平方米）成正比，比例系数为0.5.为了保证正常用电，安装
后采用太阳能和电能互补供电的模式.设在此模式下，安装后该企业
每年消耗的电费 （单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积
（单位：平方米）之间的函数关系是
为常数 .已知太阳能电池板的面积为4平方米时，每年消耗的电费为9.2万元，记 （单位：万元）为该企业安装这种太阳能供电设
备的费用与该企业15年所消耗的电费之和.
（1）求常数 的值.
解：由题意可得，，所以，解得，即
的值为200.
变式 ［2025·江苏盐城五校联考］为了节能减排，某企业决定安装
一个可使用15年的太阳能供电设备，并接入本企业的电网.安装这种
供电设备的费用（单位：万元）与太阳能电池板的面积
（单位：平方米）成正比，比例系数为0.5.为了保证正常用电，安装
后采用太阳能和电能互补供电的模式.设在此模式下，安装后该企业
每年消耗的电费 （单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积
（单位：平方米）之间的函数关系是
为常数 .已知太阳能电池板的面积为4平方米时，每年消耗的电费为9.2万元，记 （单位：万元）为该企业安装这种太阳能供电设
备的费用与该企业15年所消耗的电费之和.
（2）写出 的解析式.
解：由题意可知 ，
又由（1）得
当 时，
，
当时， ，
所以
变式 ［2025·江苏盐城五校联考］为了节能减排，某企业决定安装
一个可使用15年的太阳能供电设备，并接入本企业的电网.安装这种
供电设备的费用（单位：万元）与太阳能电池板的面积
（单位：平方米）成正比，比例系数为0.5.为了保证正常用电，安装
后采用太阳能和电能互补供电的模式.设在此模式下，安装后该企业
每年消耗的电费 （单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积
（单位：平方米）之间的函数关系是
为常数 .已知太阳能电池板的面积为4平方米时，每年消耗的电费为9.2万元，记 （单位：万元）为该企业安装这种太阳能供电设
备的费用与该企业15年所消耗的电费之和.
（3）当为多少平方米时， 取得最小值？最小值是多少万元？
解：当时， ，
易知在上单调递增，在上单调递减，所以此时
的最小值为 .
当 时，
，
当且仅当，即 时取等号.
因为，所以，即当为35平方米时， 取
得最小值，最小值为37.5万元.
快速核答案
题型一 例1 （1）3 （2） 变式 （1）C （2）7
题型二 例2 （1）3 （2） 变式 （1） 4 （2）2
题型三 例3 （1）ACD （2）（ⅰ）选择且，
, （ⅱ）
变式 （1）200 （2）
（3）当为35平方米时，取得最小值，最小值为37.5万元