习题课 函数零点的综合问题
1.(0,3] [解析] 作出函数y=f(x)和y=k的大致图象,如图所示.由图可知,f(x)在(-∞,0],(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减.关于x的方程f(x)=k恰有三个实数根等价于函数y=f(x)的图象与y=k的图象恰有三个交点,由图可知,要使函数y=f(x)的图象与y=k的图象恰有三个交点,需满足0
2. [解析] 令f(x)=0,可得sin(a|x|-1)=1,可知关于x的方程sin(a|x|-1)=1在区间(-1,1)内没有实根.因为x∈(-1,1),所以0≤|x|<1.若a=0,则a|x|-1=-1,则sin(a|x|-1)=sin(-1)≠1,符合题意;若a>0,则a|x|-1∈[-1,a-1),由题意可得a-1≤,所以03.04.B [解析] 由题意可得f(x)的零点为函数y=ex与y=2-x图象交点的横坐标.因为y=ex和y=x-2在R上单调递增,所以f(x)=ex+x-2在R上单调递增,所以x1为f(x)唯一的零点.设函数y=ex与y=2-x图象的交点为A.g(x)的零点为函数y=e4-x与y=x-2图象的交点的横坐标.因为y=e4-x和y=2-x在R上单调递减,所以g(x)=e4-x-x+2在R上单调递减,所以x2为g(x)唯一的零点.设函数y=e4-x与y=x-2图象的交点为B.因为y=ex与y=e4-x的图象关于直线x=2对称,y=2-x与y=x-2的图象关于直线x=2对称,所以A,B关于直线x=2对称,所以x1+x2=4.故选B.
5.C [解析] 画出函数f(x)=|log2x|的大致图象,如图所示,不妨设a6.2 [6,7) [解析] 因为f(x)=所以f(x)在(-∞,1),(2,+∞)上单调递减,在(1,2]上单调递增,且f(1)=0,f(2)=1,f(0)=1,f(4)=1,f(5)=0.由f(a)=f(b)=f(c),得0≤a<1,17.D [解析] 在同一平面直角坐标系内作出函数y=3x,y=ln x,y=x3及y=-x的大致图象,如图所示.f(x)=3x+x的零点x1可以看成函数y=3x与y=-x图象交点的横坐标,由图可知x1<0.g(x)=ln x+x的零点x2可以看成函数y=ln x与y=-x图象交点的横坐标,由图可知x2>0.h(x)=x3+x的零点x3可以看成函数y=x3与y=-x图象交点的横坐标,可得x3=0.因此x18.B [解析] 函数f(x)=x3+2x-1的零点为函数y=x3+3与y=4-2x的图象交点的横坐标,函数g(x)=log2x+2x-4的零点为函数y=log2x与y=4-2x的图象交点的横坐标,函数h(x)=2x+2x-4的零点为函数y=2x与y=4-2x的图象交点的横坐标.在同一平面直角坐标系内作出函数y=x3+3,y=log2x,y=2x与y=4-2x的图象,如图所示,由图可知,b>c>a.故选B.
9.证明:h(x)=ln x+sinx,当x∈(0,3]时,x∈,所以h(x)单调递增,
又h=sin-ln 2<0,h(1)=>0,所以由函数零点存在定理得,h(x)在(0,3]上有唯一零点x0.
当x∈(3,+∞)时,ln x>1,sinx≥-1,所以h(x)>0,故h(x)在(3,+∞)上无零点.
综上,h(x)在(0,+∞)上有且只有一个零点x0.
由上述分析知设φ(x)=,所以φ(x)<φ=,所以g[f(x0)]<.
10.解:(1)易知函数f(x)=ex-(a>0)在(0,+∞)上单调递增,因为f(x)在(1,2)上有零点,
所以f(1)=e-a<0,f(2)=e2->0,解得e即实数a的取值范围为(e,2e2).
(2)证明:因为=,所以x1=ln a-ln x1(x1>0),
即x1+ln x1=ln a.
因为=,a>0,x2>0,所以两边取对数得ln(ln x2-1)-1=ln a-ln x2,
所以ln(ln x2-1)+ln x2-1=ln a.
令φ(x)=ln x+x,则φ(x1)=φ(ln x2-1),
因为φ(x)=ln x+x在定义域内单调递增,
所以x1=ln x2-1(*),所以x2=,又因为x1+ln x1=ln a,所以x1=a,所以x1x2=x1=ae,
又x1≠x2(假设x1=x2,则(*)式为x1=ln x1-1,该方程无实数解,不符合题意,所以假设不成立,x1≠x2),
所以x1+x2>2=2.
11.解:(1)令f(x)==x,解得x=±1,则f(x)的“不动点”的取值集合为{-1,1}.
(2)因为f(x)=kx+3(k≠0),所以f[f(x)]=k(kx+3)+3=k2x+3k+3(k≠0).因为1是f(x)的“稳定点”,所以f[f(1)]=1,即k2+3k+3=1,即k2+3k+2=0,即(k+1)(k+2)=0,解得k=-1或k=-2.
(3)因为A≠ ,所以关于x的方程x2-x+a=0有实根,
则Δ=(-1)2-4a≥0,解得a≤.
由题意可知B={x|f[f(x)]=x}={x|x4+2ax2-x+a2+a=0}.因为A=B,所以关于x的方程x4+2ax2-x+a2+a=0与方程x2+a=x的解相同.
因为x4+2ax2-x+a2+a=(x2-x+a)(x2+x+a+1),
所以方程x2+x+a+1=0无解或方程x2+x+a+1=0的实根是方程x2+a=x的实根.当方程x2+x+a+1=0无解时,1-4(a+1)<0,解得a>-.
当方程x2+x+a+1=0的实根是方程x2+a=x的实根时,由x2+a=x,得x2=x-a,代入方程x2+x+a+1=0,得x-a+x+a+1=0,解得x=-.
将x=-代入方程x2+a=x,得a=-.综上,a的取值范围是.习题课 函数零点的综合问题
类型一 已知函数零点求参数取值范围
1.函数f(x)=若关于x的方程f(x)=k恰有三个实数根,则k的取值范围是 .
2.已知函数f(x)=sin(a|x|-1)-1在区间(-1,1)内没有零点,则实数a的取值范围是 .
3.已知函数f(x)=若关于x的方程[f(x)]2-2f(x)+m=0有5个实数根,则m的取值范围为 .
类型二 求与零点的和有关的值或取值范围问题
4.已知x1是函数f(x)=ex+x-2的零点,x2是函数g(x)=e4-x-x+2的零点,则x1+x2的值为 ( )
A.3 B.4
C.5 D.6
5.已知函数f(x)=|log2x|,若a≠b,且f(a)=f(b),则2a+b的最小值为 ( )
A. B.2
C.2 D.4
6.已知函数f(x)=若实数a,b,c(a类型三 比较零点的大小
7.已知函数f(x)=3x+x,g(x)=ln x+x,h(x)=x3+x的零点分别为x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系为 ( )
A.x1C.x28.已知函数f(x)=x3+2x-1,g(x)=log2x+2x-4,h(x)=2x+2x-4的零点分别为a,b,c,则 ( )
A.a>b>c B.b>c>a
C.a>c>b D.c>a>b
类型四 与零点有关的证明问题
9.(13分)已知函数f(x)=sinx,g(x)=,h(x)=ln x+f(x),证明:h(x)在(0,+∞)上有且只有一个零点x0,且g[f(x0)]<.
10.(13分)已知函数f(x)=ex-(a>0).
(1)若f(x)在(1,2)上有零点,求实数a的取值范围;
(2)记f(x)的零点为x1,g(x)=-的零点为x2,求证:x1+x2>2.
类型五 与零点有关的新定义问题
11.(13分)对于函数f(x),若f(x0)=x0,则称x0为f(x)的“不动点”,若f[f(x0)]=x0,则称x0为f(x)的“稳定点”.
(1)已知函数f(x)=,求f(x)的“不动点”的取值集合;
(2)已知函数f(x)=kx+3(k≠0),且1是f(x)的“稳定点”,求k的值;
(3)已知函数f(x)=x2+a,记f(x)的“不动点”的取值集合为A,f(x)的“稳定点”的取值集合为B,若A=B≠ ,求a的取值范围.(共25张PPT)
习题课 函数零点的综合问题
类型一 已知函数零点求参数取值范围
类型二 求与零点的和有关的值或取值范围问题
类型三 比较零点的大小
类型四 与零点有关的证明问题
类型五 与零点有关的新定义问题
答案核查
类型一 已知函数零点求参数取值范围
1.函数若关于的方程 恰有三个实数
根，则 的取值范围是______.
[解析] 作出函数和 的大致图象，如图所示.
由图可知，在,上单调递增，在上单调递减.
关于 的方程恰有三个实数根等价于函数的图象与
的图象恰有三个交点，
由图可知，要使函数的图象与 的图象恰有三个交点，
需满足，所以的取值范围为 .
2.已知函数在区间 内没有零点，则实
数 的取值范围是______________．
[解析] 令，可得，可知关于 的方程
在区间内没有实根.
因为 ，所以.
若，则 ，则，符合题意；
若 ，则，由题意可得，所以
；
若，则，由题意可得 ，所以
.
综上所述，实数的取值范围是 .
3.已知函数若关于 的方程
有5个实数根，则 的取值范围为___________．
[解析] 作出 的图象，如
图所示.
令，因为关于 的方程
有5个实数根，所以关于 的方程有两个不相等的
实数根，，而且， 之间满足且，或
且，或 且.
令，当且 时，
可得即解得 ；
当且时， ，此时方程即为
，解得， ，不符合题意；
当且 时，，解得 ，此时方程
即为，解得 ，不符合题意.
综上可得，的取值范围为 ．
类型二 求与零点的和有关的值或取值范围问题
4.已知是函数的零点， 是函数
的零点，则 的值为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
√
[解析] 由题意可得的零点为函数与 图象交点的
横坐标.
因为和在 上单调递增，所以在上
单调递增，所以为 唯一的零点.
设函数与图象的交点为
的零点为函数 与图象的交点的横坐标.
因为和在 上单调递减，所以
在上单调递减，所以为 唯一的零点.
设函数与图象的交点为.
因为 与的图象关于直线对称，与
的图象关于直线对称，所以,关于直线对称，所
以 .故选B.
5.已知函数，若，且，则 的最
小值为( )
A. B.2 C. D.4
[解析] 画出函数 的大致图象，如
图所示，
不妨设，则 ，由
，得 ，则
，即，所以 .
因为函数在上单调递减，在 上单调递增，
所以当时，取得最小值，即的最小值为 .
故选C.
√
6.已知函数若实数,, 满足
，则___， 的取值范围是______.
[解析] 因为所以在， 上
单调递减，在上单调递增，且，， ，
，.
由，得, , ，当
时，，则此时 的图象关于直线对称，
故，则 .
类型三 比较零点的大小
7.已知函数,, 的零点分别
为，，，则，， 的大小关系为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 在同一平面直角坐标系内作出函数
，，及 的大致图
象，如图所示.
的零点 可以看成函数
与 图象交点的横坐标，由图可知
的零点 可以看成函数与 图象交点的
横坐标，由图可知
的零点可以看成函数与 图象交点的横
坐标，可得.因此 .故选D.
8.已知函数, ,
的零点分别为,, ，则( )
A. B. C. D.
√
[解析] 函数 的零点为函数
与 的图象交点的横坐标，
函数的零点为函数
与 的图象交点的横坐标，
函数的零点为函数与 的图象交点的
横坐标.
在同一平面直角坐标系内作出函数， ，与
的图象，如图所示，
由图可知， .故选B.
类型四 与零点有关的证明问题
9.（13分）已知函数, ，
，证明：在上有且只有一个零点 ，
且 .
证明：，当时，，所以
单调递增，
又， ，所以由函数零点存在定
理得，在上有唯一零点 .
当时，，，所以，故 在
上无零点.
综上，在上有且只有一个零点 .
由上述分析知且，所以 ，
则 ，
设，，则易知在 上单调递减，
所以，所以 .
10.（13分）已知函数 ．
（1）若在上有零点，求实数 的取值范围；
解：易知函数在上单调递增，
因为 在 上有零点，
所以,，解得 ，
即实数的取值范围为 .
10.（13分）已知函数 ．
（2）记的零点为，的零点为 ，求证：
．
证明：因为，所以 ，
即 .
因为,, ，所以两边取对数得
，
所以 .
令，则 ，
因为 在定义域内单调递增，
所以，所以，
又因为 ，所以,所以 ，
又（假设，则（）式为 ，该方程无实
数解，不符合题意，所以假设不成立， ），
所以 .
类型五 与零点有关的新定义问题
11.（13分）对于函数，若，则称为 的“不动点”，
若，则称为 的“稳定点”.
（1）已知函数，求 的“不动点”的取值集合；
解：令，解得，则 的“不动点”的取值集合为
, .
11.（13分）对于函数，若，则称为 的“不动点”，
若，则称为 的“稳定点”.
（2）已知函数，且1是的“稳定点”，求 的值；
解：因为 ，所以
.
因为1是 的“稳定点”，所以，即，
即 ，即，解得或 .
11.（13分）对于函数，若，则称为 的“不动点”，
若，则称为 的“稳定点”.
（3）已知函数，记的“不动点”的取值集合为 ,
的“稳定点”的取值集合为，若 ，求 的取值范围.
解：因为 ，所以关于的方程 有实根，
则，解得 .
由题意可知 .
因为，所以关于的方程 与方程
的解相同.
因为 ，
所以方程无解或方程 的实根是
方程的实根.
当方程 无解时，，解得 .
当方程的实根是方程 的实根时，由
，得，代入方程 ，得
，解得 .
将代入方程，得.综上， 的取值范围是
.
快速核答案
类型一 1. 2. 3.
类型二 4.B 5.C 6.
类型三 7.D 8.B
类型四 9.证明略 10.（1）（2）证明略
类型五 11.（1）, （2）或 （3）