专题 数学建模与数学探究
1.分析问题:根据表中的数据画出散点图.观察发现,这些点的连线是一条向上凸出的曲线.
根据这些点的分布情况,可以考虑用模型y=mlog2x+n来近似刻画x与y的函数关系.
解决问题:
(1)最符合实际的函数模型为①y=mlog2x+n,理由如下.
根据所给数据知函数解析式需满足在[1,+∞)上有定义,所以②y=m+n不符合实际,
又随着时间x的增加,会员人数y增加速度越来越慢,所以③y=2x-m+n不符合实际.
只有①y=mlog2x+n同时满足上述两个要求,故y=mlog2x+n最符合实际.
(2)选取表格中的两组数据(1,2),(2,5),
代入y=mlog2x+n得解得即y=3log2x+2.
当y=14时,3log2x+2=14,解得x=16,所以可预测第16个月,会员人数达到14万人.
2.分析问题:从函数角度去研究,把速度看作横坐标, 耗电量看作纵坐标,建立直角坐标系.根据数据画出散点图,结合散点图,发现模型M(v)=1000+a,M(v)=300logav+b不满足题意.
解决问题:
(1)对于M(v)=300logav+b,当v=0时,它无意义,所以不合题意.
对于M(v)=1000+a,易知该函数是减函数,所以不合题意.
所以选M(v)=v3+bv2+cv,由表中数据可得解得c=150,b=-2,所以当0≤v≤60时,M(v)=v3-2v2+150v.
(2)国道路段长为40 km,所用时间为 h,
所耗电量f(v)=·M(v)=·=v2-80v+6000=(v-40)2+4400,
因为0≤v≤60,所以当v=40时,f(v)min=4400(Wh).
高速路段长为50 km,所用时间为 h,
所耗电量g(v)=·N(v)=·(v2-60v+6400)=50×≥50×=5000,当且仅当v=,即v=80时等号成立,
所以g(v)min=g(80)=5000(Wh).
故当这辆车在国道上的行驶速度为40 km/h,在高速路上的行驶速度为80 km/h时,
该车从A地到B地的总耗电量最少,最少为4400+5000=9400(Wh).专题 数学建模与数学探究
一、数学建模与数学探究的概念
1.数学建模
数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建数学模型解决问题的过程.
2.数学探究
数学探究是围绕某个具体的数学问题,开展自主探究、合作研究并最终解决数学问题的过程.
二、数学建模与数学探究的基本步骤与表现
数学建模的主要过程(如图)包括:
在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题,分析问题、构建模型,求解模型,验证结果并改进模型,最终解决实际问题.
数学探究具体表现为:发现和提出有意义的数学问题,猜测合理的数学结论,提出解决问题的思路和方案,通过自主探索或合作研究论证数学结论.
三、数学建模活动的主要过程
1.选题
“选题”就是选定研究的问题,选题来源有三:
(1)阅读已有的研究论文,用同样的方法研究类似的问题.
(2)研究已有的论文,换个视角、增加问题的复杂性,进一步研究相关问题.
(3)用数学的眼光观察世界,发现研究新的问题.
2.开题
“开题”是进一步明确研究的问题和设计解决问题的方案.
开题主要做的工作是:
(1)明确研究的问题,说明问题研究的价值,估计可能的结果;
(2)选择研究方法,确定人员分工,形成研究的实施方案;
(3)完成开题报告.
3.做题
“做题”是研究者(研究小组)建立数学模型、用数学解决实际问题的实践活动.做题要注意两个问题:
(1)建立恰当的数学模型;
(2)获取客观真实的数据.
4.结题
“结题”是研究小组向老师和同学们报告研究成果、进行答辩的过程.
一、数学建模实例
1.观察实际情景,发现和提出问题
登山既可以游览户外美景,又可以锻炼身体,一举多得.从身体需氧的角度讲,当大气压低于0.65个标准大气压时,就会比较危险,那么常人登山的高度控制在多少米之内比较安全呢
2.收集数据
设海平面上(海拔高度为0米)是一个标准大气压,随着海拔高度的增加,气压越来越低.当海拔高度为1000米时,约为0.891个标准大气压;当海拔高度为10 000米时,约为0.317个标准大气压;当海拔高度为20 000米时,约为0.102个标准大气压.
3.分析数据
设海拔高度为x千米的地方,气压为y个标准大气压.根据上面搜集到的数据,画出散点图,根据图象找出合适的函数模型进行拟合.根据散点图可知,y随x的增加而减小,且依题意,函数不可能是一次函数,也不可能是反比例函数,而选用指数型函数较适合.选择函数y=kax(k≠0,a>0且a≠1)来近似地刻画大气压强随海拔高度变化的规律.
4.建立模型
设y=kax(k≠0,a>0且a≠1),由x=0时,y=1,知k=1,即y=ax.
由0.891=a1,得a=0.891;由0.317=a10,得a≈0.891;
由0.102=a20,得a≈0.892.所以y≈0.891x.
故得到一个函数模型y=0.891x.
5.检验模型
根据查到的海拔高度与大气压强的数值对换表,可以知道这个函数模型与实际数据基本吻合.
6.求解问题
设0.65=0.891x,构造函数g(x)=0.891x-0.65,
用二分法求此函数的零点x0:
g(5)<0,g(0)>0,x0∈(0,5);
g(2.5)>0,g(5)<0,x0∈(2.5,5);
g(3.75)<0,g(2.5)>0,x0∈(2.5,3.75);
g(3.125)>0,g(3.75)<0,x0∈(3.125,3.75);
g(3.437 5)>0,g(3.75)<0,x0∈(3.437 5,3.75);
g(3.593 75)>0,g(3.75)<0,x0∈(3.593 75,3.75);
g(3.671 875)>0,g(3.75)<0,x0∈(3.671 875,3.75);
g(3.710 937 5)>0,g(3.75)<0,x0∈(3.710 937 5,3.75);
g(3.730 468 75)>0,g(3.75)<0,x0∈(3.730 468 75,3.75);
g(3.740 234 375)<0,g(3.730 468 75)>0,x0∈(3.730 468 75,3.740 234 375).
可取x0≈3.73≈3.7,所以从身体需氧的角度讲,当大气压低于0.65个标准大气压时,常人登山的高度控制在3700米之内比较安全.
二、数学建模活动研究报告
建立人口增长模型解决实际问题
年 班 研究报告:2025年2月6日
课题名称 某城市人口增长与人口控制
课题组成 员及分工
实际 问题 某城市现有人口200万人,如果年自然增长率为0.9%,试解答下面的问题: (1)写出该城市人口总数y(万)与年数x(年)的函数关系式; (2)估算8年后该城市的人口总数(精确到0.01万)
建立函数 关系式 y=200×(1+0.9%)x
分析与 解答 (1)1年后该城市人口总数为 y=200+200×0.9%=200×(1+0.9%)(万), 2年后该城市人口总数为 y=200×(1+0.9%)+200×(1+0.9%)×0.9%=200×(1+0.9%)2(万), 3年后该城市人口总数为 y=200×(1+0.9%)2+200×(1+0.9%)2×0.9%=200×(1+0.9%)3(万), …, x年后该城市人口总数为y=200×(1+0.9%)x(万). (2)估算8年后该城市的人口总数为y=200×(1+0.9%)8=200×1.0098≈214.86(万)
说明与 解释
指导教师 审核意见
到附近的商店、工厂、学校做实际调查,了解函数在实际中的应用,把遇到的实际问题转化为函数关系、并作出解答,写出研究报告.
1.[2025·福建宁德高一期末] 近几年,直播平台作为一种新型的学习渠道,正逐渐获得越来越多人的关注和喜爱.某平台从2024年初建立开始,得到了很多网民的关注,会员人数逐月增加,有关数据如下表所示:
建立平台第x个月 1 2 3 4 5
会员人数y(万) 2 5 6.7 8 8.9
为了描述从第1个月开始会员人数y随x的变化关系,现有以下三种函数模型供选择:
①y=mlog2x+n,②y=m+n,③y=2x-m+n.
(1)选出最符合实际的函数模型,并说明理由;
(2)请选取表格中的两组数据,求出你选择的函数模型的解析式,并预测第几个月会员人数达到14万.
2.[2025·贵州安顺高一期末] 某单位积极倡导“环保生活,低碳出行”,其中电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号电动汽车,在一段平坦的国道进行测试,国道限速60 km/h.经多次测试得到该汽车每小时耗电量M(单位:Wh)与速度v(单位: km/h)的一组数据如表所示:
v 0 20 30 40
M 0 2400 3375 4400
为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系,现有以下三种函数模型供选择:M(v)=v3+bv2+cv,M(v)=1000+a,M(v)=300logav+b.
(1)当0≤v≤60时,请选出你认为最符合表格所列数据的函数模型,并求出相应的函数解析式.
(2)现有一辆该型号汽车从A地驶到B地,前一段是40 km的国道,后一段是50 km的高速路,已知高速路上该汽车每小时耗电量N(单位:Wh)与速度v(单位:km/h)的关系是N(v)=v2-60v+6400(60专题 数学建模与数学探究
◆
◆
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建模与探究梳理
建模与探究初探
建模应用
答案核查
一、数学建模与数学探究的概念
1.数学建模
数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数
学知识与方法构建数学模型解决问题的过程.
2.数学探究
数学探究是围绕某个具体的数学问题，开展自主探究、合作研究并
最终解决数学问题的过程.
二、数学建模与数学探究的基本步骤与表现
数学建模的主要过程（如图）包括：
在实际情境中从数学的视角发现问题、提出
问题，分析问题、构建模型，求解模型，验
证结果并改进模型，最终解决实际问题.
数学探究具体表现为：发现和提出有意义的
数学问题，猜测合理的数学结论，提出解决
问题的思路和方案，通过自主探索或合作研
究论证数学结论.
三、数学建模活动的主要过程
1.选题
“选题”就是选定研究的问题，选题来源有三：
（1）阅读已有的研究论文，用同样的方法研究类似的问题.
（2）研究已有的论文，换个视角、增加问题的复杂性，进一步研究
相关问题.
（3）用数学的眼光观察世界，发现研究新的问题.
2.开题
“开题”是进一步明确研究的问题和设计解决问题的方案.
开题主要做的工作是：
（1）明确研究的问题，说明问题研究的价值，估计可能的结果；
（2）选择研究方法，确定人员分工，形成研究的实施方案；
（3）完成开题报告.
3.做题
“做题”是研究者（研究小组）建立数学模型、用数学解决实际问题
的实践活动.做题要注意两个问题：
（1）建立恰当的数学模型；
（2）获取客观真实的数据.
4.结题
“结题”是研究小组向老师和同学们报告研究成果、进行答辩的过程.
一、数学建模实例
1.观察实际情景，发现和提出问题
登山既可以游览户外美景，又可以锻炼身体，一举多得.从身体需氧
的角度讲，当大气压低于0.65个标准大气压时，就会比较危险，那么
常人登山的高度控制在多少米之内比较安全呢？
2.收集数据
设海平面上（海拔高度为0米）是一个标准大气压，随着海拔高度的
增加，气压越来越低.当海拔高度为1000米时，约为0.891个标准大气
压；当海拔高度为10 000米时，约为0.317个标准大气压；当海拔高
度为20 000米时，约为0.102个标准大气压.
3.分析数据
设海拔高度为千米的地方，气压为 个标准大气压.根据上面搜集到
的数据，画出散点图，根据图象找出合适的函数模型进行拟合.根据
散点图可知，随 的增加而减小，且依题意，函数不可能是一次函
数，也不可能是反比例函数，而选用指数型函数较适合.选择函数
，且 来近似地刻画大气压强随海拔高度变
化的规律.
4.建立模型
设，且,由时，，知 ,即
.
由,得;由，得 ;
由,得.所以 .
故得到一个函数模型 .
5.检验模型
根据查到的海拔高度与大气压强的数值对换表，可以知道这个函数
模型与实际数据基本吻合.
6.求解问题
设,构造函数 ,
用二分法求此函数的零点
,, ；
,, ；
,, ；
,, ；
,, ；
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,, ；
,, ；
,, ；
, ,
.
可取 ，所以从身体需氧的角度讲，当大气压低于0.65
个标准大气压时，常人登山的高度控制在3700米之内比较安全.
二、数学建模活动研究报告
建立人口增长模型解决实际问题
__________年__________班 研究报告：2025年2月6日
课题名称 某城市人口增长与人口控制
课题组成 员及分工
实际问题
建立函数 关系式
续表
分析与解答
续表
分析与解答
续表
说明与解释
指导教师审 核意见
到附近的商店、工厂、学校做实际调查，了解函数在实际中的应用，
把遇到的实际问题转化为函数关系、并作出解答，写出研究报告.
续表
1.［2025·福建宁德高一期末］近几年，直播平台作为一种新型的学
习渠道，正逐渐获得越来越多人的关注和喜爱.某平台从2024年初建
立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐月增加，有关数据如
下表所示：
1 2 3 4 5
2 5 6.7 8 8.9
为了描述从第1个月开始会员人数随 的变化关系，现有以下三种函
数模型供选择：
，， .
（1）选出最符合实际的函数模型，并说明理由；
（2）请选取表格中的两组数据，求出你选择的函数模型的解析式，
并预测第几个月会员人数达到14万.
分析问题：根据表中的数据画出散点图.观察发现,这些点的连
线是一条向上凸出的曲线.
根据这些点的分布情况,可以考虑用模型来近似刻画
与 的函数关系.
解决问题:
（1）最符合实际的函数模型为 ，理由如下.
根据所给数据知函数解析式需满足在 上有定义，所以
不符合实际，
又随着时间的增加，会员人数 增加速度越来越慢，所以
不符合实际.
只有同时满足上述两个要求，故
最符合实际.
（2）选取表格中的两组数据， ，
代入得解得 即
.
当时，，解得 ，所以可预测第16个月，
会员人数达到14万人.
2.［2025·贵州安顺高一期末］某单位积极倡导“环保生活，低碳出
行”，其中电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号电动汽车，在
一段平坦的国道进行测试，国道限速 .经多次测试得到该汽
车每小时耗电量单位：与速度单位： 的一组数据如
表所示：
0 20 30 40
0 2400 3375 4400
为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种
函数模型供选择： ，
， .
（1）当 时，请选出你认为最符合表格所列数据的函数模
型，并求出相应的函数解析式.
（2）现有一辆该型号汽车从地驶到地，前一段是 的国道，
后一段是的高速路，已知高速路上该汽车每小时耗电量
单位：与速度单位： 的关系是
，则如何行驶才能使得总耗
电量最少？最少为多少
分析问题:从函数角度去研究,把速度看作横坐标, 耗电量看作
纵坐标,建立直角坐标系.
根据数据画出散点图,结合散点图,发现模型
， 不满足题意.
解决问题:
（1）对于，当 时，它无意义，所以不合
题意.
对于 ，易知该函数是减函数，所以不合题意.
所以选 ，
由表中数据可得解得，
，所以当时， .
（2）国道路段长为，所用时间为 ，
所耗电量 ，
因为，所以当时， .
高速路段长为，所用时间为 ，
所耗电量 ，
当且仅当，即 时等号成立，
所以 .
故当这辆车在国道上的行驶速度为 ，在高速路上的行驶速度
为 时，该车从地到 地的总耗电量最少，最少为
.
快速核答案
（1）最符合实际的函数模型为，理由略
（2）选取表格中的两组数据，，.预测第16个月，会员
人数达到14万人.
2. （1）选，.
（2）当这辆车在国道上的行驶速度为，在高速路上的行驶速度为时，
该车从地到地的总耗电量最少，最少为
