第7章 三角函数
7.1 角与弧度
7.1.1 任意角
【课前预习】
知识点一
1.它的端点 2.(1)逆时针 (2)顺时针 (3)重合
3.相同 相等 相同的量
4.α+β 加法 相反角 (-β)
知识点二
角的顶点 始边 终边 坐标轴
诊断分析
(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ (6)√ (7)√
知识点三
{β|β=k·360°+α,k∈Z} 整数个
诊断分析
1.(1)√ (2)× (3)√ (4)√ [解析] (3)因为在-360°~0°范围内,终边在y轴的负半轴上的角为-90°角,所以终边在y轴的负半轴上的角α的集合是{α|α=k·360°-90°,k∈Z}.
(4)因为在0°~360°范围内,第三象限角的范围是180°~270°(不含180°和270°),所以由终边相同的角的表示方法知,角α的集合表示为{α|k·360°+180°<α2.解:终边相同的角不一定相等,它们可以相差360°的整数倍;相等的角终边相同.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)②③ (2)-900° (3)顺 20° 360°
[解析] (1)①中,90°的角既不是第一象限角,也不是第二象限角,故①不正确;②中,始边相同而终边不同的角一定不相等,故②正确;③中,分针转一周为60分钟,转过的角为-360°,将分针拨慢是逆时针旋转,则拨慢10分钟转过的角为360°×=60°,故③正确;④中,0°角小于180°,但它既不是钝角,也不是直角或锐角,故④不正确.故填②③.
(2)所求分针转过的角度为(-360°)×=-900°.
(3)因为负角是按顺时针方向旋转形成的角,所以-20°角是按顺时针方向旋转20°所成的角.按逆时针方向旋转形成的角是正角,故体操运动员按逆时针方向旋转360°所成的角是360°.
探究点二
例2 (1)C (2)C [解析] (1)α=583°=360°+223°,其中180°<223°<270°,故α是第三象限角.故选C.
(2)方法一:α是第一象限角,则90°-α是第一象限角,90°+α是第二象限角,360°-α是第四象限角,180°+α是第三象限角,故选C.
方法二:因为α是第一象限角,所以可设α=30°,则90°-α=60°是第一象限角,90°+α=120°是第二象限角,360°-α=330°是第四象限角,180°+α=210°是第三象限角,故选C.
变式 (1)ABC [解析] 对于A,-75°=285°-360°,285°是第四象限角,则-75°是第四象限角,A正确;对于B,225°是第三象限角,B正确;对于C,475°=115°+360°,115°是第二象限角,则475°是第二象限角,C正确;对于D,-225°=135°-360°,135°是第二象限角,则-225°是第二象限角,D错误.故选ABC.
(2)解:∵α是第一象限角, ∴k·360°<α①-k·360°-90°<-α<-k·360°(k∈Z), ∴-α是第四象限角.
②2k·360°<2α<2k·360°+180°(k∈Z),∴2α是第一象限角或第二象限角或终边落在y轴非负半轴上的角.
③k·120°<方法一(分类讨论):当k=3n(n∈Z)时,n·360°<当k=3n+1(n∈Z)时,n·360°+120°<当k=3n+2(n∈Z)时,n·360°+240°<综上可知,是第一、第二或第三象限角.
方法二(几何法):如图,先将各象限分成3等份,再从x轴的正半轴的上方起,沿逆时针方向将各区域依次循环标上1,2,3,4,则标有1的区域(不含边界)即为的终边所在的区域,故为第一、第二或第三象限角.
探究点三
例3 (1)D [解析] 由题意可知,α=k1·360°+65°(k1∈Z),β=k2·360°-115°(k2∈Z),所以α+β=(k1+k2)·360°-50°,α-β=(k1-k2)·360°+180°,故α+β=k·360°-50°,α-β=k·360°+180°(k∈Z).故选D.
(2)解:①由1937°除以360°,得商为5,余数为137°,∴取k=5,β=137°,则α=5×360°+137°.
又β=137°是第二象限角,∴α为第二象限角.
②与α的终边相同的角为k·360°+1937°(k∈Z).令0°≤k·360°+1937°<1080°,且k∈Z,∴k=-5,-4,-3,依次代入k·360°+1937°中,得角θ的可能取值为137°,497°,857°,则θ的所有可能取值组成的集合为{137°,497°,857°}.
③由②知,与α的终边相同的角γ=k·360°+1937°(k∈Z),则当k=-6时,γ取得最大负角-223°;当k=-5时,γ取得最小正角137°.
变式 (1)A (2)ABC [解析] (1)因为角α的终边与角θ的终边关于x轴对称,所以角-α的终边与角θ的终边相同,可得θ=-α+k·360°(k∈Z),则α+θ=k·360°(k∈Z),所以α+θ的终边在x轴正半轴.故选A.
(2)A选项,因为677°=360°×2-43°,所以-43°和677°终边相同;B选项,因为-1260°=-360°×6+900°,所以900°和-1260°终边相同;C选项,因为960°=360°×3-120°,所以-120°和960°终边相同;D选项,因为630°=360°+270°,所以150°和630°终边不相同.故选ABC.
探究点四
例4 解:(1)终边落在射线OA上的角的集合为{α|α=90°+45°+k·360°,k∈Z}={α|α=135°+k·360°,k∈Z},终边落在射线OB上的角的集合为{α|α=-30°+k·360°,k∈Z}.
(2)由题图可知,终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合为{α|-30°+k·360°≤α≤135°+k·360°,k∈Z}.
变式 (1)C (2){α|n·180°+30°<α[解析] (1)终边在阴影部分的两个边界的角的集合分别为{α|α=-45°+k·360°,k∈Z},{α|α=120°+k·360°,k∈Z},则终边在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°,k∈Z}.故选C.
(2)在0°~360°范围内,角α满足30°<α<150°或210°<α<330°.所以角α的集合为{α|k·360°+30°<α7.1 角与弧度
7.1.1 任意角
1.B [解析] 终边相同的角不一定相等,所以选项A错误;钝角一定是第二象限角,所以选项B正确;第四象限角不一定是负角,如330°角是第四象限角,但不是负角,所以选项C错误;小于90°的角不都是锐角,如-60°,所以选项D错误.故选B.
2.D [解析] 因为1370°=3×360°+290°,所以角α的终边落在第四象限.故选D.
3.B [解析] 480°是第二象限角且大于90°,但不是钝角,A错误;钝角一定大于90°,但大于90°的角不一定是钝角,故B是C的真子集,B正确,D错误;-210°是第二象限角,但小于90°,C错误.故选B.
4.C [解析] 在0°~360°范围内,终边在直线y=x上的角为60°角和240°角,与60°角终边相同的角为k·360°+60°,k∈Z,与240°角终边相同的角为k·360°+240°,k∈Z,所以终边在直线y=x上的角α可表示为α=n·180°+60°,n∈Z,故角α的集合是{α|α=n·180°+60°,n∈Z}.故选C.
5.C [解析] 因为α是第二象限角,所以k·360°+90°<α6.ABC [解析] 对于A,495°=135°+360°是第二象限角,但不是钝角,故A中说法错误;对于B,α=135°是第二象限角,β=360°+45°是第一象限角,但α<β,故B中说法错误;对于C,α=360°,β=720°,则α≠β,但二者终边重合,故C中说法错误;对于D,角α与角β的终边在一条直线上,则二者的终边重合或互为反向延长线,故α-β=k·180°(k∈Z),故D中说法正确.故选ABC.
7.240° [解析] 与-120°终边相同的角为α=-120°+k·360°,k∈Z,由0°≤-120°+k·360°<360°,k∈Z,得≤k<,又k∈Z,所以k=1,此时α=-120°+360°=240°.
8. -100° -1200° [解析] 因为时针、分针都按顺时针方向旋转,所以时针每小时转过的角的度数为-30°,分针每小时转过的角的度数为-360°,所以时钟走了3小时20分时,时针转过的角的度数为×(-30°)=-100°,分针转过的角的度数为×(-360°)=-1200°.
9.解:(1)由2026°除以360°,得商为5,余数为226°,∴取k=5,β=226°,则α=5×360°+226°.
又β=226°是第三象限角,∴α为第三象限角.
(2)与α的终边相同的角为k·360°+226°(k∈Z),
令-360°≤k·360°+226°<720°,且k∈Z,
∴k=-1,0,1,将此代入k·360°+226°中,得角θ的值分别为-134°,226°,586°,
则所有θ的值组成的集合为{-134°,226°,586°}.
(3)由(2)知,与α的终边相同的最大负角为-134°,最小正角为226°.
10.解:(1)S={α|α=45°+k·360°,k∈Z}∪{α|α=225°+k·360°,k∈Z}={α|α=45°+n·180°,n∈Z},
M={45°,225°,405°,585°,765°,945°}.
(2)终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S1={β|β=30°+k·180°,k∈Z},
180°-75°=105°,则终边在105°角的终边所在直线上的角的集合为S2={γ|γ=105°+k·180°,k∈Z},
因此终边在题图中的阴影区域内的角α的取值范围是30°+k·180°≤α<105°+k·180°,k∈Z,
所以15°+k·90°≤<52.5°+k·90°,k∈Z,所以角的取值范围是[15°+k·90°,52.5°+k·90°),k∈Z.
11.C [解析] 在-180°~180°范围内阴影部分两条边界所在的终边对应的角分别为-60°和135°,所以在-180°~180°范围内终边在阴影部分的角的集合是{α|-60°≤α≤135°},所以终边在阴影部分的角的集合为{α|-60°+k·360°≤α≤135°+k·360°,k∈Z}.故选C.
12.D [解析] 因为115°角的终边与65°角的终边关于y轴对称,所以α=k·360°+115°(k∈Z).故选D.
13.ACD [解析] 由条件知α=θ+45°+k1·360°(k1∈Z),β=θ-45°+k2·360°(k2∈Z),将以上两式相减消去θ,得α-β=(k1-k2)·360°+90°=k·360°+90°(k1,k2∈Z,k1-k2=k),当k=0时,α-β=90°;当k=1时,α-β=450°;当k=9时,α-β=3330°.故选ACD.
14.一、三 [解析] 依题意,得k·360°+40°≤α≤k·360°+140°,k∈Z,所以k·180°+20°≤≤k·180°+70°,k∈Z,当k为偶数时,的终边在第一象限;当k为奇数时,的终边在第三象限.
15.AD [解析] 因为M={x|x=90°·k+45°,k∈+1)·45°,k∈Z},P={x|x=45°·k+45°,k∈+1)·45°,k∈Z},所以M P,P∪M=P.故选AD.
16.解:∵0°<θ<180°,且k·360°+180°<2θ∵14θ=n·360°,n∈Z,∴θ=,n∈Z,∴90°<<135°,n∈Z,
∴当n=4时,θ=;当n=5时,θ=.
故θ=或θ=.第7章 三角函数
7.1 角与弧度
7.1.1 任意角
【学习目标】
了解任意角的概念.
◆ 知识点一 任意角
1.角的概念:平面内一条射线绕着 从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.
2.角的分类:
(1)正角:按 方向旋转所形成的角;
(2)负角:按 方向旋转所形成的角;
(3)零角:如果射线没有做任何旋转,那么也把它看成一个角,叫作零角.零角的始边与终边 .
3.相等角与相反角: 设角α 由射线OA绕端点O旋转而成,角β 由射线O'A'绕端点O'旋转而成.如果它们的旋转方向 且旋转量 ,那么就称α=β.射线OA绕端点O分别按逆时针方向、顺时针方向旋转 所成的两个角称为互为相反角.角α 的相反角记为-α.
4.角的加法与减法:对于两个任意角α,β,将角α 的终边旋转角β(当β是正角时,按逆时针方向旋转;当β是负角时,按顺时针方向旋转;当β是零角时,不旋转),这时终边所对应的角称为α与β的和,记作 .角的减法可以转化为角的 ,即减去一个角等于加上这个角的 ,也就是α-β=α+ .
◆ 知识点二 象限角
象限角:以 为坐标原点,角的 为x轴正半轴,建立平面直角坐标系,这样,角的 (除端点外)在第几象限,就说这个角是第几象限角.如果角的终边在
上,那么称这个角为轴线角.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)大于90°的角都是钝角. ( )
(2)90°角是第一或第二象限角. ( )
(3)第一象限角一定不是负角. ( )
(4)第二象限角大于第一象限角. ( )
(5) -120°角是第三象限角. ( )
(6)若角α的终边经过点C(0,-1),则α是终边落在y轴非正半轴上的角. ( )
(7)若角α为第一象限角,则角α可能不是锐角.( )
◆ 知识点三 终边相同的角
一般地,与角α终边相同的角的集合为 ,即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与 周角的和.
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)与-40°角终边相同的角的集合是{α|α=k·360°-40°,k∈Z}. ( )
(2)不相等的角终边一定不相同. ( )
(3)若角α的终边在y轴的负半轴上,则角α的集合表示为{α|α=k·360°-90°,k∈Z}. ( )
(4)若角α是第三象限角,则角α的集合表示为{α|k·360°+180°<α2.终边相同的角相等吗 相等的角终边相同吗
◆ 探究点一 任意角的概念与分类
例1 (1)给出下列结论:
①三角形的内角必是第一或第二象限角;
②始边相同而终边不同的角一定不相等;
③将表的分针拨慢10分钟,则分针转过的角为60°;
④小于180°的角是钝角、直角或锐角.
其中正确结论的序号为 .
(2)时间过了2小时30分,则分针转过的角度是 .
(3)-20°角是按 (填“顺”或“逆”)时针方向旋转 所成的角.体操运动员按逆时针方向旋转360°所成的角是 .
[素养小结]
(1)正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念,弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.另外需要掌握判断结论正确与否的技巧,判断结论正确需要证明,而判断结论不正确只需举一个反例即可.
(2)要注意“旋转方向”决定角的“正负”,“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”.
◆ 探究点二 象限角的理解
例2 (1)[2025·江苏扬州八校高一期中] 已知角α=583°,那么α是 ( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
(2)若α是第一象限角,则下列各角中属于第四象限角的是 ( )
A.90°-α B.90°+α
C.360°-α D.180°+α
变式 (1)(多选题)下列说法正确的是 ( )
A.-75°角是第四象限角
B.225°角是第三象限角
C.475°角是第二象限角
D.-225°角是第一象限角
(2)若角α是第一象限角,则-α,2α,分别是第几象限角
[素养小结]
一般地,要确定的终边所在的象限,可以把各个象限都n等分, 从x轴正半轴的上方起,按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上号码1,2,3,4,则标号是几的区域就是θ为第几象限角时,的终边所在的区域,的终边所在的象限就可直观地看出.如图为已知角α是第n(n取1,2,3,4)象限角,求是第几象限角的表示.
◆ 探究点三 终边相同的角的求解
例3 (1)[2025·江苏宿迁中学高一月考] 若角α与65°角的终边相同,角β与-115°角的终边相同,则α与β之间的关系是 ( )
A.α+β=-50°
B.α-β=180°
C.α+β=k·360°+180°(k∈Z)
D.α-β=k·360°+180°(k∈Z)
(2)[2025·江苏南京二十九中高一月考] 已知角α=1937°.
①把角α改写成k·360°+β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第几象限角;
②若θ与α的终边相同,且0°≤θ<1080°,求所有θ的可能取值组成的集合;
③求与α的终边相同的最大负角与最小正角.
变式 (1)[2024·江苏盐城高一期末] 若角α的终边与角θ的终边关于x轴对称,则α+θ的终边在 ( )
A.x轴正半轴 B.第一象限
C.y轴正半轴 D.第三象限
(2)(多选题)在下列各组的两个角中,终边相同的一组是 ( )
A.-43°与677° B.900°与-1260°
C.-120°与960° D.150°与630°
[素养小结]
终边相同的角的表示
(1)与角α终边相同的角都可以表示成α+k·360°(k∈Z)的形式.
(2)终边相同的角相差360°的整数倍.
(3)终边关于原点对称的角之间相差180°的整数倍.
(4)终边相同的角的表示形式不唯一,如{x|x=k·360°- 90°,k∈·360°+ 270°,k∈Z}均表示终边在y轴负半轴上的角的集合.
◆ 探究点四 用不等式组表示角(区域角)
例4 如图所示.
(1)分别写出终边落在射线OA,OB上的角的集合;
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.
变式 (1)[2025·山东菏泽一中高一质检] 如图,终边在阴影部分(含边界)的角的集合是 ( )
A.{α|-45°≤α≤120°}
B.{α|120°≤α≤315°}
C.{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°,k∈Z}
D.{α|120°+k·360°≤α≤315°+k·360°,k∈Z}
(2)已知角α的终边在如图中阴影所表示的范围内(不包括边界),那么角α的集合为 .
[素养小结]
求区域角的集合的三个步骤
第一步:先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界.
第二步:按由小到大标出终边分别为起始和终止边界对应的-360°~360°范围内的角α和β,写出最简集合{x|α第三步:将最简集合中的角α,β再加上360°的整数倍,即得区域角的集合.第7章 三角函数
7.1 角与弧度
7.1.1 任意角
1.下列说法正确的是 ( )
A.终边相同的角一定相等
B.钝角一定是第二象限角
C.第四象限角一定是负角
D.小于90°的角都是锐角
2.已知角α=1370°,则角α的终边落在 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.[2025·广东广州南武中学高一期中] 已知集合A={x|x是第二象限角},B={x|x是钝角},C={x|x是大于90°的角},则下列结论正确的是 ( )
A.B=A∩C B.B∪C=C
C.A C D.A=B=C
4.终边在直线y=x上的角α的集合是 ( )
A.{α|α=n·360°+240°,n∈Z}
B.{α|α=n·360°+60°,n∈Z}
C.{α|α=n·180°+60°,n∈Z}
D.{α|α=n·180°-60°,n∈Z}
5.设α是第二象限角,则为 ( )
A.第一象限角
B.第三象限角
C.第一象限角或第三象限角
D.第二象限角或第四象限角
6.(多选题)[2024·广东珠海一中月考] 下列说法中错误的是 ( )
A.第二象限角都是钝角
B.第二象限角大于第一象限角
C.若角α与角β不相等,则α与β的终边不可能重合
D.若角α与角β的终边在一条直线上,则α-β=k·180°(k∈Z)
7.在0°~360°范围内,与-120°终边相同的角是 .
8.时钟走了3小时20分,则时针所转过的角的度数为 ,分针转过的角的度数为 .
9.(13分)已知角α=2026°,解决下列问题:
(1)把角α改写成k·360°+β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第几象限角;
(2)若θ与α的终边相同,且-360°≤θ<720°,求所有θ的值组成的集合;
(3)求与α的终边相同的最大负角与最小正角.
10.(13分)(1)写出终边在直线y=x上的角构成的集合S,并写出S中既是正角又小于或等于1080°的角构成的集合M.
(2)已知角α的终边在如图所示的阴影区域内(包括实线边界,不包括虚线边界),写出角的取值范围.
11.如图,终边在阴影部分(含边界)的角的集合是 ( )
A.{α|-60°≤α≤135°}
B.{α|135°≤α≤300°}
C.{α|-60°+k·360°≤α≤135°+k·360°,k∈Z}
D.{α|135°+k·360°≤α≤300°+k·360°,k∈Z}
12.角α的终边与65°角的终边关于y轴对称,则α=( )
A.k·180°-65°(k∈Z)
B.k·360°-65°(k∈Z)
C.k·180°+115°(k∈Z)
D.k·360°+115°(k∈Z)
13.(多选题)[2025·江苏建湖中学高一月考] 如果角α与角(θ+45°)的终边重合,角β与角(θ-45°)的终边重合,那么α-β的值可能为 ( )
A.90° B.360°
C.450° D.3330°
14.如图,若角α的终边落在阴影部分(含边界),则角的终边可能在第 象限.
15.(多选题)已知集合M=,P=,则下列关于集合M与P之间的关系正确的为 ( )
A.M P B.P M
C.P=M D.P∪M=P
16.(15分)如图所示,半径为1的圆的圆心位于坐标原点,点P从点A(1,0)出发,以逆时针方向匀速沿单位圆的圆周运动,已知点P在1 s内转过的角度为θ (0°<θ<180°),经过2 s后到达第三象限,经过14 s后又回到了出发点A处,求θ.(共81张PPT)
7.1 角与弧度
7.1.1 任意角
探究点一 任意角的概念与分类
探究点二 象限角的理解
探究点三 终边相同的角的求解
探究点四 用不等式组表示角（区域角）
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
了解任意角的概念.
知识点一 任意角
1.角的概念:平面内一条射线绕着__________从一个位置旋转到另一
个位置所形成的图形.
它的端点
2.角的分类：
（1）正角:按________方向旋转所形成的角;
（2）负角:按________方向旋转所形成的角;
（3）零角:如果射线没有做任何旋转,那么也把它看成一个角，叫作
零角.零角的始边与终边______.
逆时针
顺时针
重合
3.相等角与相反角： 设角 由射线绕端点旋转而成，角 由射
线绕端点 旋转而成．如果它们的旋转方向______且旋转量
______，那么就称 ．射线绕端点 分别按逆时针方向、顺
时针方向旋转__________所成的两个角称为互为相反角．角 的相
反角记为 ．
相同
相等
相同的量
4.角的加法与减法：对于两个任意角 ， ，将角 的终边旋转角
（当 是正角时，按逆时针方向旋转；当 是负角时，按顺时针
方向旋转；当 是零角时，不旋转），这时终边所对应的角称为
与 的和，记作______．角的减法可以转化为角的______，即减去
一个角等于加上这个角的________，也就是 ______．
加法
相反角
知识点二 象限角
象限角:以__________为坐标原点,角的______为 轴正半轴,建立平面
直角坐标系，这样,角的______（除端点外）在第几象限,就说这个角
是第几象限角.如果角的终边在________上,那么称这个角为轴线角.
角的顶点
始边
终边
坐标轴
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）大于 的角都是钝角.( )
×
（2） 角是第一或第二象限角.( )
×
（3）第一象限角一定不是负角.( )
×
（4）第二象限角大于第一象限角.( )
×
（5） 角是第三象限角.( )
√
（6）若角 的终边经过点,则 是终边落在 轴非正半轴上
的角.( )
√
（7）若角 为第一象限角，则角 可能不是锐角.( )
√
知识点三 终边相同的角
一般地，与角 终边相同的角的集合为__________________________,
即任一与角 终边相同的角,都可以表示成角 与________周角的和.
,}
整数个
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）与 角终边相同的角的集合是 ,
}.( )
√
（2）不相等的角终边一定不相同.( )
×
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（3）若角 的终边在轴的负半轴上,则角 的集合表示为
, }.( )
√
[解析] 因为在 范围内,终边在轴的负半轴上的角为
角,所以终边在轴的负半轴上的角 的集合是
, }.
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（4）若角 是第三象限角,则角 的集合表示为
, }.( )
√
[解析] 因为在 范围内,第三象限角的范围是
不含 和,所以由终边相同的角的表示方法知,角 的集合
表示为 , }.
2.终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？
解：终边相同的角不一定相等，它们可以相差 的整数倍；相等
的角终边相同．
探究点一 任意角的概念与分类
例1（1）给出下列结论：
①三角形的内角必是第一或第二象限角；
②始边相同而终边不同的角一定不相等；
③将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角为 ；
④小于 的角是钝角、直角或锐角．
其中正确结论的序号为______．
②③
[解析] ①中， 的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故
①不正确；
②中，始边相同而终边不同的角一定不相等，故②正确；
③中，分针转一周为60分钟，转过的角为 ，将分针拨慢是逆
时针旋转，则拨慢10分钟转过的角为 ，故③正确；
④中， 角小于 ，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故
④不正确．故填②③.
（2）时间过了2小时30分,则分针转过的角度是_______.
[解析] 所求分针转过的角度为 .
（3） 角是按____（填“顺”或“逆”）时针方向旋转____所成的
角.体操运动员按逆时针方向旋转 所成的角是______.
顺
[解析] 因为负角是按顺时针方向旋转形成的角,所以 角是按顺
时针方向旋转 所成的角.
按逆时针方向旋转形成的角是正角,故体操运动员按逆时针方向旋转
所成的角是 .
［素养小结］
（1）正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，弄
清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确
与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一
个反例即可．
（2）要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对
值大小”．
探究点二 象限角的理解
例2（1）［2025·江苏扬州八校高一期中］已知角 ，那么
是( )
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
[解析] ，其中 ，故
是第三象限角.故选C.
√
（2）若 是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是( )
A. B. C. D.
[解析] 方法一: 是第一象限角,则 是第一象限角, 是
第二象限角, 是第四象限角, 是第三象限角,故选C.
方法二:因为 是第一象限角,所以可设 ,则 是
第一象限角, 是第二象限角, 是第四
象限角, 是第三象限角,故选C.
√
变式（1）（多选题）下列说法正确的是( )
A. 角是第四象限角 B. 角是第三象限角
C. 角是第二象限角 D. 角是第一象限角
[解析] 对于A， ， 是第四象限角，则
是第四象限角，A正确；
对于B， 是第三象限角，B正确；
对于C， ， 是第二象限角，则 是第
二象限角，C正确；
对于D， ， 是第二象限角，则 是
第二象限角，D错误.故选 .
√
√
√
（2）若角 是第一象限角,则 , , 分别是第几象限角
解： 是第一象限角，
①， 是第四象限角．
②， 是第一象限角或
第二象限角或终边落在 轴非负半轴上的角．
③ .
方法一（分类讨论）：当 时，
， 是第一象限角；
当 时，
， 是第二象限角；
当 时，
， 是第三象限角．
综上可知, 是第一、第二或第三象限角．
方法二（几何法）：如图，先将各象限分成3等份，
再从 轴的正半轴的上方起，沿逆时针方向将各区域
依次循环标上1,2,3,4，
则标有1的区域（不含边界）即为的终边所在的区域，
故 为第一、第二或第三象限角．
［素养小结］
一般地,要确定 的终边所在的象限,可以把各个象限都
等分, 从轴正半轴的上方起,按逆时针方向把这 个
区域依次循环标上号码1,2,3,4,则标号是几的区域就是
为第几象限角时,的终边所在的区域, 的终边所在
的象限就可直观地看出.如图为已知角 是第 取1,2,3,4 象限角,求
是第几象限角的表示.
探究点三 终边相同的角的求解
例3（1）［2025·江苏宿迁中学高一月考］若角 与 角的终边相
同，角 与 角的终边相同，则 与 之间的关系是( )
A.
B.
C.
D.
√
[解析] 由题意可知， ，
，所以
， ，
故 ， .故选D.
（2）［2025·江苏南京二十九中高一月考］已知角 .
①把角 改写成 的形式，并指出
它是第几象限角；
解：由 除以 ，得商为5，余数为 ， 取 ,
，则 .
又 是第二象限角， 为第二象限角.
（2）［2025·江苏南京二十九中高一月考］已知角 .
②若 与 的终边相同，且 ，求所有 的可能取值
组成的集合；
解：与 的终边相同的角为 .
令 ，且，,, ，
依次代入 中，得角 的可能取值为 , , ，
则 的所有可能取值组成的集合为 , , }.
（2）［2025·江苏南京二十九中高一月考］已知角 .
③求与 的终边相同的最大负角与最小正角.
解：由②知，与 的终边相同的角 ，则
当时， 取得最大负角 ；
当时， 取得最小正角 .
变式（1）［2024·江苏盐城高一期末］若角 的终边与角 的终边
关于轴对称，则 的终边在( )
A.轴正半轴 B.第一象限 C. 轴正半轴 D.第三象限
[解析] 因为角 的终边与角 的终边关于轴对称，所以角 的
终边与角 的终边相同，可得 ，则
，所以 的终边在 轴正半轴.故选A.
√
（2）（多选题）在下列各组的两个角中，终边相同的一组是
( )
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
[解析] A选项，因为 ，所以 和 终
边相同；
B选项，因为 ，所以 和 终
边相同；
C选项，因为 ，所以 和 终边相同；
D选项，因为 ，所以 和 终边不相同.
故选 .
√
√
√
［素养小结］
终边相同的角的表示
（1）与角 终边相同的角都可以表示成的形式.
（2）终边相同的角相差 的整数倍.
（3）终边关于原点对称的角之间相差 的整数倍.
（4）终边相同的角的表示形式不唯一,如 ,
}与 ,}均表示终边在轴负半轴上
的角的集合.
探究点四 用不等式组表示角（区域角）
例4 如图所示.
（1）分别写出终边落在射线， 上的角的集合；
解：终边落在射线 上的角的集合为
， ，
},
终边落在射线上的角的集合为 ， }．
例4 如图所示.
（2）写出终边落在阴影部分（包括边界）的角
的集合．
解：由题图可知，终边落在阴影部分（包括边界）
的角的集合为
， }．
变式（1）［2025·山东菏泽一中高一质检］如图，终边在阴影部分
（含边界）的角的集合是( )
A. }
B. }
C. , }
D. , }
√
[解析] 终边在阴影部分的两个边界的角的集合分
别为 , ，
, ，
则终边在阴影部分（含边界）的角的集合是
,
}.故选C.
（2）已知角 的终边在如图中阴影所表示的范围内
（不包括边界），那么角 的集合为
_____________________________________________.
，}
[解析] 在 范围内，角 满足 或
.
所以角 的集合为 或
， ，即
或
， ，即
， }.
［素养小结］
求区域角的集合的三个步骤
第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界.
第二步：按由小到大标出终边分别为起始和终止边界对应的
范围内的角 和 ，写出最简集合，其
中 .
第三步：将最简集合中的角 ， 再加上 的整数倍，即得区
域角的集合.
1.角的概念与分类疑难点
（1）列举在 之间的角时，应注意所有的角在同一平面内，
且在终边旋转过程中，角的顶点不动.
（2）要注意旋转方向对角的正负的影响.
2.象限角与终边相同角的表示
（1）象限角的判断方法有两种：一是根据图形，其依据是终边相同
角的思想；二是先将已知角化为
的形式，即找出与已知角终边相同的角 ，再由角 终边所在的象
限判定已知角终边所在的象限.
（2）求满足某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与
已知角终边相同的角的一般形式，再依据条件构建不等式求出 的
值， 的正确取值是关键.
1.任意角的概念
在判断角度时，应时刻抓住“旋转”二字：①要明确旋转方向；②要
明确旋转角的大小；③要明确射线未做任何旋转时的位置；④要注
意由旋转方向来确定角的符号.
例1 已知点位于轴正半轴上,射线为坐标原点绕 沿逆时针
旋转，在1秒内转过的角为 ,经过2秒到达第三象限,
若经过14秒后又恰好回到出发位置,则 _ _____________.
或
[解析] 且
,
, .
又, ,
,即, 或5，
故 或 .
2.终边相同的角或终边落在某范围或某象限的角的表示
（1）借助于 ,},然后调整的值,使 的终边
在所给范围内且 即可.
（2）利用不等式求解此类题型是常见方法,也可直接试探取 ,0,
, 等值,看是否能使角的终边在所给范围内.
例2 已知 .
（1）把 写成 ，， 的形式，并指
出它是第几象限角；
解： ，即 ，
它是第二象限角.
例2 已知 .
（2）求 ，使 与 的终边相同，且 .
解：由（1）及题意，令 ，
， ，即
，或 .
则当时， ；
当时， .
综上， 或 .
3.写出终边在某条过原点的直线上的角的集合有两种方法:一是分别
写出每条终边所对应的角的集合,再取并集;二是找出其中一条终边所
对应的一个角（在 范围内）,然后再加上 的整数倍.
例3 在平面直角坐标系中，若 角的始边与 轴的非负半轴重
合，终边为射线 .
（1）写出终边落在直线上的角 的集合 ；
解：由题意知，在 范围内，终边落在直线
上的角是 与 ，如图，
所以集合 ,
,
, }.
例3 在平面直角坐标系中，若 角的始边与 轴的非负半轴重
合，终边为射线 .
（2）根据（1）中得到的集合，写出 中满足不等式
的元素 的所有可能取值.
解：由 ,得 ，
解得，所以, ,0,1,2,3，
因此集合中满足 的元素 的所有可能取值为
， ，
， ，
， .
4.区域角及其表示方法
例4 如图, , 分别是终边落在射线, 位置上
的两个角,且 , .
（1）求终边落在阴影部分内（不包括边界）的角的
集合;
解：因为 , ，
所以终边在射线, 上的角分别是
， ， ，
所以终边落在阴影部分内（不包括边界）的角的集
合为 , .
例4 如图, , 分别是终边落在射线, 位置上
的两个角,且 , .
（2）求终边落在阴影部分内（不包括边界）,不小
于 且小于 的角的集合.
解：由（1）知，当 时，终边落在阴影部分内（不包括边界），
不小于 且小于 的角 满足 ，
当时，终边落在阴影部分内（不包括边界），不小于 且小
于 的角 满足 ，
所以满足题意的角的集合为 或 .
练习册
1.下列说法正确的是( )
A.终边相同的角一定相等 B.钝角一定是第二象限角
C.第四象限角一定是负角 D.小于 的角都是锐角
[解析] 终边相同的角不一定相等，所以选项A错误；
钝角一定是第二象限角，所以选项B正确；
第四象限角不一定是负角，如 角是第四象限角，但不是负角，
所以选项C错误；
小于 的角不都是锐角，如 ，所以选项D错误.故选B.
√
2.已知角 ，则角 的终边落在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
[解析] 因为 ，所以角 的终边落在第四象
限.故选D.
√
3.［2025·广东广州南武中学高一期中］已知集合 是第二象
限角，是钝角，是大于 的角 ，则下列结论正
确的是( )
A. B. C. D.
[解析] 是第二象限角且大于 ，但不是钝角，A错误；
钝角一定大于 ，但大于 的角不一定是钝角，故是 的真子集，
B正确，D错误；
是第二象限角，但小于 ，C错误.故选B.
√
4.终边在直线上的角 的集合是( )
A. , }
B. , }
C. , }
D. , }
[解析] 在 范围内，终边在直线上的角为 角和
角，与 角终边相同的角为 ，，与
角终边相同的角为 ， ，
所以终边在直线上的角 可表示为 ,，
故角 的集合是 , }.故选C.
√
5.设 是第二象限角,则 为( )
A.第一象限角 B.第三象限角
C.第一象限角或第三象限角 D.第二象限角或第四象限角
√
[解析] 因为 是第二象限角,所以
, ,所以
,.
当, 时, ,,
所以 为第一象限角;
当,时,, ,所
以 为第三象限角.故选C.
6.（多选题）［2024·广东珠海一中月考］ 下列说法中错误的是
( )
A.第二象限角都是钝角
B.第二象限角大于第一象限角
C.若角 与角 不相等，则 与 的终边不可能重合
D.若角 与角 的终边在一条直线上，则
√
√
√
[解析] 对于A， 是第二象限角，但不是钝角，
故A中说法错误；
对于B， 是第二象限角， 是第一象限角，
但 ，故B中说法错误；
对于C， , ，则 ，但二者终边重合，故C中
说法错误；
对于D，角 与角 的终边在一条直线上，则二者的终边重合或互为
反向延长线，故，故D中说法正确.故选 .
7.在 范围内，与 终边相同的角是______．
[解析] 与 终边相同的角为 ， ，由
，，得，
又 ，所以，此时 .
8.时钟走了3小时20分，则时针所转过的角的度数为_______，分针转
过的角的度数为________.
[解析] 因为时针、分针都按顺时针方向旋转，所以时针每小时转过
的角的度数为 ，分针每小时转过的角的度数为 ，
所以时钟走了3小时20分时，时针转过的角的度数为
，
分针转过的角的度数为 .
9.（13分）已知角 ,解决下列问题：
（1）把角 改写成 的形式，并指
出它是第几象限角；
解：由 除以 ，得商为5，余数为 ， 取 ,
，则 .
又 是第三象限角， 为第三象限角.
9.（13分）已知角 ,解决下列问题：
（2）若 与 的终边相同，且 ，求所有 的值
组成的集合；
解：与 的终边相同的角为 ，
令 ，且 ，
，0，1，
将此代入 中，得角 的值分别为 , , ，
则所有 的值组成的集合为 , , }.
9.（13分）已知角 ,解决下列问题：
（3）求与 的终边相同的最大负角与最小正角.
解：由（2）知，与 的终边相同的最大负角为 ，最小正角
为 .
10.（13分）
（1）写出终边在直线上的角构成的集合,并写出 中既是正角
又小于或等于 的角构成的集合 .
解： ,
, , ，
, , , , , }.
（2）已知角 的终边在如图所示的阴影区域内（包括实线边界，不
包括虚线边界），写出角 的取值范围.
解：终边在 角的终边所在直线上的角的集合为
, ，
，则终边在 角的终边所在直线
上的角的集合为 , ，
因此终边在题图中的阴影区域内的角 的取值范围是
, ，
所以 ,，所以角 的取值范围
是, .
11.如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是( )
A. }
B. }
C. , }
D. , }
√
[解析] 在 范围内阴影部分两条边界所在的终边对应的
角分别为 和 ，所以在 范围内终边在阴影部
分的角的集合是 ，所以终边在阴影部分的角的
集合为 , }.故选C.
12.角 的终边与 角的终边关于轴对称，则 ( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为 角的终边与 角的终边关于 轴对称，所以
.故选D.
√
13.（多选题）［2025·江苏建湖中学高一月考］ 如果角 与角
的终边重合，角 与角的终边重合，那么
的值可能为( )
A. B. C. D.
[解析] 由条件知 ，
，将以上两式相减消去 ，得 ，
当时， ；
当时， ；
当时， .故选 .
√
√
√
14.如图，若角 的终边落在阴影部分（含边界），则角 的终边可
能在第________象限.
一、三
[解析] 依题意，得 , ，所
以 ,，
当为偶数时， 的终边在第一象限；
当为奇数时， 的终边在第三象限.
15.（多选题）已知集合 ,
,则下列关于集合与 之间的关系
正确的为( )
A. B. C. D.
√
√
[解析] 因为 ,
,, ,
,},所以， .故选
.
16.（15分）如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点 从点
出发，以逆时针方向匀速沿单位圆的圆周运动，已知点在
内转过的角度为，经过 后到达第三象限，经过
后又回到了出发点处，求 .
解： ，且
， ，
，则 .
，，， ，
， ，
，，或 .
当时，；当时， .
故或 .
快速核答案(导学案）
课前预习 知识点一 1.它的端点 2.（1）逆时针 （2）顺时针 （3）重合 3.相同 相等 相同的量
4. 加法 相反角
知识点二 角的顶点 始边 终边 坐标轴
【诊断分析】 （1）× （2）× （3）× （4）× （5）√ （6）√ （7）√
知识点三 ,} 整数个 【诊断分析】 1.（1）√ （2）× （3）√ （4）√ 2.略
课中探究 探究点一 例1 （1）②③ （2） （3）顺
探究点二 例2 （1）C （2）C 变式 （1）ABC （2） 是第四象限角，
是第一象限角或第二象限角或终边落在轴非负半轴上的角，m>是第一、第二或第三象限角
探究点三 例3 （1）D （2）① ， 为第二象限角，② , , }
③最大负角，最小正角 变式 （1）A （2）ABC
探究点四 例4 （1）终边落在射线上的角的集合为 ，
，},终边落在射线上的角的集合为
，} （2） ，}
变式 （1）C （2） ，}
练习册
基础巩固 1.B 2.D 3.B 4.C 5.C 6.ABC 7. 8.
9.（1） ， 为第三象限角
（2） , , }
（3）最大负角为 ，最小正角为
10.（1） , , , , , }
（2）,
综合提升 11.C 12.D 13.ACD 14.一、三
思维探索 15.AD 16. 或
