(共67张PPT)
7.1 角与弧度
7.1.2 弧度制
探究点一 弧度制的概念
探究点二 角度制与弧度制的互化
探究点三 用弧度制表示角
探究点四 弧长公式和扇形面积公式的应用
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.了解弧度制.
2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.
3.理解弧度制下的弧长公式及扇形面积公式.
知识点一 角度制与弧度制
1.角度制:规定周角的 为1度的角，用____作为单位来度量角的单
位制叫作角度制.
2.弧度制:把长度等于________的弧所对的圆心角叫作1弧度的角,记
作______.用______作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制.
度
半径长
弧度
3.1弧度的角：把半径为___的圆叫作单位圆.如图，在单位圆 中，
的长等于1， 就是_______的角.
1
1弧度
4.角的弧度数:正角的弧度数是______,负角的弧度数是______,零角的
弧度数是___.在半径为的圆中,弧长为的弧所对的圆心角为 ,那
么 __.
正数
负数
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）的角和 的角大小相等.( )
×
（2）用弧度来表示的角都是正角.( )
×
（3）用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关.( )
×
（4）每个弧度制下的角，都有唯一的角度制下的角与之对应.( )
√
（5）比值 与所取的圆的半径大小有关.( )
×
知识点二 角度制与弧度制的互化
1.角度与弧度的互化
角度化弧度 弧度化角度
牢记， .
2.一些特殊角与弧度数的对应关系
度 ____ _____
弧度 __ _ __ _ __ _ ___ ____ _ ___ ____
知识点三 弧长公式与扇形面积公式
角度制与弧度制下扇形的弧长与面积公式 是扇形所在圆的半径，
扇形的圆心角的弧度数为 ，
公式 度量制 弧长公式 扇形面积公式
角度制
弧度制
探究点一 弧度制的概念
例1（1）下列说法正确的是( )
A.1弧度就是1度的圆心角所对的弧
B.1弧度是长度为半径的弧
C.1弧度是1度的弧与1度的角之和
D.1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小
[解析] 1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小.
√
（2）下列说法中正确的是( )
A. 的角是周角的，的角是周角的
B.大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大
C.所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等
D.用弧度制表示的角都是正角
[解析] 易知A正确；
对于B，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B错误；
对于C，所有圆心角为1弧度的角所对的弧长不一定相等，故C错误；
对于D，用弧度制表示的角也可以不是正角，故D错误.故选A.
√
探究点二 角度制与弧度制的互化
例2（1）把下列角度化成弧度:
① ;
解： .
② ；
解： .
③ ;
解： .
例2（1）把下列角度化成弧度:
④ .
解： .
（2）把下列弧度化成角度:
① ;
解： .
② ;
解： .
③ ;
解： .
（2）把下列弧度化成角度:
④ .
解： .
变式 设 , ,, ，
， .
（1）将, 用弧度制表示出来，并指出它们的终边各自所在的象限；
解： ， ，
， ,
的终边在第二象限， 的终边在第一象限．
变式 设 , ,, ，
， .
（2）将,用角度制表示出来，并找出与， 分别有相同终边的
角 和 ．
解： ，则 ，由
，得 ，
或， 或 ;
, 则，由
,得,,
.
［素养小结］
角度与弧度互化技巧：
在进行角度与弧度的互化时,抓住关系式 是关键,由它可
以得到:角度数弧度数,弧度数角度数.
探究点三 用弧度制表示角
例3（1）把, 分别写成 的形式.
解：, , ， .
,
, ， .
（2）用弧度表示顶点在原点,始边与 轴正半轴重
合，终边在图中阴影部分内（不包括边界）的角
的集合.
解：,, 满足
条件的角 的集合为 .
变式（1）用弧度制表示与 角的终边相同的角的集合为( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为，所以与 角的终边相同的角
的集合为 .故选D.
√
（2）把表示成的形式,则使最小的 的值是
_____.
[解析] 和终边相同的角可表示为, ,也可表示为
,或,,则使最小的 的值是 .
（3）用弧度制表示顶点在原点,始边与 轴的正半
轴重合,终边在图中的阴影部分内（不包括直线 ，
包括轴）的角 的集合为____________________
__________.
[解析] 由题意可知，， ，则终边
在直线上的角为，.
又终边在 轴上的角为，，故终边落在阴影部分内
（不包括直线 ，包括轴）的角 的集合为
.
［素养小结］
（1）用弧度制表示区域角,需进行角度与弧度的换算,注意要统一单
位，角度数与弧度数不能混用.
（2）用弧度制表示终边相同的角时， 是 的偶
数倍，而不是整数倍.在表示角的集合时,可以先写出
（或 ~）内的角,再加上 ,.
（3）终边在同一直线（倾斜角为）上的角的集合为
},终边在互相垂直的两直线（其中一条直线的
倾斜角为 ,且）上的角的集合为.
探究点四 弧长公式和扇形面积公式的应用
例4 ［2024·江苏连云港高一期中］已知一扇形的圆心角为
，半径为，弧长为 .
（1）若 ，，求 ；
解：由题意知 ，所以
.
例4 ［2024·江苏连云港高一期中］已知一扇形的圆心角为
，半径为，弧长为 .
（2）若扇形的周长为，面积是，求 的弧度数；
解：由题意得 ，且解得 （舍）或
故 .
例4 ［2024·江苏连云港高一期中］已知一扇形的圆心角为
，半径为，弧长为 .
（3）若扇形的周长为，则当 为多少弧度时，这个扇形的面
积最大
解：由题意知 ，所以扇形的面积
，且
，所以当时，取得最大值 ，
此时， .
变式（1）玉雕在我国历史悠久，玉雕是将玉石用传统的手工雕刻工
艺加工生产成的工艺品.某扇环形玉雕 （扇环是一个圆环被扇
形截得的一部分；玉雕厚度忽略不计）尺寸（单位： ）如图所示，
则该玉雕的面积为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如图，设玉雕所在扇形的圆心为 ，
， ，由弧长公式可得
解得
设扇形，扇形的面积分别为， ，则该玉雕
的面积为 .
故选A.
（2）若扇形的圆心角为，面积为 ，则该扇形的弧长为
________.
[解析] 设扇形的半径为，因为扇形的圆心角 ，所
以扇形的面积，解得 ，所
以该扇形的弧长 .
［素养小结］
扇形的弧长和面积的求解策略
（1）记公式：面积公式，弧长公式
（其中是扇形的弧长，是扇形的半径， 是扇形圆心角的弧度
数，）.
（2）找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等计算
问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧
长公式、扇形的面积公式直接求解或列方程（组）求解.
1.对于角度制与弧度制的理解
（1）无论是以“度”还是以“弧度”为单位，角的大小都是一个与其所
在扇形半径大小无关的定值，扇形半径仅仅是为了能使概念更具体
的一个“过渡量”而已.
（2）以弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两字可以省略不写，这
时弧度数在形式上虽是一个不名数，但我们应该把它理解为名数，如
是指 弧度 .以度为单位表示角时，“度”就不能省去.
（3）以弧度为单位表示角时，常常把弧度数写成多少 的形式，如
无特殊要求，不必把 写成小数，如 弧度，不必写成
弧度.
（4）角度制和弧度制不能混用，如 ，
都不正确.
2.弧度与角度的换算
（1）弧度与角度的换算是一种比例关系的变形.在进行角度与弧度的
换算时，抓住关系式 是关键，由它可以得，角度数
弧度数，弧度数角度数，牢记 ，
.
（2）特殊角的弧度数与角度数的对应值今后常用，应该熟记.
3.运用扇形的弧长及面积公式时，应注意的问题
（1）由扇形的弧长及面积公式可知，对于 ，，， 中“知其二求
其二”，实质上是方程思想的运用.
（2）用弧度制表示的扇形弧长与面积公式比用角度制表示的公式要
简单得多，但要注意运用公式的前提条件是“弧度制”.若角是以“度”
为单位，则必须先化成弧度，再计算.
（3）在运用弧度制下的扇形弧长与面积公式时，还应熟练掌握这两
个公式的变形运用：，，； ，
.
1.用弧度制表示角的集合
表示角的集合时，既可以用角度制也可以用弧度制，但只能用一种
度量制表示，不能把角度与弧度混用.
例1 终边落在坐标轴上的角的集合用角度制表示为_______________
____________，用弧度制表示为________________.
，
2.用弧度制表示区域角的集合
根据已知图形写出区域角的集合的步骤：①仔细观察图形，写出区
域边界作为终边时角 范围内 的表示；②用不等式表示终
边在区域范围内的角，边界对应的角 范围内 应再加上
.
注意事项：用不等式表示区域角的范围时，要注意角的集合是否能
够合并，这一点容易出错.
例2 用弧度制表示顶点在原点，始边在 轴的非负半轴，终边落在图
中阴影部分内（不包括边界）的角的集合.
解：题图（1）中，以射线 为终边的角为
， ，
以射线为终边的角为 ， ，
所以终边落在阴影部分内（不包括边界）的角的集合为
.
题图（2）中，射线与射线 在一条直线上，
因此终边在直线上的角为, ,
又终边在轴上的角为, ,
所以终边落在阴影部分内（不包括边界）的角的集
合为 .
3.扇形的弧长与面积
扇形的弧长与面积问题主要借助于弧长和面积公式,构造出方程
（组）,然后求解方程（组）得出相关的量.
例3 ［2025·江苏梅村高级中学高一月考］体育老师为
了方便学生练习掷铅球，在操场上画了一块扇环形区
域（图中阴影部分），其中和均以 为圆心，
A.75 B.90 C.100 D.120
.若， ，且
，分别表示,的长 ，则这块扇
环形区域的面积的最大值为( )
√
[解析] 由扇形弧长公式可得
，
即 ，
所以当时， 最大，最大值为100，故选C.
，
练习册
1.［2025·江苏徐州三中高一检测］ 化为弧度是( )
A. B. C. D.
[解析] 由，得 .故选C.
√
2.若，则角 的终边在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
[解析] ，则角 的终边在第四象限.故选D.
√
3.若角 与角的终边相同，则与 终边相同的角的集合为( )
A. B.
C. D.
[解析] 角 与角的终边相同， 与 终边相同的角的集合为
，故选A.
√
4.［2025·湖南长郡十八校高一检测］已知长为 的弧所对的圆心角
为 ，则该弧所在的扇形面积为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意可知，扇形的半径 ，因此该扇形的面积
.故选A.
√
5.［2025·广东东莞中学高一期中］“”是“ 是第一象限角”
的( )
A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
[解析] 若，则 一定是第一象限角，充分性成立；
若 是第一象限角，则,，无法得到 一定
属于，必要性不成立.
所以“”是“ 是第一象限角”的充分且不必要条件.故选A.
√
6.［2025·江苏丰县中学高一月考］若角 的终边落在如图所示的阴
影部分（含边界）内，则角 的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
√
[解析] 依题意，在 内阴影部分的两条边界所在
终边对应的角分别为,，则在 内终边在阴影
部分内的角的取值范围是，所以角 的取值
范围是 .故选D.
7.［2025·上海黄浦区部分学校高一期中］当手表比标准时间慢10分
钟时，只需将分针旋转____弧度就可以调节准确.
[解析] 由题意，分针需要沿顺时针旋转 ，即分针旋转的弧度数
为 .
8.［2025·重庆万州三中高一月考］已知一扇形的周长为40，则这个
扇形面积的最大值是_____.
100
[解析] 设扇形的半径为，弧长为，则， ，
则扇形的面积
，当
时，扇形面积取得最大值100.
9.（13分）将下列各角转化成,且 的形式,
并指出它们是第几象限角.
（1） ;
解： .
与的终边相同,且 是第一象限角,
是第一象限角.
（2） .
解：.与的终边相同,且是第三象限角, 是
第三象限角.
10.［2025·广东揭阳一中高一段考］如图，圆 的半径
为1，劣弧的长为 ，则阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
[解析] 设 ， ，因为圆的半径，劣弧
的长，所以，则,
为等边三角形且，所以阴影部分的面积
为.故选B.
√
11.（多选题）若一个扇形的弧长为 ，面积为 ，则( )
A.该扇形的圆心角为 B.该扇形的半径为14
C.该扇形的圆心角为 D.该扇形的半径为7
[解析] 设扇形的半径为，由扇形的弧长 ，扇形的面积
，得，则 ，B正确，D错误；
扇形的圆心角，A错误，C正确.故选 .
√
√
12.［2025·广东惠州一中高一月考］如图是某
折扇的示意图，已知为 的中点，
， ，则此扇面部分
（扇环 ）的面积是___.
[解析] 因为为的中点，， ，所以 ，
， ，所以此扇
面部分（扇环）的面积是 .
13.若扇形的周长为18，则扇形面积取得最大值时，扇形圆心角的弧
度数是___.
2
[解析] 设扇形的半径为，弧长为，则 ，即
， ，所以扇形面积
，所以当
时，取得最大值，
此时 ，所以扇形的圆心角 （弧度）.
14.（15分）已知扇形 ，如图.
（1）若，，求扇形 的面积和
弧 的长；
解：设扇形的半径为，，所以 ，，
根据扇形弧长公式得弧的长，扇形
的面积 .
14.（15分）已知扇形 ，如图.
（2）若扇形的面积为，求扇形 周长的
最小值，并求出此时 的值.
解：由扇形的面积（，分别为扇形 的弧长、
半径），得，则扇形 的周长为
，当且仅当 时等号
成立，
此时由知 .
15.［2025·江苏金坛一中月考］莱洛三角形以机械学
家莱洛的名字命名，这种三角形应用非常广泛，不
仅用于建筑和商品的外包装设计，还用于工业生产
中.莱洛三角形的画法：先画正三角形 ，然后分
A. B. C.6 D.
别以三个顶点为圆心，边长为半径画圆弧，即可得到莱洛三角形，
如图中实线所示.若莱洛三角形的面
积是，则弓形 的周长为( )
√
[解析] 设，则弧,, 所在的
每个扇形面积均为 ，
又等边三角形的面积 ，
所以莱洛三角形的面积是
，则，
所以弧的长 ，所以弓形 的周长为 .故选A.
16.（15分）现在有人研究钟表的时针和分针一天内重合的次数，从
午夜零时算起，假设经过时分针和时针恰好第 次重合.
（1）建立关于 的函数解析式；
解：因为分针旋转的角速度为 ，
时针旋转的角速度为 ，
所以，,即， .
16.（15分）现在有人研究钟表的时针和分针一天内重合的次数，从
午夜零时算起，假设经过时分针和时针恰好第 次重合.
（2）求一天内分针和时针重合的次数.
解：因为时针旋转一天所需的时间为 ，
所以令，可得 ,
又 ，故时针与分针一天内重合22次.
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 1.度 2.半径长 弧度 3.1 1弧度
4.正数 负数 【诊断分析】 （1）× （2）× （3）× （4）√ （5）×
知识点二 1. 2.
知识点三
课中探究 探究点一 例1 （1）D （2）A
探究点二 例1 （1）① ② ③ ④ （2）①
② ③ ④ 变式 （1）m>，,的终边在
第二象限，的终边在第一象限
（2） ， 或 ; ,
探究点三 例3 （1），（2）
变式（1）D （2） （3）
探究点四 例4 （1） （2） （3）m> 变式 （1）A （2）
练习册
基础巩固 1.C 2.D 3.A 4.A 5.A 6.D 7. 8.100
9.（1）， 是第一象限角.
（2）是第三象限角.
综合提升 10.B 11.BC 12. 13.2
14.（1）弧的长，扇形的面积为
（2）周长的最小值为<，此时
思维探索 15.A 16.（1），（2）22次7.1.2 弧度制
【课前预习】
知识点一
1.度 2.半径长 1 rad 弧度
3.1 1弧度 4.正数 负数 0
诊断分析
(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)×
知识点二
1.2π 360° π 180°
2.60° 180° 0 2π
知识点三
|α|·r lr |α|r2
【课中探究】
探究点一
例1 (1)D (2)A [解析] (1)1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小.
(2)易知A正确;对于B,大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等,故B错误;对于C,所有圆心角为1弧度的角所对的弧长不一定相等,故C错误;对于D,用弧度制表示的角也可以不是正角,故D错误.故选A.
探究点二
例2 解:(1)①-150°=-=-.
②2100°==.
③11°15'=°==.
④112°30'=°==.
(2)①==30°.
②-=-=-300°.
③==81°.
④-π=-×180°=-75°.
变式 解:(1)∵180°=π,∴-570°=-=-,∴α1=-=-2×2π+,α2=750°===2×2π+,
∴α1的终边在第二象限,α2的终边在第一象限.
(2)β1==×180°=108°,则θ=k·360°+108°(k∈Z),由-720°≤θ<0°,得-720°≤k·360°+108°<0°(k∈Z),
∴k=-2或k=-1,∴θ=-612°或θ=-252°;β2=-=-60°,则φ=k·360°-60°(k∈Z),由-720°≤φ<-360°,得-720°≤k·360°-60°<-360°(k∈Z),∴k=-1,∴φ=-420°.
探究点三
例3 解:(1)=4π+,∵0≤<2π,4π=2×2π,∴=4π+.
-315°=-315×=-=-2π+,
∵0≤<2π,-2π=-1×2π,∴-315°=-2π+.
(2)∵330°=360°-30°=2π-,60°=,∴满足条件的角θ的集合为.
变式 (1)D (2)- (3)
[解析] (1)因为150°=150×=,所以与150°角的终边相同的角的集合为.故选D.
(2)和-终边相同的角可表示为2kπ-,k∈Z,也可表示为2kπ-,k∈Z或2kπ+,k∈Z,则使|θ|最小的θ的值是-.
(3)由题意可知,30°=,210°=,则终边在直线AB上的角为α=kπ+,k∈Z.又终边在y轴上的角为β=kπ+,k∈Z,故终边落在阴影部分内(不包括直线AB,包括y轴)的角θ的集合为.
探究点四
例4 解:(1)由题意知α=120°= rad,所以l=α·R=×10=(cm).
(2)由题意得0<α<2π,且解得(舍)或故α= rad.
(3)由题意知l+2R=20,所以扇形的面积S=lR=(20-2R)R=10R-R2=-(R-5)2+25,且0变式 (1)A (2)2 cm [解析] (1)如图,设玉雕所在扇形的圆心为O,∠AOB=α,OB=r,由弧长公式可得
解得设扇形COD,扇形AOB的面积分别为S1,S2,则该玉雕的面积为S1-S2=×120×(30+30)-×60×30=2700(cm2).故选A.
(2)设扇形的半径为r(r>0),因为扇形的圆心角α=3 rad,所以扇形的面积S=αr2=×3r2=2(cm2),解得r=(cm),所以该扇形的弧长l=αr=3×=2(cm).7.1.2 弧度制
1.C [解析] 由1°= rad,得105°=π= rad.故选C.
2.D [解析] α-2π=6-2π∈,则角α的终边在第四象限.故选D.
3.A [解析] ∵角θ与-角的终边相同,∴与θ终边相同的角的集合为,故选A.
4.A [解析] 由题意可知,扇形的半径r==3,因此该扇形的面积S=×π×3=.故选A.
5.A [解析] 若α∈,则α一定是第一象限角,充分性成立;若α是第一象限角,则2kπ<α<2kπ+,k∈Z,无法得到α一定属于,必要性不成立.所以“α∈”是“α是第一象限角”的充分且不必要条件.故选A.
6.D [解析] 依题意,在[0,2π)内阴影部分的两条边界所在终边对应的角分别为,,则在[0,2π)内终边在阴影部分内的角的取值范围是,所以角α的取值范围是(k∈Z).故选D.
7.- [解析] 由题意,分针需要沿顺时针旋转60°,即分针旋转的弧度数为-.
8.100 [解析] 设扇形的半径为r,弧长为l,则2r+l=40,09.解:(1)-1725°=-5×360°+75°=-10π+.
∵-1725°与的终边相同,且是第一象限角,
∴-1725°是第一象限角.
(2)=20π+.∵与的终边相同,且是第三象限角,∴是第三象限角.
10.B [解析] 设∠AOB=α,0<α<π,因为圆O的半径r=1,劣弧AB的长l=,所以α=,则S扇形AOB=lr=××1=,△AOB为等边三角形且S△AOB=×1×=,所以阴影部分的面积为-.故选B.
11.BC [解析] 设扇形的半径为R,由扇形的弧长l=2π,扇形的面积S=14π,得14π=×2πR,则R=14,B正确,D错误;扇形的圆心角α===,A错误,C正确.故选BC.
12.π [解析] 因为D为OA的中点,OA=2,∠AOB=π,所以OD=1,S扇形AOB=×π×22=,S扇形DOC=×π×12=,所以此扇面部分(扇环ABCD)的面积是S扇形AOB-S扇形DOC=-=π.
13.2 [解析] 设扇形的半径为r,弧长为l,则l+2r=18,即l=18-2r,014.解:(1)设扇形的半径为R,α=∠AOB,所以α=,R=4,根据扇形弧长公式得弧AB的长l=αR=(cm),扇形AOB的面积S=αR2=(cm2).
(2)由扇形AOB的面积S==10(l,R分别为扇形AOB的弧长、半径),得l=,则扇形AOB的周长为2R+l=2R+≥2=4,当且仅当R= cm时等号成立,
此时由l=αR=(α=∠AOB)知∠AOB==2.
15.A [解析] 设AB=BC=AC=R,则弧BC,AC,AB所在的每个扇形面积均为×R2=R2,又等边三角形ABC的面积S=R·R=R2,所以莱洛三角形的面积是3+R2=R2=,则R=3,所以弧AC的长l=×3=π,所以弓形AC的周长为π+3.故选A.
16.解:(1)因为分针旋转的角速度为-=-(rad/min),
时针旋转的角速度为-=-(rad/min),
所以t=-2πn,n∈N*,即t=n,n∈N*.
(2)因为时针旋转一天所需的时间为24×60=1440(min),
所以令n≤1440,可得n≤22,
又n∈N*,故时针与分针一天内重合22次.7.1.2 弧度制
【学习目标】
1.了解弧度制.
2.能进行弧度与角度的互化,体会引入弧度制的必要性.
3.理解弧度制下的弧长公式及扇形面积公式.
◆ 知识点一 角度制与弧度制
1.角度制:规定周角的为1度的角,用 作为单位来度量角的单位制叫作角度制.
2.弧度制:把长度等于 的弧所对的圆心角叫作1弧度的角,记作 .用 作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制.
3.1弧度的角:把半径为 的圆叫作单位圆.如图,在单位圆O中,的长等于1,∠AOB就是 的角.
4.角的弧度数:正角的弧度数是 ,负角的弧度数是 ,零角的弧度数是 .在半径为r的圆中,弧长为l的弧所对的圆心角为α rad,那么|α|= .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)1 rad的角和1°的角大小相等. ( )
(2)用弧度来表示的角都是正角. ( )
(3)用角度制和弧度制度量角,都与圆的半径有关. ( )
(4)每个弧度制下的角,都有唯一的角度制下的角与之对应. ( )
(5)比值与所取的圆的半径大小有关.( )
◆ 知识点二 角度制与弧度制的互化
1.角度与弧度的互化
角度化弧度 弧度化角度
360°= rad 2π rad=
180°= rad π rad=
1°= rad≈0.017 45 rad 1 rad=°≈57.30°
角度数×=弧度数 弧度数×°=角度数
牢记180°=π rad,1 rad=°.
2.一些特殊角与弧度数的对应关系
度 0° 30° 45° 90° 120° 135° 150° 270° 360°
弧度 π
◆ 知识点三 弧长公式与扇形面积公式
角度制与弧度制下扇形的弧长与面积公式(r是扇形所在圆的半径,扇形的圆心角的弧度数为α,α=n°)
公式 度量制 弧长公式 扇形面积公式
角度制 l= S=
弧度制 l= (0<|α|<2π) S= = (0<|α|<2π)
◆ 探究点一 弧度制的概念
例1 (1)下列说法正确的是 ( )
A.1弧度就是1度的圆心角所对的弧
B.1弧度是长度为半径的弧
C.1弧度是1度的弧与1度的角之和
D.1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小
(2)下列说法中正确的是 ( )
A.1°的角是周角的,1 rad的角是周角的
B.大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大
C.所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等
D.用弧度制表示的角都是正角
◆ 探究点二 角度制与弧度制的互化
例2 (1)把下列角度化成弧度:
①-150°;②2100°;③11°15';④112°30'.
(2)把下列弧度化成角度:
①;②-;③;④-π.
变式 设α1=-570°,α2=750°,β1=,β2=-,-720°≤θ<0°,-720°≤φ<-360°.
(1)将α1,α2用弧度制表示出来,并指出它们的终边各自所在的象限;
(2)将β1,β2用角度制表示出来,并找出与β1,β2分别有相同终边的角θ和φ.
[素养小结]
角度与弧度互化技巧:
在进行角度与弧度的互化时,抓住关系式π rad=180°是关键,由它可以得到:角度数×=弧度数,弧度数×°=角度数.
◆ 探究点三 用弧度制表示角
例3 (1)把,-315°分别写成2kπ+α(0≤α<2π,k∈Z)的形式.
(2)用弧度表示顶点在原点,始边与x轴正半轴重合,终边在图中阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合.
变式 (1)用弧度制表示与150°角的终边相同的角的集合为 ( )
A.
B.
C.
D.
(2)把-表示成θ+2kπ(k∈Z)的形式,则使|θ|最小的θ的值是 .
(3)用弧度制表示顶点在原点,始边与x轴的正半轴重合,终边在图中的阴影部分内(不包括直线AB,包括y轴)的角θ的集合为 .
[素养小结]
(1)用弧度制表示区域角,需进行角度与弧度的换算,注意要统一单位,角度数与弧度数不能混用.
(2)用弧度制表示终边相同的角2kπ+α(k∈Z)时,2kπ是π的偶数倍,而不是整数倍.在表示角的集合时,可以先写出0~2π(或-π~π)内的角,再加上2kπ,k∈Z.
(3)终边在同一直线(倾斜角为α)上的角的集合为{x|x=α+kπ(k∈Z)},终边在互相垂直的两直线上的角的集合为.
◆ 探究点四 弧长公式和扇形面积公式的应用
例4 [2024·江苏连云港高一期中] 已知一扇形的圆心角为α(0°<α<360°),半径为R,弧长为l.
(1)若α=120°,R=10 cm,求l;
(2)若扇形的周长为10 cm,面积是4 cm2,求α的弧度数;
(3)若扇形的周长为20 cm,则当α为多少弧度时,这个扇形的面积最大
变式 (1)玉雕在我国历史悠久,玉雕是将玉石用传统的手工雕刻工艺加工生产成的工艺品.某扇环形玉雕ABCD(扇环是一个圆环被扇形截得的一部分;玉雕厚度忽略不计)尺寸(单位:cm)如图所示,则该玉雕的面积为 ( )
A.2700 cm2 B.3500 cm2
C.4300 cm2 D.4800 cm2
(2)若扇形的圆心角为3 rad,面积为2 cm2,则该扇形的弧长为 .
[素养小结]
扇形的弧长和面积的求解策略
(1)记公式:面积公式S=lR=αR2,弧长公式l=αR(其中l是扇形的弧长,R是扇形的半径,α是扇形圆心角的弧度数,0<α<2π).
(2)找关键:涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等计算问题,关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量,然后灵活运用弧长公式、扇形的面积公式直接求解或列方程(组)求解.7.1.2 弧度制
1.[2025·江苏徐州三中高一检测] 105°化为弧度是 ( )
A. B.
C. D.
2.若α=6 rad,则角α的终边在 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.若角θ与-角的终边相同,则与θ终边相同的角的集合为 ( )
A.
B.
C.
D.
4.[2025·湖南长郡十八校高一检测] 已知长为π的弧所对的圆心角为,则该弧所在的扇形面积为 ( )
A. B.
C. D.
5.[2025·广东东莞中学高一期中] “α∈”是“α是第一象限角”的 ( )
A.充分且不必要条件
B.必要且不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
6.[2025·江苏丰县中学高一月考] 若角α的终边落在如图所示的阴影部分(含边界)内,则角α的取值范围是 ( )
A.
B.
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
7.[2025·上海黄浦区部分学校高一期中] 当手表比标准时间慢10分钟时,只需将分针旋转 弧度就可以调节准确.
8.[2025·重庆万州三中高一月考] 已知一扇形的周长为40,则这个扇形面积的最大值是 .
9.(13分)将下列各角转化成2kπ+α(k∈Z,且0≤α<2π)的形式,并指出它们是第几象限角.
(1)-1725°;
(2).
10.[2025·广东揭阳一中高一段考] 如图,圆O的半径为1,劣弧AB的长为,则阴影部分的面积为 ( )
A.- B.-
C.- D.-
11.(多选题)若一个扇形的弧长为2π,面积为14π,则 ( )
A.该扇形的圆心角为
B.该扇形的半径为14
C.该扇形的圆心角为
D.该扇形的半径为7
12.[2025·广东惠州一中高一月考] 如图是某折扇的示意图,已知D为OA的中点,OA=2,∠AOB=π,则此扇面部分(扇环ABCD)的面积是 .
13.若扇形的周长为18,则扇形面积取得最大值时,扇形圆心角的弧度数是 .
14.(15分)已知扇形AOB,如图.
(1)若∠AOB=,AB=4 cm,求扇形AOB的面积和弧AB的长;
(2)若扇形AOB的面积为10 cm2,求扇形AOB周长的最小值,并求出此时∠AOB的值.
15.[2025·江苏金坛一中月考] 莱洛三角形以机械学家莱洛的名字命名,这种三角形应用非常广泛,不仅用于建筑和商品的外包装设计,还用于工业生产中.莱洛三角形的画法:先画正三角形ABC,然后分别以三个顶点为圆心,边长为半径画圆弧,即可得到莱洛三角形,如图中实线所示.若莱洛三角形的面积是,则弓形AC的周长为 ( )
A.π+3 B.π+6
C.6 D.3π
16.(15分)现在有人研究钟表的时针和分针一天内重合的次数,从午夜零时算起,假设经过t min时分针和时针恰好第n(n∈N*)次重合.
(1)建立t关于n的函数解析式;
(2)求一天内分针和时针重合的次数.
