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7.2 三角函数概念
7.2.1 任意角的三角函数
第1课时 任意角的三角函数
探究点一 求任意角的三角函数值
探究点二 特殊角的三角函数值
探究点三 判断三角函数值的符号
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.理解任意角三角函数概念.
2.会求任意角的三角函数.
知识点一 任意角的三角函数
1.对任意角 ，在平面直角坐标系中，设 的终边上异于原点的任
意一点的坐标是，它与原点的距离是，则 .
三角函数 定义 名称
_ __ 正弦
_ _ 余弦
_________ 正切
2.对于每一个实数 ，都有唯一实数 与 对应，故 是
的函数.同理， 也是 的函数.当______________时, 角
的终边在轴上,故有 ,这时______无意义.除此之外,对于每一个
实数，有__________ 与 对应，因此
也是 的函数 , , 分别叫作角 的正弦函数、
余弦函数、正切函数，以上三种函数都称为 的三角函数.
唯一实数
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1） , , 的大小与点在角 的终边上的位置
有关.( )
×
（2）同一个三角函数值能找到无数个角与之对应.( )
√
（3）对于任意角 ， ， ， 都有意义.( )
×
（4） .( )
×
知识点二 三角函数值在各象限的符号
1.图示:
2.口诀:一全正、二正弦、三正切、四余弦.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）已知 是三角形的内角，则必有， .( )
×
（2）若，则角 为第一象限角.( )
×
（3）已知，，则角 终边所在的象限是第二象
限.( )
√
（4）若，则角 为第一或第二象限角.( )
×
[解析] 当时，，此时 的终边在轴上，即 既
不是第一象限角，也不是第二象限角.
探究点一 求任意角的三角函数值
例1（1）［2025·北京朝阳区高一期末］在平面直角坐标系 中，
角 以轴正半轴为始边，终边经过点，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意知,，则 ，则
由任意角三角函数定义得 .故选C.
√
（2）［2025·江苏南靖中学高一质检］已知角 的终边经过点
，则 的值为( )
A. B. C. D.或
[解析] 因为角 的终边经过点，所以 ，
，则 ，
可得, ，
所以 .故选C.
√
变式（1）已知 终边上的一点，且 ，则
______.
[解析] 依题意， ，根据三角函数的定义，得
，解得，则 .
（2）已知角 的终边过点,其中 ,求
, , 的值.
解：， ，
为坐标原点 ，
，， .
［素养小结］
由角
终边上任意一点的坐标求其三角函数值的两种情况：
（1）当角
的终边在已知直线上时，常用的解题方法如下：在
的终边上任选一点
，
到原点的距离为
，则
，，
.
（2）当角
的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定要注意对坐
标正、负的辨别，若正、负未定，则需分类讨论.
探究点二 特殊角的三角函数值
例2 利用定义求 的正弦、余弦和正切值.
解：如图所示，设坐标原点为， 的终边与单位圆的
交点为，过点作轴，交轴于点.
在 中，，，
则， ， ，
故，， .
［素养小结］
先找到角的终边与单位圆的交点的坐标，然后利用定义,即可得到特
殊角的三角函数值.
探究点三 判断三角函数值的符号
例3 判断下列各式的符号：
（1） ；
解： 是第二象限角， .
， 是第二象限角，
， .
例3 判断下列各式的符号：
（2） ;
解：，弧度角是第三象限角， .
， 是第一象限角，
， .
（3） 是第二象限角 .
解： 是第二象限角,, ,
故 .
变式（1）［2025·河北衡水中学高一月考］若 ，则点
位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
[解析] 因为，所以, ，则点
位于第二象限.故选B.
√
（2）（多选题）在平面直角坐标系中,角 的顶点在原点,以 轴的非
负半轴为始边,终边经过点 ,则下列各式的值一定为负
数的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 由题意可得,,故 的符号不确
定,A错误;
,B正确;
,C正确;
,D正确.故选 .
√
√
√
（3）已知角 的终边过点且， ，
则实数 的取值范围是____________.
[解析] ，， 角 的终边在第二象限或在 轴
非负半轴上.
的终边过点， .
［素养小结］
判断三角函数值在各象限符号的攻略：
（1）基础：准确确定三角函数值中各角终边所在象限；
（2）关键：准确记忆三角函数值在各象限的符号；
（3）注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为是角度,导
致象限判断错误.
1.对三角函数概念的理解应注意的问题
（1）三角函数值是比值,是一个实数,这个实数的大小和点 在
终边上的位置无关,只由角 的终边位置确定,即三角函数值的大小只
与角有关.
（2） , , 分别是一个整体,离开“ ”,“”“”“ ”
不表示任何意义,更不能把“ ”当成“”与“ ”的乘积.
（3）在任意角的三角函数的定义中， 是一个任意角，其范围是使
函数有意义的实数集.
2.公式 的实质与作用
（1）公式 的实质是终边相同的角，其同名
三角函数值相等.因为这些角的终边是同一条射线，所以根据三角函
数的定义可知，这些角的同名三角函数值相等.
（2）公式 的作用：利用公式
可以把任意角的三角函数值化为 范
围内与其终边相同的角的三角函数值（方法是先在 范围内
找出与所给角终边相同的角 ，再把它写成
的形式，最后得出结果）.
1.利用定义求三角函数值的注意点
（1）三角函数值是比值，与在角的终边上所取点（该点不为坐标原
点）的位置无关；
（2）当角 终边上的点的坐标含有参数时,要注意对参数进行分类
讨论.
例1 ［2025·河北石家庄实验中学高一月考］已知角 的顶点在原点，
始边与 轴的非负半轴重合，终边在第三象限且与单位圆交于点
，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 在单位圆上， ,
,，
又点在角 的终边上，且角 的终边在第三象限，，
，则 ， .故选C.
√
2.三角函数值符号的判断
准确确定三角函数中角的终边所在的象限是基础,熟记三角函数值在
各象限内的符号并牢记记忆口诀是解决这类问题的关键.
例2 若点在第一象限，则 在 内的取值
范围是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 点 在第一象限，
即
结合三角函数的定义及，可得
故 .故选B.
3.利用公式 求三角函数值
（1）解此类问题的方法是先借助于公式 把已
知角 化到 范围内,然后再求三角函数值.
（2）要熟记特殊角的三角函数值,这是解题的基础.
例3 求下列三角函数值:
（1） ;
解： .
（2） ;
解： .
（3） ;
解： .
例3 求下列三角函数值:
（4） .
解： .
练习册
1.若角 的终边经过点，则 的值是( )
A. B. C. D.
[解析] 由三角函数的定义可得 ，
，则 .故选C.
√
2.［2025·广东东莞十一中高一段考］点 落在
( )
A.第一象限内 B.第二象限内 C.第三象限内 D.第四象限内
[解析] 因为 角的终边在第二象限，所以 ，
，所以点 落在第四象限内，故选D.
√
3.已知，且 ，则角 是( )
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
[解析] 因为，且 ，所以 ,
，所以 是第一象限角，故选A.
√
4.［2025·江苏海门中学高一月考］已知角 终边经过点
，则 可能是( )
A. B. C. D.
[解析] 终边经过点,即 终边经过点 ，
终边在第四象限，且, 可能是 ，故选C.
√
5.［2025·江苏南京六校调研］已知 是第二象限角， 为其终
边上的一点，且，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 依题意，，（ 为坐标原点），则
，所以 .故选A.
√
6.（多选题）已知角 的终边经过点 ,则
( )
A. B.
C. D.
[解析] 由题知,即,因为角 的终边经
过点,所以, ,
,.故选 .
√
√
√
7.若角 的终边经过点，则 __.
[解析] 由角 的终边经过点，得 ，
，故
.
8.已知,,则角 的终边与单位圆的交点坐标是
_________.
[解析] 由三角函数的定义易得角 的终边与单位圆的交点坐标是
.
9.（13分）［2025·天津八中高一月考］ 已知角 的终边经过点
，其中 .
（1）求 的值；
解：因为（ 为坐标原点），所以当
时，，当时， .
（2）若 为第二象限角，求 的值.
解： 为第二象限角，则, ，所以
.
10.［2025·天津南开大学附中高一月考］设 是第二象限角，
为其终边上一点，且，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意得，且，解得 ，则
.故选C.
√
11.若角 的终边经过点，且，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由三角函数定义可得，
因为 ,所以，所以，可得，
易知点 在第二象限，所以 .故选D.
√
12.（多选题）已知 ，则函数
的值可能为( )
A. B. C.1 D.3
[解析] 当 是第一象限角时，
；
当 是第二象限角时，；
当 是第三象限角时，；
当 是第四象限角时，.
故选 .
√
√
13.已知单位圆上有一点，单位圆上点以点 为起点按逆
时针方向以每秒弧度做圆周运动，5秒后点 的纵坐标是___.
[解析] 设为原点，连接，，
因为 位于第一象限，且，所以，
所以 ，则，
所以点的纵坐标为 .
14.（15分）［2025·江苏苏州大学附中高一检测］ 已知角 的终边
上有一点, .
（1）若，求 , 和 的值；
解：因为角 的终边上有一点，所以点到原点 的距离
，
所以 ，， .
14.（15分）［2025·江苏苏州大学附中高一检测］ 已知角 的终边
上有一点, .
（2）若，求的值，并计算 .
解：因为角 的终边上有一点，所以点到原点 的距离
，所以 ，
由，知，所以，所以 ，
，所以 .
15.（多选题）在平面直角坐标系中，角 以坐标原点 为顶点，
以轴的非负半轴为始边，其终边经过点， ，
设， ，则( )
A.
B.
C.若，且，则
D.若，且，则
√
√
[解析] 对于A，角 终边经过点，则角 的终边经过点
，所以 ，所以A选项错误；
对于B，因为， ，所以
，因为 ，，所以
，所以 ，所以B选项正确；
对于C，因为，且 ,由三角函数定义可知，
,
所以 ，又，解得 ，
，所以 ,所
以C选项正确；
对于D，因为，且 ，所以
,又 ，
所以， ,所以
,所以 ，所以D选项错误.故选 .
16.（15分）已知 为锐角，用三角函数的定义证明：
.
证明：设角 的终边上任一点，且点与原点 不重合，则
，， .
为锐角，， ，
.
又
（当且仅当时，等号成立）， .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 1.
2.
唯一实数
【诊断分析】 （1）× （2）√ （3）× （4）×
知识点二 【诊断分析】 （1）× （2）× （3）√ （4）×
课中探究 探究点一 例1 （1）C （2）C
变式 （1）
（2）
，
，
探究点二 例2
，
，
探究点三 例3 （1） （2）m>
（3）
变式 （1）B （2）BCD （3）
练习册
基础巩固 1.C 2.D 3.A 4.C 5.A 6.ACD 7. 8.
9.（1） （2）
综合提升 10.C 11.D 12.AC 13.
14.（1）
，
，
（2）
，
思维探索 15.BC 16.证明略7.2 三角函数概念
7.2.1 任意角的三角函数
第1课时 任意角的三角函数
【课前预习】
知识点一
1. (x≠0)
2.+kπ(k∈Z) tan α 唯一实数
诊断分析
(1)× (2)√ (3)× (4)×
知识点二
诊断分析
(1)× (2)× (3)√ (4)× [解析] (4)当α=时,sin α=1>0,此时α的终边在y轴上,即α既不是第一象限角,也不是第二象限角.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)C (2)C [解析] (1)由题意知x=-,y=,则r=OA==,则由任意角三角函数定义得sin α===.故选C.
(2)因为角θ的终边经过点P(-4a,3a)(a<0),所以x=-4a,y=3a,则r==-5a,可得sin θ===-,cos θ===,所以2sin θ-cos θ=--=-2.故选C.
变式 (1)± [解析] 依题意,r=,根据三角函数的定义,得cos α=x=,解得x=±,则tan α==±.
(2)解:∵θ∈,∴-1
∴sin α=-,cos α=,tan α=-.
探究点二
例2 解:如图所示,设坐标原点为O,的终边与单位圆的交点为P,过点P作PB⊥x轴,交x轴于点B.在Rt△OPB中,OP=1,∠POB=,则PB=,OB=,∴P,
故sin =,cos =-,tan==-.
探究点三
例3 解:(1)∵145°是第二象限角,∴sin 145°>0.
∵-210°=-360°+150°,∴-210°是第二象限角,
∴cos(-210°)<0,∴sin 145°cos(-210°)<0.
(2)∵π<4<,∴4弧度角是第三象限角,∴cos 4<0.
∵-=-6π+,∴-是第一象限角,
∴tan>0,∴cos 4tan<0.
(3)∵α是第二象限角,∴sin α>0,tan α<0,
故sin α·tan α<0.
变式 (1)B (2)BCD (3)-20,则点M(cos θ,tan θ)位于第二象限.故选B.
(2)由题意可得sin α<0,cos α>0,故sin α+cos α的符号不确定,A错误;sin α-cos α<0,B正确;sin α·cos α<0,C正确;<0,D正确.故选BCD.
(3)∵cos α≤0,sin α>0,∴角α的终边在第二象限或在y轴非负半轴上.∵α的终边过点(3a-9,a+2),∴
∴-27.2.1 任意角的三角函数
第1课时 任意角的三角函数
【学习目标】
1.理解任意角三角函数概念.
2.会求任意角的三角函数.
◆ 知识点一 任意角的三角函数
1.对任意角α,在平面直角坐标系中,设α的终边上异于原点的任意一点P的坐标是(x,y),它与原点的距离是r,则r=.
三角函数 定义 名称
sin α 正弦
cos α 余弦
tan α 正切
2.对于每一个实数α,都有唯一实数sin α与α对应,故sin α是α的函数.同理,cos α也是α的函数.当α= 时, 角α的终边在y轴上,故有x=0,这时 无意义.除此之外,对于每一个实数α,有 tan α与α对应,因此tan α也是α的函数.sin α,cos α,tan α分别叫作角α的正弦函数、余弦函数、正切函数,以上三种函数都称为α的三角函数.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)sin α,cos α,tan α的大小与点P(x,y)在角α的终边上的位置有关. ( )
(2)同一个三角函数值能找到无数个角与之对应. ( )
(3)对于任意角α,sin α,cos α,tan α都有意义. ( )
(4)tan=0. ( )
◆ 知识点二 三角函数值在各象限的符号
1.图示:
2.口诀:一全正、二正弦、三正切、四余弦.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)已知α是三角形的内角,则必有sin α>0,cos α≥0. ( )
(2)若sin α·cos α>0,则角α为第一象限角. ( )
(3)已知sin α=,cos α=-,则角α终边所在的象限是第二象限. ( )
(4)若sin α>0,则角α为第一或第二象限角. ( )
◆ 探究点一 求任意角的三角函数值
例1 (1)[2025·北京朝阳区高一期末] 在平面直角坐标系xOy中,角α以x轴正半轴为始边,终边经过点A,则sin α= ( )
A.- B.
C. D.
(2)[2025·江苏南靖中学高一质检] 已知角θ的终边经过点P(-4a,3a)(a<0),则2sin θ-cos θ的值为 ( )
A.- B.
C.-2 D.-或
变式 (1)已知α终边上的一点P(x,)(x≠0),且cos α=x,则tan α= .
(2)已知角α的终边过点P(-3cos θ,4cos θ),其中θ∈,求sin α,cos α,tan α的值.
[素养小结]
由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值的两种情况:
(1)当角α的终边在已知直线上时,常用的解题方法如下:在α的终边上任选一点P(x,y),P到原点的距离为r(r>0),则sin α=,cos α=,tan α=(x≠0).
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时,一定要注意对坐标正、负的辨别,若正、负未定,则需分类讨论.
◆ 探究点二 特殊角的三角函数值
例2 利用定义求的正弦、余弦和正切值.
[素养小结]
先找到角的终边与单位圆的交点的坐标,然后利用定义,即可得到特殊角的三角函数值.
◆ 探究点三 判断三角函数值的符号
例3 判断下列各式的符号:
(1)sin 145°cos(-210°);
(2)cos 4tan;
(3)sin α·tan α(α是第二象限角).
变式 (1)[2025·河北衡水中学高一月考] 若π<θ<,则点M(cos θ,tan θ)位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
(2)(多选题)在平面直角坐标系中,角α的顶点在原点,以x轴的非负半轴为始边,终边经过点P(1,m)(m<0),则下列各式的值一定为负数的是( )
A.sin α+cos α B.sin α-cos α
C.sin α·cos α D.
(3)已知角α的终边过点(3a-9,a+2)且cos α≤0,sin α>0,则实数a的取值范围是 .
[素养小结]
判断三角函数值在各象限符号的攻略:
(1)基础:准确确定三角函数值中各角终边所在象限;
(2)关键:准确记忆三角函数值在各象限的符号;
(3)注意:用弧度制给出的角常常不写单位,不要误认为是角度,导致象限判断错误.7.2 三角函数概念
7.2.1 任意角的三角函数
第1课时 任意角的三角函数
1.若角α的终边经过点P(-3,4),则sin α+tan α的值是 ( )
A.- B.-
C.- D.
2.[2025·广东东莞十一中高一段考] 点P(sin 100°,cos 100°)落在 ( )
A.第一象限内 B.第二象限内
C.第三象限内 D.第四象限内
3.已知sin θcos θ>0,且|cos θ|=cos θ,则角θ是 ( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
4.[2025·江苏海门中学高一月考] 已知角α终边经过点P,则α可能是 ( )
A. B.
C.- D.
5.[2025·江苏南京六校调研] 已知α是第二象限角,P(x,8)为其终边上的一点,且sin α=,则x= ( )
A.-6 B.±6
C.± D.-
6.(多选题)已知角α的终边经过点P(sin 60°,-tan 60°),则 ( )
A.cos α=
B.sin α=
C.tan α=-2
D.sin α+cos α=-
7.若角θ的终边经过点P(1,3),则sin θcos θ+cos2θ= .
8.已知sin α=,cos α=-,则角α的终边与单位圆的交点坐标是 .
9.(13分)[2025·天津八中高一月考] 已知角θ的终边经过点P(3a,-4a),其中a≠0.
(1)求cos θ的值;
(2)若θ为第二象限角,求cos θ+sin θ的值.
10.[2025·天津南开大学附中高一月考] 设α是第二象限角,P(x,1)为其终边上一点,且cos α=x,则tan α= ( )
A.-2 B.-
C.- D.-
11.若角α的终边经过点A(-1,2sin α),且α∈(0,π),则α= ( )
A. B.
C. D.
12.(多选题)已知x∈,则函数y=+-的值可能为 ( )
A.-3 B.-1
C.1 D.3
13.已知单位圆上有一点P0,单位圆上点P以点P0为起点按逆时针方向以每秒弧度做圆周运动,5秒后点P的纵坐标是 .
14.(15分)[2025·江苏苏州大学附中高一检测] 已知角α的终边上有一点P(m,-4),m∈R.
(1)若m=2,求sin α,cos α和tan α的值;
(2)若cos α=,求m的值,并计算sin α+m·tan α.
15.(多选题)在平面直角坐标系xOy中,角θ以坐标原点O为顶点,以x轴的非负半轴为始边,其终边经过点P(x0,y0),OP=r(r>0),设μ(θ)=,ν(θ)=,则 ( )
A.μ(π+θ)=ν(θ)
B.μ2(θ)+ν2(θ)=2
C.若μ(θ)=,且θ∈(0,π),则ν(θ)=
D.若ν(θ)=,且θ∈(0,π),则=
16.(15分)已知θ为锐角,用三角函数的定义证明:17.2.1 任意角的三角函数
第1课时 任意角的三角函数
1.C [解析] 由三角函数的定义可得sin α==,tan α==-,则sin α+tan α=-=-.故选C.
2.D [解析] 因为100°角的终边在第二象限,所以sin 100°>0,cos 100°<0,所以点P落在第四象限内,故选D.
3.A [解析] 因为sin θcos θ>0,且|cos θ|=cos θ,所以sin θ>0,cos θ>0,所以θ是第一象限角,故选A.
4.C [解析] ∵α终边经过点P,即α终边经过点P,∴α终边在第四象限,且tan α==-,∴α可能是-,故选C.
5.A [解析] 依题意,x<0,OP=(O为坐标原点),则sin α==,所以x=-6.故选A.
6.ACD [解析] 由题知P(sin 60°,-tan 60°),即P,因为角α的终边经过点P,所以sin α==-,cos α==,tan α==-2,sin α+cos α=-+=-.故选ACD.
7. [解析] 由角θ的终边经过点P(1,3),得sin θ==,cos θ==,故sin θcos θ+cos2θ=×+=+=.
8. [解析] 由三角函数的定义易得角α的终边与单位圆的交点坐标是.
9.解:(1)因为OP==5|a|(O为坐标原点),所以当a>0时,cos θ==,当a<0时,cos θ=-=-.
(2)θ为第二象限角,则cos θ=-,sin θ=,所以cos θ+sin θ=.
10.C [解析] 由题意得cos α==,且x<0,解得x=-2,则tan α==-.故选C.
11.D [解析] 由三角函数定义可得sin α=,因为α∈(0,π),所以sin α>0,所以1=,可得sin α=,易知点A在第二象限,所以α=.故选D.
12.AC [解析] 当x是第一象限角时,y=+-=1+1-1=1;当x是第二象限角时,y=+-=1-1-(-1)=1;当x是第三象限角时,y=+-=-1-1-1=-3;当x是第四象限角时,y=+-=-1+1-(-1)=1.故选AC.
13. [解析] 设O为原点,连接OP0,OP,因为P0位于第一象限,且tan∠P0Ox=1,所以∠P0Ox=,所以∠POx=+×5=,则sin∠POx=sin=,所以点P的纵坐标为.
14.解:(1)因为角α的终边上有一点P(2,-4),所以点P到原点O的距离OP==2,所以sin α==-,cos α==,tan α==-2.
(2)因为角α的终边上有一点P(m,-4),所以点P到原点O的距离OP==,所以cos α=,由=,知m>0,所以m=3,所以sin α==-,tan α==-,所以sin α+m·tan α=-+3×=-.
15.BC [解析] 对于A,角θ终边经过点P(x0,y0),则角θ+π的终边经过点P'(-x0,-y0),所以μ(π+θ)=-=-μ(θ),所以A选项错误;对于B,因为μ(θ)=,ν(θ)=,所以μ2(θ)+ν2(θ)=+=,因为P(x0,y0),OP=r(r>0),所以r2=+,所以μ2(θ)+ν2(θ)=2,所以B选项正确;对于C,因为μ(θ)=,且θ∈(0,π),由三角函数定义可知,μ(θ)===sin θ+cos θ,所以sin θ+cos θ=,又sin2θ+cos2θ=1,解得sin θ=,cos θ=-,所以ν(θ)===sin θ-cos θ=,所以C选项正确;对于D,因为ν(θ)=,且θ∈(0,π),所以ν(θ)===sin θ-cos θ=,又sin2θ+cos2θ=1,所以sin θ=,cos θ=,所以μ(θ)===sin θ+cos θ=,所以=7,所以D选项错误.故选BC.
16.证明:设角θ的终边上任一点P(x,y),且点P与原点O不重合,则r=OP=,sin θ==,cos θ=.
∵θ为锐角,∴x>0,y>0,∴sin θ+cos θ====>1.
又sin θ+cos θ==≤=(当且仅当x=y时,等号成立),∴1