(共48张PPT)
7.2 三角函数概念
7.2.1 任意角的三角函数
第2课时 三角函数线
探究点一 作三角函数线
探究点二 利用三角函数线比较大小
探究点三 利用三角函数线解不等式
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切．
2.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.
知识点一 有向线段
规定了______（即规定了起点和终点）的线段称为有向线段.
类似地，可以把规定了正方向的直线称为有向直线．若有向线段
在有向直线上或与有向直线平行,根据有向线段与有向直线 的方
向相同或相反,分别把它的长度添上正号或负号,这样所得的数,叫作有
向线段的数量,记为 .
方向
知识点二 三角函数线
1.已知角 的终边位置（图中圆为单位圆），则角 的三条三角函
数线如图所示.
有向线段，,分别叫作角 的正弦线、余弦线、正切线，则
_____，_____， ____.
2.三角函数线的方向
正弦线由垂足指向角 的终边与单位圆的交点，余弦线由原点指向
垂足，正切线由切点指向切线与角 的终边或其反向延长线的交点．
知识点三 三角函数的定义域
三角函数 解析式 定义域
正弦函数 ___
余弦函数 ___
正切函数 _ ___________________
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）三角函数线的长度等于三角函数值．( )
×
（2）三角函数线的方向表示三角函数值的正负．( )
√
（3）角 与角 的正切线相同.( )
×
（4）任何角都有正切线.( )
×
探究点一 作三角函数线
例1 分别作出下列各角的正弦线、余弦线与正切线.
（1） ；
解：如图①，在直角坐标系中作单位圆,以 轴正半
轴为始边作 角,角的终边与单位圆交于点 ,作
轴,垂足为,过单位圆与轴正半轴的交点作
轴的垂线,与的反向延长线交于点,
则, ,,即 的正弦线为有向线段,
余弦线为有向线段 ,正切线为有向线段 .
例1 分别作出下列各角的正弦线、余弦线与正切线.
（2） .
解：如图②，在直角坐标系中作单位圆,以 轴正半轴
为始边作角,角的终边与单位圆交于点,作 轴,
垂足为,过单位圆与轴正半轴的交点作 轴的垂线,与
的延长线交于点,
则, , ,即的正弦线为
有向线段,余弦线为有向线段 ,正切线为有向线段 .
［素养小结］
（1）作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然
后过此交点作
轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线.
（2）作正切线时，应从点
引单位圆的切线交角的终边所在直
线于一点
，即可得到正切线
，要特别注意，当角的终边上一点
（与原点不重合）在
轴左侧时，应将角的终边反向延长，再按上述
作法来作正切线.
探究点二 利用三角函数线比较大小
例2 利用三角函数线比较下列各组数的大小：
（1） 与 ；
解：如图所示，在单位圆中，角 的终边为 ，角
的终边为,作出角 与 的正弦线、余弦线、
正切线，
由图观察可得， ，，
， ，，，
， .
.
探究点二 利用三角函数线比较大小
例2 利用三角函数线比较下列各组数的大小：
（2） 与 ；
解： .
（3） 与 .
解： .
［素养小结］
利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点：
（1）关键：在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线．
（2）注意点：既要注意三角函数线的长短，又要注意方向．
探究点三 利用三角函数线解不等式
例3 在单位圆中画出适合下列条件的角 的终边范围，并由此写出
角 的集合．
（1） ；
解：作直线，交单位圆于， 两点，连
接，，其中为原点，则射线与
（包括， ）围成的区域（图①中阴影部分）
即为角 的终边范围.
故满足条件的角 的集合为 .
例3 在单位圆中画出适合下列条件的角 的终边范围，并由此写出
角 的集合．
（2） .
解：作直线，交单位圆于，两点，连接
与，其中为原点，则射线与（包括 ，
）围成的区域（图②中的阴影部分）即为角 的
终边范围.
故满足条件的角 的集合为 .
变式 ［2025·江苏靖江中学高一月考］ 函数 的
定义域为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由题意，得，即 ，
作直线，交单位圆于,两点，连接, ，
其中为原点，则射线与（包括, ）围
成的区域（如图中的阴影部分）即为角 的终边的范围，
故，则函数 的定义域为
.故选B.
［素养小结］
1.利用三角函数线解基本的三角不等式的步骤：
（1）作出取等号时角的终边；
（2）利用三角函数线的直观性，在单位圆中确定满足不等式的角的
范围；
（3）将图中的范围用不等式表示出来．
2.求与三角函数有关的函数的定义域时，先转化为三角不等式（组），
然后借助三角函数线解此不等式（组）即可得函数的定义域．
练习册
1.如图，在单位圆中，关于角 的正弦线、
正切线的说法正确的是( )
A.正弦线为，正切线为
B.正弦线为，正切线为
C.正弦线为，正切线为
D.正弦线为，正切线为
[解析] 角 为第三象限角，其正弦线为，正切线为 .故选C.
√
2.设， ,则( )
A. B. C. D.
[解析] 作出单位圆以及角 的正弦线和余弦线 ,如图所示,
由图可知, ,故选B.
√
3.［2025·江苏盐城中学高一月考］角和角 有相同的( )
A.正弦线 B.余弦线 C.正切线 D.以上均不正确
[解析] 因为，所以角和角 的终边互
为反向延长线，即两个角的终边在同一条直线上，
设为直线，过点作单位圆的切线，与直线
的交点为（如图），可得， 都等于有
向线段 的数量，即两角有相同的正切线.故选C.
√
4.若，则 ， ， 的大小关系是( )
A. B.
C. D.
[解析] 如图所示，作出单位圆及角 的正弦线 ，
余弦线，正切线，
因为 ，所以
余弦线，正弦线的数量均为负值，正切线
的数量为正值，且，故 .故选C.
√
5.,, 的大小关系是( )
A. B.
C. D.
[解析] 作出单位圆,用三角函数线进行求解.
如图所示, 角的正弦线、余弦线、正切线分别
为有向线段,,,
由图有 ,即 .故选D.
√
6.使不等式成立的 的取值集合是( )
A.
B.
C.
D.
√
[解析] 由,得 ,
作单位圆与直线，如图，
设直线与单位圆交于, 两点，为原点，
连接，，可得角 的终边在图中阴影区域（含边界）内，
又，所以所求 的取值集合为
.
7.,, 从小到大的排列顺序是_____________________.
[解析] 如图所示,作出角的余弦线,角 的正弦
线和正切线,
可得, , ,
由,得 ，故 .
8.已知，在单位圆中，角 的正弦线、余弦线、正切线分
别是有向线段,, ，则它们的数量从大到小的顺序为_______
__________.
[解析] 如图，由图可知，当 时，
,，即 ，
，故当时， .
9.（13分）分别作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线,并利用它
们求出各角的正弦、余弦和正切值.
（1） ;
解：如图所示,其中有向线段,， 分别为正弦线、余弦线和
正切线.
,, .
9.（13分）分别作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线,并利用它
们求出各角的正弦、余弦和正切值.
（2） .
解：如图所示,其中有向线段,， 分别为正弦线、余弦线和
正切线.
,,
.
10.（13分）利用三角函数线,确定满足不等式的 的
取值范围.
解：如图，作出单位圆和直线, ,
设直线与单位圆交于点,（在轴下方），
与 轴交于点,
直线与单位圆交于点,（在 轴下方）,与轴交于点,
设为坐标原点，连接,, , .
在内,,
,则点 ,
,,分别在角,,, 的终边上.
又,结合图形可知,
当时, 或,
故 的取值范围为, 或
, .
11.依据三角函数线，下面四个选项中正确的是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 画出四个选项中所涉及角的三角函数线，如图，由图可知选B.
12.已知，， ，则( )
A. B. C. D.
[解析] 画出单位圆和 时对应的三角函数线
（正弦线和正切线 ），如图所示，
由三角函数的定义，可得，，
的长 ，
设扇形的面积为，则 ，连接 ，则
，
√
又 ，
且易 知，所以 ，可
得 ，.
因为 ，所以，即 .故选C.
13.（多选题）如图，在平面直角坐标系中，以
原点为圆心的圆与轴正半轴交于点 .已
知点在圆上，点在弧 上且位于第
一象限，点的坐标是 ，则下列说法
中正确的是( )
A.若 ，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
√
√
[解析] 对于A，由题知，圆 为单位圆，且单
位圆的半径为1，根据弧长公式有
，所以A正确.
对于B，因为， ，所以
，因为，所以当 时，
；当 时，
，所以B错误.
对于C，由对B的分析知，当时，
，则 与 不一
定相等，所以C错误.
对于D，当，即 时，
，所以D正确.故选 .
14.［2025·北京朝阳区期末］使不等式 成立的
的一个值是__________________.
（答案不唯一）
[解析] 结合单位圆中的正弦线、余弦线及正切线可知，当
时， ，可取
.
15.古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、
正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数这八种三
角函数的函数线合称为八线.其中余切函数 ，
正割函数，余割函数 ，正矢函数
，余矢函数. 如图，角 始
边为轴的非负半轴，其终边与单位圆交于点，， 分别是单位圆
与轴和轴正半轴的交点，过点作垂直轴，作垂直 轴，
垂足分别为，，过点作轴的垂线，过点作 轴
的垂线分别交 的终边于，，其中，， ,
为有向线段，下列结论正确的是 ( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 根据题意，易得 .对于
A， ，即
（ 为有向线段），故A错误；
对于B，根据三角函数定义结合相似三角形相似比，可得
（ 为有向线段），故B错误；
对于C，（ 为有向线段），故C正确；
对于D，根据三角函数定义结合相似三角形相似比，可得
（ 为有向线段），故D错误.故选C.
16.（15分）［2025·江苏常州中学高一月考］ 当 时，求
证： .
证明：如图，作单位圆，作角 的终边与单位圆交于
点，过点作垂直于轴于点 .
设单位圆与轴正半轴交于点，过点作 轴的垂线，
交射线于点，连接 ，
则,，的长，， .
由图知， ，即
，则，即 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 方向 知识点二 1.
知识点三
【诊断分析】 （1）× （2）√ （3）× （4）×
课中探究 探究点一 例1 略
探究点二 例2 （1）
（2）
（3）
探究点三 例3 （1）图略，角
的集合为
（2）图略，角
的集合为
.
变式 B
练习册
基础巩固 1.C 2.B 3.C 4.C 5.D 6.C 7.
8.
9.（1）图略，. m>,
,
（2）
,
,
10. m>,
或
,
综合提升 11.B 12.C 13.AD 14.（答案不唯一）
思维探索 15.C 16.证明略第2课时 三角函数线
【课前预习】
知识点一
方向
知识点二
1.MP OM AT
知识点三
R R
诊断分析
(1)× (2)√ (3)× (4)×
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)如图①,在直角坐标系xOy中作单位圆,以x轴正半轴为始边作π角,角的终边与单位圆交于点P,作PD⊥x轴,垂足为D,过单位圆与x轴正半轴的交点A作x轴的垂线,与OP的反向延长线交于T点,则sinπ=DP,cosπ=OD,tanπ=AT,即π的正弦线为有向线段DP,余弦线为有向线段OD,正切线为有向线段AT.
(2)如图②,在直角坐标系xOy中作单位圆,以x轴正半轴为始边作-角,角的终边与单位圆交于点P,作PD⊥x轴,垂足为D,过单位圆与x轴正半轴的交点A作x轴的垂线,与OP的延长线交于T点,则sin=DP,cos=OD,tan=AT,即-的正弦线为有向线段DP,余弦线为有向线段OD,正切线为有向线段AT.
探究点二
例2 解:如图所示,在单位圆中,角π的终边为OP1,角π的终边为OP2,作出角π与π的正弦线、余弦线、正切线,由图观察可得M1P1>M2P2,AT1OM2,sinπ=M1P1,sinπ=M2P2,tanπ=AT1,tanπ=AT2,cosπ=OM1,cosπ=OM2.
(1)sinπ>sinπ.
(2)tanπ(3)cosπ>cosπ.
探究点三
例3 解:(1)作直线y=,交单位圆于A,B两点,连接OA,OB,其中O为原点,则射线OA与OB(包括OA,OB)围成的区域(图①中阴影部分)即为角α的终边范围.故满足条件的角α的集合为.
(2)作直线x=-,交单位圆于C,D两点,连接OC与OD,其中O为原点,则射线OC与OD(包括OC,OD)围成的区域(图②中的阴影部分)即为角α的终边范围.故满足条件的角α的集合为.
变式 B [解析] 由题意,得2sinx-1≥0,即sinx≥,作直线y=,交单位圆于M,N两点,连接OM,ON,其中O为原点,则射线OM与ON(包括OM,ON)围成的区域(如图中的阴影部分)即为角x的终边的范围,故x∈(k∈Z),则函数f(x)的定义域为(k∈Z).故选B.第2课时 三角函数线
1.C [解析] 角α为第三象限角,其正弦线为MP,正切线为AT.故选C.
2.B [解析] 作出单位圆以及角π的正弦线MP和余弦线OM,如图所示,由图可知,b<03.C [解析] 因为=π+,所以角和角的终边互为反向延长线,即两个角的终边在同一条直线上,设为直线l,过点A(1,0)作单位圆的切线,与直线l的交点为T(如图),可得tan,tan都等于有向线段AT的数量,即两角有相同的正切线.故选C.
4.C [解析] 如图所示,作出单位圆及角α的正弦线MP,余弦线OM,正切线AT,因为-<α<-,所以余弦线OM,正弦线MP的数量均为负值,正切线AT的数量为正值,且OM>MP,故sin α5.D [解析] 作出单位圆,用三角函数线进行求解.如图所示,1 rad角的正弦线、余弦线、正切线分别为有向线段MP,OM,AT,由图有OM6.C [解析] 由-2sin x≥0,得sin x≤,作单位圆与直线y=,如图,设直线y=与单位圆交于A,B两点,O为原点,连接OA,OB,可得角x的终边在图中阴影区域(含边界)内,又sin=sin=,所以所求x的取值集合为.
7.cos[解析] 如图所示,作出角的余弦线ON,角的正弦线MP和正切线AT,可得cos<0,tan>0,sin>0,由MP8.AT>MP>OM [解析] 如图,由图可知,当α∈时,cos α1,即OM1,故当α∈时,AT>MP>OM.
9.解:如图所示,其中有向线段MP,OM,AT分别为正弦线、余弦线和正切线.
(1)sin=-,cos=-,tan=.
(2)sin=-,cos=,tan=-.
10.解:如图,作出单位圆和直线x=-,x=,设直线x=-与单位圆交于点P1,P2(P2在x轴下方),与x轴交于点M1,直线x=与单位圆交于点P3,P4(P4在x轴下方),与x轴交于点M2,设O为坐标原点,连接OP1,OP2,OP3,OP4.
在[-π,π)内,cos=cos=-,cos=cos=,则点P1,P2,P3,P4分别在角,-,,-的终边上.
又-≤cos θ<,结合图形可知,当θ∈[-π,π)时,-≤θ<-或<θ≤,故θ的取值范围为2kπ-≤θ<2kπ-,k∈Z或2kπ+<θ≤2kπ+,k∈Z.
11.B [解析] 画出四个选项中所涉及角的三角函数线,如图,由图可知选B.
12.C [解析] 画出单位圆O和θ∈时对应的三角函数线(正弦线AC和正切线BD),如图所示,由三角函数的定义,可得sin θ=AC,tan θ=BD,的长l=θ,设扇形OBC的面积为S1,则S1=θ,连接BC,则S△OBC=OB·AC=sin θ,又S△OBD=OB·BD=tan θ,且易知S△OBC13.AD [解析] 对于A,由题知,圆O为单位圆,且单位圆的半径为1,根据弧长公式有=1·α=α,所以A正确.对于B,因为y1=sin∠AOB,y1=sin x0,所以sin∠AOB=sin x0,因为x1=cos∠AOB,所以当0≤x1≤1时,x1===|cos x0|;当-1≤x1<0时,x1=-=-=-|cos x0|,所以B错误.对于C,由对B的分析知,当y1=sin x0时,sin∠AOB=sin x0,则=∠AOB与x0不一定相等,所以C错误.对于D,当=x0,即∠AOB=x0时,y1=sin∠AOB=sin x0,所以D正确.故选AD.
14.(答案不唯一) [解析] 结合单位圆中的正弦线、余弦线及正切线可知,当-+2kπ<θ<2kπ(k∈Z)时,cos θ>sin θ>tan θ,可取θ=.
15.C [解析] 根据题意,易得△OMP∽△OAT∽△SBO.对于A,1-cos θ=1-OM=OA-OM=MA,即versin θ=MA(MA为有向线段),故A错误;对于B,根据三角函数定义结合相似三角形相似比,可得csc θ=====OS(OS为有向线段),故B错误;对于C,cot θ===BS(BS为有向线段),故C正确;对于D,根据三角函数定义结合相似三角形相似比,可得sec θ=====OT(OT为有向线段),故D错误.故选C.
16.证明:如图,作单位圆,作角x的终边与单位圆交于点P,过点P作PM垂直于x轴于点M.
设单位圆与x轴正半轴交于点A,过点A作x轴的垂线,交射线OP于点T,连接PA,
则sin x=MP,tan x=AT,的长=x,OA=1,∠AOP=x rad.由图知,S△AOP【学习目标】
1.用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.
2.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.
◆ 知识点一 有向线段
规定了 (即规定了起点和终点)的线段称为有向线段.
类似地,可以把规定了正方向的直线称为有向直线.若有向线段AB在有向直线l上或与有向直线l平行,根据有向线段AB与有向直线l的方向相同或相反,分别把它的长度添上正号或负号,这样所得的数,叫作有向线段的数量,记为AB.
◆ 知识点二 三角函数线
1.已知角α的终边位置(图中圆为单位圆),则角α的三条三角函数线如图所示.
有向线段MP,OM,AT分别叫作角α的正弦线、余弦线、正切线,则sin α= ,cos α= ,tan α= .
2.三角函数线的方向
正弦线由垂足指向角α的终边与单位圆的交点,余弦线由原点指向垂足,正切线由切点指向切线与角α的终边或其反向延长线的交点.
◆ 知识点三 三角函数的定义域
三角函数 解析式 定义域
正弦函数 y=sin α
余弦函数 y=cos α
正切函数 y=tan α
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)三角函数线的长度等于三角函数值. ( )
(2)三角函数线的方向表示三角函数值的正负. ( )
(3)角60°与角120°的正切线相同. ( )
(4)任何角都有正切线. ( )
◆ 探究点一 作三角函数线
例1 分别作出下列各角的正弦线、余弦线与正切线.
(1);(2)-.
[素养小结]
(1)作正弦线、余弦线时,首先找到角的终边与单位圆的交点,然后过此交点作x轴的垂线,得到垂足,从而得到正弦线和余弦线.
(2)作正切线时,应从点A(1,0)引单位圆的切线交角的终边所在直线于一点T,即可得到正切线AT,要特别注意,当角的终边上一点(与原点不重合)在y轴左侧时,应将角的终边反向延长,再按上述作法来作正切线.
◆ 探究点二 利用三角函数线比较大小
例2 利用三角函数线比较下列各组数的大小:
(1)sinπ与sinπ;
(2)tanπ与tanπ;
(3)cosπ与cosπ.
[素养小结]
利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点:
(1)关键:在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线.
(2)注意点:既要注意三角函数线的长短,又要注意方向.
◆ 探究点三 利用三角函数线解不等式
例3 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边范围,并由此写出角α的集合.
(1)sin α≥;(2)cos α≤-.
变式 [2025·江苏靖江中学高一月考] 函数f(x)=的定义域为 ( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
[素养小结]
1.利用三角函数线解基本的三角不等式的步骤:
(1)作出取等号时角的终边;
(2)利用三角函数线的直观性,在单位圆中确定满足不等式的角的范围;
(3)将图中的范围用不等式表示出来.
2.求与三角函数有关的函数的定义域时,先转化为三角不等式(组),然后借助三角函数线解此不等式(组)即可得函数的定义域.第2课时 三角函数线
1.如图,在单位圆中,关于角α的正弦线、正切线的说法正确的是 ( )
A.正弦线为PM,正切线为A'T'
B.正弦线为MP,正切线为A'T'
C.正弦线为MP,正切线为AT
D.正弦线为PM,正切线为AT
2.设a=sin,b=cos,则 ( )
A.aC.b3.[2025·江苏盐城中学高一月考] 角和角有相同的 ( )
A.正弦线 B.余弦线
C.正切线 D.以上均不正确
4.若-<α<-,则sin α,cos α,tan α的大小关系是 ( )
A.sin αB.cos αC.sin αD.tan α5.cos 1,sin 1,tan 1的大小关系是 ( )
A.sin 1B.sin 1C.cos 1D.cos 16.使不等式-2sin x≥0成立的x的取值集合是 ( )
A.
B.
C.
D.
7.sin,cos,tan从小到大的排列顺序是 .
8.已知α∈,在单位圆中,角α的正弦线、余弦线、正切线分别是有向线段MP,OM,AT,则它们的数量从大到小的顺序为 .
9.(13分)分别作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线,并利用它们求出各角的正弦、余弦和正切值.
(1)-;(2)-.
10.(13分)利用三角函数线,确定满足不等式-≤cos θ<的θ的取值范围.
11.依据三角函数线,下面四个选项中正确的是 ( )
A.sin=sin B.cos=cos
C.tan>tan D.sin12.已知a=,b=sin,c=tan,则 ( )
A.cC.b13.(多选题)如图,在平面直角坐标系中,以原点O为圆心的圆与x轴正半轴交于点A(1,0).已知点B(x1,y1)在圆O上,点C在弧AB上且位于第一象限,点T的坐标是(x0,sin x0),则下列说法中正确的是 ( )
A.若∠AOB=α,则=α
B.若y1=sin x0,则x1=x0
C.若y1=sin x0,则=x0
D.若=x0,则y1=sin x0
14.[2025·北京朝阳区期末] 使不等式cos θ>sin θ>tan θ成立的θ的一个值是 .
15.古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数cot θ=,正割函数sec θ=,余割函数csc θ=,正矢函数versin θ=1-cos θ,余矢函数vercos θ=1-sin θ.如图,角θ始边为x轴的非负半轴,其终边与单位圆交于点P,A,B分别是单位圆O与x轴和y轴正半轴的交点,过点P作PM垂直x轴,作PN垂直y轴,垂足分别为M,N,过点A作x轴的垂线,过点B作y轴的垂线分别交θ的终边于T,S,其中AM,PS,BS,NB为有向线段,下列结论正确的是 ( )
A.versin θ=AM B.csc θ=PS
C.cot θ=BS D.sec θ=NB
16.(15分)[2025·江苏常州中学高一月考] 当x∈时,求证:sin x