(共65张PPT)
7.2 三角函数概念
7.2.2 同角三角函数关系
探究点一 求值问题
探究点二 与 的关系的应用
探究点三 由正切求齐次式的值
探究点四 三角函数式的化简与证明
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
理解同角三角函数的基本关系式： ,
.
知识点一 同角三角函数的基本关系
1.平方关系:_________________.
2.商数关系:_____________________________.
这就是说,同一个角 的正弦、余弦的________等于1,商等于角 的
______.
平方和
正切
知识点二 同角三角函数基本关系式的常用变形
1.__________________________ _______________.
2.__________，_______, __________，
______ .
3.______ ,______ .
4.切化弦:_ ____________;弦化切:____________.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）对任意角 ， 都成立.( )
×
[解析] 当 时， 不成立.
（2）若,则 .( )
[解析] 由得 ,又 ，所以
.
√
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（3）已知,则 .( )
√
[解析] ,且 ,, ,
,
又 , .
探究点一 求值问题
例1（1）已知,,求 ， 的值.
解：方法一：由已知得由①得 ,
代入②得,所以 ,
又,所以,所以 ，
所以 .
方法二：因为，所以由 得
，所以 ,
又,所以 ,
所以，所以 .
（2）已知，求 ， 的值.
解：因为，，所以 是第三或第四象限角.由
得 .
如果 是第三象限角，那么，于是 ，
从而 ；
如果 是第四象限角，那么，于是 ，从而
.
综上所述，当 是第三象限角时，， ；
当 是第四象限角时，， .
变式（1）已知， 为第二象限角，求 ， 的值.
解：因为，且 ，所以，
又 为第二象限角，所以 ，
所以， .
（2）已知 是第三象限角，且，求 ， 的值.
解：因为 是第三象限角，所以， ，
由题得则， .
［素养小结］
求三角函数值的方法
（1）已知或求 常用以下方法求解.
（2）已知 求 或 常用以下方法求解.
当角 的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而
对角 分区间（象限）讨论.
探究点二 与 的关系的应用
例2 已知，求 和
的值.
解：因为，所以 ，
即，所以.
易知 为第二象限角，所以 ，所以
.
变式 已知 ， 是关于的方程 的两个根．
（1）求实数 的值；
解：由题意得，即或 ，
， .
因为 ，
所以，解得或 ，
经验证，均符合题意，所以或 .
变式 已知 ， 是关于的方程 的两个根．
（2）若 是第四象限角，求 的值．
解：因为 是第四象限角，所以，，所以
且 ，
所以 ，
即 .
［素养小结］
， ， 三个式子中，已知其中
一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是
.
探究点三 由正切求齐次式的值
例3 ［2025·江苏淮安金湖中学高一月考］已知 ，求下列各
式的值：
（1） ；
解： .
（2） ；
解： .
例3 ［2025·江苏淮安金湖中学高一月考］已知 ，求下列各
式的值：
（3） .
解： .
变式 ［2025·江苏扬州中学高一月考］
（1）已知角 的终边经过点，求 的值.
解：由角 的终边经过点，可知 ，则
.
变式 ［2025·江苏扬州中学高一月考］
（2）若，求 的值.
解：由，得 ，
所以 ，所以
.
［素养小结］
已知,求或时,可结合平方关系
解方程组求解;求分子、分母都是 与 的
同次次表达式的值时,常用分子、分母同除以 化切求解,分
母是1的用 代换;求 与 的整式表达式的
值时,常利用 化为关于 的表达式求解.
探究点四 三角函数式的化简与证明
例4 化简下列各式：
（1） ；
解：原式 .
（2） ；
解： .
例4 化简下列各式：
（3） .
解： .
变式 化简下列各式：
（1） ；
解：原式 .
变式 化简下列各式：
（2） .
解：方法一:原式
.
方法二:原式
.
方法三:原式
.
［素养小结］
三角函数式的化简技巧：
（1）化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数
名称，达到化繁为简的目的.
（2）对于含有根号的式子，常把根号里面的部分化成完全平方式，
然后去根号达到化简的目的.
（3）对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造
，以降低次数，达到化简的目的.
例5 求证： .
证明：方法一，因为右边
左边，所以原等式成立.
方法二，因为左边 ，右边
，所以左边 右边，原等式成立.
变式 已知,求证: .
证明：由,可得 ,
即,故有 ,
整理得,即 ,
展开得,即 .
［素养小结］
证明三角恒等式的实质是清除等式两端的差异,有目的地化简.
证明三角恒等式的基本原则:由繁到简.
常用方法:从左向右证;从右向左证;左、右归一.
常用技巧:“切”化“弦”、整体代换、“1”的代换、方程思想.
1.应用同角三角函数的基本关系式时应注意：
（1）“角相同”，如与， 与 ，与 都是同一个角，
要有一个整体思想；
（2）对“任意”一个角（使得函数有意义的前提下），关系式都成立；
（3）平方关系式中的 是的简写，不能写成 .
2.根据问题的需要，应注意用同角三角函数的基本关系式的变形和逆
用.基本关系式常见的变形： ，
， ， ,
, 等.
1.已知角 的一个三角函数值,求其他三角函数值
解决此类问题时，要注意:①认真确定角 的终边所在的象限,以便确
定三角函数值的符号;②尽可能地避免使用平方关系,以免造成不必要
的讨论;③必要时进行讨论.
例1（1）已知， 为第二象限角，求 和 的值；
解：由已知有， ，则
.
所以 .
（2）已知，求 ， 的值.
解：因为，所以角 是第二或第三象限角.
当角 是第二象限角时，，又因为 ，
，所以，所以 ；
当角 是第三象限角时，，又因为 ，
，所以，所以 .
2.利用 与 的关系计算
对于三角函数式 , , ,它们之间可
通过 ,
进行转换.若已知 ,
, 中的一个,则可求其余两个函数式的值.
例2 （多选题）［2025·四川凉山州高一期末］ 已知 ,
，则( )
A. 为第二象限角 B.
C. D.
√
√
√
[解析] 对于B，因为 ，所以
，则，故B正确；
对于A，因为 ，所以，又，所以，所以 为第一象限角，故A错误；
，故C正确；
对于D，，故D正确.故选 .
3.三角齐次式求值
已知 的值,求关于 , 的齐次式的值一般有两种方法:
一种是将分子分母（若不是分式形式，则利用 变
为分式形式）同时除以,构造关于 的表达式,再
整体代入 的值求解;另一种是将 化为,找出 与
的关系再代入求解.
例3 已知 .
（1）求 的值；
解：因为，所以 .
（2）求 的值.
解：因为 ，所以
.
练习册
1.已知，，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由，，得 ， ，
则 .故选D.
√
2.化简 的结果是( )
A. B. C. D.
[解析] .故选B.
√
3.化简 的结果是( )
A. B. C. D.
[解析] .
√
4.［2025·广西玉林四校高一联考］已知 ，
则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为 ，所以
，所以 ，
则 ，所以
.故选D.
√
5.已知,则 等于( )
A. B. C.2 D.
[解析] 由，可得 .
√
6.已知 是第三象限角，且，则 的值为
( )
A. B. C. D.
[解析] 由，得 ，
所以.
因为 是第三象限角，所以 ，，
所以 .故选A.
√
7.已知，，则 ______.
[解析] 由，，得， .
由，得，则 ，
又 ，.
又， .
8.已知，则 ____.
[解析] 由 ，两边同时平方，得
，所以
，
又 ，所以, ，所以 .
因为 ，所以
.
9.（13分）求证： .
证明： 左边
右边, 原
等式成立.
10.（13分）［2025·江苏四校高一期末］
（1）已知，求 的值；
解：由，化简得 ，
因此 .
所以
.
10.（13分）［2025·江苏四校高一期末］
（2）已知，且，求 的值.
解：因为 ，所以 ，
则 ，
因为，所以, ，所以
，
则 .
11.若 ，则化简 的结果是( )
A. B. C. D.
√
[解析] ， ，则
，故选A.
12.（多选题）下列等式中恒成立的是( )
A.
B.
C.
D.
[解析] 由同角三角函数的基本关系知，A,BC中等式显然恒成立；
对于D，当,时， 无意义，等式不成立.故选
.
√
√
√
13.（多选题）［2025·江苏徐州一中高一检测］ 已知 ，且
，则( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 对A，B，由题意得 ，即
，故，
因为 ，所以,，则 ，故A，B
均正确；
对C，D，，因为 ，
所以，故C错误，D正确.故选 .
14.已知 是的内角，且，则
的值为___.
[解析] 由 的两边同时平方，可得
，则.
因为 是 的内角，所以，所以 ，所以
.
15.已知 ， 是方程 的两个实数根，则
实数 的值为____.
[解析] 因为 ， 是方程 的两个实数根，
所以
由 ，得，
所以 ，满足，则 .
16.（15分）
（1）计算，， 的值，你有什么发
现？
解：因为，
， ，
所以,, 的值相等.
16.（15分）
（2）计算，， 的值，你有什么发
现？
（3）证明：， .
证明： ,
.
解：因为，， ，
所以,， 的值相等.
16.（15分）
（4）推测，与 的关系，不需证明
解：推测, .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 1. 2. 平方和 正切
知识点二 1. 2.
3. 4.
【诊断分析】 （1）× （2）√ （3）√
课中探究 探究点一 例1 （1），
（2）当 是第三象限角时，，；当 是第四象限角时，，.
变式 （1）， （2），
探究点二 <， 变式（1）或（2）
探究点三 例3 （1） （2） 变式 （1） （2）
探究点四 例4 （1）原式 （2）原式 （3）
变式 （1）原式 （2）原式练习册
基础巩固 1.D 2.B 3.A 4.D 5.B 6.A 7. 8. 9.证明略
10.（1）（2）
综合提升 11.A 12.ABC 13.ABD 14.
思维探索 15.
16.（1）,,的值相等，都为
（2）,，的值相等
（3）证明：, .
（4）推测,.7.2.2 同角三角函数关系
【课前预习】
知识点一
1.sin2α+cos2α=1
2.tan α= 平方和 正切
知识点二
1.sin2α+cos2α±2sin αcos α 1±2sin αcos α
2. 1-cos2α sin α 1-sin2α cos α
3.sin α cos α
4.tan α= =tan α
诊断分析
(1)× (2)√ (3)√ [解析] (1)当α=π时,=tan不成立.
(2)由sin θ+cos θ=0得sin θ=-cos θ,又cos θ≠0,所以tan θ===-1.
(3)∵sin αcos α=>0,且0<α<π,∴0<α<,∴sin α>0,cos α>0,又(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=1+=,∴sin α+cos α=.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)方法一:由已知得由①得sin α=2cos α,代入②得4cos2α+cos2α=1,所以cos2α=,
又α∈,所以cos α<0,所以cos α=-,
所以sin α=2cos α=-.
方法二:因为tan α=2,所以由sin2α+cos2α=1得=1+tan2α,所以cos2α==,
又α∈,所以cos α<0,
所以cos α=-,所以sin α=cos αtan α=-.
(2)因为sin α<0,sin α≠-1,所以α是第三或第四象限角.由sin2α+cos2α=1得cos2α=1-sin2α=1-=.
如果α是第三象限角,那么cos α<0,于是cos α=-=-,从而tan α==×=;
如果α是第四象限角,那么cos α>0,于是cos α==,从而tan α==×=-.
综上所述,当α是第三象限角时,cos α=-,tan α=;
当α是第四象限角时,cos α=,tan α=-.
变式 解:(1)因为sin α=,且sin2α+cos2α=1,
所以cos2α=1-sin2α=,又α为第二象限角,所以cos α<0,所以cos α=-,tan α==-.
(2)因为α是第三象限角,所以sin α<0,cos α<0,
由题得则cos α=-,sin α=-.
探究点二
例2 解:因为sin θ+cos θ=(0<θ<π),所以(sin θ+cos θ)2=,即sin2θ+2sin θcos θ+cos2θ=,所以sin θcos θ=-.易知θ为第二象限角,所以sin θ-cos θ>0,所以sin θ-cos θ===.
变式 解:(1)由题意得Δ=8a2-4a≥0,即a≤0或a≥,sin θ+cos θ=2a,sin θ·cos θ=a.
因为(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=8a2,
所以1+2a=8a2,解得a=-或a=,经验证,均符合题意,所以a=-或a=.
(2)因为θ是第四象限角,所以sin θ<0,cos θ>0,所以a=-且sin θ-cos θ<0,
所以(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=,
即sin θ-cos θ=-.
探究点三
例3 解:(1)===.
(2)===.
(3)5sin2α+3sin αcos α-2=5sin2α+3sin αcos α-2(sin2α+cos2α)=3sin αcos α+3sin2α-2cos2α=
==
=.
变式 解:(1)由角θ的终边经过点P(4,-3),可知tan θ=-,则==-.
(2)由=,得3sin α=-cos α,
所以tan α=-,所以sin2α-3sin αcos α-2cos2α===
=.
探究点四
例4 解:(1)原式===1.
(2)-====-2tan2α.
(3)==
=1.
变式 解:(1)原式=sin2α·+cos2α·+2sin αcos α===.
(2)方法一:原式==
=.
方法二:原式==
=
==.
方法三:原式==
===.
例5 证明:方法一,因为右边==
==
==左边,所以原等式成立.
方法二,因为左边==,右边====
=,所以左边=右边,原等式成立.
变式 证明:由tan2α=2tan2β+1,可得tan2β=(tan2α-1),即=,故有==×,整理得=,即sin2β(1-sin2α)=(1-sin2β),展开得sin2β=sin2α-,即sin2β=2sin2α-1.7.2.2 同角三角函数关系
1.D [解析] 由cos θ=>0,θ∈(π,2π),得<θ<2π,∴sin θ<0,
则sin θ=-=-=-.故选D.
2.B [解析] ==|cos 170°|=-cos 170°.故选B.
3.A [解析] (1-cos α)=(1-cos α)===sin α.
4.D [解析] 因为sin α+cos α=3cos αtan α=3sin α,所以cos α=2sin α,所以tan α=,则cos2αtan α=cos αsin α====,所以cos2αtan α-1=-1=-.故选D.
5.B [解析] 由1-sin2x=cos2x,可得=-=-.
6.A [解析] 由sin4θ+cos4θ=,得(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=,所以sin2θcos2θ=.因为θ是第三象限角,所以sin θ<0,cos θ<0,所以sin θcos θ=.故选A.
7.- [解析] 由tan α=5>0,α∈,得π<α<,∴cos α<0.由tan α=5,得=5,则sin α=5cos α,又sin2α+cos2α=1,∴cos2α=.又cos α<0,∴cos α=-.
8.- [解析] 由sin θ-cos θ=,两边同时平方,得sin2θ-2sin θcos θ+cos2θ=1-2sin θcos θ=,所以2sin θcos θ=>0,又π<θ≤2π,所以sin θ<0,cos θ<0,所以sin θ+cos θ<0.因为(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=1+=,所以sin θ+cos θ=-.
9.证明:∵左边==
====右边,∴原等式成立.
10.解:(1)由=3,化简得4cos α=2sin α,
因此tan α==2.所以sin2α-2sin αcos α====0.
(2)因为sin α-cos α=,所以(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=,则sin αcos α=>0,
因为α∈(0,π),所以sin α>0,cos α>0,
所以cos α+sin α====,则+===.
11.A [解析] ∵<α<π,∴cos α<0,则-=-
=-=-=-+=-=-2tan α,故选A.
12.ABC [解析] 由同角三角函数的基本关系知,A,B,C中等式显然恒成立;对于D,当α=kπ+,k∈Z时,tan α无意义,等式不成立.故选ABC.
13.ABD [解析] 对A,B,由题意得(sin α+cos α)2=,即1+2sin αcos α=,故sin αcos α=-,因为α∈(0,π),所以sin α>0,cos α<0,则<α<π,故A,B均正确;对C,D,(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=,因为<α<π,所以cos α-sin α=-,故C错误,D正确.故选ABD.
14. [解析] 由sin α+cos α=的两边同时平方,可得1+2sin αcos α=,则2sin αcos α=-<0.因为α是△ABC的内角,所以sin α>0,所以cos α<0,所以sin α-cos α====.
15.- [解析] 因为sin θ,cos θ是方程2x2+x+m=0的两个实数根,所以由(sin θ+cos θ)2=,得1+2sin θcos θ=,所以m=2sin θcos θ=-1=-,满足Δ≥0,则m=-.
16.解:(1)因为cos4-sin4==cos2-sin2=-=,cos2-sin2=-=,cos=,
所以cos4-sin4,cos2-sin2,cos的值相等.
(2)因为cos4-sin4==cos2-sin2=-=0,
cos2-sin2=-=0,cos=0,所以cos4-sin4,cos2-sin2,cos的值相等.
(3)证明: x∈R,cos4x-sin4x=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)=cos2x-sin2x.
(4)推测 x∈R,cos2x-sin2x=cos 2x.7.2.2 同角三角函数关系
【学习目标】
理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,=tan x.
◆ 知识点一 同角三角函数的基本关系
1.平方关系: .
2.商数关系: .
这就是说,同一个角α的正弦、余弦的 等于1,商等于角α的 .
◆ 知识点二 同角三角函数基本关系式的常用
变形
1.(sin α±cos α)2= = .
2.sin2α= , =±,cos2α= , =±.
3. =cos α·tan α, =.
4.切化弦: ;弦化切: .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)对任意角α,=tan都成立. ( )
(2)若sin θ+cos θ=0,则tan θ=-1. ( )
(3)已知sin αcos α=(0<α<π),则sin α+cos α=. ( )
◆ 探究点一 求值问题
例1 (1)已知α∈,tan α=2,求cos α,sin α的值.
(2)已知sin α=-,求cos α,tan α的值.
变式 (1)已知sin α=,α为第二象限角,求cos α,tan α的值.
(2)已知α是第三象限角,且tan α=,求sin α,cos α的值.
[素养小结]
求三角函数值的方法
(1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方法求解.
(2)已知tan θ求 sin θ(或cos θ)常用以下方法求解.
当角θ的范围不确定且涉及开方时,常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论.
◆ 探究点二 sin α±cos α与sin αcos α的关系的应用
例2 已知sin θ+cos θ=(0<θ<π),求sin θcos θ和sin θ-cos θ的值.
变式 已知sin θ,cos θ是关于x的方程x2-2ax+a=0的两个根.
(1)求实数a的值;
(2)若θ是第四象限角,求sin θ-cos θ的值.
[素养小结]
sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α三个式子中,已知其中一个,可以求其他两个,即“知一求二”,它们之间的关系是(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α.
◆ 探究点三 由正切求齐次式的值
例3 [2025·江苏淮安金湖中学高一月考] 已知tan α=3,求下列各式的值:
(1);
(2);
(3)5sin2α+3sin αcos α-2.
变式 [2025·江苏扬州中学高一月考] (1)已知角θ的终边经过点P(4,-3),求的值.
(2)若=,求sin2α-3sin αcos α-2cos2 α的值.
[素养小结]
已知tan α=m,求sin α(或cos α)时,可结合平方关系sin2α+cos2α=1解方程组求解;求分子、分母都是sin α与cos α的同次(k次)表达式的值时,常用分子、分母同除以coskα化切求解,分母是1的用1=sin2α+cos2α代换;求sin α与cos α的整式表达式的值时,常利用sin α=mcos α化为关于cos α的表达式求解.
◆ 探究点四 三角函数式的化简与证明
例4 化简下列各式:(1);
(2)-;
(3).
变式 化简下列各式:
(1)sin2αtan α++2sin αcos α;
(2).
[素养小结]
三角函数式的化简技巧:
(1)化切为弦,即把正切函数都化为正、余弦函数,从而减少函数名称,达到化繁为简的目的.
(2)对于含有根号的式子,常把根号里面的部分化成完全平方式,然后去根号达到化简的目的.
(3)对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造sin2α+cos2α=1,以降低次数,达到化简的目的.
例5 求证:=.
变式 已知tan2α=2tan2β+1,求证:sin2β=2sin2α-1.
[素养小结]
证明三角恒等式的实质是清除等式两端的差异,有目的地化简.
证明三角恒等式的基本原则:由繁到简.
常用方法:从左向右证;从右向左证;左、右归一.
常用技巧:“切”化“弦”、整体代换、“1”的代换、方程思想.7.2.2 同角三角函数关系
1.已知cos θ=,θ∈(π,2π),则sin θ= ( )
A. B.
C.- D.-
2.化简的结果是 ( )
A.cos 170° B.-cos 170°
C.±cos 170° D.±|cos 170°|
3.化简(1-cos α)的结果是 ( )
A.sin α B.cos α
C.1+sin α D.1+cos α
4.[2025·广西玉林四校高一联考] 已知sin α+cos α=3cos αtan α,则cos2αtan α-1= ( )
A.- B.-
C.- D.-
5.已知=,则等于 ( )
A. B.- C.2 D.-2
6.已知θ是第三象限角,且sin4θ+cos4θ=,则sin θcos θ的值为 ( )
A. B.- C. D.-
7.已知tan α=5,α∈,则cos α= .
8.已知sin θ-cos θ=(π<θ≤2π),则sin θ+cos θ= .
9.(13分)求证:=.
10.(13分)[2025·江苏四校高一期末] (1)已知=3,求sin2α-2sin αcos α的值;
(2)已知sin α-cos α=,且α∈(0,π),求+的值.
11.若<α<π,则化简-的结果是 ( )
A.-2tan α B.2tan α
C. D.-
12.(多选题)下列等式中恒成立的是 ( )
A.sin21=1-cos21
B.sin22+cos22=sin23+cos23
C.(sin 2x+cos 2x)2=1+2sin 2xcos 2x
D.sin α=tan αcos α
13.(多选题)[2025·江苏徐州一中高一检测] 已知α∈(0,π),且sin α+cos α=,则 ( )
A.<α<π
B.sin αcos α=-
C.cos α-sin α=
D.cos α-sin α=-
14.已知α是△ABC的内角,且sin α+cos α=,则sin α-cos α的值为 .
15.已知sin θ,cos θ是方程2x2+x+m=0的两个实数根,则实数m的值为 .
16.(15分)(1)计算cos4-sin4,cos2-sin2,cos的值,你有什么发现
(2)计算cos4-sin4,cos2-sin2,cos的值,你有什么发现
(3)证明: x∈R,cos4x-sin4x=cos2x-sin2x.
(4)推测 x∈R,cos2x-sin2x与cos 2x的关系,不需证明.
