(共51张PPT)
7.2 三角函数概念
7.2.3 三角函数的诱导公式
第1课时 诱导公式（一）
探究点一 给角求值
探究点二 给值（式）求值
探究点三 三角函数式的化简
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
备课素材
【学习目标】
掌握诱导公式一~四并能运用诱导公式进行求值、化简.
知识点一 角之间的对称关系
设 为任意角，则 ， ， 的终边与 的终边之间的
对称关系如下表：
相关角 终边之间的对称关系
与 关于______对称
与 关于_____对称
与 关于_____对称
原点
轴
轴
知识点二 诱导公式一～四
（1）公式一：______， ______，
______，其中 .
（2）公式二：________，______，
_______.
（3）公式三：______， ________，
_______.
（4）公式四：________, ________，
______.
知识点三 诱导公式的应用
诱导公式 作用
公式一 将角转化为 范围内的角求值
公式二 将负角转化为正角求值
公式三 将~ 范围内的角转化为 范围内的角求值
公式四 将 范围内的角转化为 范围内的角求
值
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）诱导公式二可以将任意负角的三角函数值转化为正角的三角函
数值.( )
√
（2）诱导公式中的角 一定是锐角.( )
×
（3）由诱导公式二知 .( )
×
（4）在中， .( )
√
探究点一 给角求值
例1 求下列三角函数值.
（1） ____；
[解析] .
例1 求下列三角函数值.
（2） _ ____；
[解析] 方法一：
.
方法二： .
例1 求下列三角函数值.
（3） ___；
1
[解析] .
例1 求下列三角函数值.
（4） ______.
[解析] 原式 .
［素养小结］
利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤:
（1）“负化正”——用公式一或二来转化;
（2）“大化小”——用公式一将角化为 到 的角;
（3）“小化锐”——用公式三或四将大于 的角转化为锐角;
（4）“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值.
探究点二 给值（式）求值
例2（1）若且，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，且 ，所以
，所以 .
√
（2）已知，则 的值为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意，得，即 ，
， .
√
（3）已知，且 为第四象限角，则
_ ___.
[解析] 因为,且 是第四象限角，所以
是第三象限角.
因此.
又因为 ,所以
.
变式（1）已知，求 的值；
解： ，
，
.
（2）若 ，求
的值；
解：由，得，所以 .
（3）已知，化简并求 的值.
解： ，则
.
探究点三 三角函数式的化简
例3 化简下列各式.
（1） _______；
[解析] 原式
.
例3 化简下列各式.
（2） ____.
[解析] 原式
.
变式 设为整数，化简 .
解：方法一，当为偶数时，设 ，则原式
；
当为奇数时，设，同理可得原式 .
方法二，由于 ，
，则
，
， ，
所以原式 .
［素养小结］
三角函数式化简的常用方法：
（1）合理转化：①将角化成 ， ，的形式;②依
据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角 的三
角函数.
（2）切化弦：一般需将表达式中的正切函数转化为正弦、余弦函数.
（3）注意“1”的应用：.
1.解决求值问题的策略
解决求值问题,要仔细观察已知条件与所求式之间的角、函数名及有
关运算的差异与联系,要么将已知式进行变形向所求式转化,要么将所
求式进行变形向已知式转化.总之,设法消除已知式与所求式之间的种
种差异是解决问题的关键.
[解析] ，
，
， ，
.
则A，D选项合乎要求，B，C选项不合乎要求.故选 .
例1（1）（多选题）［2025·陕西西安庆安高级中学高一期末］ 下
列与 的值相等的是( )
A. B. C. D.
√
√
（2）已知，且 是第四象限角.
①求 的值；
解：，且 是第四象限角， .
②求 的值.
解： .
2.三角函数式的化简
例2 化简： .
解： .
练习册
1.［2025·天津河北区高一期末］化简 的值是( )
A. B. C. D.
[解析] .故选B.
√
2.已知为整数,化简 所得的结果是( )
A. B. C. D.
[解析] .
√
3.［2025·北京朝阳区高一期末］在平面直角坐标系中，角 与
角 均以为始边，它们的终边关于轴对称.若，则
的最大值为( )
A.0 B. C. D.1
[解析] 由题意，得 , ，所以
，，
因为 ，所以，则，
所以当 ，即 ,时， 取得最大值，且
最大值为 .故选B.
√
4.［2025·福建厦门双十中学高一月考］ 的值是
( )
A. B. C. D.
[解析] .故选A.
√
5.已知,则 的值为( )
A. B. C. D.
[解析] .故选B.
√
6.［2025·江苏常州横山桥高级中学高一月考］已知
则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意得 ，所以
.故选A.
√
7. ______.
[解析] .
8. ___.
1
[解析] .
9.（13分）求下列各式的值.
（1） ;
解：
.
9.（13分）求下列各式的值.
（2） .
解：原式
.
10.（13分）已知 .
（1）化简 ；
解： , ，
, ，
则 .
10.（13分）已知 .
（2）若，求 的值.
解：由（1）得，，则 ，所以
，
故 .
11.已知，， ，则( )
A. B. C. D.
[解析] 因为 ，
,
，所以
.故选B.
√
12.（多选题）下列化简结果正确的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 对于A， ，故A正确；
对于B， ，故B正确；
对于C， ，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选 .
√
√
√
13.（多选题）［2025·江苏盐城五校高一联考］ 在 中，下列
结论正确的是( )
A.
B.
C.
D.
√
√
√
[解析] 因为 ，所以A正确；
因为 ，所以B错误；
因为 ，所以C正确；
因为，所以D正确.故选 .
14.设,则 _ _________
（用 表示）.
[解析] 由已知得，， ，
.
15.［2024·上海普陀区高一期末］对于给定的正整数 ，定义集合
.若中恰有4个元素，则 的可能取
值有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
√
[解析] 当，1，2， ，时，的取值依次为0,, ,
,, ，根据诱导公式可知 ，
，， .
若中恰有4个元素，则 的可能取值为6,7.故选B.
16.（15分）
（1）已知 是方程 的一个实数根,求
的值;
解：因为方程，即 的两个实数
根为2和，所以 .
由,得 .
当时,;当时, .
所以原式 .
16.（15分）
（2）已知 , ,
且 , ,求 和 的值.
解：因为 ,所以 ，
因为 ,
所以 .
,得,所以 ,
即 .
又 ,所以或 .
又 ,所以当时,由②得 ;
当时,由②得 .
所以,或, .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 原点 轴 轴
知识点二 （1） （2）
（3） （4）
知识点三 【诊断分析】 （1）√ （2）× （3）× （4）√
课中探究 探究点一 例1 （1） （2） （3）1 （4）
探究点二 例2 （1）B （2）D （3）
变式 （1） （2）
探究点三 例3 （1） （2） 变式 原式
练习册
基础巩固 1.B 2.C 3.B 4.A 5.B 6.A 7. 8.1
9.（1） （2）
10.（1） （2）
综合提升 11.B 12.ABD 13.ACD 14.
思维探索 15.B
16.（1） （2）,或,7.2.3 三角函数的诱导公式
第1课时 诱导公式(一)
【课前预习】
知识点一
原点 x轴 y轴
知识点二
(1)sin α cos α tan α (2)-sin α cos α -tan α
(3)sin α -cos α -tan α (4)-sin α -cos α tan α
知识点三
诊断分析
(1)√ (2)× (3)× (4)√
【课中探究】
探究点一
例1 (1)- (2)- (3)1 (4)
[解析] (1)cos=cos=cos=-.
(2)方法一:sin 1320°=sin(3×360°+240°)=sin 240°=sin(180°+60°)=-sin 60°=-.
方法二:sin 1320°=sin(4×360°-120°)=sin(-120°)=-sin(180°-60°)=-sin 60°=-.
(3)tan(-855°)=-tan 855°=-tan(2×360°+135°)=-tan 135°=-tan(180°-45°)=-tan(-45°)=tan 45°=1.
(4)原式=sin(-2×360°-225°)+cos=sin(-225°)+cos=-sin(180°+45°)+cos=sin 45°-cos=-=.
探究点二
例2 (1)B (2)D (3) [解析] (1)因为cos(2π-α)=cos α=,且α∈,所以sin α=-=-,所以sin(π-α)=sin α=-.
(2)由题意,得sin(π+α)=-sin α=,即sin α=-,∵sin2α+cos2α=1,∴cos α=±=±=±.
(3)因为cos(α-55°)=-<0,且α是第四象限角,所以α-55°是第三象限角.因此sin(α-55°)=-=-.又因为α+125°=180°+(α-55°),所以sin(α+125°)=sin[180°+(α-55°)]=-sin(α-55°)=.
变式 解:(1)∵cos=cos=-cos=-,sin2=sin2=1-cos2=1-=,∴cos-sin2=--=-.
(2)由tan(π+α)=2,得tan α=2,所以sin2(2kπ-α)-4sin(π-α)cos(-α)=sin2α-4sin αcos α====-(k∈Z).
(3)f(α)===-cos α,则f=-cos=-cos=-cos =-.
探究点三
例3 (1)-tan α (2)-1 [解析] (1)原式==
=-=-tan α.
(2)原式==
==-1.
变式 解:方法一,当k为偶数时,设k=2m(m∈Z),则原式===
=-1;当k为奇数时,设k=2m+1(m∈Z),同理可得原式=-1.
方法二,由于kπ-α+kπ+α=2kπ,(k+1)π+α+(k-1)π-α=2kπ,则cos[(k-1)π-α]=cos[(k+1)π+α]=-cos(kπ+α),sin[(k+1)π+α]=-sin(kπ+α),sin(kπ-α)=-sin(kπ+α),
所以原式==-1.7.2.3 三角函数的诱导公式
第1课时 诱导公式(一)
1.B [解析] cos 510°=cos(360°+150°)=cos 150°=cos(180°-30°)=-cos 30°=-.故选B.
2.C [解析] =tan(nπ+α)=tan α.
3.B [解析] 由题意,得α=-β+2kπ,k∈Z,所以cos α=cos(-β+2kπ)=cos β,k∈Z,因为β∈,所以-1≤cos β≤,则-1≤cos α≤,所以当β=,即α=-+2kπ,k∈Z时,cos α取得最大值,且最大值为.故选B.
4.A [解析] sin 600°+tan 240°=sin(720°-120°)+tan(180°+60°)=sin(-120°)+tan 60°=-sin(180°-60°)+tan 60°=-sin 60°+tan 60°=-+=.故选A.
5.B [解析] cos 215°tan 145°=cos(180°+35°)tan(180°-35°)=-cos 35°·(-tan 35°)=sin 35°==.故选B.
6.A [解析] 由题意得f=sin=sin=sin=,所以f=f=+1=.故选A.
7.- [解析] sincostan=sincostan=-sin··=-××=-.
8.1 [解析] ==1.
9.解:(1)sin+tan+cos=sin+tan-cos=-1-=-1.
(2)原式==
=
==
==.
10.解:(1)cos(3π+α)=cos(π+α)=-cos α,tan(π+α)=tan α,
sin(-π-α)=-sin(π+α)=sin α,cos(π-α)=-cos α,
则f(α)===.
(2)由(1)得,f==,则cos=1,所以cos=cos=-cos=-1,
故f==-.
11.B [解析] 因为a=tan =tan=tan =,b=sin=sin=sin=,c=cos=cos=cos=cos=,所以a>b>c.故选B.
12.ABD [解析] 对于A,tan(π+1)=tan 1,故A正确;对于B,==cos α,故B正确;对于C,==-tan α,故C错误;对于D,==-=-1,故D正确.故选ABD.
13.ACD [解析] 因为cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C,所以A正确;因为sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,所以B错误;因为tan(A+B)=tan(π-C)=-tan C,所以C正确;因为sin(B+C)=sin(π-A)=sin A,所以D正确.故选ACD.
14. [解析] 由已知得tan 44°=a,∴cos 44°=,sin 44°=,∴sin(-316°)+cos(-316°)=sin 44°+cos 44°==.
15.B [解析] 当k=0,1,2,…,n时,sin的取值依次为0,sin,sin,…,sin,sin π,根据诱导公式可知0=sin π,sin=sin,sin=sin,….若An中恰有4个元素,则n的可能取值为6,7.故选B.
16.解:(1)因为方程5x2-7x-6=0,即(5x+3)(x-2)=0的两个实数根为2和-,所以sin α=-.
由sin2α+cos2α=1,得cos α=±=±.
当cos α=时,tan α=-;当cos α=-时,tan α=.所以原式==tan α=±.
(2)因为sin(4π+α)=sin β,所以sin α=sin β①,
因为cos(6π+α)=cos(2π+β),
所以cos α=cos β②.
①2+②2,得sin2α+3cos2α=2(sin2β+cos2β)=2,所以cos2α=,即cos α=±.
又0<α<π,所以α=或α=.
又0<β<π,所以当α=时,由②得β=;
当α=时,由②得β=.
所以α=,β=或α=,β=.7.2.3 三角函数的诱导公式
第1课时 诱导公式(一)
【学习目标】
掌握诱导公式一~四并能运用诱导公式进行求值、化简.
◆ 知识点一 角之间的对称关系
设α为任意角,则π+α,-α,π-α的终边与α的终边之间的对称关系如下表:
相关角 终边之间的对称关系
π+α与α 关于 对称
-α与α 关于 对称
π-α与α 关于 对称
◆ 知识点二 诱导公式一~四
(1)公式一:sin(α+2kπ)= ,cos(α+2kπ)= ,tan(α+2kπ)= ,其中k∈Z.
(2)公式二:sin(-α)= ,cos(-α)= ,tan(-α)= .
(3)公式三:sin(π-α)= ,cos(π-α)= ,tan(π-α)= .
(4)公式四:sin(π+α)= ,cos(π+α)= ,tan(π+α)= .
◆ 知识点三 诱导公式的应用
诱导公式 作用
公式一 将角转化为0~2π范围内的角求值
公式二 将负角转化为正角求值
公式三 将~π范围内的角转化为0~范围内的角求值
公式四 将π~2π范围内的角转化为0~π范围内的角求值
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)诱导公式二可以将任意负角的三角函数值转化为正角的三角函数值. ( )
(2)诱导公式中的角α一定是锐角. ( )
(3)由诱导公式二知cos[-(α-β)]=-cos(α-β). ( )
(4)在△ABC中,sin(A+B)=sin C. ( )
◆ 探究点一 给角求值
例1 求下列三角函数值.
(1)cos= ;
(2)sin 1320°= ;
(3)tan(-855°)= ;
(4)sin(-945°)+cos= .
[素养小结]
利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤:
(1)“负化正”——用公式一或二来转化;
(2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°的角;
(3)“小化锐”——用公式三或四将大于90°的角转化为锐角;
(4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值.
◆ 探究点二 给值(式)求值
例2 (1)若cos(2π-α)=且α∈,则sin(π-α)= ( )
A.- B.- C.- D.±
(2)已知sin(π+α)=,则cos α的值为 ( )
A.± B.
C.- D.±
(3)已知cos(α-55°)=-,且α为第四象限角,则sin(α+125°)= .
变式 (1)已知cos=,求cos-sin2的值;
(2)若tan(π+α)=2,求sin2(2kπ-α)-4sin(π-α)cos(-α)(k∈Z)的值;
(3)已知f(α)=,化简f(α)并求f的值.
◆ 探究点三 三角函数式的化简
例3 化简下列各式.
(1)= ;
(2)= .
变式 设k为整数,化简.
[素养小结]
三角函数式化简的常用方法:
(1)合理转化:①将角化成2kπ±α,kπ±α,k∈Z的形式;②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数.
(2)切化弦:一般需将表达式中的正切函数转化为正弦、余弦函数.
(3)注意“1”的应用:1=sin2α+cos2α=tan.7.2.3 三角函数的诱导公式
第1课时 诱导公式(一)
1.[2025·天津河北区高一期末] 化简cos 510°的值是 ( )
A. B.-
C. D.-
2.已知n为整数,化简所得的结果是 ( )
A.tan nα B.-tan nα
C.tan α D.-tan α
3.[2025·北京朝阳区高一期末] 在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于x轴对称.若β∈,则cos α的最大值为 ( )
A.0 B.
C. D.1
4.[2025·福建厦门双十中学高一月考] sin 600°+tan 240°的值是 ( )
A. B.-
C.-+ D.-
5.已知cos 35°=a,则cos 215°tan 145°的值为 ( )
A. B.
C. D.-
6.[2025·江苏常州横山桥高级中学高一月考] 已知f(x)=则f= ( )
A. B. C. D.
7.sincostan= .
8.= .
9.(13分)求下列各式的值.
(1)sin+tan+cos;
(2).
10.(13分)已知f(α)=.
(1)化简f(α);
(2)若f=,求f的值.
11.已知a=tan ,b=sin,c=cos,则 ( )
A.a>c>b B.a>b>c
C.b>c>a D.c>a>b
12.(多选题)下列化简结果正确的是 ( )
A.tan(π+1)=tan 1
B.=cos α
C.=tan α
D.=-1
13.(多选题)[2025·江苏盐城五校高一联考] 在△ABC中,下列结论正确的是 ( )
A.cos(A+B)=-cos C
B.sin(A+B)=-sin C
C.tan(A+B)=-tan C
D.sin(B+C)=sin A
14.设tan 2024°=a,则sin(-316°)+cos(-316°)= (用a表示).
15.[2024·上海普陀区高一期末] 对于给定的正整数n,定义集合An=.若An中恰有4个元素,则n的可能取值有 ( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
16.(15分)(1)已知sin α是方程5x2-7x-6=0的一个实数根,求的值;
(2)已知sin(4π+α)=sin β,cos(6π+α)=cos(2π+β),且0<α<π,0<β<π,求α和β的值.
