(共54张PPT)
7.2 三角函数概念
7.2.3 三角函数的诱导公式
第2课时 诱导公式（二）
探究点一 利用诱导公式化简求值
探究点二 利用诱导公式化简、证明
探究点三 诱导公式的综合应用
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
掌握 的正弦、余弦的诱导公式.
知识点一 特殊角终边对称性
1.角 的终边与角 的终边关于直线______对称,如图所示.
2.角 的终边与角 的终边关于直线______对称.
知识点二 诱导公式
1.公式五
______, ______.
2.公式六
______, _______.
公式五和公式六可以概括为 的正弦（余弦）函数值,分别等于
的余弦（正弦）函数值,前面加上一个把 看成______时原函数值的
符号.
锐角
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）公式五和公式六中的角 一定是锐角.( )
×
[解析] 公式五和公式六中的角 可以是任意角.
（2）在中， .( )
[解析] 因为，所以由公式五可知 .
（3） .( )
√
√
2.如何由公式三及公式五推导公式六？
解： .
探究点一 利用诱导公式化简求值
例1（1）［2025·江苏南京高一期末］已知， ，
则 的值为( )
A. B. C. D.
[解析] 由, ，得 ，则
.故选D.
√
（2） ____.
[解析] .
（3）化简： ______.
[解析] 原式 .
变式（1）已知，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] .
√
（2）已知，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] .故选A.
√
（3）［2025·江苏镇江实验高级中学高一期末］若 ，
求 的值.
解：因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ,
所以 .
［素养小结］
解决化简求值问题的策略：
（1）要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间
的差异及联系；
（2）可以将已知式进行变形，向所求式转化，或将所求式进行变形，
向已知式转化.
提醒：
常见的互余关系有：
与
，
与
等；
常见的互补关系有：
与
，
与
等.
探究点二 利用诱导公式化简、证明
例2（1）求证： .
证明：右边
左边，所以原等式成立.
（2）化简： .
解： .
变式（1）化简： ___.
0
[解析] 原式 .
（2）求证： .
证明：
，所以原等式成立.
［素养小结］
三角恒等式的证明常用的方法：定义法，化弦法，拆项拆角法，公
式变形法，“1”的代换法.
探究点三 诱导公式的综合应用
例3 ［2025·天津求真高级中学高一月考］已知
.
（1）化简 ;
解： .
例3 ［2025·天津求真高级中学高一月考］已知
.
（2）若，求 的值.
解：当 时，
，所以
的值为 .
变式 ［2025·江苏镇江中学高一月考］ 已知函数
.
（1）化简 ；
解：由题意，得
，则 .
变式 ［2025·江苏镇江中学高一月考］ 已知函数
.
（2）若，且 为第二象限角，求 的值.
解： ， ，
又，且 为第二象限角，
， .
［素养小结］
在诱导公式综合应用的问题中，涉及三角函数式的化简求值问题，
一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角
的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少.对于
和
这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而运用后一套公式
必须变名.
1.诱导公式五和六可用口诀“函数名改变,符号看象限”记忆,“函数名改
变”是指正弦变余弦,余弦变正弦,“符号看象限”是指把 看成锐角时
等式左边三角函数值的符号.
2.利用诱导公式可在三角函数的变形过程中进行角的转化.在求任意
角的过程中，一般先把负角转化为正角，正角转化为 范围内
的角，再将这个范围内大于 的角转化为锐角.也就是“负化正，大化
小，化到锐角再查表（特殊角的三角函数值表）”.
1.利用诱导公式与角的变换求值
例1（1）［2025·河北石家庄辛集中学高一期中］已知
，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为 ，所以
，故选A.
√
（2）［2025·江苏盐城五校高一联考］已知 ，则
的值为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为 ，
所以 ，故选A.
√
2.利用诱导公式与同角三角函数的基本关系求值
例2 ［2025·江苏江阴二中高一期中］已知 是第四象限角.
（1）若，求 的值；
解： 是第四象限角，则 ，
，则
.
例2 ［2025·江苏江阴二中高一期中］已知 是第四象限角.
（2）若 ，求
的值.
解：由，得
.
例3 ［2025·江苏海门高一期末］在 ；
；
这三个条件中任选一个，将序号补充
在下面横线上，并解答问题.
已知____.
（1）求 的值；
注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
解：若选，则 ，
.
若选，则，
即 ，则 ，
.
若选，则 ，即
，
.
例3 ［2025·江苏海门高一期末］在 ；
；
这三个条件中任选一个，将序号补充
在下面横线上，并解答问题.
已知____.
（2）当 为第三象限角时，求
的值.
解：由（1）得，即 ，
由，则，解得 ，
为第三象限角，, ，
.
练习册
1.已知,则 ( )
A. B. C. D.
[解析] .
√
2.［2025·陕西榆林八校高一联考］若角 的终边过点 ，则
( )
A. B. C. D.
[解析] 角 的终边过点，则点 到原点的距离
，所以 ，所以
.故选A.
√
3.［2025·江苏滨海中学高一月考］已知 ，则
( )
A. B. C. D.
[解析] .故选B.
√
4.在下列各数中，与 相等的是( )
A. B. C. D.
[解析] 对于A， ，故A正确；
对于B， ，故B错误；
对于C， ，故C错误；
对于D， ，故D错误.故选A.
√
5.若，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，所以 ，所以
.
√
6.若 为锐角,且 ,
,则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由已知可得, ,解得
,
又 为锐角, ,故选C.
√
7. 的值为___.
0
[解析] .
8.若，则 _____.
[解析] ，从而 ，所以
.
9.（13分）［2025·江苏扬州大学附中期中］ 已知
.
（1）化简函数 ；
解： .
9.（13分）［2025·江苏扬州大学附中期中］ 已知
.
（2）若，求 的值.
解：由题意，知，所以 ，
所以 .
10.（13分）已知,,为 的内角.
（1）求证: ;
证明：因为，所以 ，
所以 ，
所以 .
10.（13分）已知,,为 的内角.
（2）若,求证: 为钝角三
角形.
证明： 因为 ，
所以，即 .
又因为 ， ， 且 ，
所以或所以为钝角或为钝角，所以
为钝角三角形.
11.［2025·江苏句容中学高一月考］下列函数中，满足 在定义域
上是偶函数的是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 对于A,的定义域为 ,且
，则 为奇函数，故A错误；
对于B,的定义域为 ,且
，则 为偶函数，
故B正确；
对于C,的定义域为 ，
即定义域关于原点对称，且 ，
则为奇函数，故C错误；
对于D， ，其定义域为,且
,则 为奇函数，故D错误.故选B.
12.（多选题） 已知 ,则下列等式中恒成立的是( )
A. B.
C. D.
[解析] ,故A中等式恒成立;
,故B中等式恒成立;
,故C中等式恒成立;
,故D中等式不恒成立.故选 .
√
√
√
13.（多选题）［2025·山东济南振声学校高一月考］ 在 中，
下列关系式恒成立的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 中，
项中， ，
故A正确；
B，C项中， ，故B错误，C正确；
D项中，,故D错误.故选 .
√
√
14.设,是方程 的解，则
的值为____.
[解析] 由，得 ，所以
，即，
又因为 ,所以，
所以 ，所以 .
15.若的内角，，满足 ，则( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，且，，为 的内角，所以
,所以,所以或 .
若，则，此时不存在，故舍去，所以 ，
即 .故选A.
√
16.（15分）是否存在角 ， ，， ，使等式
， 同时成
立？若存在，求出 ， 的值；若不存在，请说明理由.
解：由条件得 ，得
，所以 ，
又，所以或，将 代入②，得
.
又，所以 ，代入①可知符合条件.
将代入②得 ，
又，所以 ，代入①可知不符合条件.
综上可知，存在， 满足条件.
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 1.
2.
知识点二 1.
2.
锐角
【诊断分析】 1.（1）× （2）√ （3）√ 2.略
课中探究 探究点一 例1 （1）D （2）
（3）
变式 （1）B （2）A （3）
探究点二 例2 （1）证明略 （2） 变式（1）0 （2）证明略
探究点三 例3 （1）
（2）
变式 （1）
（2）
练习册
基础巩固
1.B 2.A 3.B 4.A 5.A 6.C 7.0 8.
9.（1） （2） 10.（1）证明略 （2） 证明略
综合提升
11.B 12.ABC 13.AC 14.
思维探索
15.A
16. 存在
，
满足条件第2课时 诱导公式(二)
1.B [解析] cos 130°=cos(90°+40°)=-sin 40°=-a.
2.A [解析] 角α的终边过点(3,1),则点(3,1)到原点的距离r==,所以cos α===,所以sin=cos α=.故选A.
3.B [解析] cos=sin=sin=.故选B.
4.A [解析] 对于A,sin 80°=sin(90°-10°)=cos 10°,故A正确;对于B,cos 80°=cos(90°-10°)=sin 10°,故B错误;对于C,sin 170°=sin(180°-10°)=sin 10°,故C错误;对于D,cos 170°=cos(180°-10)=-cos 10°,故D错误.故选A.
5.A [解析] 因为sin(3π+α)=-sin α=-,所以sin α=,所以cos=cos=-cos=-sin α=-.
6.C [解析] 由已知可得-2tan α+3sin β+5=0,tan α-6sin β=1,解得tan α=3,又α为锐角,∴sin α=,故选C.
7.0 [解析] sin 95°+cos 175°=sin(90°+5°)+cos(180°-5°)=cos 5°-cos 5°=0.
8.- [解析] sin=cos θ=,从而sin2θ=1-cos2θ=,所以cos2θ-sin2θ=-.
9.解:(1)f(x)===-=-.
(2)由题意,知f(α)=-=,所以tan α=-2,
所以sin αcos α+2sin2α====.
10.证明:(1)因为A+B=π-C,所以=-,
所以cos=cos=sin,
所以cos2+cos2=1.
(2)因为cossintan(C-π)<0,
所以(-sin A)(-cos B)tan C<0,即sin Acos Btan C<0.
又因为0
0,
所以或所以B为钝角或C为钝角,所以△ABC为钝角三角形.
11.B [解析] 对于A,f(x)的定义域为R,且f(-x)=sin(-x)=-sin x=-f(x),则f(x)为奇函数,故A错误;对于B,f(x)=|sin x|的定义域为R,且f(-x)=|sin(-x)|=|-sin x|=|sin x|=f(x),则f(x)为偶函数,故B正确;对于C,f(x)=tan x的定义域为(k∈Z),即定义域关于原点对称,且f(-x)=tan(-x)=-tan x=-f(x),则f(x)为奇函数,故C错误;对于D,f(x)=cos=sin x,其定义域为R,且f(x)=sin(-x)=-sin x=-f(x),则f(x)为奇函数,故D错误.故选B.
12.ABC [解析] sin(-x)=-sin x,故A中等式恒成立;cos=-cos=sin x,故B中等式恒成立;sin=sin=cos x,故C中等式恒成立;cos(π-x)=-cos x,故D中等式不恒成立.故选ABC.
13.AC [解析] △ABC中,A+B+C=π.A项中,cos(2A+2B)=cos[2(π-C)]=cos(-2C)=cos 2C,故A正确;B,C项中,cos=cos=sin,故B错误,C正确;D项中,tan=tan===,故D错误.故选AC.
14.- [解析] 由25x2-30x+9=(5x-3)2=0,得x=,所以cos=,即sin φ=,又因为φ∈,所以cos φ=-=-,所以tan φ==-,所以tan(π+φ)=tan φ=-.
15.A [解析] 因为sin A=cos B,且 A,B,C为△ABC的内角,所以sin A=cos B>0,所以016.解:由条件得①2+②2,得sin2α+3cos2α=2,所以cos2α=,
又α∈,所以α=或α=-,将α=代入②,得cos β=.
又β∈(0,π),所以β=,代入①可知符合条件.
将α=-代入②得cos β=,
又β∈(0,π),所以β=,代入①可知不符合条件.
综上可知,存在α=,β=满足条件.第2课时 诱导公式(二)
【课前预习】
知识点一
1.y=x 2.x=0
知识点二
1.cos α sin α 2.cos α -sin α 锐角
诊断分析
1.(1)× (2)√ (3)√ [解析] (1)公式五和公式六中的角α可以是任意角.
(2)因为+=,所以由公式五可知sin=cos.
2.解:sin=sin=sin=cos α.
cos=cos=-cos=-sin α.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)D (2) (3)sin α [解析] (1)由cos α=-,<α<π,得sin α==,则cos=sin α=.故选D.
(2)sin 95°+cos 185°+tan 240°=sin 95°+cos(90°+95°)+tan(180°+60°)=sin 95°-sin 95°+tan 60°=.
(3)原式=+=2sin α-sin α=sin α.
变式 (1)B (2)A [解析] (1)sin 239°tan 149°=sin(180°+59°)·tan(180°-31°)=-sin 59°(-tan 31°)=-sin(90°-31°)·(-tan 31°)=-cos 31°·(-tan 31°)=sin 31°==.
(2)cos=cos=sin=.故选A.
(3)解:因为cossin=cossin,
所以cossin=-cossin,因为cos=,
所以-cossin=-sin=-cos=-,
所以cossin=-.
探究点二
例2 解:(1)证明:右边==
==
===左边,所以原等式成立.
(2)=
=-sin α.
变式 (1)0 [解析] 原式=+=tan2α-tan2α=0.
(2)证明:=
==
=-1,所以原等式成立.
探究点三
例3 解:(1)f(α)===cos α.
(2)当α=-时,f=cos=cos=cos=cos=,所以f(α)的值为.
变式 解:(1)由题意,得f(α)==
=
==-,则f(α)=-.
(2)∵tan=-tan=-tan=-tan=-=-=2,
∴cos α=-2sin α,又∵sin2α+cos2α=1,且α为第二象限角,
∴cos α=-,∴f(α)=-=-=.第2课时 诱导公式(二)
【学习目标】
掌握±α的正弦、余弦的诱导公式.
◆ 知识点一 特殊角终边对称性
1.角-α的终边与角α的终边关于直线 对称,如图所示.
2.角-α的终边与角+α的终边关于直线 对称.
◆ 知识点二 诱导公式
1.公式五
sin= ,cos= .
2.公式六
sin= ,cos= .
公式五和公式六可以概括为±α的正弦(余弦)函数值,分别等于α的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把α看成 时原函数值的符号.
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)公式五和公式六中的角α一定是锐角. ( )
(2)在△ABC中,sin=cos. ( )
(3)sin=sin=cos(-α)=cos α. ( )
2.如何由公式三及公式五推导公式六
◆ 探究点一 利用诱导公式化简求值
例1 (1)[2025·江苏南京高一期末] 已知cos α=-,<α<π,则cos的值为 ( )
A.- B.-
C. D.
(2)sin 95°+cos 185°+tan 240°= .
(3)化简:+= .
变式 (1)已知cos 31°=m,则sin 239°tan 149°= ( )
A. B.
C.- D.-
(2)已知sin=,则cos= ( )
A. B.- C. D.-
(3)[2025·江苏镇江实验高级中学高一期末] 若cos=,求cossin的值.
[素养小结]
解决化简求值问题的策略:
(1)要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系;
(2)可以将已知式进行变形,向所求式转化,或将所求式进行变形,向已知式转化.
提醒:
常见的互余关系有:-α与+α,+α与-α等;
常见的互补关系有:+θ与-θ,+θ与-θ等.
◆ 探究点二 利用诱导公式化简、证明
例2 (1)求证:=.
(2)化简:.
变式 (1)化简:+= .
(2)求证:=-1.
[素养小结]
三角恒等式的证明常用的方法:定义法,化弦法,拆项拆角法,公式变形法,“1”的代换法.
◆ 探究点三 诱导公式的综合应用
例3 [2025·天津求真高级中学高一月考] 已知f(α)=.
(1)化简f(α);
(2)若α=-,求f(α)的值.
变式 [2025·江苏镇江中学高一月考] 已知函数f(α)=.
(1)化简f(α);
(2)若tan=2,且α为第二象限角,求f(α)的值.
[素养小结]
在诱导公式综合应用的问题中,涉及三角函数式的化简求值问题,一般遵循诱导公式先行的原则,即先用诱导公式化简变形,达到角的统一,再进行切化弦,以保证三角函数名最少.对于π±α和±α这两套诱导公式,切记运用前一套公式不变名,而运用后一套公式必须变名.第2课时 诱导公式(二)
1.已知sin 40°=a,则cos 130°= ( )
A.a B.-a
C. D.-
2.[2025·陕西榆林八校高一联考] 若角α的终边过点(3,1),则sin= ( )
A. B.-
C. D.-
3.[2025·江苏滨海中学高一月考] 已知sin=,则cos= ( )
A.- B.
C.- D.
4.在下列各数中,与cos 10°相等的是 ( )
A.sin 80° B.cos 80°
C.sin 170° D.cos 170°
5.若sin(3π+α)=-,则cos= ( )
A.- B.
C. D.-
6.若α为锐角,且2tan(π-α)-3cos=-5,tan(π+α)+6sin(π+β)=1,则sin α= ( )
A. B.
C. D.
7.sin 95°+cos 175°的值为 .
8.若sin=,则cos2θ-sin2θ= .
9.(13分)[2025·江苏扬州大学附中期中] 已知f(x)=.
(1)化简函数f(x);
(2)若f(α)=,求sin αcos α+2sin2α的值.
10.(13分)已知A,B,C为△ABC的内角.
(1)求证:cos2+cos2=1;
(2)若cossintan(C-π)<0,求证:△ABC为钝角三角形.
11.[2025·江苏句容中学高一月考] 下列函数中,满足f(x)在定义域上是偶函数的是 ( )
A.f(x)=sin x
B.f(x)=|sin x|
C.f(x)=tan x
D.f(x)=cos
12.(多选题) 已知x∈R,则下列等式中恒成立的是 ( )
A.sin(-x)=-sin x
B.cos=sin x
C.sin=cos x
D.cos(π-x)=cos x
13.(多选题)[2025·山东济南振声学校高一月考] 在△ABC中,下列关系式恒成立的是 ( )
A.cos(2A+2B)=cos 2C
B.cos =cos
C.cos =sin
D.tan=tan
14.设φ∈,cos是方程25x2-30x+9=0的解,则tan(π+φ)的值为 .
15.若△ABC的内角A,B,C满足sin A=cos B=tan C, 则 ( )
A.A-B= B.A+B=
C.B-A= D.A+B=
16.(15分)是否存在角α,β,α∈,β∈(0,π),使等式sin(3π-α)=cos,cos(-α)=-cos(π+β)同时成立 若存在,求出α,β的值;若不存在,请说明理由.