(共57张PPT)
7.3 三角函数的图象和性质
7.3.2 三角函数的图象与性质
第1课时 正弦、余弦函数的图象
探究点一 利用“五点法”作图
探究点二 利用平移变换和对称变换作图
探究点三 正、余弦函数图象的应用
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
借助单位圆，能画出正弦、余弦函数的图象.
知识点一 正弦函数、余弦函数的图象
1.正弦函数、余弦函数的图象
2.正弦函数,的图象和余弦函数, 的图象
分别叫作______曲线和______曲线.
正弦
余弦
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）正弦函数的图象在 上形状相同,
只是位置不同. ( )
√
（2）正弦函数,的图象介于直线与直线 之
间.( )
√
（3）余弦函数,的图象关于 轴对称. ( )
×
（4）只需把,的图象向左平移 个单位长度,即可得到
, 的图象. ( )
√
知识点二 五点（画图）法
1.正弦曲线在区间上起关键作用的五个点分别为______, ,
_______, ,_______.
2.余弦曲线在区间上起关键作用的五个点分别为______, ,
________, ,_______.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）用五点法画,的图象时，点 不是关键点.
( )
√
（2）余弦函数,的图象最高点坐标为 与
.( )
√
探究点一 利用“五点法”作图
例1 利用“五点法”作出函数， 的简图.
解：按五个关键点列表:
0
0 1 0 0
0
描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示.
变式 利用“五点法”作出函数 的简图.
解：在函数 的图象上取五个关键点，列表
如下：
0
0 0 1 0
1 0 1 2 1
描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示.
［素养小结］
用“五点法”画函数或在
上简图的步骤：
（1）列表；
（2）描点：在平面直角坐标系中描出五个点，，
，，，这里的值是通过函数解
析式计算得到的.
（3）连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，就得到函数
或在上的简图.
探究点二 利用平移变换和对称变换作图
例2 利用图象变换作出下列函数的图象:
（1）, ;
解：首先用五点法作出函数，
的图象，
再作出与， 的图象关
于轴对称的图象，即， 的图象，
将， 的图象向上平移1个单位长度即可得到
， 的图象，如图所示.
例2 利用图象变换作出下列函数的图象:
（2）, .
解：首先用五点法结合周期性作
出函数， 的图
象，
再将该图象在 轴下方的部分翻折到轴的上方，并且保留 轴及其
上方的部分，即得到， 的图象，如图中实线所示.
变式 关于三角函数的图象,有下列说法:
（1）与 的图象相同;
（2）与的图象关于 轴对称;
（3）与 的图象相同;
（4）与 的图象相同.
其中正确说法的序号是_______.
[解析] 的图象可由的图象在 轴及其右侧部分不
变，在轴左侧部分去掉，在轴右侧部分关于 轴对称过去得到，
的图象可由的图象在轴及其上方部分不变，在
轴下方部分沿 轴翻折上去得到，画出草图知（1）（2）错误.
由诱导公式知,, ,所以（3）正确.
,所以（4）正确.故填 .
探究点三 正、余弦函数图象的应用
例3（1）不等式 的解集为_________________________
___________________________________.
[解析] 作出正弦函数在 上的图象，
作出直线和 ，如图所示，
成立， 原不等式的解集为 .
（2）函数,的图象与直线 有且
仅有两个不同的交点,求 的取值范围.
解： 的图象如图所示,
由图易知 .
变式（1）［2025·江苏宿迁中学月考］若方程 在
上有两个不同的解，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 由，得 ，画出函
数在 上的图象如图中实线所示，
要使方程在 上有两个不同
的解，则在上的图象与直线 有两个交点，
由图可知，的取值范围是 .故选C.
√
（2）在上满足的 的取值范围是________________.
[解析] 在同一坐标系内作出函数
与 的图象，如图所示.
由图可知在上满足的 的取值范
围是 .
［素养小结］
利用三角函数的图象,可解简单的三角函数不等式,但需注意诱导公式
一的应用,确保解的完整性.
1.正弦函数图象的画法
（1）几何法：①在平面直角坐标系中作出以轴上任一点 为圆心
的单位圆；②确定角的对应点 ；③等分单位圆与等分
区间 ；④作出等分区间得到的角的对应点，并用光滑的曲线连
接，得到函数，的图象；⑤将函数 ，
的图象向左、向右平移（每次平移 个单位长度）就可
以得到函数 的图象.
（2）五点法:①作图时自变量要用弧度制,五个关键点的坐标分别为
,,,, ;②在精确度要求不太高时,作
, 的图象一般用“五点法”.
2.余弦函数图象的画法
（1）平移法:因为,所以把 的
图象向左平移个单位长度就能得到 的图象.这说明余弦曲
线的形状和正弦曲线的形状相同,只是位置不同,余弦曲线可以由正弦
曲线通过平移而得到.
（2）五点法:用“五点法”画余弦函数在区间 上的图象
时，所取的五个关键点的坐标分别为,,， ,
.
1.“五点法”作图
“五点法”作图的步骤:列表、描点、连线.作图时要抓住关键点,连线时
必须用光滑的曲线连接五个关键点,注意曲线的凹凸方向.
例1 用“五点法”画出函数， 的简图.
解：列表:
0
1 0 0 1
0
描点并将它们用光滑的曲线连接起来,如图所示.
2.解三角函数相关的不等式
解三角函数相关的不等式问题可采用数形结合，画出两函数的图象，
观察图象并结合函数的性质求解.
例2 （多选题）下列区间中，能使成立的 所在区间是
( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] 在同一平面直角坐标系中画出正、
余弦函数在 上的图象，如图,
在内，当时， 或
，
由图可知，使成立的 的取值范围是，
结合选项可知选 .
练习册
1.用“五点法”画, 的图象时，下列各点中不是关键
点的是( )
A. B. C. D.
[解析] 对于， ，“五点法”作图时五个关键点为
,,,,，
结合选项可知 不是关键点. 故选A.
√
2.函数, 的图象为( )
A. B. C. D.
[解析] 当时， ，排除B，C，D，故
选A.
√
3.已知集合，，则 中元
素的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
[解析] 因为函数与函数 的图象有1个交点（如图），
所以 中有1个元素.故选B.
√
4.［2025·天津南开中学高一质检］函数
，，的图象如图所示，则
的解析式为( )
A.，
B.，
C.，
D.，
√
[解析] 将与分别代入 中，可得
解得 所以
.故选A.
5.如图,函数 的图象和直
线 围成了一个封闭的平面图形,则这个封
闭图形的面积为( )
A.4 B.8 C. D.
[解析] 依题意,由余弦函数图象的对称性,可得
的图象和直线 围成的封闭图形的面积
为 .
√
6.［2025·江苏高邮中学高一月考］下列区间中，使得
成立的 所在区间是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如图，画出函数 在
内的图象，
由 , ,, ，结
合的图象可知，不等式 的解集为
，结合选项可知选B.
7.将余弦函数的图象向右至少平移 个单位长度，
可以得到函数的图象，则 ___.
[解析] 根据诱导公式得 ，
则欲得到的图象，需将的图象向右至少平移 个
单位长度，故 .
8.函数，的图象与直线 的交点坐标为
______________.
，
[解析] 作出函数， 的图
象和直线 ，如图，
由图可知，函数，的
图象与直线 的交点坐标为， .
9.（13分）用“五点法”作出下列函数的简图：
（1）， ；
解：按五个关键点列表：
0
0 1 0 0
描点，并将它们用光滑的曲线连接起来，则函数的简图如图所示.
9.（13分）用“五点法”作出下列函数的简图：
（2）， ;
解：当时， ，按五个关键点列表：
0
0 1 0 0
描点、连线，画出函数在 上的简图，如图①所示.
因为，是偶函数，所以其图象关于 轴对称，
可画出， 的简图，如图②所示.
9.（13分）用“五点法”作出下列函数的简图：
（3）, .
解：按五个关键点列表：
0
0
1 0 0 1
描点、连线，画出函数的简图，如图所示.
10.（13分）利用平移变换和对称变换作出函数 ,
的图象.
解：先作出函数， 的图象
（如图中虚线所示）,
将该图象关于 轴作对称变换,得到函数
， 的图象,然后将该图象
向下平移2个单位长度,可得到函数， 的图象
（如图所示）.
11.［2025·山东淄博期中］在内，使成立的 的
取值范围是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 在同一直角坐标系中画出函数
与 的图象，如图所示，
由图可知，在内，要使 ，
则 .故选A.
12.（多选题）函数,的图象与直线
为常数)的交点个数可能为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
√
√
√
[解析] 作出函数, 的
图象和直线 ，如图所示.
的图象与直线的交点个数为0;
当 或时,函数,的图象与直线
的交点个数为2;
当或或时, 函数, 的图象与
直线的交点个数为1.
综上,函数 , 的图象与直线的交点个数为
0或1或2.故选 .
13.方程 的所有实数解的和为___.
0
[解析] 画出函数与 的图象，如图所示，
由图可知，两函数图象有两个交点，且两个交点关于 轴对称，故
原方程有两个实数解，且两个实数解之和为0.
14.（15分）已知函数
（1）作出函数 的图象；
解：列表如下：
0
1 0 0 1 0
描点，连线，得函数 的图象如图.
14.（15分）已知函数
（2）求使得成立的 的取值范围.
解：由（1）可知，使成立的的取值范围为 .
15.已知函数，， ，且
方程，，的解分别为，，，则， ，
的大小顺序为__________.（用“ ”连接）
[解析] 由题知，，，分别为 ，
，的图象与直线 的交点的
横坐标，
在同一平面直角坐标系中画出 ，
，与 的图象如图所示，
由图可知，，，所以 .
16.（15分）已知函数， .
（1）画出函数 的图象；
解： 因此函数
的图象如图所示.
（2）若方程有且仅有四个根，求实数 的取值范围.
解：由图可知，要使方程 有且仅有四
个根，只需直线与函数 的图象有
四个交点，所以实数的取值范围为 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 2.正弦 余弦
【诊断分析】 （1）√ （2）√ （3）× （4）√
知识点二 1. 2.
【诊断分析】 （1）√ （2）√
课中探究 探究点一 例1 略 变式 略
探究点二 例2 （1）略 （2）略. . 变式
探究点三 例3 （1）
（2） . 变式 （1）C （2）
练习册
基础巩固
1.A 2.A 3.B 4.A 5.D 6.B 7. 8.，
9.（1）略 （2）略 （3）略 10. 略
综合提升
11.A 12.ABC 13.0 14.（1）略 （2）
思维探索
15. 16.（1）略（2）7.3.2 三角函数的图象与性质
第1课时 正弦、余弦函数的图象
【课前预习】
知识点一
2.正弦 余弦
诊断分析
(1)√ (2)√ (3)× (4)√
知识点二
1.(0,0) (π,0) (2π,0) 2.(0,1) (π,-1) (2π,1)
诊断分析
(1)√ (2)√
【课中探究】
探究点一
例1 解:按五个关键点列表:
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 -1 0
sin x-1 -1 0 -1 -2 -1
描点并将它们用光滑的曲线连接起来,如图所示.
变式 解:在函数y=sin x+1(x∈[-π,π])的图象上取五个关键点,列表如下:
x -π - 0 π
sin x 0 -1 0 1 0
sin x+1 1 0 1 2 1
描点并将它们用光滑的曲线连接起来,如图所示.
探究点二
例2 解:(1)首先用五点法作出函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象,再作出与y=cos x,x∈[0,2π]的图象关于x轴对称的图象,即y=-cos x,x∈[0,2π]的图象,将y=-cos x,x∈[0,2π]的图象向上平移1个单位长度即可得到y=1-cos x,x∈[0,2π]的图象,如图所示.
(2)首先用五点法结合周期性作出函数y=sin x,x∈[0,4π]的图象,再将该图象在x轴下方的部分翻折到x轴的上方,并且保留x轴及其上方的部分,即得到y=|sin x|,x∈[0,4π]的图象,如图中实线所示.
变式 (3)(4) [解析] y=sin|x|的图象可由y=sin x的图象在y轴及其右侧部分不变,在y轴左侧部分去掉,在y轴右侧部分关于y轴对称过去得到,y=|sin x|的图象可由y=sin x的图象在x轴及其上方部分不变,在x轴下方部分沿x轴翻折上去得到,画出草图知(1)(2)错误.由诱导公式知,y=cos(-x)=cos x,y=cos|x|=cos x,所以(3)正确.y=sin=cos x,所以(4)正确.故填(3)(4).
探究点三
例3 (1)
[解析] 作出正弦函数y=sin x在[0,2π]上的图象,作出直线y=和y=,如图所示,由图可知,在[0,2π]上,当(2)解:f(x)=的图象如图所示,
由图易知1变式 (1)C (2)∪ [解析] (1)由cos x-a=0,得a=cos x,画出函数y=cos x在上的图象如图中实线所示,要使方程cos x-a=0在上有两个不同的解,则y=
cos x在上的图象与直线y=a有两个交点,由图可知,a的取值范围是.故选C.
(2)在同一坐标系内作出函数y=sin x(x∈[0,2π])与y=-的图象,如图所示.由图可知在[0,2π]上满足sin x≥-的x的取值范围是∪.7.3.2 三角函数的图象与性质
第1课时 正弦、余弦函数的图象
1.A [解析] 对于y=3sin x,x∈[0,2π],“五点法”作图时五个关键点为(0,0),,(π,0),,(2π,0),结合选项可知不是关键点.故选A.
2.A [解析] 当x=±时,y=sin=sin=1,排除B,C,D,故选A.
3.B [解析] 因为函数y=cos x与函数y=x的图象有1个交点(如图),所以A∩B中有1个元素.故选B.
4.A [解析] 将(0,1)与分别代入f(x)=asin x+b中,可得解得所以f(x)=sin x+1.故选A.
5.D [解析] 依题意,由余弦函数图象的对称性,可得y=2cos x(0≤x≤2π)的图象和直线y=2围成的封闭图形的面积为2π×2=4π.
6.B [解析] 如图,画出函数y=|sin x|在[-π,π]内的图象,由=,=,=,=,结合y=|sin x|的图象可知,不等式|sin x|≤(x∈[-π,π])的解集为∪∪,结合选项可知选B.
7. [解析] 根据诱导公式得y=-sin x=cos=cos,则欲得到y=-sin x的图象,需将y=cos x的图象向右至少平移个单位长度,故m=.
8., [解析] 作出函数y=cos x+4,x∈[0,2π]的图象和直线y=4,如图,由图可知,函数y=cos x+4,x∈[0,2π]的图象与直线y=4的交点坐标为,.
9.解:(1)按五个关键点列表:
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 -1 0
+sin x -
描点,并将它们用光滑的曲线连接起来,则函数的简图如图所示.
(2)当x∈[0,2π]时,y=sin|x|=sin x,按五个关键点列表:
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 -1 0
描点、连线,画出函数y=sin|x|在[0,2π]上的简图,如图①所示.因为y=sin|x|,x∈[-2π,2π]是偶函数,所以其图象关于y轴对称,可画出y=sin|x|,x∈[-2π,2π]的简图,如图②所示.
(3)按五个关键点列表:
x 0 π
2x 0 π 2π
y=cos 2x 1 0 -1 0 1
描点、连线,画出函数的简图,如图所示.
10.解:先作出函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象(如图中虚线所示),将该图象关于x轴作对称变换,得到函数y=-sin x,x∈[0,2π]的图象,然后将该图象向下平移2个单位长度,可得到函数y=-sin x-2,x∈[0,2π]的图象(如图所示).
11.A [解析] 在同一直角坐标系中画出函数y=sin x与y=|cos x|的图象,如图所示,由图可知,在(0,2π)内,要使sin x>|cos x|,则x∈.故选A.
12.ABC [解析] 作出函数y=1+sin x,x∈的图象和直线y=t,如图所示.由图可知,当t>2或t<0时,函数y=1+sin x,x∈的图象与直线y=t的交点个数为0;当013.0 [解析] 画出函数y=cos x与y=x2的图象,如图所示,由图可知,两函数图象有两个交点,且两个交点关于y轴对称,故原方程有两个实数解,且两个实数解之和为0.
14.解:(1)列表如下:
x -π - 0 π
f(x) 1 0 0 1 0
描点,连线,得函数f(x)的图象如图.
(2)由(1)可知,使f(x)<0成立的x的取值范围为.
15.a0,c=0,所以a16.解:(1)f(x)=cos x+2|cos x|=因此函数y=f(x)的图象如图所示.
(2)由图可知,要使方程f(x)=m有且仅有四个根,只需直线y=m与函数y=f(x)的图象有四个交点,所以实数m的取值范围为(0,1).7.3.2 三角函数的图象与性质
第1课时 正弦、余弦函数的图象
【学习目标】
借助单位圆,能画出正弦、余弦函数的图象.
◆ 知识点一 正弦函数、余弦函数的图象
1.正弦函数、余弦函数的图象
2.正弦函数y=sin x,x∈R的图象和余弦函数y=cos x,x∈R的图象分别叫作 曲线和 曲线.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)正弦函数y=sin x的图象在[2kπ,2(k+1)π](k∈Z)上形状相同,只是位置不同. ( )
(2)正弦函数y=sin x,x∈R的图象介于直线y=1与直线y=-1之间. ( )
(3)余弦函数y=cos x,x∈R的图象关于x轴对称. ( )
(4)只需把y=sin x,x∈R的图象向左平移个单位长度,即可得到y=cos x,x∈R的图象. ( )
◆ 知识点二 五点(画图)法
1.正弦曲线在区间[0,2π]上起关键作用的五个点分别为 ,, ,, .
2.余弦曲线在区间[0,2π]上起关键作用的五个点分别为 ,, ,, .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)用五点法画y=sin x,x∈[0,2π]的图象时,点不是关键点. ( )
(2)余弦函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象最高点坐标为(0,1)与(2π,1). ( )
◆ 探究点一 利用“五点法”作图
例1 利用“五点法”作出函数y=sin x-1,x∈[0,2π] 的简图.
变式 利用“五点法”作出函数y=sin x+1(x∈[-π,π])的简图.
[素养小结]
用“五点法”画函数y=Asin x+b(或y=Acos x+b)(A≠0)在[0,2π]上简图的步骤:
(1)列表;
(2)描点:在平面直角坐标系中描出五个点(0,y1),,(π,y3),,(2π,y5),这里的yi(i=1,2,3,4,5)值是通过函数解析式计算得到的.
(3)连线:用光滑的曲线将描出的五个点连接起来,就得到函数y=Asin x+b(或y=Acos x+b)(A≠0)在[0,2π]上的简图.
◆ 探究点二 利用平移变换和对称变换作图
例2 利用图象变换作出下列函数的图象:
(1)y=1-cos x,x∈[0,2π];
(2)y=|sin x|,x∈[0,4π].
变式 关于三角函数的图象,有下列说法:
(1)y=sin|x|与y=|sin x|的图象相同;
(2)y=sin|x|与y=sin x的图象关于y轴对称;
(3)y=cos(-x)与y=cos|x|的图象相同;
(4)y=sin与y=cos x的图象相同.
其中正确说法的序号是 .
◆ 探究点三 正、余弦函数图象的应用
例3 (1)不等式(2)函数f(x)=sin x+2|sin x|,x∈[0,2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,求k的取值范围.
变式 (1)[2025·江苏宿迁中学月考] 若方程cos x-a=0在上有两个不同的解,则实数a的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
(2)在[0,2π]上满足sin x≥-的x的取值范围是 .
[素养小结]
利用三角函数的图象,可解简单的三角函数不等式,但需注意诱导公式一的应用,确保解的完整性.7.3.2 三角函数的图象与性质
第1课时 正弦、余弦函数的图象
1.用“五点法”画y=3sin x,x∈[0,2π]的图象时,下列各点中不是关键点的是 ( )
A. B.
C.(π,0) D.(2π,0)
2.函数y=sin|x|,x∈[-π,π]的图象为 ( )
A B C D
3.已知集合A={(x,y)|y=cos x},B={(x,y)|y=x},则A∩B中元素的个数为 ( )
A.0 B.1
C.2 D.3
4.[2025·天津南开中学高一质检] 函数f(x)=asin x+b(x∈[0,2π],a,b∈R)的图象如图所示,则f(x)的解析式为 ( )
A.f(x)=sin x+1,x∈[0,2π]
B.f(x)=sin x+,x∈[0,2π]
C.f(x)=sin x+1,x∈[0,2π]
D.f(x)=sin x+,x∈[0,2π]
5.如图,函数y=2cos x(0≤x≤2π)的图象和直线y=2围成了一个封闭的平面图形,则这个封闭图形的面积为 ( )
A.4 B.8
C.2π D.4π
6.[2025·江苏高邮中学高一月考] 下列区间中,使得|sin x|≤(x∈[π,-π])成立的x所在区间是 ( )
A. B.
C. D.
7.将余弦函数y=cos x的图象向右至少平移m(m>0)个单位长度,可以得到函数y=-sin x的图象,则m= .
8.函数y=cos x+4,x∈[0,2π]的图象与直线y=4的交点坐标为 .
9.(13分)用“五点法”作出下列函数的简图:
(1)y=+sin x,x∈[0,2π];
(2)y=sin|x|,x∈[-2π,2π];
(3)y=cos 2x,x∈[0,π].
10.(13分)利用平移变换和对称变换作出函数y=-sin x-2,x∈[0,2π]的图象.
11.[2025·山东淄博期中] 在(0,2π)内,使sin x>|cos x|成立的x的取值范围是 ( )
A.
B.∪
C.
D.
12.(多选题)函数y=1+sin x,x∈的图象与直线y=t(t为常数)的交点个数可能为 ( )
A.0 B.1
C.2 D.3
13.方程x2-cos x=0的所有实数解的和为 .
14.(15分)已知函数f(x)=
(1)作出函数f(x)的图象;
(2)求使得f(x)<0成立的x的取值范围.
15.已知函数f(x)=ex+x,g(x)=ln x+x,h(x)=sin x+x,且方程f(x)=0,g(x)=0,h(x)=0的解分别为a,b,c,则a,b,c的大小顺序为 .(用“<”连接)
16.(15分)已知函数f(x)=cos x+2|cos x|,x∈.
(1)画出函数y=f(x)的图象;
(2)若方程f(x)=m有且仅有四个根,求实数m的取值范围.
