(共81张PPT)
7.3 三角函数的图象和性质
7.3.2 三角函数的图象与性质
第2课时 正弦、余弦函数的性质
探究点一 正弦、余弦函数的奇偶性与周期性
探究点二 正弦、余弦函数图象的对称性
探究点三 正弦、余弦函数的单调性及应用
探究点四 求函数的值域
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大（小）值.
2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在 上的性质.
知识点一 正弦函数、余弦函数的定义域、值域、周期
函数
图象 __________________________________________________ _____________________________________________________
定义域
值域
周期
知识点二 三角函数的奇偶性
是________； 是________.
奇函数
偶函数
知识点三 正弦函数、余弦函数的单调性和最值
正弦函数 余弦函数
单调 性 增区间 ， __________________
____________
减区间 _ ______________________ ， ，
最值 _ ___________________ ，
， __________________
__
，
，
，
，
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）存在，使得 .( )
×
（2）函数， 是奇函数.( )
×
（3）函数 是偶函数.( )
×
[解析] 函数的定义域为 ，不关于原点对称，因此函数
不具有奇偶性.
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（4）函数在区间 上单调.( )
×
[解析] 函数在上单调递增，在 上单调递减，在
上单调递增.
探究点一 正弦、余弦函数的奇偶性与周期性
例1（1）定义在上的函数既是偶函数又是周期函数， 的最
小正周期是 ，且当时，，则 的值为___.
[解析] 由题意可得 .
（2）判断下列函数的奇偶性.
① ；
解：， ，
， 函数
为奇函数.
（2）判断下列函数的奇偶性.
② ；
解：由得，得 的定义域为
， 的定义域关于原点对称．
③ ；
解：由得，此时， 的定义域为
， 既是奇函数又是偶函数．
又， 为奇函数．
（2）判断下列函数的奇偶性.
④ ．
解：函数的定义域为 ，且
， 函数
是偶函数．
变式（1）若函数是偶函数，则 的最小
值为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为为偶函数，所以，
又，所以 的最小值为 .故选D.
√
（2）已知函数为偶函数,其中 ,则
____.
[解析] 因为函数为偶函数,
所以 , ,
又 ,所以 ,
故 .
［素养小结］
1.解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法:利用函数的周期
性,可以把
的函数值转化为
的函数值.利用奇偶性,可以
找到
与
的函数值之间的关系,从而解决求值问题.
2.推得函数周期的若干形式:
（1）若
,则函数
的周期为
;
（2）若
,则函数
的周期为
;
（3）若
且
,则函数
的周期为
;
（4）若
且
,则函数
的周期为
.
探究点二 正弦、余弦函数图象的对称性
例2（1）函数 图象的一条对称轴的方程是( )
A. B. C. D.
[解析] 对于函数，令， ，可得
，，则函数图象的对称轴方程为 ，
，
令，可得函数图象的一条对称轴的方程是 .故选C.
√
（2）函数 的图象的一个对称中心为_____________________.
（答案不唯一）
[解析] 由余弦函数的图象可知，函数 的图象的对称中心
的横坐标，所以函数 的图象的一个对称
中心为 .
变式 若直线与直线是函数 图象的
两条相邻的对称轴，则的最小正周期 ( )
A. B. C. D.
[解析] 依题意得函数的最小正周期 .故
选D.
√
［素养小结］
正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最
高点或最低点；正弦曲线、余弦曲线的对称中心一定是正弦曲线、
余弦曲线与
轴的交点.
拓展 已知函数的图象关于点
对称，方程在上有两个不同的实根， ，则
的最大值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为的图象关于点 对称，所以
，，则， ，
又因为，所以 ，所以
.
当 时， ，作出在上的
图象与直线 ，如图所示.
由图可知，要使方程在上有两个不同的实根，，
则 ，可得 ，所以
.故选D.
探究点三 正弦、余弦函数的单调性及应用
角度1 比较三角函数值的大小
例3 利用三角函数的单调性,比较下列各组数的大小（在下列横线上
填“ ”或“ ”）.
（1）___ ;
[解析] 函数在上单调递减,且 ,
.
例3 利用三角函数的单调性,比较下列各组数的大小（在下列横线上
填“ ”或“ ”）.
（2）___ ;
[解析] ,
.
,且在上单调递减,
,即 .
例3 利用三角函数的单调性,比较下列各组数的大小（在下列横线上
填“ ”或“ ”）.
（3）___ ;
[解析] ,,且在
上单调递减,,即 .
例3 利用三角函数的单调性,比较下列各组数的大小（在下列横线上
填“ ”或“ ”）.
（4）___ .
[解析] ,,
又 在区间上单调递增, .
［素养小结］
利用单调性比较三角函数值大小的一般步骤:①异名函数化为同名函
数;②利用诱导公式把角化到同一单调区间上;③利用函数的单调性比
较大小.
角度2 求正弦型函数、余弦型函数的单调区间
例4 求下列函数的单调区间：
（1） ；
解：令 ，
解得 ，
所以的增区间为 .
由，解得 ，
所以的减区间为 .
例4 求下列函数的单调区间：
（2） ；
解：对于 ，令 ,
得 ,
所以的减区间为 .
令 ，
得 ，
所以的增区间为 .
例4 求下列函数的单调区间：
（3） .
解： ,由 ， ，
解得 ， ，
所以函数的增区间为, .
由 , ，
解得 , ，
所以函数的减区间为, .
变式（1）函数 的减区间是( )
A., B.,
C., D.,
[解析] ，令
， ，解得 ，
，所以函数的减区间为 ,
.故选A.
√
（2）关于函数， 的单调性，下列说法正确的
是( )
A.在上单调递增，在 上单调递减
B.在，上单调递增，在 上单调递减
C.在 ，上单调递增，在 上单调递减
D.在上单调递增，在, 上单调递减
√
[解析] 易知函数的减区间是 ，
增区间是，
， 在上单调递增，在 上单调
递减.故选A.
［素养小结］
1.求
或
的单调区
间，通常采用“换元法”整体代换，将“
”看成一个整体“
”，
利用正（余）弦函数的单调区间，求原函数的单调区间.若
，
则先利用诱导公式，将
的系数转化为正数.
2.结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间是求解的关键.
求单调区间时，需将最终结果写成区间形式，并注意
.
探究点四 求函数的值域
例5 求下列函数的值域.
（1） ；
解：因为 ，
所以当 时，函数取得最大值1，
当时，函数取得最小值 ，
所以函数的值域为 .
例5 求下列函数的值域.
（2）, ；
解：易知在上单调递增，在 上单调递减，
因为，， ，
所以原函数的值域为 .
例5 求下列函数的值域.
（3）， .
解：易知在上单调递增，在 上单调递减，
因为，，，所以当 时，
.
又因为， ，
所以当时，取得最小值 ，
当时， 取得最大值1，
故原函数的值域为 .
变式 求下列函数的值域：
（1） ；
解：因为，所以 ，
所以 ，
所以函数的值域是 .
变式 求下列函数的值域：
（2）， ；
解：由，得 ，
因为函数在区间 上单调递减，
所以原函数的值域为 .
变式 求下列函数的值域：
（3） .
解：令，则 ，
所以 ，
则当 时，函数取得最大值10，
当 时，函数取得最小值2，
所以原函数的值域为 .
［素养小结］
解决关于三角函数的值域问题时,要特别注意角的取值范围及三角函
数的有界性.
1.正、余弦曲线的对称性
（1）正弦曲线是中心对称图形,其对称中心的坐标为 ,
即对称中心是正弦曲线与 轴的所有交点;正弦曲线也是轴对称图形,
其对称轴方程是,所有对称轴都垂直于 轴,且与正
弦曲线交点的纵坐标是正弦函数的最大值或最小值.
（2）余弦曲线是中心对称图形,其对称中心的坐标是
,即对称中心是余弦曲线与 轴的所有交点;余弦曲
线也是轴对称图形,其对称轴方程是 ,所有对称轴都垂直
于 轴,且与余弦曲线交点的纵坐标是余弦函数的最大值或最小值.
2.三角函数单调区间的求法
求函数或 的单调区间,一般
将 视作整体,结合或 的单调区间列出不等式,
解之即得.
3.三角函数的值域问题
（1）或
型的函数值域问题的解决方法是利用三角函数在区间上的单调性.
（2）与二次函数复合时，一般利用三角函数的有界性和二次函数在
区间上的最值求解.
1.函数奇偶性的判断
解决此类问题，常利用函数奇偶性的定义求解.
例1 判断下列函数的奇偶性:
（1） ;
解：有意义,无意义, 的定义域不关于原点对
称，故 为非奇非偶函数.
（2） .
解：的定义域为 ，且
, 是偶函数.
2.函数单调区间的确定
结合正、余弦函数的图象,熟记它们的单调区间.
例2（1）已知函数，，则函数 的减
区间为_______.
[解析] 当时， ，
结合余弦函数的性质可知，当时，函数单调递减，
此时 ，故函数的减区间为 .
（2）［2025·江苏江阴高级中学高一月考］函数
的增区间为_________________________.
[解析] 对于 ，需满足
，所以，即 ，
可得 ，解得
，所以函数 的定义域为
.
令，， ，
因为函数，都为增函数，所以函数 为增
函数.
由 ，得
，即函数 在 上单
调递增.
由复合函数单调性的法则可知，函数的增区间为
.
3.比较三角函数值大小的问题
例3 比较下列各组三角函数值的大小.
（1） 与 ；
解：， ，
， ，
，即 .
例3 比较下列各组三角函数值的大小.
（2）与 .
解： ，
，
， 在上单调递增，
，即 .
4.求与三角函数有关的最值（值域）问题
（1）求形如或 的函数的最值时，要注
意对 进行讨论.
（2）对于可化为或
（其中, ， ,为常数,, ）的形式的函数,通常利用三
角函数的性质求最值,易得其最大值为,最小值为 .
（3）求可化为 或
的函数的最大值、最小值，可利用
求二次函数在区间 上的最大值、最小值的方法来求
（换元法）.
例4 求函数, 的值域.
解：令,.
,,即 ,
又 ,
, 函数的值域为 .
练习册
1.下列函数中，是偶函数的是( )
A. B. C. D.
[解析] 对于A选项，函数 为奇函数，不符合题意；
对于B选项，函数 为偶函数，符合题意；
对于C选项，函数 为非奇非偶函数，不符合题意；
对于D选项，函数 为非奇非偶函数，不符合题意.故选B.
√
2.函数 的最大值为( )
A.4 B.7 C. D.15
[解析] 对于函数，当 时，函数取得最大
值7.故选B.
√
3.下列关于函数 的图象与性质的描述正确的是( )
A.最小正周期是
B.图象的对称轴方程为
C.增区间是
D.图象的对称中心为
√
[解析] 函数的最小正周期为 ，故A正确；
函数图象的对称轴方程为 ，故B错误；
函数的增区间为 ，故C错误；
函数图象的对称中心为 ，故D错误.故选A.
4.函数为上的奇函数，则 的值可以是
( )
A.0 B. C. D.
[解析] 由函数为 上的奇函数，得
, ，解得 ,，当时， .
故选C.
√
5.下列关系式中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
[解析] ，
，
由正弦函数的单调性得 ，则
.故选C.
√
6.函数 的最大值是( )
A. B.1 C. D.
[解析] ，
， 当时，函数有最大值，最大值为 .
故选C.
√
7.函数的图象在区间 上的对称轴方程为_______.
[解析] 由，可得，令 ，解得
，即所求对称轴方程为 .
8.函数， 的值域是_______.
[解析] 因为，所以 ，则
.
9.（13分）判断下列函数的奇偶性.
（1） ；
解：因为 ，，
所以 是偶函数.
（2） ；
解：因为， ，
所以 ，
所以函数 是偶函数.
9.（13分）判断下列函数的奇偶性.
（3） .
解：因为， ，所以
是奇函数.
10.［2025·河北辛集中学高一月考］下列函数既是奇函数又在区间
内单调递增的是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 对于A，由 ，可得，所以函数
的定义域为 ，因为
，所以 不是奇函数，A不满足题意；
对于B，函数 的定义域为，且
，则 是奇函数，当时，
，所以函数在 上不单调，B不满足题意；
对于C，函数的定义域为 ， 且
，则函数 不是奇函数，C不满足题意；
对于D，函数的定义域为 ，且
，所以函数为奇函数，当 时，
，所以函数在 上单调递增，D满足题意.
故选D.
11.［2025·江苏江阴南菁高级中学高一月考］若函数
在上的取值范围是，则实数 的最大值为( )
A. B. C. D.
[解析] 设，由，得，
画出 的图象，如图所示，
要使当时， ，必须满足
，所以，所以实数的最大值为 .故选C.
√
12.（多选题）［2025·南京二十九中高一月考］ 已知函数
，则下列结论正确的是( )
A.是偶函数 B.的一个周期是
C.的最小值是 D.在区间 上单调递减
[解析] 对于A，显然的定义域为 ，因为
，
所以 为偶函数，故选项A正确.
√
√
√
，则的一个周期为 ，故选项B
正确.
对于C，假设 的最小值为，则取到最小值时
, ，因为，所以
，即 取不到，所以假设不成立，的最小值不
是 ，故选项C错误.
对于D，因为在上单调递减，且 ，
在上单调递增，
所以在区间 上单调 递减，因为在区间
上单调递增，且，在 上单调
递减，所以在区间 上单调递减.所以
在区间 上单调递减，故选项D正
确.故选 .
13.［2025·南京师大附中高一期末］设 为实数，若函数
在区间上既有最大值，又有最小值，则 的最小
值为__.
[解析] 因为，所以，依题意可得 ，
解得，所以的最小值为 .
14.（15分）已知函数 .
（1）求函数在 内的最大值；
解：由可得 ，
所以，所以 ，
则函数在区间内的最大值为 .
14.（15分）已知函数 .
（2）若不等式当时的解集为空集，求 的
取值范围.
解：因为不等式当 时的解集为空集，
所以当 时的解集为空集.
令,，则 ，
当时， ，
则,可得 .
故的取值范围为 .
15.［2025·南京师大附中高一调研］已知函数 ，若存在
实数，， ，，满足 ，且
，则
正整数 的最小值为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
√
[解析] 由题意知， 要尽可能地小，则等式
中，
每一项要尽可能地大.
因为 ，所以尽可能有更多组，
满足时， 最小.
结合，的图象可知最多有三组，
满足，故另外两组的和为2时， 最小，此时可
取,,,,, ，满足题意.故选D.
16.（15分）已知函数 .
（1）若函数的最大值是最小值的4倍，求实数 的值；
解： ，
当时，，令 ，
.
①当时， ，
，
由题得，解得或 ，由
得 .
②当时， ，
,
由题得，解得或，由
得 .
③当时， ,
,
由题得，解得 ，
由得 .
④当时， ,
，
由题得，解得 ，
由得 .
综上所述或3或或 .
16.（15分）已知函数 .
（2）若方程 存在实数根，求该方程的实数根.
解：由（1）知， ，
， ，
若方程存在实数根，则必有 或1.
①当时，，此时方程 的实数根为
；
②当时，，此时方程 的实数根为
.
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点二 奇函数 偶函数
知识点三
，
，
，
，
【诊断分析】 （1）× （2）× （3）× （4）×
课中探究 探究点一 例1 （1）
（2）①奇函数 ②奇函数 ③既是奇函数又是偶函数 ④偶函数
变式 （1）D （2）
探究点二 例2 （1）C （2）
（答案不唯一） 变式 D 拓展 D
探究点三 角度1 例3 （1）
（2）
（3）
（4）
角度2 例4 （1）的增区间为
, 的减区间为
.
（2）
的减区间为
,
的增区间为
.
（3）
的增区间为,, 的减区间为,.
变式 （1）A （2）A
探究点四 例5 （1） （2） 变式 （1）> （2）
（3）
练习册
基础巩固 1.B 2.B 3.A 4.C 5.C 6.C 7. 8.
9.（1）偶函数（2）偶函数（3）奇函数
综合提升 10.D 11.C 12.ABD 13. 14.（1）（2）
思维探索 15.D
16.（1）或3或或
（2）当时， 方程 <的实数根为；
当时，<方程的实数根为.第2课时 正弦、余弦函数的性质
【课前预习】
知识点二
奇函数 偶函数
知识点三
[-π+2kπ,2kπ],k∈Z ,k∈Z
x=+2kπ,k∈Z x=π+2kπ,k∈Z
诊断分析
(1)× (2)× (3)× (4)× [解析] (3)函数f(x)的定义域为(-π,π],不关于原点对称,因此函数f(x)不具有奇偶性.
(4)函数f(x)在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.
【课中探究】
探究点一
例1 (1) [解析] 由题意可得f=f=f=sin=.
(2)解:①f(x)=x2cos=-x2sin x,x∈R,
∵f(-x)=-(-x)2sin(-x)=x2sin x=-f(x),∴函数f(x)=x2cos为奇函数.
②由得-1又f(-x)=lg[1-sin(-x)]-lg[1+sin(-x)]=lg(1+sin x)-lg(1-sin x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.
③由得cos x=,此时f(x)=0,f(x)的定义域为,∴f(x)既是奇函数又是偶函数.
④函数的定义域为R,且f(-x)=sin[cos(-x)]=sin(cos x)=f(x),∴函数f(x)=sin(cos x)是偶函数.
变式 (1)D (2)- [解析] (1)因为f(x)为偶函数,所以φ=kπ(k∈Z),又φ>0,所以φ的最小值为π.故选D.
(2)因为函数f(x)=2sin(2x+φ)为偶函数,所以φ=+kπ,k∈Z,又0<φ<π,所以φ=,故cos=cos=-cos=-.
探究点二
例2 (1)C (2)(答案不唯一) [解析] (1)对于函数y=2sin,令 x-=kπ+,k∈Z,可得x=kπ+,k∈Z,则函数图象的对称轴方程为x=kπ+,k∈Z,令k=0,可得函数图象的一条对称轴的方程是x=.故选C.
(2)由余弦函数的图象可知,函数y=2cos x的图象的对称中心的横坐标x=+kπ(k∈Z),所以函数y=2cos x的图象的一个对称中心为.
变式 D [解析] 依题意得函数f(x)的最小正周期T=2×=π.故选D.
拓展 D [解析] 因为f(x)的图象关于点对称,所以+φ=kπ,k∈Z,则φ=kπ-,k∈Z,又因为-<φ<,所以φ=-,所以f(x)=sin.当0≤x≤π时,-≤x-≤π,作出y=sin x在上的图象与直线y=a,如图所示.由图可知,要使方程f(x)=a在[0,π]上有两个不同的实根x1,x2,则a∈,可得|x1-x2|≤π-=π,所以|x1-x2|max=π.故选D.
探究点三
例3 (1)> (2)< (3)< (4)> [解析] (1)∵函数y=sin x在上单调递减,且<<<π,∴sin>sin.
(2)cos=cos=cos=cos,cos=cos=cos=cos.∵0<<<π,且y=cos x在[0,π]上单调递减,∴cos(3)∵cos 1=sin,<2<+1<,且y=sin x在上单调递减,∴sin(4)∵cos=sin,∴0sin.
例4 解:(1)令-π+2kπ≤4x≤2kπ(k∈Z),
解得-+≤x≤(k∈Z),
所以y=cos 4x的增区间为(k∈Z).
由2kπ≤4x≤2kπ+π(k∈Z),解得≤x≤+(k∈Z),
所以y=cos 4x的减区间为(k∈Z).
(2)对于y=-sin+1,
令-+2kπ≤x-≤2kπ+(k∈Z),
得-+2kπ≤x≤2kπ+(k∈Z),
所以y=-sin+1的减区间为(k∈Z).
令+2kπ≤x-≤2kπ+(k∈Z),
得2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z),
所以y=-sin+1的增区间为(k∈Z).
(3)y=sin=-sin,
由+2kπ≤x-≤+2kπ,k∈Z,
解得+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z,
所以函数y=sin的增区间为,k∈Z.
由-+2kπ≤x-≤+2kπ,k∈Z,
解得-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z,
所以函数y=sin的减区间为,k∈Z.
变式 (1)A (2)A [解析] (1)f(x)=cos=cos,令2kπ≤x-≤2kπ+π,k∈Z,解得2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z,所以函数f(x)=cos的减区间为,k∈Z.故选A.
(2)易知函数y=-cos x的减区间是[-π+2kπ,2kπ](k∈Z),增区间是[2kπ,π+2kπ](k∈Z),∵x∈[0,2π],∴y=-cos x在[0,π]上单调递增,在[π,2π]上单调递减.故选A.
探究点四
例5 解:(1)因为y=-2cos x-1,
所以当cos x=-1时,函数取得最大值1,
当cos x=1时,函数取得最小值-3,
所以函数的值域为[-3,1].
(2)易知y=sin x在上单调递增,在上单调递减,
因为sin=-,sin=1,sin=,
所以原函数的值域为.
(3)易知y=sin x在上单调递增,在上单调递减,
因为sin=,sin=,sin=1,所以当x∈时,sin x∈.
又因为y=sin2x-sin x+1=+,sin x∈,
所以当sin x=时,y取得最小值,
当sin x=1时,y取得最大值1,
故原函数的值域为.
变式 解:(1)因为-1≤sin 2x≤1,所以-2≤-2sin 2x≤2,
所以1≤3-2sin 2x≤5,
所以函数y=3-2sin 2x的值域是[1,5].
(2)由x∈,得x+∈,
因为函数y=cos x在区间上单调递减,
所以原函数的值域为.
(3)令t=cos x,则-1≤t≤1,
所以y=cos2x-4cos x+5=t2-4t+5=(t-2)2+1,
则当t=-1时,函数取得最大值10,
当t=1时,函数取得最小值2,
所以原函数的值域为[2,10].第2课时 正弦、余弦函数的性质
1.B [解析] 对于A选项,函数f(x)=sin x为奇函数,不符合题意;对于B选项,函数f(x)=cos x为偶函数,符合题意;对于C选项,函数f(x)=3sin x为非奇非偶函数,不符合题意;对于D选项,函数f(x)=2x为非奇非偶函数,不符合题意.故选B.
2.B [解析] 对于函数y=3-4cos 2x,当cos 2x=-1时,函数取得最大值7.故选B.
3.A [解析] 函数f(x)=sin x的最小正周期为2π,故A正确;函数图象的对称轴方程为x=kπ+(k∈Z),故B错误;函数的增区间为(k∈Z),故C错误;函数图象的对称中心为(kπ,0)(k∈Z),故D错误.故选A.
4.C [解析] 由函数f(x)=sin为R上的奇函数,得+φ=kπ,k∈Z,解得φ=-+kπ,k∈Z,当k=1时,φ=.故选C.
5.C [解析] sin 168°=sin(180°-12°)=sin 12°,cos 10°=sin(90°-10°)=sin 80°,由正弦函数的单调性得sin 11°6.C [解析] y=2sin2x+2cos x-3=2(1-cos2x)+2cos x-3=-2-,∵-1≤cos x≤1,∴当cos x=时,函数有最大值,最大值为-.故选C.
7.x= [解析] 由x∈(0,π],可得x-∈,令x-=,解得x=,即所求对称轴方程为x=.
8.(-2,1] [解析] 因为x∈,所以sin x∈,则y=-2sin x-1∈(-2,1].
9.解:(1)因为x∈R,f(-x)=cos(-2x)=cos 2x=f(x),所以f(x)=cos 2x是偶函数.
(2)因为x∈R,g(x)=sin+2=cos+2,
所以g(-x)=cos+2=cos+2=g(x),
所以函数g(x)=sin+2是偶函数.
(3)因为x∈R,h(-x)=-x·cos(-x)=-x·cos x=-h(x),所以h(x)=xcos x是奇函数.
10.D [解析] 对于A,由cos x≠0,可得x≠kπ+(k∈Z),所以函数f(x)=的定义域为,因为f(-x)==≠-f(x),所以f(x)=不是奇函数,A不满足题意;对于B,函数f(x)=sin 2x的定义域为R,且f(-x)=sin(-2x)=-sin 2x=-f(x),则f(x)=sin 2x是奇函数,当0≤x≤时,0≤2x≤,所以函数f(x)=sin 2x在上不单调,B不满足题意;对于C,函数f(x)=sin|x|的定义域为R,且f(-x)=sin|-x|=sin|x|≠-f(x),则函数f(x)=sin|x|不是奇函数,C不满足题意;对于D,函数f(x)=sinx的定义域为R,且f(-x)=sin=-sinx=-f(x),所以函数f(x)=sinx为奇函数,当0≤x≤时,0≤x≤,所以函数f(x)=sinx在上单调递增,D满足题意.故选D.
11.C [解析] 设t=x+,由x∈[0,a],得t∈,画出y=cos t的图象,如图所示,要使当t∈时,y∈,必须满足π≤a+≤,所以≤a≤,所以实数a的最大值为.故选C.
12.ABD [解析] 对于A,显然f(x)的定义域为R,因为f(-x)=sin[cos(-x)]+cos[sin(-x)]=sin(cos x)+cos(sin x)=f(x),所以f(x)为偶函数,故选项A正确.对于B,f(2π+x)=sin[cos(2π+x)]+cos[sin(2π+x)]=sin(cos x)+cos(sin x)=f(x),则f(x)的一个周期为2π,故选项B正确.对于C,假设f(x)的最小值为-2,则f(x)取到最小值时sin(cos x)=-1,cos(sin x)=-1,因为-1≤cos x≤1,所以sin(cos x)∈[-sin 1,sin 1],即sin(cos x)取不到-1,所以假设不成立,f(x)的最小值不是-2,故选项C错误.对于D,因为y=cos x在上单调递减,且cos x∈(0,1) ,y=sin x在上单调递增,所以y=sin(cos x)在区间上单调递减,因为y=sin x在区间上单调递增,且sin x∈(0,1) ,y=cos x在上单调递减,所以y=cos(sin x)在区间上单调递减.所以f(x)=sin(cos x)+cos(sin x)在区间上单调递减,故选项D正确.故选ABD.
13. [解析] 因为x∈,所以πx∈,依题意可得mπ≥,解得m≥,所以m的最小值为.
14.解:(1)由0≤x≤可得0≤3x≤,
所以-≤cos 3x≤1,所以0≤-2cos 3x+2≤2+,
则函数f(x)在区间内的最大值为+2.
(2)因为不等式f(x)+m<-1当x∈时的解集为空集,
所以m<2cos 3x-3当x∈时的解集为空集.
令g(x)=2cos 3x-3,x∈,则m≥g(x)max,
当≤x≤时,≤3x≤π,
则-1≤cos 3x≤-,可得-5≤g(x)≤--3.
故m的取值范围为[--3,+∞).
15.D [解析] 由题意知,n要尽可能地小,则等式|f(x1)-f(x2)|+|f(x2)-f(x3)|+…+|f(xn-1)-f(xn)|=8中,每一项要尽可能地大.因为|f(xn-1)-f(xn)|≤2,所以尽可能有更多组xn-1,xn(n≥2)满足|f(xn-1)-f(xn)|=2时,n最小.结合f(x)=sin x,x∈[0,4π]的图象可知最多有三组xn-1,xn(n≥2)满足|f(xn-1)-f(xn)|=2,故另外两组的和为2时,n最小,此时可取x1=0,x2=,x3=,x4=,x5=,x6=4π,满足题意.故选D.
16.解:(1)f(x)=-cos2x+2acos x+a2+2=-(cos x-a)2+2a2+2,
当x∈R时,-1≤cos x≤1,令cos x=t(-1≤t≤1),g(t)=-(t-a)2+2a2+2.
①当a≤-1时,f(x)max=g(-1)=a2-2a+1,f(x)min=g(1)=a2+2a+1,
由题得a2-2a+1=4(a2+2a+1),解得a=-3或a=-,由a≤-1得a=-3.
②当a≥1时,f(x)max=g(1)=a2+2a+1,f(x)min=g(-1)=a2-2a+1,
由题得a2+2a+1=4(a2-2a+1),解得a=3或a=,由a≥1得a=3.
③当-1由题得2a2+2=4(a2+2a+1),解得a=-2±,
由-1④当0≤a<1时,f(x)max=g(a)=2a2+2,f(x)min=g(-1)=a2-2a+1,
由题得2a2+2=4(a2-2a+1),解得a=2±,
由0≤a<1得a=2-.
综上所述a=-3或3或-2+或2-.
(2)由(1)知,a2-2a+1=(a-1)2≥0,a2+2a+1=(a+1)2≥0,2a2+2>0,
若方程f(x)=0存在实数根,则必有a=-1或1.
①当a=-1时,cos x=1,此时方程f(x)=0的实数根为x=2kπ(k∈Z);
②当a=1时,cos x=-1,此时方程f(x)=0的实数根为x=2kπ+π(k∈Z).第2课时 正弦、余弦函数的性质
【学习目标】
1.了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值.
2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质.
◆ 知识点一 正弦函数、余弦函数的定义域、
值域、周期
函数 y=sin x y=cos x
图象
定义域 R R
值域 [-1,1] [-1,1]
周期 2π 2π
◆ 知识点二 三角函数的奇偶性
y=sin x是 ;y=cos x是 .
◆ 知识点三 正弦函数、余弦函数的单调性和最值
正弦函数 余弦函数
单调性 增区间 ,k∈Z
减区间 [2kπ,π+2kπ],k∈Z
最值 ymax=1 x=2kπ,k∈Z
ymin=-1 x=-+2kπ,k∈Z
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)存在x∈[0,2π],使得cos x=. ( )
(2)函数y=sin x,x∈(0,π)是奇函数. ( )
(3)函数f(x)=cos x(x∈(-π,π])是偶函数.( )
(4)函数f(x)=sin x在区间[0,2π]上单调. ( )
◆ 探究点一 正弦、余弦函数的奇偶性与周期性
例1 (1)定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,f(x)的最小正周期是π,且当x∈时,f(x)=sin x,则f的值为 .
(2)判断下列函数的奇偶性.
①f(x)=x2cos;
②f(x)=lg(1-sin x)-lg(1+sin x);
③f(x)=+;
④f(x)=sin(cos x).
变式 (1)若函数f(x)=cos(x+φ)(φ>0)是偶函数,则φ的最小值为 ( )
A. B.
C. D.π
(2)已知函数f(x)=2sin(2x+φ)为偶函数,其中0<φ<π,则cos= .
[素养小结]
1.解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法:利用函数的周期性,可以把x+nT(n∈Z)的函数值转化为x的函数值.利用奇偶性,可以找到-x与x的函数值之间的关系,从而解决求值问题.
2.推得函数周期的若干形式:
(1)若f(x+t)=f(x)(t>0),则函数f(x)的周期为t;
(2)若f(x+t)=-f(x)(t>0),则函数f(x)的周期为2t;
(3)若f(x+t)=(f(x)≠0且t>0),则函数f(x)的周期为2t;
(4)若f(x+t)=-(f(x)≠0且t>0),则函数f(x)的周期为2t.
◆ 探究点二 正弦、余弦函数图象的对称性
例2 (1)函数y=2sin图象的一条对称轴的方程是 ( )
A.x= B.x=
C.x= D.x=2π
(2)函数y=2cos x的图象的一个对称中心为 .
变式 若直线x=与直线x=是函数f(x)=cos ωx(ω>0)图象的两条相邻的对称轴,则f(x)的最小正周期T= ( )
A. B.π
C. D.
[素养小结]
正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高点或最低点;正弦曲线、余弦曲线的对称中心一定是正弦曲线、余弦曲线与x轴的交点.
拓展 已知函数f(x)=sin(x+φ)的图象关于点对称,方程f(x)=a在[0,π]上有两个不同的实根x1,x2,则|x1-x2|的最大值为 ( )
A. B.
C. D.
◆ 探究点三 正弦、余弦函数的单调性及应用
角度1 比较三角函数值的大小
例3 利用三角函数的单调性,比较下列各组数的大小(在下列横线上填“>”或“<”).
(1)sin sin;
(2)cos cos;
(3)cos 1 sin 2;
(4)sin sin.
[素养小结]
利用单调性比较三角函数值大小的一般步骤:①异名函数化为同名函数;②利用诱导公式把角化到同一单调区间上;③利用函数的单调性比较大小.
角度2 求正弦型函数、余弦型函数的单调区间
例4 求下列函数的单调区间:
(1)y=cos 4x;
(2)y=-sin+1;
(3)y=sin.
变式 (1)函数f(x)=cos的减区间是 ( )
A.,k∈Z
B.,k∈Z
C.[2kπ-π,2kπ],k∈Z
D.[2kπ,2kπ+π],k∈Z
(2)关于函数y=-cos x,x∈[0,2π]的单调性,下列说法正确的是 ( )
A.在[0,π]上单调递增,在[π,2π]上单调递减
B.在,上单调递增,在上单调递减
C.在[π,2π]上单调递增,在[0,π]上单调递减
D.在上单调递增,在,上单调递减
[素养小结]
1.求y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调区间,通常采用“换元法”整体代换,将“ωx+φ”看成一个整体“z”,利用正(余)弦函数的单调区间,求原函数的单调区间.若ω<0,则先利用诱导公式,将x的系数转化为正数.
2.结合正弦、余弦函数的图象,熟记它们的单调区间是求解的关键.求单调区间时,需将最终结果写成区间形式,并注意k∈Z.
◆ 探究点四 求函数的值域
例5 求下列函数的值域.
(1)y=-2cos x-1;
(2)y=sin x,x∈;
(3)y=sin2x-sin x+1,x∈.
变式 求下列函数的值域:
(1)y=3-2sin 2x;
(2)y=cos,x∈;
(3)y=cos2x-4cos x+5.
[素养小结]
解决关于三角函数的值域问题时,要特别注意角的取值范围及三角函数的有界性.第2课时 正弦、余弦函数的性质
1.下列函数中,是偶函数的是 ( )
A.f(x)=sin x
B.f(x)=cos x
C.f(x)=3sin x
D.f(x)=2x
2.函数y=3-4cos 2x的最大值为 ( )
A.4 B.7
C.-1 D.15
3.下列关于函数f(x)=sin x的图象与性质的描述正确的是 ( )
A.最小正周期是2π
B.图象的对称轴方程为x=(k∈Z)
C.增区间是(k∈Z)
D.图象的对称中心为(2kπ,0)(k∈Z)
4.函数f(x)=sin为R上的奇函数,则φ的值可以是 ( )
A.0 B.-
C. D.π
5.下列关系式中正确的是 ( )
A.sin 11°B.sin 168°C.sin 11°D.sin 168°6.函数y=2sin2x+2cos x-3的最大值是 ( )
A.-1 B.1
C.- D.-5
7.函数y=sin的图象在区间(0,π]上的对称轴方程为 .
8.函数y=-2sin x-1,x∈的值域是 .
9.(13分)判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=cos 2x;
(2)g(x)=sin+2;
(3)h(x)=x·cos x.
10.[2025·河北辛集中学高一月考] 下列函数既是奇函数又在区间内单调递增的是 ( )
A.f(x)= B.f(x)=sin 2x
C.f(x)=sin|x| D.f(x)=sinx
11.[2025·江苏江阴南菁高级中学高一月考] 若函数y=cos在[0,a]上的取值范围是,则实数a的最大值为 ( )
A. B.
C. D.
12.(多选题)[2025·南京二十九中高一月考] 已知函数f(x)=sin(cos x)+cos(sin x),则下列结论正确的是 ( )
A.f(x)是偶函数
B.f(x)的一个周期是2π
C.f(x)的最小值是-2
D.f(x)在区间上单调递减
13.[2025·南京师大附中高一期末] 设m为实数,若函数f(x)=sin πx在区间上既有最大值,又有最小值,则m的最小值为 .
14.(15分)已知函数f(x)=-2cos 3x+2.
(1)求函数f(x)在内的最大值;
(2)若不等式f(x)+m<-1当x∈时的解集为空集,求m的取值范围.
15.[2025·南京师大附中高一调研] 已知函数f(x)=sin x,若存在实数x1,x2,…,xn,满足0≤x1A.3 B.4
C.5 D.6
16.(15分)已知函数f(x)=-cos2x+2acos x+a2+2(x∈R).
(1)若函数f(x)的最大值是最小值的4倍,求实数a的值;
(2)若方程f(x)=0存在实数根,求该方程的实数根.