(共66张PPT)
7.3 三角函数的图象和性质
7.3.2 三角函数的图象与性质
第3课时 正切函数的图象与性质
探究点一 正切函数的定义域、值域
探究点二 正切函数的奇偶性、周期性与对称性
探究点三 正切函数的单调性及应用
探究点四 正切函数图象与性质的综合应用
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.借助单位圆能画出正切函数的图象，了解正切函数的周期性、单调
性、奇偶性、最大（小）值.
2.借助图象理解正切函数在 上的性质.
知识点一 正切函数的图象
如图所示,正切函数的图象是被与 轴平行的一系列直线___________
_________所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）直线与正切函数 的图象相邻两个交点之间的距
离为 .( )
√
（2）函数图象的所有对称中心是 .( )
×
（3）正切函数的图象有无数条对称轴，对称轴方程是 ，
.( )
×
（4）正切函数在定义域内的图象是连续不断的.( )
×
知识点二 正切函数的性质
定义域:___________________________;
值域:___;
周期:___;
奇偶性:由 知,正切函数是________;
单调性:每个开区间______________________都是正切函数的增区间.
奇函数
,
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）正切函数的定义域和值域都是 .( )
×
（2）正切函数在定义域内无最大值和最小值.( )
√
（3）正切函数在整个定义域内是增函数.( )
×
（4）函数与的最小正周期相等,都是 .( )
√
探究点一 正切函数的定义域、值域
例1（1）［2025·江苏镇江实验高级中学高一期末］函数
的定义域是( )
A. B.
C. D.
[解析] 由 ,,得, ，故函数
的定义域为 .故选C.
√
（2）函数 的值域是( )
A. B.
C. D.
[解析] 当时，， ；
当时，， .
故函数的值域是 .
√
变式（1）函数 的定义域为( )
A.
B.
C.
D.
√
[解析] 令，,则函数 的定义域为
，函数的定义域为 ，
则，可得 , ，所以
的定义域为 .故选A.
（2）函数 的值域是__________.
[解析] 令，则 ，所以
，故所求函数的值域为
.
［素养小结］
（1）求函数的定义域时，要将
视为一个整体，令，，求解即可.
（2）求与正切函数有关的函数值域的方法：
①对于的值域，可以把 看
成整体，结合图象，利用单调性求值域；
②对于与相关的二次函数，可以把看成整体，利用配方法
求值域.
探究点二 正切函数的奇偶性、周期性与对称性
例2（1） ( )
A.是奇函数 B.是偶函数
C.既是奇函数也是偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数
[解析] 由题意可知, 的定义域关于原点对称，且
,所以 是偶函数.
√
（2）函数 的最小正周期为( )
A. B. C. D.
[解析] 函数的最小正周期 .故选A.
√
（3）［2025·天津河东区高一期末］已知函数
的图象的一个对称中心为 ，则
的最小正周期可能是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为函数的图象的一个对称中心为 ，
所以,，解得,，且 ，所以函
数的最小正周期,.
当时， ；当时，；当时，；
当时， ；….故选C.
√
变式（1）函数 ( )
A.是奇函数 B.是偶函数
C.既是奇函数也是偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数
[解析] 要使有意义,必须满足即 且
,所以函数 的定义域关于原点对称.
又,所以 是奇函数.
√
（2）［2025·江苏金坛一中高一月考］已知函数
的一个周期为，则实数 的最
小值是__.
[解析] 由题可知，是该函数的最小正周期的正整数倍， ，即
,，解得,，则 的最小值为 .
［素养小结］
（1）形如的函数的最小正周期，
也可以用定义法求周期，还可以利用函数图象判断.
（2）正切曲线的对称中心为，解关于曲线
的对称中心的题目时需要把 看成
一个整体，从整体性入手求解.
拓展 已知函数,若 ,则
____.
11
[解析] 令,则 .
因为 ,
所以是奇函数.
因为,所以 ,则,
故 .
探究点三 正切函数的单调性及应用
角度1 求正切函数的单调区间
例3 函数 的增区间为( )
A. B.
C. D.
[解析] 由 ,可得
,所以函数 的增区间为
.故选C.
√
变式 函数 的减区间是( )
A. B.
C. D.
[解析] ，令
， ，解得
,，所以函数 的减区间
是 .故选D.
√
［素养小结］
求的单调区间,只需令
,解出.当时,应先用诱导公式
将的系数化为正数,还要注意的正负对单调性的影响.
角度2 比较大小
例4 不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小.
（1）与 ；
解：因为， ，
且，在 上单调递增，
所以，即 .
例4 不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小.
（2）与 .
解：因为， ，
且，在 上单调递增，
所以，
所以 ，即 .
变式 将，，， 按从小到大的顺序排列为_______
_____________________.
[解析] 因为在区间 上单调递增，且
， ，所以
.
［素养小结］
比较两个三角函数值的大小时,若所给的两个角不在同一单调区间内,
要用诱导公式将它们化到同一单调区间内,不是同名函数的要利用诱
导公式化成同名函数.
探究点四 正切函数图象与性质的综合应用
例5 观察正切曲线,写出满足下列条件的 的取值范围.
（1） ;
解：观察正切曲线,可知 .
在区间内,满足的的取值范围是 ,
又正切函数的最小正周期为 ,所以满足的 的取值范围是
.
例5 观察正切曲线,写出满足下列条件的 的取值范围.
（2） .
解：观察正切曲线,可知,.
在区间 内,满足的的取值范围是 ,
又正切函数的最小正周期为 ,所以满足的 的取值
范围是 .
变式 方程， 的实数解有___个.
1
[解析] 因为当时,，函数与
都是奇函数,所以的图象与的图象在 上只有
一个交点,即方程， 只有1个实数解.
［素养小结］
熟练掌握正切函数的图象和性质是解决与正切函数有关的综合问题
的关键，需注意的是正切曲线是被相互平行的直线 ，
隔开的无穷多支曲线组成的.
（1）求函数 的定义域、最小正周期和单调区间；
解：根据函数，可得， ，
解得， ，故函数的定义域为
，它的最小正周期为 .
令，，得 ，
.
故函数的增区间为， ，无减区间.
拓展 设函数 .
拓展 设函数 .
（2）求不等式 的解集.
解：,即 ,
由正切曲线可得, ,解得
, ,
故不等式的解集为, .
1.正切函数的图象与性质
（1）正切函数的图象是被与 轴平行的一系列直线
分割而成的平行曲线.把直线 称
为正切曲线的渐近线，正切曲线无限接近渐近线.
（2）正切函数的图象关于原点对称，正切曲线是中心对称图形，其
对称中心是 .正切曲线不是轴对称图形，不存在对称轴.
2.在每一个区间， 内都单调递增，在
整个定义域内不具有单调性，它不会在某一个区间内单调递减.
1.利用正切函数的图象解不等式
解含有正切函数的不等式时,可先画出正切函数在一个周期内的图象,
由图象可得到在一个周期内满足不等式的解,然后再加上周期的整数
倍,即可得到满足不等式的解.
例1 观察正切曲线，写出满足下列条件的 的取值范围.
（1） ；
解：在区间内，可知，此时满足 的
的取值范围是 ，
又正切函数的最小正周期为 ，所以满足的 的取值范围
是 .
例1 观察正切曲线，写出满足下列条件的 的取值范围.
（2） .
解：在区间内，可知， ，
此时满足的的取值范围是 ，
又正切函数的最小正周期为 ，所以满足的 的取
值范围是 .
2.含正切函数的复合函数的单调性
要注意正切函数在每一个区间， 上单调递增，
对每一个由正切函数构成的复合函数的单调性利用“同增异减”的法
则求解．其方法如下：从定义域出发，先确定内层函数的单调性，
再判断外层函数的单调性，最后利用“同增异减”的法则得到复合函
数的单调性．
例2 讨论函数且 的单调性．
解：，，设 .
当时，是增函数， 在区间
上单调递增，
函数在区间 上单调递增；
当时，是减函数， 在区间
上单调递增，
函数在区间 上单调递减.
练习册
1.函数 的最小正周期为( )
A.16 B.8 C. D.
[解析] 的最小正周期 .故选B.
√
2.函数 是( )
A.最小正周期为 的奇函数 B.最小正周期为 的奇函数
C.最小正周期为 的偶函数 D.最小正周期为 的偶函数
[解析] 函数，定义域为 , ，且
，所以函数 为奇函数，其最
小正周期 .故选B.
√
3.函数 的定义域为( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为函数有意义，所以 ，
所以，可得，因此 ,
，所以原函数的定义域为 .故选A.
√
4.函数， 的值域为( )
A. B. C. D.
[解析] 由，得 ，所以
，则 ，所以所求函数
的值域为 .故选A.
√
5.函数 的图象的一个对称中心是( )
A. B. C. D.
[解析] 令,，解得, ，故函数图象的
对称中心为,，故A，B错误；
当时， ，故图象的一个对称中心为 ，D正确；
经检验，C不满足题意.故选D.
√
6.与函数 的图象不相交的一条直线的方程是( )
A. B. C. D.
[解析] 当时，；
当 时，；
当 时，；
当时， .故选D.
√
7.函数 的增区间为______________________.
，
[解析] 由 ， ，解得
，，故函数 的增区间为
， .
8.不等式 的解集为_________________________.
[解析] 由不等式，得 ，
，解得 ， ，所以不等式
的解集为 .
9.（13分）画出函数 的图象，并根据图象判断其单调区间、
奇偶性、最小正周期.
解：由 ，得
，
可作出该函数的图象如图所示，
由图可知，函数 是偶函数，增区间为，
减区间为 ，最小正周期为 .
10.（13分）已知函数, .
（1）若，求函数 的定义域及最小正周期；
解：当时，，则函数 的最小正周期
.
由 ,，解得 ,，所以函数
的定义域为 .
10.（13分）已知函数, .
（2）若函数在区间内单调递增，求 的取值范围.
解：由，得，
因为函数 在区间内单调递增，所以，解得，
又 ，所以 的取值范围为 .
11. 山东泰安期中］ “函数的图象关于 对
称”是“ ， ”的( )
A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
√
[解析] 当 ， 时，，
.
令, ，解得,，则函数图象的对称中心为
， ，当时，图象的对称中心为，必要性成立.
当 的图象关于对称时，可得,，解
得 , ，充分性不成立，故选B.
12.（多选题）下列不等式成立的是( )
A. B.
C. D.
[解析] ,且,在
上单调递增，，即 ,选项A中不等
式成立;
,
, 由 的单调性可知
, 即 ,选项B中不等式不成立;
√
√
,在上单调递增， ,
选项C中不等式成立;
,选项D中不等式不成立.故选 .
13.（多选题）若函数 的图象经过点
，则( )
A.点为函数 图象的一个对称中心
B.函数的最小正周期为
C.函数在区间上的取值范围为
D.函数的增区间为
√
√
[解析] 由题知，又 ，
所以，所以 .
对于A，令,，则, ，
所以图象的对称中心为, ，当时， ，
故点为函数图象的一个对称中心，故A正确.
对于B， 的最小正周期，故B错误.
对于C，当 时， ，
则 ，故C正确.
对于D，令, ，
所以, ，所以函数的增区间为
, ，无减区间.令，即 ，所以
,，则, ，作出函数 的大
致图象，如图所示，所以函数 的增区间为
，故D错误.故选 .
14.设定义在区间上的函数的图象与 的图象
交于点，过点作轴的垂线，垂足为，直线与函数
的图象交于点，则线段 的长为__.
[解析] 设点的坐标为，则可得点的坐标为，点 的
坐标为，
由消去得 ，整理得，
则 ，即，所以
或 （舍去），即，所以点的纵坐标
，所以线段的长为 .
15. 江苏徐州高一期末］ 已知函数
在区间上单调递减，则 的取值集
合为_________.（用列举法表示）
,
[解析] 由在区间上单调递减，得，且 ，
解得,
又因为，,所以或或 或.
当时，，当 时，
，当，即时，函数 无意义，
故不满足题意.
当时， ,当时，
，因为在 上单调递增，所以在区间
上单调递减，故 满足题意.
当时，,当时， ，
因为在上单调递增，
所以在区间 上单调递减，故满足题意.
当时， ,当时，，
当，即时，函数 无意义，故不满足题意.
故的取值集合为， .
16.（15分）已知函数，其中 ,
.
（1）当时，求在区间上的最值及取得最值时 的值；
解：当 时， ，
令，由得 ，则
，所以当 ，即时，取得最小值，
最小值为 ，当，即时， 取得最大值，最大值为42.
所以在上的最小值为，此时 ，最大值为42，此
时 .
16.（15分）已知函数，其中 ,
.
（2）若的最小值为，求 .
解：因为 的最小值为 ，
所以，且,所以 ，
又，所以 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 【诊断分析】 （1）√ （2）× （3）× （4）×
知识点二 奇函数 ,
【诊断分析】 （1）× （2）√ （3）× （4）√
课中探究 探究点一 例1 （1）C （2）B 变式 （1）A （2）
探究点二 例2 （1）B （2）A （3）C 变式 （1）A （2） 拓展 11
探究点三 角度1 例3 C 变式 D 角度2 例4 （1）（2）
变式
探究点四 例5 （1）（2）< 变式 1
拓展 （1）函数的定义域为，最小正周期为 ，函数的
增区间为，，无减区间（2）,
练习册
基础巩固 1.B 2.B 3.A 4.A 5.D 6.D 7.，
8.
9.图略，函数是偶函数，增区间为，减区间为
，最小正周期为
10.（1）最小正周期 ，定义域为（2）
综合提升 11.B 12.AC 13.AC 14.
思维探索 15.,
16.（1）最小值为，此时，最大值为42，此时 （2）第3课时 正切函数的图象与性质
【课前预习】
知识点一
x=+kπ(k∈Z)
诊断分析
(1)√ (2)× (3)× (4)×
知识点二
R π 奇函数
,k∈Z
诊断分析
(1)× (2)√ (3)× (4)√
【课中探究】
探究点一
例1 (1)C (2)B [解析] (1)由2x+≠+kπ,k∈Z,得x≠+,k∈Z,故函数f(x)=tan的定义域为.故选C.
(2)当-1.故函数y=的值域是(-∞,-1)∪(1,+∞).
变式 (1)A (2)[-5,+∞) [解析] (1)令y=lg t,t=tan x-1,则函数t=tan x-1的定义域为,函数y=lg t的定义域为{t|t>0},则tan x-1>0,可得+kπ>x>+kπ,k∈Z,所以y=lg(tan x-1)的定义域为.故选A.
(2)令t=tan x,则t∈R,所以y=t2+4t-1=(t+2)2-5≥-5,故所求函数的值域为[-5,+∞).
探究点二
例2 (1)B (2)A (3)C [解析] (1)由题意可知,f(x)=tan2x的定义域关于原点对称,且f(-x)=tan2(-x)=tan2x=f(x),所以f(x)是偶函数.
(2)函数y=tan的最小正周期T=.故选A.
(3)因为函数f(x)=2tan的图象的一个对称中心为,所以ω-=,k∈Z,解得ω=3k+2,k∈Z,且ω>0,所以函数f(x)的最小正周期T==,k∈N.当k=0时,T=;当k=1时,T=;当k=2时,T=;当k=3时,T=;….故选C.
变式 (1)A (2) [解析] (1)要使f(x)有意义,必须满足即x≠kπ+且x≠(2k+1)π(k∈Z),所以函数f(x)的定义域关于原点对称.又f(-x)==-=-f(x),所以f(x)=是奇函数.
(2)由题可知,是该函数的最小正周期的正整数倍,ω>0,即=×k,k∈N*,解得ω=,k∈N*,则ω的最小值为.
拓展 11 [解析] 令g(x)=asin x+btan x,则f(x)=g(x)+5.因为g(-x)=asin(-x)+btan(-x)=-(asin x+btan x)=-g(x),所以g(x)是奇函数.因为f(10)=g(10)+5=-1,所以g(10)=-6,则g(-10)=6,故f(-10)=g(-10)+5=6+5=11.
探究点三
例3 C [解析] 由kπ-变式 D [解析] y=tan=-tan,令kπ-π<3x-例4 解:(1)因为tan=tan,tan=tan,
且0<<<,y=tan x在上单调递增,
所以tan(2)因为tan=-tan,tan=-tan,
且0<<<,y=tan x在上单调递增,
所以tan>tan,所以-tan<-tan,
即tan变式 tan 2探究点四
例5 解:(1)观察正切曲线,可知tan=1.
在区间内,满足tan x>1的x的取值范围是,
又正切函数的最小正周期为π,所以满足tan x>1的x的取值范围是(k∈Z).
(2)观察正切曲线,可知tan=-,tan=.在区间内,满足-又正切函数的最小正周期为π,所以满足-变式 1 [解析] 因为当0sin x,函数y=tan x与y=sin x都是奇函数,所以y=tan x的图象与y=sin x的图象在上只有一个交点(0, 0),即方程sin x=tan x,x∈只有1个实数解.
拓展 解:(1)根据函数 f(x)=tan,可得-≠kπ+,k∈Z,解得x≠2kπ+,k∈Z,
故函数f(x)的定义域为,它的最小正周期为=2π.
令 kπ-<-故函数f(x)的增区间为,k∈Z,无减区间.
(2)f(x)≤,即tan≤,
由正切曲线可得kπ-<-≤kπ+,k∈Z,解得2kπ-故不等式的解集为,k∈Z.第3课时 正切函数的图象与性质
1.B [解析] f(x)的最小正周期T==8.故选B.
2.B [解析] 函数f(x)=tan,定义域为{x|x≠π+2kπ,k∈Z},且f(-x)=tan=-tan=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,其最小正周期T==2π.故选B.
3.A [解析] 因为函数y=有意义,所以tan≠0,所以n∈Z,可得n∈Z,因此x≠+,k∈Z,所以原函数的定义域为.故选A.
4.A [解析] 由05.D [解析] 令2x+=,k∈Z,解得x=-,k∈Z,故函数图象的对称中心为,k∈Z,故A,B错误;当k=1时,x=,故图象的一个对称中心为,D正确;经检验,C不满足题意.故选D.
6.D [解析] 当x=时,y=tan=tan=1;当x=-时,y=tan=tan=1;当x=时,y=tan=tan=-1;当x=时,2x+=.故选D.
7.(6k-3,6k+3),k∈Z [解析] 由-+kπ8. [解析] 由不等式tan≤,得kπ-9.解:由y=|tan x|,得y=k∈Z,可作出该函数的图象如图所示,由图可知,函数y=|tan x|是偶函数,增区间为(k∈Z),减区间为(k∈Z),最小正周期为π.
10.解:(1)当ω=时,f(x)=2tan,则函数f(x)的最小正周期T==3π.
由x+≠+kπ,k∈Z,解得x≠+3kπ,k∈Z,所以函数f(x)的定义域为.
(2)由x∈,得ωx+∈,因为函数f(x)在区间内单调递增,所以ω+≤,解得ω≤,又ω>0,所以ω的取值范围为.
11.B [解析] 当φ=+kπ,k∈Z时,y=tan=tan,k∈Z.令-=,k∈Z,解得x=kπ+,k∈Z,则函数图象的对称中心为,k∈Z,当k=0时,图象的对称中心为,必要性成立.当y=tan的图象关于对称时,可得-φ=,k∈Z,解得φ=-+,k∈Z,充分性不成立,故选B.
12.AC [解析] ∵-tan 2=tan(π-2),且0<1<π-2<,y=tan x在上单调递增,∴tan 1tan,选项C中不等式成立;tan=tan=tan13.AC [解析] 由题知f(0)=tan φ=1,又|φ|<,所以φ=,所以f(x)=tan.对于A,令2x+=,k∈Z,则x=-,k∈Z,所以f(x)图象的对称中心为,k∈Z,当k=1时,x=,故点为函数f(x)图象的一个对称中心,故A正确.对于B,f(x)的最小正周期T=,故B错误.对于C,当x∈时,2x+∈,则f(x)=tan∈[1,+∞),故C正确.对于D,令kπ-<2x+14. [解析] 设点P的坐标为(x1,y1),则可得点P1的坐标为(x1,0),点P2的坐标为(x1,sin x1),由消去y得6cos x=5tan x,整理得6cos2x=5sin x,则6sin2x+5sin x-6=0,即(3sin x-2)(2sin x+3)=0,所以sin x=或sin x=-(舍去),即sin x1=,所以点P2的纵坐标sin x1=,所以线段P1P2的长为.
15.{-3,-2} [解析] 由f(x)在区间上单调递减,得n<0,且-≤,解得|n|≤4,又因为n∈Z,n<0,所以n=-4或n=-3或n=-2或n=-1.当n=-4时,f(x)=-tan,当x∈时,<4x+<,当4x+=,即x=时,函数f(x)无意义,故n=-4不满足题意.当n=-3时,f(x)=-tan,当x∈时,<3x+<,因为y=tan x在上单调递增,所以f(x)在区间上单调递减,故n=-3满足题意.当n=-2时,f(x)=-tan,当x∈时,<2x+<π,因为y=tan x在上单调递增,所以f(x)在区间上单调递减,故n=-2满足题意.当n=-1时,f(x)=-tan,当x∈时,16.解:(1)当θ=时,f(x)==(2x-2)(2x-1),
令2x=t,由x∈[0,3]得t∈[1,8],则g(t)=(t-2)(t-1)=t2-3t+2=-,所以当t=,
即x=log2时,f(x)取得最小值,最小值为-,
当t=8,即x=3时,f(x)取得最大值,最大值为42.
所以f(x)在[0,3]上的最小值为-,此时x=log2,最大值为42,此时x=3.
(2)因为f(x)=(2x-2tan θ)(2x-tan θ)=-(3tan θ)·2x+2tan2θ=-tan2θ的最小值为-,
所以-tan2θ=-,且tan θ>0,所以tan θ=,又-<θ<,所以θ=.第3课时 正切函数的图象与性质
【学习目标】
1.借助单位圆能画出正切函数的图象,了解正切函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值.
2.借助图象理解正切函数在上的性质.
◆ 知识点一 正切函数的图象
如图所示,正切函数的图象是被与y轴平行的一系列直线 所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)直线y=a与正切函数y=tan x的图象相邻两个交点之间的距离为π. ( )
(2)函数y=tan x图象的所有对称中心是(kπ,0)(k∈Z). ( )
(3)正切函数的图象有无数条对称轴,对称轴方程是x=kπ±,k∈Z. ( )
(4)正切函数在定义域内的图象是连续不断的. ( )
◆ 知识点二 正切函数的性质
定义域: ;
值域: ;
周期: ;
奇偶性:由tan(-x)=-tan x知,正切函数是 ;
单调性:每个开区间 都是正切函数的增区间.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)正切函数的定义域和值域都是R. ( )
(2)正切函数在定义域内无最大值和最小值. ( )
(3)正切函数在整个定义域内是增函数. ( )
(4)函数y=|tan x|与y=tan x的最小正周期相等,都是π. ( )
◆ 探究点一 正切函数的定义域、值域
例1 (1)[2025·江苏镇江实验高级中学高一期末] 函数f(x)=tan的定义域是 ( )
A.
B.
C.
D.
(2)函数y=的值域是 ( )
A.(-1,1)
B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(-∞,1)
D.(-1,+∞)
变式 (1)函数y=lg(tan x-1)的定义域为 ( )
A.
B.
C.
D.
(2)函数y=tan2x+4tan x-1的值域是 .
[素养小结]
(1)求函数y=Atan(ωx+φ)(A≠0,ω>0)的定义域时,要将ωx+φ视为一个整体,令ωx+φ≠kπ+,k∈Z,求解x即可.
(2)求与正切函数有关的函数值域的方法:
①对于y=Atan(ωx+φ)(A≠0,ω>0)的值域,可以把ωx+φ看成整体,结合图象,利用单调性求值域;
②对于与tan x相关的二次函数,可以把tan x看成整体,利用配方法求值域.
◆ 探究点二 正切函数的奇偶性、周期性与对称性
例2 (1)f(x)=tan2x ( )
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数也是偶函数
D.既不是奇函数也不是偶函数
(2)函数y=tan的最小正周期为 ( )
A. B.
C. D.π
(3)[2025·天津河东区高一期末] 已知函数f(x)=2tan(ω>0)的图象的一个对称中心为,则f(x)的最小正周期可能是 ( )
A. B. C. D.
变式 (1)函数f(x)= ( )
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数也是偶函数
D.既不是奇函数也不是偶函数
(2)[2025·江苏金坛一中高一月考] 已知函数f(x)=Atan(A>0,ω>0)的一个周期为,则实数ω的最小值是 .
[素养小结]
(1)形如y=Atan(ωx+φ)(Aω≠0)的函数的最小正周期T=,也可以用定义法求周期,还可以利用函数图象判断.
(2)正切曲线的对称中心为(k∈Z),解关于曲线y=Atan(ωx+φ)(Aω≠0)的对称中心的题目时需要把ωx+φ看成一个整体,从整体性入手求解.
拓展 已知函数f(x)=asin x+btan x+5(ab≠0),若f(10)=-1,则f(-10)= .
◆ 探究点三 正切函数的单调性及应用
角度1 求正切函数的单调区间
例3 函数y=tan的增区间为 ( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
变式 函数y=tan的减区间是 ( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
[素养小结]
求y=Atan(ωx+φ)(Aω≠0)的单调区间,只需令kπ-<ωx+φ角度2 比较大小
例4 不通过求值,比较下列各组中两个三角函数值的大小.
(1)tan与tan ;
(2)tan与tan.
变式 将tan 1,tan 2,tan 3,tan 4按从小到大的顺序排列为 .
[素养小结]
比较两个三角函数值的大小时,若所给的两个角不在同一单调区间内,要用诱导公式将它们化到同一单调区间内,不是同名函数的要利用诱导公式化成同名函数.
◆ 探究点四 正切函数图象与性质的综合应用
例5 观察正切曲线,写出满足下列条件的x的取值范围.
(1)tan x>1;
(2)-变式 方程sin x=tan x,x∈的实数解有 个.
[素养小结]
熟练掌握正切函数的图象和性质是解决与正切函数有关的综合问题的关键,需注意的是正切曲线是被相互平行的直线x=+kπ,k∈Z隔开的无穷多支曲线组成的.
拓展 设函数 f(x)=tan.
(1)求函数f(x)的定义域、最小正周期和单调区间;
(2)求不等式f(x)≤的解集.第3课时 正切函数的图象与性质
1.函数f(x)=tanx的最小正周期为 ( )
A.16 B.8
C.16π D.8π
2.函数y=tan是 ( )
A.最小正周期为4π的奇函数
B.最小正周期为2π的奇函数
C.最小正周期为4π的偶函数
D.最小正周期为2π的偶函数
3.函数y=的定义域为 ( )
A.
B.
C.
D.
4.函数y=tan,x∈的值域为 ( )
A.(1,] B.[1,]
C.[1,) D.(1,)
5.函数f(x)=tan+1的图象的一个对称中心是 ( )
A. B.
C.(0,1) D.
6.与函数y=tan的图象不相交的一条直线的方程是 ( )
A.x= B.x=-
C.x= D.x=
7.函数f(x)=tanx的增区间为 .
8.不等式tan≤的解集为 .
9.(13分)画出函数y=|tan x|的图象,并根据图象判断其单调区间、奇偶性、最小正周期.
10.(13分)已知函数f(x)=2tan,ω>0.
(1)若ω=,求函数f(x)的定义域及最小正周期;
(2)若函数f(x)在区间内单调递增,求ω的取值范围.
11.[2025·山东泰安期中] “函数y=tan的图象关于对称”是“φ=+kπ,k∈Z”的 ( )
A.充分且不必要条件
B.必要且不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
12.(多选题)下列不等式成立的是 ( )
A.tan 1<-tan 2
B.tan 375°>tan 800°
C.tan>tan
D.tan>tan
13.(多选题)若函数f(x)=tan(2x+φ)的图象经过点P(0,1),则 ( )
A.点为函数f(x)图象的一个对称中心
B.函数f(x)的最小正周期为π
C.函数f(x)在区间上的取值范围为[1,+∞)
D.函数y=|f(x)|的增区间为(k∈Z)
14.设定义在区间上的函数y=6cos x的图象与y=5tan x的图象交于点P,过点P作x轴的垂线,垂足为P1,直线PP1与函数y=sin x的图象交于点P2,则线段P1P2的长为 .
15.[2024·江苏徐州高一期末] 已知函数f(x)=tan(n∈Z)在区间上单调递减,则n的取值集合为 .(用列举法表示)
16.(15分)已知函数f(x)=(2x-2tan θ)(2x-tan θ),其中x∈R,θ∈.
(1)当θ=时,求f(x)在区间[0,3]上的最值及取得最值时x的值;
(2)若f(x)的最小值为-,求θ.
