(共73张PPT)
7.3 三角函数的图象和性质
7.3.3 函数
第1课时 函数 的
图象
探究点一 图象变换问题
探究点二 五点法作图
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.了解 的实际意义.
2.能用五点法画出 的图象，能借助图象理解参数
, , 的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.
知识点一 , ,对 的图象
的作用
1. 对， 的图象的影响
如图所示，对于函数 的图象，可以看作是将
的图象上所有的点向____（当 时）或向____
（当 时）平移____个单位长度得到的.
左
右
2.对， 的图象的影响
如图所示，对于函数 的图象，可以看作是将
的图象上所有点的____坐标缩短（当 时）或伸
长（当 时）到原来的___倍（____坐标不变）而得到的.
横
纵
3.对， 的图象
的影响
如图所示，对于函数 的图象，
可以看作是将 的图象上所有点
纵
横
的____坐标伸长（当时）或缩短（当 时）到原来的
___倍（____坐标不变）而得到的.
4.由函数 的图象通过变换得到
的图象，有两种方法：“先平移后伸
缩”与“先伸缩后平移”.
（1）先平移后伸缩
的图象
___________的图象
____________的图象
_____________的图象.
（2）先伸缩后平移
的图象
_______的图象
____________的图象
_____________的图象.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）将函数的图象向左平移 个单位长度，得到函数
的图象.( )
√
[解析] 将函数的图象向左平移 个单位长度得到
的图象.
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（2）把函数 图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍
（纵坐标不变）就得到函数 的图象.( )
×
[解析] 把函数 图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍
（纵坐标不变）得到函数 的图象.
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（3）把函数的图象向左平移 个单位长度所得图象对应的
函数解析式是 .( )
×
[解析] 把函数的图象向左平移 个单位长度得到
的图象.
知识点二 用“五点法”作函数 的图象
用“五点法”作 的简图，主要是通过变量代换，设
,由取___，__，___，_____，____来求出相应的 的值,
然后列表、描点，再用平滑的曲线连接各点，就可得到一个周期内
的函数简图，最后将简图向左、右平移，就得到
， 的图象.
0
探究点一 图象变换问题
角度1 平移变换
例1（1）函数的图象可以看作是由 的图象经
过怎样的变换而得到的？
解：函数的图象，可以看作是由 图象上所有
的点向右平移 个单位长度而得到的.
（2）函数的图象可以看作是由 的图象经过怎
样的变换而得到的？
解：函数的图象，可以看作是由 图象上所有
的点向左平移 个单位长度而得到的.
变式（1）将函数的图象向左平移 个单位长度,所得
图象对应的函数解析式为( )
A. B.
C. D.
[解析] 将函数的图象向左平移 个单位长度,可得
的图象.故选B.
√
（2）要得到函数的图象,可以将函数 的图
象( )
A.向左平移个单位长度 B.向右平移 个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移 个单位长度
[解析] 因为,所以将
的图象向右平移个单位长度可得到函数 的图象,故选D.
√
［素养小结］
对左右平移变换应先观察函数名是否相同,若函数名不同则先化为同
名函数;再观察
的系数,当
的系数不为1时,应提取系数以确定平移的
单位长度和方向.平移方向遵循左加右减的原则,且从
的平移量为
个单位长度.
角度2 伸缩变换
例2（1）为了得到函数 的图象,只需将函数
的图象上( )
A.所有点的纵坐标伸长为原来的3倍,横坐标不变
B.所有点的横坐标伸长为原来的3倍,纵坐标不变
C.所有点的横坐标缩短为原来的 ,纵坐标不变
D.所有点的纵坐标缩短为原来的 ,横坐标不变
√
[解析] 将函数 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的
,纵坐标不变,便可得到函数 的图象,故选C.
（2）将函数 的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标
______（填“伸长”或“缩短”）为原来的__，就会得到函数
的图象.
缩短
[解析] 将函数 的图象上所有点的横坐标不变，纵坐
标缩短为原来的，就会得到函数 的图象.
变式 把函数 的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，
纵坐标变为原来的3倍，得到____________的图象.
[解析] 把函数 的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍
（纵坐标不变），得函数的图象，
把函数 的图象上所有的点的纵坐标变为原来的3倍（横坐
标不变），得函数 的图象.
［素养小结］
解决图象伸缩变换的关注点
（1）两个弄清：弄清是横向还是纵向，弄清是伸长还是缩短.
（2）两个规律：当
时，横向伸缩的规律为“
乘伸缩倍数的
倒数”；当
时，纵向伸缩的规律为“
乘伸缩的倍数”.
角度3 图象的综合变换
例3（1）将函数的图象向右平移 个单位长度，
再将所得图象上的每个点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），
得到函数的图象，则 ( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 将函数的图象向右平移 个单位长度，可
得函数 的图象，
将函数 的图象上的每个点的纵坐标变为原来的2倍，
横坐标保持不变，可得函数 的图象，所以
.故选A.
（2）［2025·天津滨海新区高一期末］将 的图象变换为
的图象，下列变换正确的是( )
A.将图象向左平移个单位长度 B.将图象向右平移 个单位长度
C.将图象向左平移个单位长度 D.将图象向右平移 个单位长度
√
[解析] 对于A，将图象向左平移 个单位长度，可得
的图象，故A错误；
对于B，将图象向右平移个单位长度，可得
的图象，故B正确；
对于C，将图象向左平移 个单位长度，可得
的图象，故C错误；
对于D，将图象向右平移 个单位长度，可得
的图象，故D错误.故选B.
［素养小结］
由函数
的图象得到
的图象的两种途
径如图所示.
探究点二 五点法作图
例4 已知函数.利用“五点法”画出函数 在一个
周期内的图象.
解：（1）列表：
0
0 8 0 0
描点连线，可得 在一个周期内的图象，如图所示.
［素养小结］
利用“五点法”作函数
的图象，其实质是利用函数的
三个零点及两个最值点（函数取得最值时，对应自变量的值）画出
函数在一个周期内的图象.
两种变换的区别
在图象变换时，运用“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”两种途径，
向左或向右平移的量一般不同.由函数 的图象变换到
的图象，若先平移变换后伸缩变换，则平移 个
单位长度，若先伸缩变换后平移变换，则平移 个单位长度．因此
在用这样的变换法作图象时一定要注意平移与伸缩的先后顺序，否
则会出现错误．
1.异名函数图象之间的变换法
三角函数图象的各种变换往往都是同名三角函数之间进行的变换,但
是实际中会遇到异名函数图象之间的变换,这时需要用诱导公式将正
弦函数化为余弦函数或将余弦函数化为正弦函数,使问题得到解决.
例1 ［2025·甘肃武威一中高一期末］ 要得到函数
的图象，可以将函数 的图象
( )
A.向右平移个单位长度 B.向左平移 个单位长度
C.向右平移个单位长度 D.向左平移 个单位长度
√
[解析] 因为 ，
，所以将的图象向左平移 个单位长度可得到 的图象.故选B.
2.类比法
函数 的图象变换,可类比函数
的图象变换,由 的图象变换得到.
例2 （多选题）［2025·天津西青区高一期末］ 已知曲线
, ，则下列说法正确的是( )
A.把向左平移 个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原
来的2倍，得到
B.把向左平移 个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来
的，得到
C.把上所有点的横坐标变为原来的，再将所得图象向左平移 个单位
长度，得到
D.把上所有点的横坐标变为原来的，再将所得图象向左平移 个单位
长度，得到 ，
√
√
[解析] 将函数的图象向左平移 个单位长度，得到
的图象，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的
，得到曲线 ，故A错误，B正确；
因为，所以将函数 的图象上
所有点的横坐标变为原来的，得到 的图象，再将所得图象
向左平移个单位长度，得到曲线，故C错误，D正确.故选 .
练习册
1.为了得到函数的图象，可以将函数 的图象
( )
A.向左平移个单位长度 B.向右平移 个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移 个单位长度
[解析] 为了得到函数的图象，可以将函数 的
图象向右平移 个单位长度，故选B.
√
2.［2025·江苏南京高一期末］将函数 图象上每个点的
横坐标变为原来的 （纵坐标不变），所得图象对应的函数解析式为
( )
A. B.
C. D.
[解析] 将函数图象上每个点的横坐标变为原来的
（纵坐标不变），所得图象对应的函数解析式为 .故
选B.
√
3.［2025·天津南开区高一段考］要得到函数 的图象，只
要把函数 的图象( )
A.向右平移个单位长度 B.向左平移 个单位长度
C.向右平移个单位长度 D.向左平移 个单位长度
√
[解析] 对于A，平移后得到函数
的图象，A不满足题意；
对于B，平移后得到函数
的图象，B不满足题意；
对于C，平移后得到函数 的图象，
C满足题意；
对于D，平移后得到函数 的
图象，D不满足题意.故选C.
4.函数在区间 上的简图是( )
A. B. C. D.
[解析] 当时,,故可排除B,D;
当 时, ,排除C.故选A.
√
5.将函数图象上所有的点都向左平移 个单位长度，再将所得图
象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数
的图象，则 是( )
A.偶函数 B.奇函数
C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数
√
[解析] 将图象上所有点的横坐标缩短到原来的
（纵坐标不变），得到函数 的图象，再将所得图象
上所有的点都向右平移个单位长度，得到 的图象.
因为，所以 是偶函数.故选A.
6.将函数（其中的图象向右平移 个单位长度，
所得图象经过点，则 的最小值是( )
A. B.1 C. D.2
[解析] 将函数的图象向右平移 个单位长度，得到函数
的图象，
因为点在 的图象上，所以，所以，
即，由得 的最小值是2.故选D.
√
7.某同学用“五点法”画函数
在一个周期内的简图时,列表如下:
0
0 2 0 0
则根据表格中数据，可得出___,___, ____.
[解析] 由表格中数据得,最小正周期 ,
, 当时, ,
.
8.将函数的图象上所有的点向右平移 个最小正周期，
所得图象对应的函数解析式为 ______________.
[解析] 函数的最小正周期为，将函数 的图象上所
有的点向右平移 个单位长度，得到函数
的图象.
9.（13分）已知函数 .
（1）利用“五点法”画出函数 在一个周期内的图象；
解：列表如下：
0
0 3 0 0
描点连线，可得 在一个周期内的图象，如图所示.
9.（13分）已知函数 .
（2）将函数的图象向左平移 个单位长度，再将所得图象上各
点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的，得到函数 的
图象，求函数 的解析式.
解：将函数的图象向左平移 个单位长度，得到
的图象，
再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍，得到
的图象，
最后将所得图象上各点的纵坐标变为原来的，得到
的图象，即 .
10.（13分）函数
的
图象过点 ，如图所示.
（1）求函数 的解析式；
解：由题图知，的最小正周期 ，于是 .
将的图象上所有的点向左平移 个单位长度，得到
的图象，于是.
将 代入,得 .
故 .
10.（13分）函数
的
图象过点 ，如图所示.
（2）将函数图象上所有的点向右平移 个单位长度，得到函数
的图象，求的最大值，并求出此时自变量 的取值集合.
解：依题意得， ,当
,即时， 取得最大值2，
此时的取值集合为 .
11.将函数图象上的点向左平移 个单位
长度得到点，若在函数 的图象上，则( )
A.，的最小值为 B.，的最小值为
C.，的最小值为 D.，的最小值为
√
[解析] 由题意得.
由点 向左平移个单位长度得到点，可得 ，
将其坐标代入，可得，则
，或 ，，所以 ，
或 ，.
又,所以的最小值为 .故选A.
12.（多选题）［2025·江苏淮阴中学高一月考］ 为了得到函数
的图象，只需( )
A.将函数的图象向左平移 个单位长度
B.将函数的图象向左平移 个单位长度
C.将函数的图象向左平移 个单位长度
D.将函数的图象向右平移 个单位长度
√
√
√
[解析] 对于选项A，将的图象向左平移 个单位长度，可
得 的图象,故A正确;
对于选项B，将的图象向左平移 个单位长度，可得
的图象，故B错误；
对于选项C，将的图象向左平移 个单位长度，可得
的图象，故C正确；
对于选项D，将的图象向右平移 个单位长度，可得
的图象，故D正确.故选 .
13.把函数 图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再
把所得图象向右平移个单位长度,得到函数 的图象,则
_____.
[解析] 把函数的图象向左平移 个单位长度,得到
的图象，再把所得图象上各点的横坐
标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数 的图象,
所以,故 .
14.将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，
纵坐标不变，再将所得图象向左平移 个单位长度，得到函
数的图象，若，则 的一个可能取值为
_______________.
（答案不唯一）
[解析] 将函数 图象上所有点的横坐标缩短为原来
的，纵坐标不变，得到函数 的图象，再将所得图象
向左平移个单位长度，得到函数 的
图象.
因为，所以 为偶函数，所以，
解得，取 ，可得 .
15.已知函数,将的图象向左平移
个单位长度可以得到一个奇函数的图象,将 的图象向右平移
个单位长度可以得到一个偶函数的图象,则 的最小值
为( )
A.0 B. C. D.
√
[解析] 函数,将函数 的图象向左平移
个单位长度，所得图象对应的函数解析式为,
因为 为奇函数,所以,得,
又,所以 .
将函数的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函
数解析式为,
因为 为偶函数,所以,解得,
又 ,所以,所以 的最小值为0,故选A.
16.（15分）［2025·江苏太仓中学高一月考］ 已知函
数 的部分图象
如图所示.该图象与轴交于点，与 轴的两个
（1）求 的解析式；
交点为，，图象的最高点为，且的面积为 .
解：由题意得的边上的高为2，
因为 的面积为，所以，
可得 ，则，所以，
解得 .
因为图象与轴交于点 ，所以，即，
又因为 ，所以，故 .
16.（15分）［2025·江苏太仓中学高一月考］ 已知函
数 的部分图象
如图所示.该图象与轴交于点，与 轴的两个
交点为，，图象的最高点为，且的面积为 .
（2）若将的图象向右平移 个单位长度，再将所得图象上所有
点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数 的图象，
若，求 的值.
解：将的图象向右平移 个单位长度，得到
的图象，再将所
得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不
变），得到函数 的图象，所以.
由可得 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一
1.左 右 2.横 纵 3.纵 横
4.（1） （2）
【诊断分析】 （1）√ （2）× （3）×
知识点二 0
课中探究 探究点一 角度1 例1 （1）由图象上所有的点向右平移个单
位长度而得到的 （2）由图象上所有的点向左平移个单位长度而
得到的 变式 （1）B （2）D
角度2 例2 （1）C （2）缩短 变式
角度3 例3 （1）A （2）B
探究点二 例4 略
练习册
基础巩固 1.B 2.B 3.C 4.A 5.A 6.D 7. 8.
9.（1）略 （2）
10.（1）（2）m>取得最大值2，此时
的取值集合为
综合提升
11.A 12.ACD 13.
14.
（答案不唯一）
思维探索 15.A 16.（1）
（2）7.3.3 函数y=Asin(ωx+φ)
第1课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图象
【课前预习】
知识点一
1.左 右 |φ|
2.横 纵
3.纵 A 横
4.(1)sin(x+φ) sin(ωx+φ) Asin(ωx+φ) (2)sin ωx sin(ωx+φ) Asin(ωx+φ)
诊断分析
(1)√ (2)× (3)× [解析] (1)将函数y=sin x的图象向左平移个单位长度得到y=sin=cos x的图象.
(2)把函数y=cos x图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)得到函数y=cosx的图象.
(3)把函数y=sin 3x的图象向左平移个单位长度得到y=sin=sin的图象.
知识点二
0 π π 2π
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)函数y=sin的图象,可以看作是由y=sin x图象上所有的点向右平移个单位长度而得到的.
(2)函数y=sin x的图象,可以看作是由y=sin图象上所有的点向左平移个单位长度而得到的.
变式 (1)B (2)D [解析] (1)将函数y=2sin的图象向左平移个单位长度,可得y=2sin=2sin的图象.故选B.
(2)因为y=cos=cos 2,所以将y=cos的图象向右平移个单位长度可得到函数y=cos 2x的图象,故选D.
例2 (1)C (2)缩短 [解析] (1)将函数y=sin的图象上所有点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,便可得到函数y=sin的图象,故选C.
(2)将函数y=sin的图象上所有点的横坐标不变,纵坐标缩短为原来的,就会得到函数y=sin的图象.
变式 y=6sinx [解析] 把函数y=2sin 3x的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得函数y=2sinx的图象,把函数y=2sinx的图象上所有的点的纵坐标变为原来的3倍(横坐标不变),得函数y=6sinx的图象.
例3 (1)A (2)B [解析] (1)将函数f(x)=cos的图象向右平移个单位长度,可得函数y=cos=cos的图象,将函数y=cos的图象上的每个点的纵坐标变为原来的2倍,横坐标保持不变,可得函数y=2cos的图象,所以g(x)=2cos.故选A.
(2)对于A,将图象向左平移个单位长度,可得y=sin 3=sin的图象,故A错误;对于B,将图象向右平移个单位长度,可得y=sin 3=sin的图象,故B正确;对于C,将图象向左平移个单位长度,可得y=sin 3=sin=cos 3x的图象,故C错误;对于D,将图象向右平移个单位长度,可得y=sin 3=sin=-cos 3x的图象,故D错误.故选B.
探究点二
例4 (1)列表:
- 0 π 2π
x
f(x) 0 8 0 -8 0
描点连线,可得f(x)在一个周期内的图象,如图所示.7.3.3 函数y=Asin(ωx+φ)
第1课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图象
【学习目标】
1.了解y=Asin(ωx+φ)的实际意义.
2.能用五点法画出y=Asin(ωx+φ)的图象,能借助图象理解参数ω,φ,A的意义,了解参数的变化对函数图象的影响.
◆ 知识点一 φ,ω,A对y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的作用
1.φ对y=sin(x+φ),x∈R的图象的影响
如图所示,对于函数y=sin(x+φ)(φ≠0)的图象,可以看作是将y=sin x的图象上所有的点向 (当φ>0时)或向 (当φ<0时)平移 个单位长度得到的.
2.ω(ω>0)对y=sin(ωx+φ),x∈R的图象的影响
如图所示,对于函数y=sin(ωx+φ)的图象,可以看作是将y=sin(x+φ)的图象上所有点的 坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的 倍( 坐标不变)而得到的.
3.A(A>0)对y=Asin(ωx+φ),x∈R的图象的影响
如图所示,对于函数y=Asin(ωx+φ)的图象,可以看作是将y=sin(ωx+φ)的图象上所有点的 坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0
4.由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象,有两种方法:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
(1)先平移后伸缩
y=sin x的图象y= 的图象
y= 的图象
y= 的图象.
(2)先伸缩后平移
y=sin x的图象y= 的图象
y= 的图象
y= 的图象.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)将函数y=sin x的图象向左平移个单位长度,得到函数y=cos x的图象. ( )
(2)把函数y=cos x图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)就得到函数y=cos 3x的图象. ( )
(3) 把函数y=sin 3x的图象向左平移个单位长度所得图象对应的函数解析式是y=sin. ( )
◆ 知识点二 用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象
用“五点法”作y=Asin(ωx+φ)的简图,主要是通过变量代换,设z=ωx+φ,由z取 , , , , 来求出相应的x的值,然后列表、描点,再用平滑的曲线连接各点,就可得到一个周期内的函数简图,最后将简图向左、右平移,就得到y=Asin(ωx+φ),x∈R的图象.
◆ 探究点一 图象变换问题
角度1 平移变换
例1 (1)函数y=sin的图象可以看作是由y=sin x的图象经过怎样的变换而得到的
(2)函数y=sin x的图象可以看作是由y=sin的图象经过怎样的变换而得到的
变式 (1)将函数y=2sin的图象向左平移个单位长度,所得图象对应的函数解析式为 ( )
A.y=2sin x
B.y=2sin
C.y=2sin
D.y=2sin
(2)要得到函数y=cos 2x的图象,可以将函数y=cos的图象 ( )
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
[素养小结]
对左右平移变换应先观察函数名是否相同,若函数名不同则先化为同名函数;再观察x的系数,当x的系数不为1时,应提取系数以确定平移的单位长度和方向.平移方向遵循左加右减的原则,且从ωx→ωx+φ的平移量为个单位长度.
角度2 伸缩变换
例2 (1)为了得到函数y=sin的图象,只需将函数y=sin的图象上 ( )
A.所有点的纵坐标伸长为原来的3倍,横坐标不变
B.所有点的横坐标伸长为原来的3倍,纵坐标不变
C.所有点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变
D.所有点的纵坐标缩短为原来的,横坐标不变
(2)将函数y=sin的图象上所有点的横坐标不变,纵坐标 (填“伸长”或“缩短”)为原来的 ,就会得到函数y=sin的图象.
变式 把函数y=2sin 3x的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标变为原来的3倍,得到 的图象.
[素养小结]
解决图象伸缩变换的关注点
(1)两个弄清:弄清是横向还是纵向,弄清是伸长还是缩短.
(2)两个规律:当ω>0时,横向伸缩的规律为“ω乘伸缩倍数的倒数”;当A>0时,纵向伸缩的规律为“A乘伸缩的倍数”.
角度3 图象的综合变换
例3 (1)将函数f(x)=cos的图象向右平移个单位长度,再将所得图象上的每个点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变),得到函数g(x)的图象,则g(x)= ( )
A.2cos
B.cos
C.2cos
D.cos
(2)[2025·天津滨海新区高一期末] 将y=sin 3x的图象变换为y=sin的图象,下列变换正确的是 ( )
A.将图象向左平移个单位长度
B.将图象向右平移个单位长度
C.将图象向左平移个单位长度
D.将图象向右平移个单位长度
[素养小结]
由函数y=sin x的图象得到y=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象的两种途径如图所示.
◆ 探究点二 五点法作图
例4 已知函数f(x)=8sin.利用“五点法”画出函数f(x)在一个周期内的图象.
[素养小结]
利用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象,其实质是利用函数的三个零点及两个最值点(函数取得最值时,对应自变量的值)画出函数在一个周期内的图象.7.3.3 函数y=Asin(ωx+φ)
第1课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图象
1.为了得到函数y=sin x的图象,可以将函数y=sin的图象 ( )
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
2.[2025·江苏南京高一期末] 将函数y=sin图象上每个点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),所得图象对应的函数解析式为 ( )
A.y=sin B.y=sin
C.y=sin D.y=sin
3.[2025·天津南开区高一段考] 要得到函数y=3cos 2x的图象,只要把函数y=3cos的图象 ( )
A.向右平移个单位长度
B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度
D.向左平移个单位长度
4.函数y=sin在区间上的简图是 ( )
A B C D
5.将函数f(x)图象上所有的点都向左平移个单位长度,再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数g(x)=cos的图象,则f(x)是 ( )
A.偶函数
B.奇函数
C.非奇非偶函数
D.既是奇函数又是偶函数
6.将函数f(x)=sin ωx(其中ω>0)的图象向右平移个单位长度,所得图象经过点,则ω的最小值是 ( )
A. B.1 C. D.2
7.某同学用“五点法”画函数y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的简图时,列表如下:
ωx+φ 0 π 2π
x
y 0 2 0 -2 0
则根据表格中数据,可得出A= ,ω= ,φ= .
8.将函数y=3cos的图象上所有的点向右平移个最小正周期,所得图象对应的函数解析式为y= .
9.(13分)已知函数f(x)=3sin.
(1)利用“五点法”画出函数f(x)在一个周期内的图象;
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度,再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标变为原来的,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)的解析式.
10.(13分)函数f1(x)=Asin(ωx+φ)的图象过点(0,1),如图所示.
(1)求函数f1(x)的解析式;
(2)将函数f1(x)图象上所有的点向右平移个单位长度,得到函数f2(x)的图象,求f2(x)的最大值,并求出此时自变量x的取值集合.
11.将函数y=sin图象上的点P向左平移s(s>0)个单位长度得到点P',若P'在函数y=cos 2x的图象上,则 ( )
A.t=,s的最小值为
B.t=,s的最小值为
C.t=,s的最小值为
D.t=,s的最小值为
12.(多选题)[2025·江苏淮阴中学高一月考] 为了得到函数f(x)=2cos的图象,只需 ( )
A.将函数y=2cos 3x的图象向左平移个单位长度
B.将函数y=2cos 3x的图象向左平移个单位长度
C.将函数y=2sin 3x的图象向左平移个单位长度
D.将函数y=2sin 3x的图象向右平移个单位长度
13.把函数f(x)图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把所得图象向右平移个单位长度,得到函数y=sin的图象,则f= .
14.将函数f(x)=cos图象上所有点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,再将所得图象向左平移a(a>0)个单位长度,得到函数g(x)的图象,若g(-x)-g(x)=0,则a的一个可能取值为 .
15.已知函数f(x)=cos,将f(x)的图象向左平移a(a>0)个单位长度可以得到一个奇函数的图象,将f(x)的图象向右平移b(b>0)个单位长度可以得到一个偶函数的图象,则|a-b|的最小值为 ( )
A.0 B.
C. D.
16.(15分)[2025·江苏太仓中学高一月考] 已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示.该图象与y轴交于点A(0,),与x轴的两个交点为B,C,图象的最高点为D,且△BCD的面积为.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若将f(x)的图象向右平移个单位长度,再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,若g(α)=,求cos的值.7.3.3 函数y=Asin(ωx+φ)
第1课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图象
1.B [解析] 为了得到函数y=sin x的图象,可以将函数y=sin的图象向右平移个单位长度,故选B.
2.B [解析] 将函数y=sin图象上每个点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),所得图象对应的函数解析式为y=sin.故选B.
3.C [解析] 对于A,平移后得到函数y=3cos=3cos的图象,A不满足题意;对于B,平移后得到函数y=3cos=3cos(2x+π)=-3cos 2x的图象,B不满足题意;对于C,平移后得到函数y=3cos=3cos 2x的图象,C满足题意;对于D,平移后得到函数y=3cos=3cos的图象,D不满足题意.故选C.
4.A [解析] 当x=0时,y=sin=-<0,故可排除B,D;当x=时,y=sin=sin 0=0,排除C.故选A.
5.A [解析] 将g(x)=cos图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),得到函数y=cos的图象,再将所得图象上所有的点都向右平移个单位长度,得到f(x)=cos 2x的图象.因为f(-x)=cos(-2x)=cos 2x=f(x),所以f(x)是偶函数.故选A.
6.D [解析] 将函数f(x)=sin ωx的图象向右平移个单位长度,得到函数g(x)=sin ω的图象,因为点在g(x)的图象上,所以sin=0,所以=kπ(k∈Z),即ω=2k(k∈Z),由ω>0得ω的最小值是2.故选D.
7.2 3 - [解析] 由表格中数据得A=2,最小正周期T=π-==,∴ω=3,∴ωx+φ=3x+φ.∵当x=时,3x+φ=+φ=0,∴φ=-.
8.3cos [解析] 函数的最小正周期为,将函数y=3cos的图象上所有的点向右平移个单位长度,得到函数y=3cos=3cos的图象.
9.解:(1)列表如下:
4x- 0 π 2π
x
f(x)=3sin 0 3 0 -3 0
描点连线,可得f(x)在一个周期内的图象,如图所示.
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度,得到y=3sin=3sin的图象,再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍,得到y=3sin的图象,最后将所得图象上各点的纵坐标变为原来的,得到g(x)=sin的图象,即g(x)=sin.
10.解:(1)由题图知,f1(x)的最小正周期T=π,于是ω==2.将y=Asin 2x的图象上所有的点向左平移个单位长度,得到y=Asin(2x+φ)的图象,于是φ=2×=.将(0,1)代入y=Asin,得A=2.
故f1(x)=2sin.
(2)依题意得,f2(x)=2sin=-2cos,当2x+=2kπ+π(k∈Z),即x=kπ+(k∈Z)时,f2(x)取得最大值2,
此时x的取值集合为.
11.A [解析] 由题意得t=sin=cos=.由点P向左平移s(s>0)个单位长度得到点P',可得P',将其坐标代入y=cos 2x,可得cos 2=sin 2s=,则2s=+2kπ,k∈Z或2s=+2kπ,k∈Z,所以s=+kπ,k∈Z或s=+kπ,k∈Z.又s>0,所以s的最小值为.故选A.
12.ACD [解析] 对于选项A,将y=2cos 3x的图象向左平移个单位长度,可得y=2cos 3=2cos的图象,故A正确;对于选项B,将y=2cos 3x的图象向左平移个单位长度,可得y=2cos 3=2cos(3x+π)=-2cos 3x的图象,故B错误;对于选项C,将y=2sin 3x的图象向左平移个单位长度,可得y=2sin 3=2sin=2cos的图象,故C正确;对于选项D,将y=2sin 3x的图象向右平移个单位长度,可得y=2sin 3=2sin=2sin=2cos的图象,故D正确.故选ACD.
13.- [解析] 把函数y=sin的图象向左平移个单位长度,得到y=sin=sin的图象,再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数f(x)的图象,所以f(x)=sin,故f=sin=-sin=-.
14.(答案不唯一) [解析] 将函数f(x)=cos图象上所有点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,得到函数y=cos的图象,再将所得图象向左平移a(a>0)个单位长度,得到函数g(x)=cos的图象.因为g(-x)-g(x)=0,所以g(x)为偶函数,所以4a-=kπ(k∈Z),解得a=+(k∈Z),取k=0,可得a=.
15.A [解析] 函数f(x)=cos,将函数f(x)的图象向左平移a(a>0)个单位长度,所得图象对应的函数解析式为g(x)=cos,因为g(x)为奇函数,所以2a+=kπ+(k∈Z),得a=+(k∈Z),又a>0,所以k∈N.将函数f(x)的图象向右平移b(b>0)个单位长度,所得图象对应的函数解析式为h(x)=cos,因为h(x)为偶函数,所以-2b+=nπ(n∈Z),解得b=-+(n∈Z),又b>0,所以b=+(m∈N),所以|a-b|的最小值为0,故选A.
16.解:(1)由题意得△BCD的BC边上的高为2,因为△BCD的面积为,所以×2×BC=,可得BC=,则BC==,所以T=π=,解得ω=2.
因为图象与y轴交于点A(0,),
所以2sin φ=,即sin φ=,又因为0<φ<,所以φ=,故f(x)=2sin.
(2)将f(x)的图象向右平移个单位长度,得到y=2sin=2sin的图象,再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y=2sin的图象,
所以g(x)=2sin.由g(α)=可得2sin=,所以sin=>0,
因为<α<π,所以<α+<,
所以cos=-=-.