(共70张PPT)
7.3 三角函数的图象和性质
7.3.3 函数
第2课时 函数 的
性质
探究点一 已知图象求函数
的解析式
探究点二 的图象与性质的
综合应用
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
掌握函数 的图象与性质，并能解决有关问题.
知识点 函数 的性质
定义域 ___
值域 ________
最小正周 期 _ ______
奇偶性
奇函数
偶函数
非奇非偶函数
单调性 增区间可由_ ________________________________得到;
减区间可由_ _________________________________得到
对称性 对称轴方程:_ _____________________； 对称中心:
_ ________________
续表
探究点一 已知图象求函数 的解析式
例1 函数
的图象的一部分如图所示，则此函数的解析式为____________________.
[解析] 方法一（逐一定参法）由题图知 ，
， ，
点 在函数图象上，且函数图象在点处
上升， ，得
，， .
方法二（待定系数法）：由题图知.由图象过点和 ，
且在点处下降，在点 处上 升，
可令解得 符合题意，
.
方法三（图象变换法）：由题图知 ，
，则.
由点 在图象上，可知函数图象是由的图象向左
平移 个单位长度得到的， ，即
.
变式（1）函数
的部分图象
如图所示，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 观察题中图，可得，函数 的最小正周期
，解得，则 .
又的图象经过点，所以 ，
即，所以 , ，则
,，
又，所以 ，则函数 .故选B.
（2）［2025·江苏兴化中学高一月考］已知函数
的部分图象如图所示，
则 ____.
[解析] 由题图可知，，函数 的最小正周期
， ，
.
将 代入函数解析式中可得，
，解得，
， ，，
则 .
［素养小结］
确定函数的解析式的难点是确定 ,常把图象上一
个最高点或最低点的坐标代入（此时, 已知）或代入图象与轴的
交点坐标求解（此时要注意交点的横坐标是在增区间上还是在减区
间上）.
探究点二 的图象与性质的综合应用
例2 已知函数 的一个对称中心到一条对
称轴的最小距离为 .
（1）求 的值；
解：由题意得，则，所以 .
（2）求函数 图象的对称中心；
解：由（1）知 ，
令 ,，解得, ，
所以函数图象的对称中心为, .
例2 已知函数 的一个对称中心到一条对
称轴的最小距离为 .
（3）求函数在 上的取值范围.
解：当时， ，
所以当，即时， ，
当，即时， ，
所以函数在上的取值范围为 .
变式（1）已知函数 的图象关于直
线对称，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意得，则 ,
，即,，
又，所以 .故选A.
√
（2）若函数的图象在区间 上有且仅
有2条对称轴，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由 ,，可得
图象的对称轴为,.
当时，，当 时，，当时，，
又，所以由题意得 可得 ，故选B.
（3）已知函数，若方程 在区
间内没有实根，则 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 因为 ， ，所以．
因为方程 在区间内没有实根，
所以 ，解得，．
由得 ．
因为，所以或．
当时，可得 ；当时，可得 ．故选B.
［素养小结］
（1）对于函数，当时为奇函数，当
时为偶函数；对于函数，当
时为偶函数，当时为奇函数.
（2）与正弦、余弦型函数有关的单调性、最值、对称性问题的求解，
可采用整体代换的思想，将中的 看成
中的，类比的性质求解.
（3）确定 的单调区间，通常采用
“换元法”整体代换，将 看作一个整体，令“ ”，
通过求的单调区间而求出函数 的单调区
间.若，则必须利用诱导公式先将 的系数转化为正数，再求单
调区间.
函数 的性质的综合运用
（1）函数 的性质的综合应用，往往
涉及单调性、奇偶性、对称性、最值等，要充分结合函数
的性质解题.此类题考查了综合应用数学知识的能力.
（2）与正弦函数比较可知，当 时，
函数 取得最大值或最小值，因此函
数 的图象的对称轴方程可由
得到，对称中心的横坐标可由
得到.同理 的图
象的对称轴方程可由 得到，对称中心的横坐标
可由 得到.
1.已知三角函数 的部分图象求三角
函数解析式的步骤：
（1）先由图象的特征得到 .
（2）再由图象求出最小正周期，根据求出 .
（3）最后根据图象取一个特殊点的坐标代入解析式求出 .
2.函数 的性质的运用
（1）①对称性：函数图象与 轴的交点是对称中心，即对称中心是
，对称轴与函数图象的交点的纵坐标是函数的最值，
即对称轴是直线 .
②对于函数 的图象，相邻的两个对
称中心或两条对称轴相距半个最小正周期；相邻的一个对称中心和
一条对称轴相距四分之一个最小正周期.
③求函数 的性质，要善于采用整体
策略，即把 看成一个整体，将问题化归为正弦函数的性质来
解决.
（2）函数 的性质较为综合，在历年
高考题中围绕着函数的单调性、最值、奇偶性和图象的对称性等都
有所体现和考查.
例 （多选题）已知函数
的部分
图象如图所示，则下列结论中正确的是( )
A.若，则函数的取值范围为
B.点是函数 的图象的一个对称中心
C.函数在区间 上单调递增
D.将函数的图象向右平移 个单位长度，所得的图象对应的函数
为偶函数
√
√
√
[解析] 由函数 的图象，可得
，且 ，所以 ，
又，所以，
所以 .
又 ，所以 ,，
所以 , ，
因为 ，所以 ，所以.
的取值范围为
，故A正确；
对于B，因为，所以点 是
函数 的图象的一个对称中心，故B正确；
对于C，当时，，因为 在
上不单调，所以在区间 上不单调，故C错误；
对于D，将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到
的图象，函数
为偶函数，故D正确.故选 .
练习册
1.函数的最大值为5，则
( )
A.5 B. C.4 D.
[解析] ， 函数的最大值为， .
√
2.函数 的图象的一部
分如图所示，则此函数的解析式是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由题意知，函数的最小正周期为 ，
因为，所以，则，所以 .
由题意知，即，所以 ，
所以,
因为 ，所以 ，因此 ，故选C.
3.函数 的
部分图象如图所示，则 ( )
A. B.1 C. D.
[解析] 由题意知，把 代入函数解析式，
得则 .
由五点作图法可得 ，所以，故 ，
所以 .故选A.
√
4.已知函数的最小正周期为，则
在 上的最小值为( )
A. B. C.0 D.
[解析] 因为函数的最小正周期为 ，所以
，解得，所以，
当 时，，由正弦函数的图象和性质可知当
，即时，取得最小值，最小值为 .
故选C.
√
5.函数的图象向左平移 个单位长度，所得图象
经过点，则 的最小值是( )
A. B.2 C.1 D.
[解析] 依题意得，函数 的图象经过
点，所以 ，所
以 ,，即,，因此 的最小值是1.故选C.
√
6.（多选题）已知函数
的部分图象如图所
示，则下列结论正确的有( )
A.的图象关于点 对称
B.的图象关于直线 对称
C.在区间 上单调递减
D.在区间上的取值范围为
√
√
[解析] 由题中图可知, ,
,,
，.
,,
， ,
由题中图可知，即,, , ,
，则的图象不关于点 对称,A错误；
，为的最大值，则
的图象关于直线对称,B正确；
当 时，,则在区间
上单调递减，C正确；
当时， ，可得，D错误.
故选 .
7.［2025·江苏无锡一中高一期末］函数
的图象如图所示，则 _ __.
[解析] 由函数 的图象知，
，的最小正周期 ，
则.
由，得 ，
所以 ， ，解得 ，，
因为，所以 ，则 ，
所以 .
8.在函数的一个周期上，当 时，有最
大值2，当时，有最小值，则 ___.
2
[解析] 依题意知，所以 ，所以 .
9.（13分）已知函数
的图
象如图所示.
（1）求函数 的解析式；
解：由题中图知，， ，
所以，解得，所以 ，
又 ，
所以，，解得, ，
由 ，可知，所以 .
9.（13分）已知函数
的图
象如图所示.
（2）求函数 的减区间；
解：令， ，解得
, ，
所以函数的减区间为, .
9.（13分）已知函数
的图
象如图所示.
（3）求函数在区间 上的取值范围.
解：当时， ，所以
，所以 ，
即函数在区间上的取值范围为 .
10.［2025·江苏泰兴中学高一期末］已知函数
的
部分图象如图所示，则
等于( )
A. B.0 C. D.
√
[解析] 由
的图象可知，，最小正周期，故
，
且，所以，故 .
根据函数图象的对称性可知, ,，所以，所以 ，故选A.
11.（多选题）已知，，直线和 是函数
图象的两条相邻的对称轴，将 的图象向左平
移个单位长度得到函数 的图象，则下列说法正确的是( )
A. 是奇函数
B.的图象关于点 对称
C.的图象关于直线 对称
D.的周期为
√
√
[解析] 直线和是函数 图象的两条
相邻的对称轴， ，， ，
直线是函数 图象的对称轴，
， , ，，，
.
的图象向左平移 个单位长度得到函数的图象，
. 易知是偶函数，选项A错误.
由得 的图象关于点对称，选项B正确.
由 得直线不是图象的对称轴，选项C
错误.
的周期为 ，选项D正确.故选 .
12.函数的最小值是 ，其
图象相邻的最高点与最低点横坐标之差的绝对值是 ，又图象过点
，则函数解析式为________________.
[解析] 由题意得， ，则 ， ，，
.
把代入上式得 ，
又，， .
13.［2025·江苏无锡辅仁中学高一月考］函数 在区
间上的取值范围为，则实数 的取值范围是________.
[解析] 当时，.由 ，可得
，
因为函数在区间 上的取值范围为，
所以根据正弦函数的图象得 ，解得，
所以实数的取值范围是 .
14.（15分）［2025·江苏镇江高一期末］ 给出以下三个条件：①函
数图象的两条相邻对称轴之间的距离为； ；③对
任意的， 恒成立.请从这三个条件中任选一个将下
面的题目补充完整，并解答该题.如果选择多个条件分别解答，则按
第一个解答计分.
已知函数 ，且满足________.
（1）求 的值，并用“五点法”作出函数 在一个周期内的图象；
解：若选①：函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为 ，
可得，可得，可得 .
若选②：，可得 ， ，则
，，又，所以 .
若选③：对任意的， 恒成立，可得
，
则 ，，所以， ，
又，所以 .列表如下：
0
0 1 0 0
描点，连线，作出 在一个周期内的图象，如图所示.
14.（15分）［2025·江苏镇江高一期末］ 给出以下三个条件：①函
数图象的两条相邻对称轴之间的距离为； ；③对
任意的， 恒成立.请从这三个条件中任选一个将下
面的题目补充完整，并解答该题.如果选择多个条件分别解答，则按
第一个解答计分.
已知函数 ，且满足________.
（2）将函数的图象向右平移 个单位长度，再保持所得图象上
各点的纵坐标不变，将横坐标变为原来的2倍，得到函数 的图象，
若关于的方程在区间 上有且只有一个实数解，求
实数 的取值范围.
解：将函数的图象向右平移 个单位长度，得
到 的图象，
再保持所得图象上各点的纵坐标不变，将横坐标变
为原来的2倍，得到函数 的图象，可得
.
因为，所以 ，
令，， ,则由题意
知的图象与直线 有且只有一个交点.
画出，的图象与直线 ,
如图所示.
因为，， ，所以当
或时满足题意，即 的取值范围为 .
15.［2025·江苏南京励志高级中学高一月考］若函数
在区间 上恰能取到两次最大值，则
实数 的取值范围是________.
[解析] 因为，，所以 ，
又在区间 上恰能取到两次最大值，所
以，解得，即实数 的取值范围是 .
16.（多选题）［2025·江苏宿迁期末］ 已知函数
，函数
的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是 ( )
A.，
B.的最小正周期是
C.的图象的对称中心为 ，
D.若方程在 上有且只有6个根，则
√
√
√
[解析] 对于A，由题图可知 ，
，得，或 ，
因为，所以，所以 .
，得，即 ，
又，所以.因为 ，
所以，，即，，
又 ，所以，所以 ，故A正确.
，因为
， ，故函数的最小正周期不是，结合图象可知，函数 的最小正周期为 ，故B错误.
对于C， ，
由 可得，
因此，函数 图象的对称中心为 ，
故C正确.
对于D，由，得 ，
因为，所以，
令，， ， ，，，
解得，，，，，，又方程 在
上有6个根，则根从小到大依次为，，，，， .再令
，解得，则由题意得 ，故D正确.
故选 .
快速核答案(导学案）
课前预习 知识点 奇函数 偶函数 非奇非偶函数
课中探究 探究点一 例1 变式 （1）B （2）
探究点二 例2 （1） （2）, （3）
变式 （1）A （2） （3）B
练习册
基础巩固
1.C 2.C 3.A 4.C 5.C 6.BC 7. 8.2
9.（1）（2）,（3）
综合提升
10.A 11.BD 12. 13.
14.（1）选①：选②：选③：图略（2）
15. 16.ACD第2课时 函数y=Asin(ωx+φ)的性质
【课前预习】
知识点
R [-A,A] T= 奇函数 偶函数 非奇非偶函数
2kπ-≤ωx+φ≤2kπ+(k∈Z)
2kπ+≤ωx+φ≤2kπ+(k∈Z)
x=+-(k∈Z) (k∈Z)
【课中探究】
探究点一
例1 f(x)=3sin [解析] 方法一(逐一定参法):由题图知A=3,T=-=π,∴ω==2,∴f(x)=3sin(2x+φ).∵点在函数图象上,且函数图象在点处上升,∴-×2+φ=2kπ(k∈Z),得φ=+2kπ(k∈Z).∵|φ|<,∴φ=,∴f(x)=3sin.
方法二(待定系数法):由题图知A=3.由图象过点和,且在点处下降,在点处上升,可令解得符合题意,∴f(x)=3sin.
方法三(图象变换法):由题图知A=3,T=-=π,则ω==2.由点在图象上,可知函数图象是由y=3sin 2x的图象向左平移个单位长度得到的,∴f(x)=3sin,即f(x)=3sin.
变式 (1)B (2)-1 [解析] (1)观察题中图,可得A=2,函数f(x)的最小正周期T=4=,解得ω=2,则f(x)=2sin(2x+φ).又f(x)的图象经过点,所以2sin=2,即sin=1,所以+φ=+2kπ,k∈Z,则φ=-+2kπ,k∈Z,又|φ|<,所以φ=-,则函数f(x)=2sin.故选B.
(2)由题图可知,A=2,函数f(x)的最小正周期T=2×=π,∴ω==2,∴f(x)=2sin(2x+φ).将代入函数解析式中可得2=2sin,∴-+φ=+2kπ(k∈Z),解得φ=+2kπ(k∈Z),∵0<φ<π,∴φ=,∴f(x)=2sin,则f=2sin=-2sin=-1.
探究点二
例2 解:(1)由题意得=,则T==6,所以ω=.
(2)由(1)知f(x)=sin,
令x+=kπ,k∈Z,解得x=3k-1,k∈Z,
所以函数f(x)图象的对称中心为(3k-1,0),k∈Z.
(3)当x∈[1,3]时,x+∈,
所以当x+=,即x=1时,f(x)max=sin=,
当x+=,即x=3时,f(x)min=sin=-,
所以函数f(x)在[1,3]上的取值范围为.
变式 (1)A (2)B (3)B [解析] (1)由题意得f=sin=±1,则+φ=+kπ,k∈Z,即φ=kπ-,k∈Z,又-<φ<,所以φ=-.故选A.
(2)由ωx+=+kπ,k∈Z,可得f(x)=sin(ω>0)图象的对称轴为x=+,k∈Z.当k=0时,x=,当k=1时,x=,当k=2时,x=,又ω>0,所以由题意得可得≤ω<,故选B.
(3)因为π0,所以ωπ-<ωx-≤2ωπ-.因为方程f(x)=0在区间(π,2π]内没有实根,所以k∈Z,解得k+≤ω<+,k∈Z.由得-【学习目标】
掌握函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质,并能解决有关问题.
◆ 知识点 函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性质
定义域
值域
最小正周期
奇偶性 当φ=kπ(k∈Z)时,该函数为 ;当φ=kπ+(k∈Z)时,该函数为 ;当φ≠(k∈Z)时,该函数为
单调性 增区间可由 得到;减区间可由 得到
对称性 对称轴方程: ; 对称中心:
◆ 探究点一 已知图象求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式
例1 函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象的一部分如图所示,则此函数的解析式为 .
变式 (1)函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则下列结论正确的是 ( )
A.f(x)=2sin
B.f(x)=2sin
C.f(x)=2sin
D.f(x)=2sin
(2)[2025·江苏兴化中学高一月考] 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,则f= .
[素养小结]
确定函数y=Asin(ωx+φ)的解析式的难点是确定φ,常把图象上一个最高点或最低点的坐标代入(此时A,ω已知)或代入图象与x轴的交点坐标求解(此时要注意交点的横坐标是在增区间上还是在减区间上).
◆ 探究点二 y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的综合应用
例2 已知函数f(x)=sin(ω>0)的一个对称中心到一条对称轴的最小距离为.
(1)求ω的值;
(2)求函数f(x)图象的对称中心;
(3)求函数f(x)在[1,3]上的取值范围.
变式 (1)已知函数f(x)=sin(2x+φ)的图象关于直线x=对称,则φ= ( )
A.- B. C.- D.
(2)若函数f(x)=sin(ω>0)的图象在区间[0,π]上有且仅有2条对称轴,则ω的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
(3)已知函数f(x)=sin(ω>0),若方程f(x)=0在区间(π,2π]内没有实根,则ω的取值范围是 ( )
A. B.∪
C.∪ D.
[素养小结]
(1)对于函数y=Asin(ωx+φ),当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数,当φ=kπ+(k∈Z)时为偶函数;对于函数y=Acos(ωx+φ),当φ=kπ(k∈Z)时为偶函数,当φ=kπ+(k∈Z)时为奇函数.
(2)与正弦、余弦型函数有关的单调性、最值、对称性问题的求解,可采用整体代换的思想,将y=Asin(ωx+φ)中的ωx+φ看成y=sin x中的x,类比y=sin x的性质求解.
(3)确定y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调区间,通常采用“换元法”整体代换,将ωx+φ看作一个整体,令“z=ωx+φ”,通过求y=Asin z的单调区间而求出函数y=Asin(ωx+φ)的单调区间.若ω<0,则必须利用诱导公式先将x的系数转化为正数,再求单调区间.第2课时 函数y=Asin(ωx+φ)的性质
1.C [解析] ∵A>0,∴函数的最大值为A+1=5,∴A=4.
2.C [解析] 由题意知A=3,函数的最小正周期为4×(6-2)=16,因为ω>0,所以16=,则ω=,所以f(x)=3sin.由题意知f(2)=3,即3sin=3,所以+φ=2kπ+(k∈Z),所以φ=2kπ+(k∈Z),因为0<φ<π,所以φ=,因此f(x)=3sin,故选C.
3.A [解析] 由题意知A=2,把(0,)代入函数解析式,得则φ=.由五点作图法可得ω·+=π,所以ω=4,故f(x)=2sin,所以f=2sin=-1.故选A.
4.C [解析] 因为函数f(x)=sin的最小正周期为,所以=,解得ω=1,所以f(x)=sin,当x∈时,3x+∈,由正弦函数的图象和性质可知当3x+=0,即x=-时,f(x)取得最小值,最小值为sin 0=0.故选C.
5.C [解析] 依题意得,函数f=sin(ω>0)的图象经过点,所以f=sin=sin ωπ=0(ω>0),所以ωπ=kπ,k∈N*,即ω=k,k∈N*,因此ω的最小值是1.故选C.
6.BC [解析] 由题中图可知A==2,B==3,f(0)=2sin φ+3=2,∴sin φ=-,∵|φ|<,∴φ=-.∵f=2sin+3=1,∴--=-+2kπ,k∈Z,∴ω=2-12k,k∈Z,由题中图可知>,即T>,∴>,∴0<ω<6,∴ω=2,∴f(x)=2sin+3.f=4,则f(x)的图象不关于点对称,A错误;f=5,为f(x)的最大值,则f(x)的图象关于直线x=对称,B正确;当x∈时,2x-∈,则f(x)在区间上单调递减,C正确;当x∈时,2x-∈(-π,0),可得f(x)∈[1,3),D错误.故选BC.
7. [解析] 由函数f(x)=Acos(ωx+φ)的图象知,A=1,f(x)的最小正周期T=4×=π,则ω==2.由f=-1,得cos=-1,所以+φ=π+2kπ,k∈Z,解得φ=-+2kπ,k∈Z,因为|φ|<,所以φ=-,则f(x)=cos,所以f(0)=cos=cos=.
8.2 [解析] 依题意知=-=,所以T=π,所以ω==2.
9.解:(1)由题中图知,A=2,=-=,
所以T=π=,解得ω=2,所以f(x)=2sin(2x+φ),
又f=2sin=2,
所以-+φ=2kπ+,k∈Z,解得φ=2kπ+,k∈Z,由0<φ<π,可知φ=,所以f(x)=2sin.
(2)令2kπ+≤2x+≤2kπ+,k∈Z,解得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,
所以函数的减区间为,k∈Z.
(3)当x∈时,≤2x+≤π,所以0≤sin≤1,所以f(x)=2sin∈[0,2],
即函数f(x)在区间上的取值范围为[0,2].
10.A [解析] 由f(x)=Asin(ωx+φ)的图象可知,A=2,最小正周期T=8,故ω==,又f(0)=0且|φ|<,所以 φ=0,故f(x)=2sinx.根据函数图象的对称性可知f(1)=f(3)=-f(5)=-f(7)=,f(2)=-f(6)=2,f(4)=f(8)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(8)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2025)=253×[f(1)+f(2)+f(3)+…+f(8)]+f(1)=0+=,故选A.
11.BD [解析] ∵直线x=和x=是函数f(x)=cos(ωx+φ)图象的两条相邻的对称轴,∴=-=π,∴T=2π=,∴ω=1,∴f(x)=cos(x+φ).∵直线x=是函数f(x)=cos(x+φ)图象的对称轴,∴f=cos=±1,∴+φ=kπ,k∈Z,∵|φ|<,∴φ=-,∴f(x)=cos.∵f(x)的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象,∴g(x)=cos=cos x.易知g(x)是偶函数,选项A错误.由g=cos=0得g(x)的图象关于点对称,选项B正确.由g=cos=0≠±1得直线x=不是g(x)图象的对称轴,选项C错误.g(x)的周期为2π,选项D正确.故选BD.
12.y=2sin [解析] 由题意得A=2,=3π,则T=6π,∴=6π,ω=,∴y=2sin.把(0,1)代入上式得sin φ=,又|φ|<,∴φ=,∴y=2sin.
13. [解析] 当x=0时,y=2sin=-.由x∈[0,a],可得2x-∈,因为函数y=2sin在区间[0,a]上的取值范围为[-,2],所以根据正弦函数的图象得≤2a-≤,解得≤a≤,所以实数a的取值范围是.
14.解:(1)若选①:函数f(x)图象的两条相邻对称轴之间的距离为,
可得=,可得T=π=,可得ω=2.
若选②:f=0,可得ω·+=kπ,k∈Z,则ω=2-6k,k∈Z,又0<ω<3,所以ω=2.
若选③:对任意的x∈R,f(x)≤f恒成立,可得f(x)max=f=sin,
则ω+=+2kπ,k∈Z,所以ω=2+24k,k∈Z,
又0<ω<3,所以ω=2.列表如下:
2x+ 0 π 2π
x -
f(x) 0 1 0 -1 0
描点,连线,作出f(x)在一个周期内的图象,如图所示.
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,得到y=sin=sin的图象,
再保持所得图象上各点的纵坐标不变,将横坐标变为原来的2倍,得到函数g(x)的图象,可得g(x)=sin.
因为x∈[0,π],所以x-∈,
令t=x-,h(t)=sin t,t∈,则由题意知h(t)的图象与直线y=k有且只有一个交点.
画出h(t)=sin t,t∈的图象与直线y=k,如图所示.
因为h=-,h=h=,h=1,所以当-≤k<或k=1时满足题意,即k的取值范围为∪{1}.
15. [解析] 因为ω>0,x∈[0,π],所以ωx+∈,又f(x)=2sin(ω>0)在区间[0,π]上恰能取到两次最大值,所以≤ωπ+<,解得≤ω<,即实数ω的取值范围是.
16.ACD [解析] 对于A,由题图可知f=,f(0)+=±,得f(0)=-1,或f(0)=sin φ=0,因为-<φ<0,所以sin φ≠0,所以f(0)=-1.由f(0)=-1,得sin φ=-1,即sin φ=-,又-<φ<0,所以φ=-.因为f=sin=,所以-=2kπ+,k∈Z,即ω=k+2,k∈Z,又0<ω≤2,所以ω=2,所以f(x)=sin,故A正确.对于B,g(x)==,因为g(x+π)===g(x),g====≠g(x),故函数g(x)的最小正周期不是,结合图象可知,函数g(x)的最小正周期为π,故B错误.对于C,h(x)=f(x)+1=sin+1,由2x-=kπ(k∈Z)可得x=+(k∈Z),因此,函数h(x)图象的对称中心为(k∈Z),故C正确.对于D,由f(x)=1,得sin=,因为x∈(0,m),所以2x-∈,令2m-=,,,,,,解得m=,,,,,,又方程f(x)=1在(0,m)上有6个根,则根从小到大依次为,,,,,.再令2m-=,解得m=,则由题意得m∈,故D正确.故选ACD.第2课时 函数y=Asin(ωx+φ)的性质
1.函数y=Asin(ωx+φ)+1(A>0,ω>0)的最大值为5,则A= ( )
A.5 B.-5
C.4 D.-4
2.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的图象的一部分如图所示,则此函数的解析式是 ( )
A.f(x)=3sin
B.f(x)=3sin
C.f(x)=3sin
D.f(x)=3sin
3.函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f= ( )
A.-1 B.1
C.- D.
4.已知函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为,则f(x)在上的最小值为 ( )
A.- B.-
C.0 D.
5.函数f(x)=sin ωx(ω>0)的图象向左平移个单位长度,所得图象经过点,则ω的最小值是 ( )
A. B.2
C.1 D.
6.(多选题)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B的部分图象如图所示,则下列结论正确的有 ( )
A.f(x)的图象关于点对称
B.f(x)的图象关于直线x=对称
C.f(x)在区间上单调递减
D.f(x)在区间上的取值范围为(1,3)
7.[2025·江苏无锡一中高一期末] 函数f(x)=Acos(ωx+φ)的图象如图所示,则f(0)= .
8.在函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)的一个周期上,当x=时,有最大值2,当x=时,有最小值-2,则ω= .
9.(13分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)的减区间;
(3)求函数f(x)在区间上的取值范围.
10.[2025·江苏泰兴中学高一期末] 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2025)等于 ( )
A. B.0
C.+2 D.-2
11.(多选题)已知ω>0,|φ|<,直线x=和x=是函数f(x)=cos(ωx+φ)图象的两条相邻的对称轴,将f(x)的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象,则下列说法正确的是 ( )
A.g(x)是奇函数
B.g(x)的图象关于点对称
C.g(x)的图象关于直线x=对称
D.g(x)的周期为2π
12.函数y=Asin(ωx+φ)的最小值是-2,其图象相邻的最高点与最低点横坐标之差的绝对值是3π,又图象过点(0,1),则函数解析式为 .
13.[2025·江苏无锡辅仁中学高一月考] 函数y=2sin在区间[0,a]上的取值范围为[-,2],则实数a的取值范围是 .
14.(15分)[2025·江苏镇江高一期末] 给出以下三个条件:①函数f(x)图象的两条相邻对称轴之间的距离为;②f=0;③对任意的x∈R,f(x)≤f恒成立.请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整,并解答该题.如果选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分.
已知函数f(x)=sin(0<ω<3),且满足 .
(1)求ω的值,并用“五点法”作出函数f(x)在一个周期内的图象;
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,再保持所得图象上各点的纵坐标不变,将横坐标变为原来的2倍,得到函数g(x)的图象,若关于x的方程g(x)-k=0在区间[0,π]上有且只有一个实数解,求实数k的取值范围.
15.[2025·江苏南京励志高级中学高一月考] 若函数f(x)=2sin(ω>0)在区间[0,π]上恰能取到两次最大值,则实数ω的取值范围是 .
16.(多选题)[2025·江苏宿迁期末] 已知函数f(x)=sin(ωx+φ),函数g(x)=的部分图象如图所示,则下列说法中正确的是 ( )
A.ω=2,φ=-
B.g(x)的最小正周期是
C.h(x)=f(x)+1的图象的对称中心为,k∈Z
D.若方程f(x)=1在(0,m)上有且只有6个根,则m∈
