(共83张PPT)
7.4 三角函数应用
探究点一 函数中参数的物理意义
探究点二 三角函数模型在物理学中的应用
探究点三 三角函数模型在日常生活中的应用
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
了解三角函数是刻画周期变化的数学模型，会用三角函数解决
一些简单的实际问题.
知识点一 函数 中各量的物理意义
简谐运动可以用函数， 表示，其中
， .
（1） 就是这个简谐运动的______，它是做简谐运动的物体离开平
衡位置的__________；
（2）简谐运动的周期是 _ __，它是做简谐运动的物体往复运动一
次所需要的时间；
（3）简谐运动的频率由公式_ __________给出，它是做简谐运动的
物体在单位时间内往复运动的次数；
（4）________称为相位，时的相位 称为________.
振幅
最大距离
初相位
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）函数，的最大值为 .( )
×
[解析] 函数，的最大值为 .
（2）函数的初相位为 .( )
×
[解析] 函数的初相位为 .
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（3）一个弹簧振子做简谐振动的周期为，振幅为 ，则该振
子在内通过的路程为 .( )
×
[解析] 该振子在一个周期内通过的路程为，所以该振子在
内通过的路程为 .
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（4）单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的位移
（单位：）和时间（单位： ）的函数关系式为
，那么单摆来回摆动一次所需的时间为 .( )
√
[解析] 单摆来回摆一次所需时间为一个周期，根据
，得周期 .
知识点二 解答三角函数应用题的基本步骤
应用三角函数模型解决实际问题时,首先要把实际问题抽象为数学问题,
通过分析它的变化趋势确定它的周期,从而建立适当的三角函数模型.
解答三角函数应用题的步骤可分为四步:审题、建模、解模、还原评价.
（1）审题:先审清楚题目条件、要求,理解数学关系.
（2）建模:在细心阅读与深入理解题意、分析题目条件（如周期性
等）的基础上,引进数学符号,将问题中的非数学语言全部转化为数学
语言,然后根据题意,列出数量关系,即建立三角函数模型,这时要注意
三角函数的定义域应符合实际问题要求,这样便将实际问题转化成了
数学问题.
（3）解模:对建立的三角函数模型进行分析研究,运用三角函数的有
关知识进行推理、运算,使问题得到解决.
（4）还原评价:把数学结论还原为实际问题的解答.
探究点一 函数 中参数的物理意义
例1 指出下列函数的振幅、周期、初相位 .
（1）， ；
解：， ， .
（2）， .
解：，则有 ，
， .
变式 函数 的部分图象如
图所示，则的最小正周期和初相位 分别是( )
A.2， B. ， C. ， D. ，
√
[解析] 由题图知， ，所以
， ，则，所以 .
因为，且的图象在点 处下降，
所以 ，，即 ，.
由 ，得 .故选B.
［素养小结］
首先把函数解析式化为的形式，再
求振幅、周期、初相位.应注意，.
探究点二 三角函数模型在物理学中的应用
例2 已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位
移（单位：）随时间（单位： ）的变化规律为
， .用“五点法”作出这个函数的简图，并
回答下列问题.
解：列表如下：
0
0 1 0 0
0 4 0 0
描点、连线，可得，
的图象如图中实线部分所示.
（1）小球在开始振动 时的位移是多少？
解：将代入 ，
得，所以小球开始振动时的位
移是 .
例2 已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位
移（单位：）随时间（单位： ）的变化规律为
， .用“五点法”作出这个函数的简图，并
回答下列问题.
例2 已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位
移（单位：）随时间（单位： ）的变化规律为
， .用“五点法”作出这个函数的简图，并
回答下列问题.
（2）小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？
解：小球上升到最高点和下降到最低点时的位移
分别是 和 .
例2 已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位
移（单位：）随时间（单位： ）的变化规律为
， .用“五点法”作出这个函数的简图，并
回答下列问题.
（3）经过多长时间小球往复振动一次？
解：因为的周期是 ，
所以小球往复振动一次所用的时间是 .
例3 已知电流（单位：A）与时间（单位： ）的关系式为
.
（1）如图是 在一个周期内的图象，
根据图中数据求 的解析式；
解：由题图知 ，周期
， .
当时，，即，
又 ， .
故所求的解析式为 .
例3 已知电流（单位：A）与时间（单位： ）的关系式为
.
（2）如果在任意一段的时间内，电流 都能取得
最大值和最小值，那么 的最小正整数值是多少？
解：依题意得周期，即 ，
，又，故 的最小正整数值为315.
［素养小结］
三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动、交变电流、交
变电压等方面,其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查较多.要
弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示方法.
探究点三 三角函数模型在日常生活中的应用
例4 海水受日月引力影响会产生潮汐，涨潮时水面升高，退潮时水
面降低.现测得某港口某天的时刻（单位：时）与水深 （单位：米）
的一组数据，如表（3.1时即为凌晨3点06分）
0 3.1 6.2 9.3 12.4 15.5 18.6 21.7 24
5.0 7.4 5.0 2.6 5.0 7.4 5.0 2.6 4.0
（1）根据以上数据知，可以用函数
来近似描述这一天内该港口的
水深与时刻的关系，求出这个函数的解析式.
解：由表格中数据可知的最大值为，最小值为 ，所以
, ，
由表格中数据可知 ，
所以，所以 ，
将代入上式，可得 ，
所以 ,，解得 , ，
因为，所以 ，
所以, .
例4 海水受日月引力影响会产生潮汐，涨潮时水面升高，退潮时水
面降低.现测得某港口某天的时刻（单位：时）与水深 （单位：米）
的一组数据，如表（3.1时即为凌晨3点06分）
0 3.1 6.2 9.3 12.4 15.5 18.6 21.7 24
5.0 7.4 5.0 2.6 5.0 7.4 5.0 2.6 4.0
（2）某条货船的吃水深度（船底到水面的距离）为4.2米.安全条例
规定，在本港口进港和在港口停靠时，船底高于海底平面的安全间
隙至少为2米，根据（1）中的解析式，求出这条货船最早可行的进
港时间及这条货船一天最多可以在该港口中停靠的总时长.
解：货船需要的安全水深为 （米）,所以进港条件为
.
令,得 ,
所以 , ,
解得,,
因为，所以当 时， ,
当时， .
因为时时2分,时时10分,时时26分，时 时34分，
所以货船可以在1时2分进港，早晨5时10分出港，或在下午13时26分
进港，下午17时34分出港.
则该货船最早进港时间为1时2分，停靠总时长最多为8小时16分钟.
变式 心脏在跳动时,血压会升高或降低.血压的最大值和最小值分别
称为收缩压和舒张压,血压计上的读数就是收缩压和舒张压,通常认为
读数 为标准值.设某人的血压满足函数关系式
,其中为血压（单位：）, 为时
间（单位： ）.
（1）求函数 的周期;
解：由题意可得，函数的周期 .
（2）求此人每分钟心跳的次数;
解：根据公式,可得 ,即此人每分钟心跳的次数是80.
变式 心脏在跳动时,血压会升高或降低.血压的最大值和最小值分别
称为收缩压和舒张压,血压计上的读数就是收缩压和舒张压,通常认为
读数 为标准值.设某人的血压满足函数关系式
,其中为血压（单位：）, 为时
间（单位： ）.
（3）求出此人的血压在血压计上的读数,并与标准值进行比较.
解：函数的最大值是 ,最小
值是 ,即此人的血压在血压计上的读数为
,与标准值相比较偏高一些.
［素养小结］
解三角函数应用问题的基本步骤
运用三角函数模型解决问题的几种类型
（1）由图象求解析式.首先由图象确定解析式的基本形式,例如:
,然后根据图象特征确定解析式中的
参数,在求解过程中还要结合函数性质与实际意义判断所求参数的值
是否满足要求.
（2）由图象研究函数性质.观察分析函数图象,能解决函数的单调性、
奇偶性、对称性、周期性、最值等问题.
（3）利用三角函数研究实际问题.首先分析、归纳实际问题,抽象概括
出数学模型,再利用图象及性质解答数学问题,最后得到实际问题的答案.
1.用建模方法解决函数图象与解析式问题
函数图象与解析式的对应问题是高考考查的热点之一.解决此问题的
一般方法是根据图象所反映的函数性质建立合适的三角函数模型,再
解决如函数的奇偶性、周期性、单调性、值域等问题.
例1 根据国家有关部门下发的标准，车辆驾驶人员饮酒驾车或者醉
酒驾车对应血液中的酒精含量如表.
驾驶行为类别
饮酒驾车
醉酒驾车
经过反复试验可得，一般情况下，某人喝一瓶酒后酒精在血液中的
含量单位：与时间 （单位：小时）的关系为
根据上述条件，回答以下问题：
例1 根据国家有关部门下发的标准，车辆驾驶人员饮酒驾车或者醉
酒驾车对应血液中的酒精含量如表.
驾驶行为类别
饮酒驾车
醉酒驾车
经过反复试验可得，一般情况下，某人喝一瓶酒后酒精在血液中的
含量单位：与时间 （单位：小时）的关系为
根据上述条件，回答以下问题：
（1）试计算此人喝1瓶酒后经过多少小时血液中的酒精含量达到最
大值？最大值是多少？
解：由题意可知，函数在上单调递增，在， 上
单调递减，
又， ，
所以当时，函数取得最大值，最大值为 ，
故喝1瓶酒后经过1.5小时血液中的酒精含量达到最大值，最大值是
.
例1 根据国家有关部门下发的标准，车辆驾驶人员饮酒驾车或者醉
酒驾车对应血液中的酒精含量如表.
驾驶行为类别
饮酒驾车
醉酒驾车
经过反复试验可得，一般情况下，某人喝一瓶酒后酒精在血液中的
含量单位：与时间 （单位：小时）的关系为
根据上述条件，回答以下问题：
（2）试计算此人喝1瓶酒后经过多少小时才可以驾车？（时间 以整
小时计）参考数据：，，
解：由题意知当车辆驾驶人员血液中的酒精含量小于
时才可以驾车，此时 ，
由即
解得 ，
因为，所以 的最小值为6，故此人喝1瓶酒后经过6小时才可
以驾车.
2.三角函数模型的应用问题
三角函数模型是描述现实世界中具有周期现象的一种数学模型,在刻
画周期变化规律等方面发挥着十分重要的作用.
例2 某游乐园内竖立着一座摩天轮，半径为20米，购票后可以乘坐
一圈，该摩天轮沿逆时针方向匀速旋转，每旋转一圈要12分钟，摩
天轮的最低点与地面相距1米，供游客上下摩天轮轿厢，若从小王进
入摩天轮轿厢开始计时，在运行过程中，轿厢与其中的游客看作是
摩天圆环上一个点.
（1）求出小王同学距离地面的高度（单位：米）关于时间
（单位：分钟）的函数关系式.
解：设 ，
由题意知，， .
因为摩天轮匀速转一圈要12分钟，即，所以 ，则
.
因为从小王同学位于最低点时开始计时，即时 ，
所以，可得,
不妨取 ，所以 .
例2 某游乐园内竖立着一座摩天轮，半径为20米，购票后可以乘坐
一圈，该摩天轮沿逆时针方向匀速旋转，每旋转一圈要12分钟，摩
天轮的最低点与地面相距1米，供游客上下摩天轮轿厢，若从小王进
入摩天轮轿厢开始计时，在运行过程中，轿厢与其中的游客看作是
摩天圆环上一个点.
（2）当游客距离地面高度达到31米及以上时，可以俯看到游乐场的
全景，这段时间称为“美景期”，求摩天轮在旋转一周的过程中，小
王同学处于“美景期”的时间有多长？
解：由题意知，即 ，
当时，可得，
因为 ，
所以摩天轮在旋转一周的过程中，小王同学处于“美景期”的时间有4
分钟.
练习册
1.函数 的周期、振幅、初相位分别是( )
A.,2, B. ，，
C. ，2， D. ，2，
[解析] 依题意得，函数的周期 ，函数的振幅为2，初相
位为 .故选C.
√
（第2题图）
2.某港口一天6时到18时的水深（单位：米）变
化曲线如图所示，该曲线可近似看作函数
的图象，据此函数可知，
这段时间水深的最大值为 ( )
A.5 B.6 C.8 D.10
[解析] 由题图知，解得 ，所以这段时间水深的最大
值为 .
√
3.如图是一个质点做简谐运动的图象，则下列判断正确的是 ( )
A.该质点的振动周期为
B.该质点的振幅为
C.该质点在和 时的振动速度最大
D.该质点在和时的位移为
[解析] 由题中图及简谐运动的有关知识知,周期 ,
振幅，
当或时,振动速度为；
当 和时的位移为 .故选D.
√
4.交变电流是指电流大小和方向随时间进行周期性变化的电流.已知
某交变电流（单位：A）随时间（单位： ）变化的函数关系式
为 .若该交变电流连续两次达到方向相同的有
效值的时刻分别为,，且 ，则该交
变电流在 时的瞬时值可能为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意知，结合对称性得当
时，取得最大值或最小值，所以 , ，即
,，则 ，故该交变电流在
时的瞬时值为.
当 时，得；当时，；当时，
；当时，；当时，；
当 时， .故选A.
5.如图，一个大风车的半径为, 旋转
一周，它的最低点距离地面 ，风车翼片
的一个端点从 开始按逆时针方向旋转，则
点到地面的距离（单位：）与时间
（单位： ）之间的函数关系式是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 根据题意可设 ，则
,
旋转一周， , .
大风车的半径为 ，最低点距离地面，
， ，
.故选D.
6.水车是古代农耕常用的灌溉引水工具，是人类的一项古老的发明，也是人类
改造自然的成果之一.如图①是一个半径为 的水车，以水车的中心为原点，过
水车的中心且平行于水平面的直线为 轴，建立平面直角坐标系（如图②），
一个水斗从点 出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用
时60秒.经过秒，水斗旋转到点，设点的坐标为 ，其纵坐标满足
，当秒时， ( )
A. B. C. D.4
√
[解析] 由题意知， ，经过45秒，旋
转了个周期，
因此，所以 ，故选A.
7.做简谐运动的物体相对平衡位置的位移（单位：）与时间
（单位：）的函数关系如图所示，则这个简谐运动的周期为____ .
0.8
[解析] 由题图知，这个简谐运动的周期 .
8.为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示
的坐标系，设秒针指向位置 ，若初始位置为
，秒针从（注：此时 ）开始沿顺时
针方向走动，则点的纵坐标与时间（单位： ）
的函数关系式为__________________.
[解析] 设， 秒针沿顺时针方向走动，
且每60秒转一周， .
由 ，得，，
又由 ，可得，故点 的纵坐标与时间的函数关系
式为 .
9.（13分）已知某简谐振动
的部分图象如图所示.
（1）求函数 的解析式;
解：由题中图可知，，函数 的最小正周期
，，
.
将 代入解析式中可得 ，
，解得 ，
， ， .
9.（13分）已知某简谐振动
的
部分图象如图所示.
（2）求函数 的最小正周期、频率、振幅、初
相位.
解：由（1）知的最小正周期 ，频率 ，振幅为2，
初相位为 .
10.（13分）如图所示，弹簧挂着的小球做上下振动，时间
（单位：）与小球相对于平衡位置（即静止时的位置）的高度
（单位：）之间的函数关系式是， .
（1）以为横坐标， 为纵坐标，画出函数在一个周期上的简图.
解：用“五点法”作图.①列表如下：
0
0 2 0 0
②描点并将它们用光滑的曲线连接起来，易
知函数在与 上的图象相同，所
以 的简图如图中
实线部分所示.
10.（13分）如图所示，弹簧挂着的小球做上下振
动，时间（单位： ）与小球相对于平衡位置
（即静止时的位置）的高度（单位： ）之间的
函数关系式是， .
（2）小球开始振动时的位置在哪里？
解：当时， ，即小球开始振动时的位
置在平衡位置上方的 处.
10.（13分）如图所示，弹簧挂着的小球做上下振动，
时间（单位： ）与小球相对于平衡位置
（即静止时的位置）的高度（单位： ）之间的
函数关系式是， .
（3）小球最高点、最低点的位置分别在哪里？它们到平衡位置的距
离分别是多少？
解：由题意知，最高点的位置在平衡位置上方的 处,最低点的位
置在平衡位置下方的 处，最高点、最低点到平衡位置的距离均
为 .
11.某兴趣小组以某闰年之前一年的春分节气为起始时间（已知春分节
气时太阳直射点在赤道上），测量了一整年内太阳直射点纬度的数据，
并通过正弦函数来模拟这一整年太阳直射点纬度值的变化.已知太阳直
射点移至最北端时纬度约为北纬 ，用 代表自春分节气开始经
过的天数， 代表太阳直射点纬度值，太阳直射北半球时取正值，直
射南半球时取负值，则该年太阳直射点纬度值的变化近似满足的函数
关系式为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 设，又，所以 ，
因为太阳直射点移至最北端时纬度约为北纬 ，且太阳直射北
半球时取正值，直射南半球时取负值，所以 ，则该年太阳
直射点纬度值的变化近似满足函数 .故选B.
12.（多选题）筒车（如图①）是我国古代发明的一种水利灌溉工具，
既经济又环保，假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水
筒都做匀速圆周运动.如图②，将筒车抽象成一个半径为 的圆，设
筒车按逆时针方向每旋转一周用时60秒，当时，盛水筒 位于
点，经过秒运动到点，点 的纵坐标满足
，则下列叙述正确的
是( )
A.筒车转动的角速度
B.当筒车旋转10秒时，盛水筒对应的点 的纵坐标为0
C.当筒车旋转50秒时，盛水筒和初始点的水平距离为
D.盛水筒 第一次到达最高点需要的时间是25秒
√
√
√
[解析] 对于A，因为筒车按逆时针方向每旋转一周用时60秒，所以
，因此A正确；
对于B，因为当 时，盛水筒位于点，所以
，所以，则，
因为，所以 ，
则 ，
所以 ，因此B正确；
对于C，由B可求得，当筒车旋转50秒时，盛水筒的纵坐标为 ，
设它的横坐标为，则，解得 ，因为此时筒
车旋转了50秒，所以此时盛水筒在第三象限，故，则盛水筒
和初始点的水平距离为 ，因此C错误；
对于D，由，得，
所以盛水筒 第一次到达最高点所
需要的时间是25秒，因此D正确.故选 .
13.已知某地区某天的温度（单位：）随时间 （单位：时）的
变化趋势近似满足函数 ，
，且这天的最大温差为，则 ___；若温度不低于
需要开空调降温，则这天需要降温的时长为___小时.
4
6
[解析] 函数 ，其最小正周期
，故这天的最大温差即为的最大值与最小值的差，
又 ，所以，解得.
令 ，得，可得，
由 ，得，所以 或
，解得 ，则一天中需要降温
的时长为 小时).
14. 山东滕州一中高一月考］是轮子（半径为 ）外边
沿上的一点，若轮子从图中位置（ 恰为轮子和地面的切点）向左匀
速无滑动滚动，当滚动的水平距离为时，点 距离地面的
高度为，若,，则 的最小
值为__.
[解析] 由题意可知，轮子的半径 ，则轮
子滚动一周的水平距离为 ，如图所示，
设轮子滚动了时点到达点,则的长为 ，
所以，
过点作垂直于地面，垂足为，过点 作，垂足为 ，
则 ，
所以.
由，可得 ，
所以 ,，解得, .
令, ,, ,所以
，,，且 ，所以
当时，取最小值 .
15.音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称
为“葫芦曲线”.该曲线的性质是每经过相同的时间
间隔，它的振幅就变化一次.如图所示，某一条葫
芦曲线的方程为, ，
A. B. C. D.
其中表示不超过的最大整数.若该条曲线还满足 ，且经
过点，则该条葫芦曲线与直线 交点的纵坐标为
( )
√
[解析] 将 代入葫芦曲线的方程可得
，则 ，
.
当 时，可得
，所以交点的纵坐标为 .故选C.
16.（15分）［2025·江苏盐城高一期末］ 现有足
够长的“”型的河道，如图所示，宽度分别为
和，若经过点拉一张网 ，开辟如图所示
的直角三角形用于养鱼，设 .
（1）求渔网长度，用含有 的式子表示，并
写出定义域；
解：过点分别作,垂直于, ，垂足
分别为,，则 ,
， ，
所以， ，
所以， .
16.（15分）［2025·江苏盐城高一期末］ 现有足
够长的“”型的河道，如图所示，宽度分别为
和，若经过点拉一张网 ，开辟如图所
示的直角三角形用于养鱼，设 .
（2）求养殖面积的最小值，及此时 的值；
解：，，
所以 ，
，
所以，
当且仅当，即，即 时取等号，
所以养殖面积的最小值为，此时 .
16.（15分）［2025·江苏盐城高一期末］ 现有
足够长的“ ”型的河道，如图所示，宽度分别
为和，若经过点拉一张网 ，开
辟如图所示的直角三角形 用于养鱼，设
.
（3）若分别以, 为直径制作两个圆形的
遮阳篷，求两遮阳篷的面积和的最小值.
，当且仅当，
即 时取等号.故两遮阳篷的面积和
的最小值为 .
解：由（1）知， ，设两遮阳篷的面积和为 ，则
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 （1）振幅 最大距离 （2） （3）
（4） 初相位 【诊断分析】 （1）× （2）× （3）× （4）√
课中探究 探究点一 例1 （1）， ， （2）
， ， 变式 B
探究点二 例2 图略（1） （2）小球上升到最高点和下降到最低点时的位移
分别是和 （3） 例3 （1）（2）315
探究点三 例4 （1）<,（2）8小时16分钟
变式 （1） （2）80
（3）即此人的血压在血压计上的读数为,与标准值相比较偏高一些.
练习册
基础巩固 1.C 2.C 3.D 4.A 5.D 6.A 7.0.8 8.
9.（1）
（2）的最小正周期 ，频率，振幅为2，初相位为.
10.（1）图略 （2）在平衡位置上方的处 （3）最高点的位置在平衡位置
上方的处, 最低点的位置在平衡位置下方的处，最高点、最低点到平衡
位置的距离均为.
综合提升 11.B 12.ABD 13.4 6 14.
思维探索 15.C 16.（1），的
最小值为，此时（3）【课前预习】
知识点一
(1)振幅 最大距离 (2) (3)f==
(4)ωx+φ 初相位
诊断分析
(1)× (2)× (3)× (4)√ [解析] (1)函数y=Asin(ωx+φ),x∈R的最大值为|A|.
(2)函数y=Asin(ωx-φ)的初相位为-φ.
(3)该振子在一个周期内通过的路程为20 cm,所以该振子在2 s内通过的路程为20×=100(cm).
(4)单摆来回摆一次所需时间为一个周期,根据s=6sin,得周期T== s.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)A=2,T==4π,φ=.
(2)y=-6sin=6sin,则有A=6,T==π,φ=π.
变式 B [解析] 由题图知f(x)min=-A=-,T=π-=,所以A=,T=π,则ω==2,所以f(x)=sin(2x+φ).因为f=sin=0,且f(x)的图象在点处下降,所以π+φ=π+2kπ,k∈Z,即φ=+2kπ,k∈Z.由|φ|<,得φ=.故选B.
探究点二
例2 解:列表如下:
t -
2t+ 0 π 2π
sin 0 1 0 -1 0
s 0 4 0 -4 0
描点、连线,可得s=4sin,t∈[0,+∞)的图象如图中实线部分所示.
(1)将t=0代入s=4sin,
得s=4sin=2,所以小球开始振动时的位移是2 cm.
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和-4 cm.
(3)因为s=4sin的周期是π,所以小球往复振动一次所用的时间是π s.
例3 解:(1)由题图知A=20,周期T=2×=,∴ω==200π.
当t=时,I=0,即sin=0,又|φ|<,∴φ=.
故所求的解析式为I=20sin(t≥0).
(2)依题意得周期T≤,即≤(ω>0),
∴ω≥100π>314,又ω∈N*,故ω的最小正整数值为315.
探究点三
例4 解:(1)由表格中数据可知y的最大值为7.4,最小值为2.6,所以A==2.4,b==5,
由表格中数据可知T=12.4-0=12.4,
所以ω===,所以y=2.4sin+5,
将(3.1,7.4)代入上式,可得7.4=2.4sin+5,
所以×3.1+φ=+2kπ,k∈Z,解得φ=2kπ,k∈Z,
因为|φ|<,所以φ=0,
所以y=2.4sinx+5,0≤x<24.
(2)货船需要的安全水深为4.2+2=6.2(米),所以进港条件为y≥6.2.
令2.4sinx+5≥6.2,得sinx≥,
所以+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z,
解得+≤x≤+,k∈Z,因为0≤x<24,所以当k=0时,≤x≤,
当k=1时,≤x≤.
因为时=1时2分,时=5时10分,时=13时26分,时=17时34分,
所以货船可以在1时2分进港,早晨5时10分出港,或在下午13时26分进港,下午17时34分出港.
则该货船最早进港时间为1时2分,停靠总时长最多为8小时16分钟.
变式 解:(1)由题意可得,函数P(t)的周期T===.
(2)根据公式f=,可得f=80,即此人每分钟心跳的次数是80.
(3)函数P(t)=115+25sin 160πt的最大值是115+25=140,最小值是115-25=90,即此人的血压在血压计上的读数为140/90 mmHg,与标准值相比较偏高一些.7.4 三角函数应用
1.C [解析] 依题意得,函数的周期T==4π,函数的振幅为2,初相位为.故选C.
2.C [解析] 由题图知2=-3+k,解得k=5,所以这段时间水深的最大值为3+k=8.
3.D [解析] 由题中图及简谐运动的有关知识知,周期T=0.8 s,振幅A=5 cm,当t=0.1 s或t=0.5 s时,振动速度为0 cm/s;当t=0.3 s和0.7 s时的位移为0 cm.故选D.
4.A [解析] 由题意知S(t1)=S(t2)=S0,结合对称性得当t==3时,S(t)取得最大值或最小值,所以3ω=+kπ,k∈Z,即ω=+,k∈Z,则S(t)=10sin,故该交变电流在t=1 s时的瞬时值为S(1)=10sin.当k=0时,得S(1)=5 A;当k=1时,S(1)=10 A;当k=2时,S(1)=5 A;当k=3时,S(1)=-5 A;当k=4时,S(1)=-10 A;当k=5时,S(1)=-5 A.故选A.
5.D [解析] 根据题意可设h(t)=Acos ωt+B,则A<0,B>0.∵12 min旋转一周,∴=12,∴ω=.∵大风车的半径为6 m,最低点距离地面2 m,∴A=-6,B=|-6|+2=8,∴h(t)=-6cost+8.故选D.
6.A [解析] 由题意知r==4,T=60,经过45秒,旋转了个周期,因此∠POA=×2π=,所以PA=4,故选A.
7.0.8 [解析] 由题图知,这个简谐运动的周期T=0.8 s.
8.y=sin [解析] 设y=sin(ωt+φ)(0≤φ<2π),∵秒针沿顺时针方向走动,且每60秒转一周,∴ω=-=-(rad/s).由P0,得cos φ=,sin φ=,又由0≤φ<2π,可得φ=,故点P的纵坐标y与时间t的函数关系式为y=sin.
9.解:(1)由题中图可知,A=2,函数f(x)的最小正周期T=2×=π,
∴ω==2,∴f(x)=2sin(2x+φ).将代入解析式中可得2=2sin,
∴-+φ=+2kπ(k∈Z),解得φ=+2kπ(k∈Z),
∵0<φ<π,∴φ=,
∴f(x)=2sin.
(2)由(1)知f(x)的最小正周期T=π,频率f==,振幅为2,初相位为.
10.解:(1)用“五点法”作图.①列表如下:
t -
2t+ 0 π π 2π
2sin 0 2 0 -2 0
②描点并将它们用光滑的曲线连接起来,易知函数在与上的图象相同,所以h=2sin(t∈[0,π])的简图如图中实线部分所示.
(2)当t=0时,h=2sin=,即小球开始振动时的位置在平衡位置上方的 cm处.
(3)由题意知,最高点的位置在平衡位置上方的2 cm处,最低点的位置在平衡位置下方的2 cm处,最高点、最低点到平衡位置的距离均为2 cm.
11.B [解析] 设y=Asin ωx,又T=366,所以ω==,因为太阳直射点移至最北端时纬度约为北纬23.44°,且太阳直射北半球时取正值,直射南半球时取负值,所以A=23.44,则该年太阳直射点纬度值的变化近似满足函数y=23.44sinx.故选B.
12.ABD [解析] 对于A,因为筒车按逆时针方向每旋转一周用时60秒,所以ω==(rad/s),因此A正确;对于B,因为当t=0时,盛水筒M位于点P0(3,-3),所以R==6,所以f(0)=6sin φ=-3,则sin φ=-,因为|φ|<,所以φ=-,则f(t)=6sin,所以f(10)=6sin=6sin 0=0,因此B正确;对于C,由B可求得,当筒车旋转50秒时,盛水筒M的纵坐标为-3,设它的横坐标为x,则=6,解得x=±3,因为此时筒车旋转了50秒,所以此时盛水筒M在第三象限,故x=-3,则盛水筒M和初始点P0的水平距离为3-(-3)=6,因此C错误;对于D,由t-=,得t=25∈(0,60],所以盛水筒M第一次到达最高点所需要的时间是25秒,因此D正确.故选ABD.
13.4 6 [解析] 函数f(t)=28+Asin(A>0),其最小正周期T==16<24,故这天的最大温差即为f(t)的最大值与最小值的差,又A>0,所以(A+28)-(-A+28)=2A=8,解得A=4.令f(t)≥30,得4sin+28≥30,可得sin≥,由t∈[0,24),得t+π∈,所以π≤t+π≤或≤t+π≤π,解得t∈∪,则一天中需要降温的时长为+=6(小时).
14. [解析] 由题意可知,轮子的半径r=0.5 m,则轮子滚动一周的水平距离为2πr=π(m),如图所示,设轮子滚动了x m时点A到达点A',则的长为x,所以∠AOA'==2x,过点A'作A'C垂直于地面,垂足为C,过点O作OB⊥A'C,垂足为B,则A'C=A'B+BC=sin+=-cos 2x,所以h(x)=-cos 2x.由h(x)=-cos 2x=0.5,可得cos 2x=0,所以2x=+kπ,k∈Z,解得x=+,k∈Z.令x1=+,k1∈N,x2=+,k2∈N,所以x2-x1=,k1,k2∈N,且k115.C [解析] 将代入葫芦曲线的方程可得=,则=1,由ω∈(1,3)可得ω=2,因此该葫芦曲线方程为|y|=|sin 2x|.当x=π时,可得|y|====,所以交点的纵坐标为±.故选C.
16.解:(1)过点A分别作AB,AC垂直于OE,OF,垂足分别为B,C,则AB=OC=5,AC=OB=5,∠OEF=∠CAF=θ,所以AE==,AF==,
所以EF=AE+AF=+,θ∈.
(2)BE==,CF=ACtan θ=5tan θ,
所以OE=OB+BE=5+,OF=OC+CF=5+5tan θ,所以S△EOF=OE·OF=(5+5tan θ)==≥=(50+50)=50,
当且仅当75tan θ=,即tan θ=,即θ=时取等号,
所以养殖面积S△EOF的最小值为50,此时θ=.
(3)由(1)知 AE=,AF=,
设两遮阳篷的面积和为S,则S=π+π=π+π=π=(sin2θ+cos2θ)==≥=(100+50),当且仅当=,即tan θ=时取等号.故两遮阳篷的面积和的最小值为(100+50).7.4 三角函数应用
【学习目标】
了解三角函数是刻画周期变化的数学模型,会用三角函数解决一些简单的实际问题.
◆ 知识点一 函数y=Asin(ωx+φ)中各量的
物理意义
简谐运动可以用函数y=Asin(ωx+φ),x∈[0,+∞)表示,其中A>0,ω>0.
(1)A就是这个简谐运动的 ,它是做简谐运动的物体离开平衡位置的 ;
(2)简谐运动的周期是T= ,它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间;
(3)简谐运动的频率由公式 给出,它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数;
(4) 称为相位,x=0时的相位φ称为 .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y=Asin(ωx+φ),x∈R的最大值为A. ( )
(2)函数y=Asin(ωx-φ)的初相位为φ. ( )
(3)一个弹簧振子做简谐振动的周期为0.4 s,振幅为5 cm,则该振子在2 s内通过的路程为50 cm. ( )
(4)单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置O的位移s(单位:cm)和时间t(单位:s)的函数关系式为s=6sin,那么单摆来回摆动一次所需的时间为 s. ( )
◆ 知识点二 解答三角函数应用题的基本步骤
应用三角函数模型解决实际问题时,首先要把实际问题抽象为数学问题,通过分析它的变化趋势确定它的周期,从而建立适当的三角函数模型.解答三角函数应用题的步骤可分为四步:审题、建模、解模、还原评价.
(1)审题:先审清楚题目条件、要求,理解数学关系.
(2)建模:在细心阅读与深入理解题意、分析题目条件(如周期性等)的基础上,引进数学符号,将问题中的非数学语言全部转化为数学语言,然后根据题意,列出数量关系,即建立三角函数模型,这时要注意三角函数的定义域应符合实际问题要求,这样便将实际问题转化成了数学问题.
(3)解模:对建立的三角函数模型进行分析研究,运用三角函数的有关知识进行推理、运算,使问题得到解决.
(4)还原评价:把数学结论还原为实际问题的解答.
◆ 探究点一 函数y=Asin(ωx+φ)中参数的物理意义
例1 指出下列函数的振幅A、周期T、初相位φ.
(1)y=2sin,x∈R;
(2)y=-6sin,x∈R.
变式 函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的最小正周期T和初相位φ分别是 ( )
A.2,
B.π,
C.2π,
D.π,
[素养小结]
首先把函数解析式化为y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的形式,再求振幅、周期、初相位.应注意A>0,φ>0.
◆ 探究点二 三角函数模型在物理学中的应用
例2 已知弹簧上挂着的小球做上下振动时,小球离开平衡位置的位移s(单位:cm)随时间t(单位:s)的变化规律为s=4sin,t∈[0,+∞).用“五点法”作出这个函数的简图,并回答下列问题.
(1)小球在开始振动(t=0)时的位移是多少
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少
(3)经过多长时间小球往复振动一次
例3 已知电流I(单位:A)与时间t(单位:s)的关系式为I=Asin(ωt+φ).
(1)如图是I=Asin(ωt+φ)在一个周期内的图象,根据图中数据求I=Asin(ωt+φ)的解析式;
(2)如果在任意一段 s的时间内,电流I=Asin(ωt+φ)都能取得最大值和最小值,那么ω的最小正整数值是多少
[素养小结]
三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动、交变电流、交变电压等方面,其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查较多.要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示方法.
◆ 探究点三 三角函数模型在日常生活中的应用
例4 海水受日月引力影响会产生潮汐,涨潮时水面升高,退潮时水面降低.现测得某港口某天的时刻x(单位:时)与水深y(单位:米)的一组数据,如表(3.1时即为凌晨3点06分):
时刻x 0 3.1 6.2 9.3 12.4 15.5 18.6 21.7 24
水深y 5.0 7.4 5.0 2.6 5.0 7.4 5.0 2.6 4.0
(1)根据以上数据知,可以用函数y=Asin(ωx+φ)+b来近似描述这一天内该港口的水深与时刻的关系,求出这个函数的解析式.
(2)某条货船的吃水深度(船底到水面的距离)为4.2米.安全条例规定,在本港口进港和在港口停靠时,船底高于海底平面的安全间隙至少为2米,根据(1)中的解析式,求出这条货船最早可行的进港时间及这条货船一天最多可以在该港口中停靠的总时长.
变式 心脏在跳动时,血压会升高或降低.血压的最大值和最小值分别称为收缩压和舒张压,血压计上的读数就是收缩压和舒张压,通常认为读数120/80 mmHg为标准值.设某人的血压满足函数关系式P(t)=115+25sin 160πt,其中P(t)为血压(单位:mmHg),t为时间(单位:min).
(1)求函数P(t)的周期;
(2)求此人每分钟心跳的次数;
(3)求出此人的血压在血压计上的读数,并与标准值进行比较.
[素养小结]
解三角函数应用问题的基本步骤7.4 三角函数应用
1.函数y=2sin的周期、振幅、初相位分别是 ( )
A.,2, B.4π,-2,-
C.4π,2, D.2π,2,
2.某港口一天6时到18时的水深(单位:米)变化曲线如图所示,该曲线可近似看作函数y=3sin+k的图象,据此函数可知,这段时间水深的最大值为 ( )
A.5 B.6
C.8 D.10
3.如图是一个质点做简谐运动的图象,则下列判断正确的是 ( )
A.该质点的振动周期为0.7 s
B.该质点的振幅为-5 cm
C.该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大
D.该质点在0.3 s和0.7 s时的位移为0 cm
4.交变电流是指电流大小和方向随时间进行周期性变化的电流.已知某交变电流S(t)(单位:A)随时间t(单位:s)变化的函数关系式为S(t)=10sin ωt(ω>0).若该交变电流连续两次达到方向相同的有效值S0(-10A.5 A B.5 A
C.5 A D.2 A
5.如图,一个大风车的半径为6 m,12 min旋转一周,它的最低点P0距离地面2 m,风车翼片的一个端点P从P0开始按逆时针方向旋转,则点P到地面的距离h(单位:m)与时间t(单位:min)之间的函数关系式是 ( )
A.h(t)=-6sint+6
B.h(t)=-6cost+6
C.h(t)=-6sint+8
D.h(t)=-6cost+8
6.水车是古代农耕常用的灌溉引水工具,是人类的一项古老的发明,也是人类改造自然的成果之一.如图①是一个半径为r的水车,以水车的中心为原点,过水车的中心且平行于水平面的直线为x轴,建立平面直角坐标系(如图②),一个水斗从点A(2,-2)出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时60秒.经过t秒,水斗旋转到点P,设点P的坐标为(x,y),其纵坐标满足y=rsin(ωt+φ),当t=45秒时,PA= ( )
A.4 B.
C.4 D.4
7.做简谐运动的物体相对平衡位置的位移y(单位:cm)与时间t(单位:s)的函数关系如图所示,则这个简谐运动的周期为 s.
8.为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图所示的坐标系,设秒针指向位置P(x,y),若初始位置为P0,秒针从P0(注:此时t=0)开始沿顺时针方向走动,则点P的纵坐标y与时间t(单位:s)的函数关系式为 .
9.(13分)已知某简谐振动f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)的最小正周期、频率、振幅、初相位.
10.(13分)如图所示,弹簧挂着的小球做上下振动,时间t(单位:s)与小球相对于平衡位置(即静止时的位置)的高度h(单位:cm)之间的函数关系式是h=2sin,t∈[0,+∞).
(1)以t为横坐标,h为纵坐标,画出函数在一个周期上的简图.
(2)小球开始振动时的位置在哪里
(3)小球最高点、最低点的位置分别在哪里 它们到平衡位置的距离分别是多少
11.某兴趣小组以某闰年之前一年的春分节气为起始时间(已知春分节气时太阳直射点在赤道上),测量了一整年内太阳直射点纬度的数据,并通过正弦函数来模拟这一整年太阳直射点纬度值的变化.已知太阳直射点移至最北端时纬度约为北纬23.44°,用x代表自春分节气开始经过的天数,y代表太阳直射点纬度值,太阳直射北半球时取正值,直射南半球时取负值,则该年太阳直射点纬度值的变化近似满足的函数关系式为 ( )
A.y=23.44sinx
B.y=23.44sinx
C.y=46.88sinx
D.y=46.88sinx
12.(多选题)筒车(如图①)是我国古代发明的一种水利灌溉工具,既经济又环保,假定在水流量稳定的情况下,筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图②,将筒车抽象成一个半径为R的圆,设筒车按逆时针方向每旋转一周用时60秒,当t=0时,盛水筒M位于点P0(3,-3),经过t秒运动到点P(x,y),点P的纵坐标满足y=f(t)=Rsin(ωt+φ),则下列叙述正确的是 ( )
A.筒车转动的角速度ω= rad/s
B.当筒车旋转10秒时,盛水筒M对应的点P的纵坐标为0
C.当筒车旋转50秒时,盛水筒M和初始点的水平距离为6
D.盛水筒M第一次到达最高点需要的时间是25秒
13.已知某地区某天的温度f(t)(单位:℃)随时间t(单位:时)的变化趋势近似满足函数f(t)=28+Asin(A>0),t∈[0,24),且这天的最大温差为8 ℃,则A= ;若温度不低于30 ℃需要开空调降温,则这天需要降温的时长为 小时.
14.[2025·山东滕州一中高一月考] A是轮子(半径为0.5 m)外边沿上的一点,若轮子从图中位置(A恰为轮子和地面的切点)向左匀速无滑动滚动,当滚动的水平距离为x m(x≥0)时,点A距离地面的高度为h(x),若h(x1)=h(x2)=0.5,x2>x1≥0,则x2-x1的最小值为 .
15.音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦,也可称为“葫芦曲线”.该曲线的性质是每经过相同的时间间隔,它的振幅就变化一次.如图所示,某一条葫芦曲线的方程为|y|=|sin ωx|,x≥0,其中[x]表示不超过x的最大整数.若该条曲线还满足ω∈(1,3),且经过点M,则该条葫芦曲线与直线x=π交点的纵坐标为 ( )
A.± B.± C.± D.±1
16.(15分)[2025·江苏盐城高一期末] 现有足够长的“L”型的河道,如图所示,宽度分别为5 m和5 m,若经过点A拉一张网EF,开辟如图所示的直角三角形EOF用于养鱼,设∠OEF=θ.
(1)求渔网长度EF,用含有θ的式子表示,并写出定义域;
(2)求养殖面积S△EOF的最小值,及此时θ的值;
(3)若分别以AE,AF为直径制作两个圆形的遮阳篷,求两遮阳篷的面积和的最小值.
