本章总结提升
【素养提升】
题型一
例1 (1)C (2)AC [解析] (1)当k=2n(n∈Z)时,2nπ≤α≤2nπ+(n∈Z).当k=2n+1(n∈Z)时,2nπ+π≤α≤2nπ+π+(n∈Z).故选C.
(2)因为分针是按照顺时针方向旋转的,所以转动的弧度为负数,可得α=-×2π=-.由分针长为6 cm,可得弧长l=r|α|=5π(cm).故选AC.
例2 解:(1)若m=2,则P(-3,4),所以x=-3,y=4,r=5,所以sin α=,tan α=-,
故5sin α+3tan α=5×+3×=4-4=0.
(2)由题意知,cos α=≤0,sin α=>0,
则x≤0,y>0,所以
解得-2变式 (1)A (2)BC [解析] (1)∠AOB=,化成角度制为60°,所以①不正确;因为∠AOB=,且OA=OB=2,所以△OAB为等边三角形,所以AB=2,即线段AB的长为2,所以②不正确;由扇形的弧长公式,可得的长为×2=,所以扇形OAB的周长为+2+2=+4,所以③正确;由扇形的面积公式,可得扇形OAB的面积S=××22=,所以④不正确.故选A.
(2)因为角α是第二象限角,所以2kπ+<α<2kπ+π,k∈Z,所以kπ+<0,sin 2α<0,B,C正确;当是第三象限角时,sin<0,A错误;当2α是第四象限角时,cos 2α>0,D错误.故选BC.
(3)解:①由角α的终边与单位圆交于点P,得=1,又m<0,所以m=-.
②因为角α的终边与单位圆交于点P,
所以sin α=-,cos α=,tan α=-2.
题型二
例3 解:(1)f(α)===-tan α,因为角α的终边过点P(-12,5),所以tan α=-,所以f(α)=.
(2)因为f(α)=-tan α=2,所以tan α=-2,
所以4sin2α-3sin αcos α====.
变式 (1)BD (2)-3 [解析] (1)对于A,由sin α,cos α是方程3x2-x-m=0的两根,得由sin α+cos α=,得(sin α+cos α)2=,即sin2α+cos2α+2sin αcos α=,解得sin αcos α=-,则-=-,解得m=,故A错误;对于B,(sin α-cos α)2=sin2α+cos2α-2sin αcos α=1-2×=,因为α∈(0,π),所以sin α>0,又sin αcos α=-<0,所以cos α<0,则sin α-cos α>0,因此sin α-cos α==,故B正确;对于C,由解得则tan α==-,故C错误;对于D,cos2α-sin2α=(cos α+sin α)(cos α-sin α)=×=-,故D正确.故选BD.
(2)由角α的终边上一点P的坐标是(m,2m),可得tan α=2,则====-3.
题型三
例4 (1),k∈Z (2),k∈Z [解析] (1)要使函数f(x)有意义,则需满足cos2x-sin2x≥0,即cos2x≥sin2x,即|cos x|≥|sin x|,∴函数f(x)的定义域为,k∈Z.
(2)由题意得1+tan x>0,即tan x>-1,故x∈,k∈Z.
例5 (1)B (2)[-1,3+2] [解析] (1)因为y=-sin2x+4cos x-6=cos2x+4cos x-7=(cos x+2)2-11,所以当cos x=-1时,ymin=-10,故选B.
(2)令u=tan x,∵|x|≤,∴由正切函数的单调性可知u∈[-,],∴原函数可化为y=u2-2u,u∈[-,],∵二次函数y=u2-2u=(u-1)2-1的图象开口向上,所在抛物线的对称轴为u=1,∴当u=1时,ymin=-1,当u=-时,ymax=3+2,∴原函数的值域为[-1,3+2].
题型四
例6 (1)A (2)BC (3)BD [解析] (1)因为(2)方法一:f(x)的最小正周期为=π,最大值为1,g(x)的最小正周期为=π,最大值为1,故B,C均正确;因为g(x)=sin=sin 2,所以将f(x)=sin 2x的图象向右平移个单位长度可得g(x)的图象,又<×=,所以f(x)与g(x)的零点不相同,f(x)与g(x)的图象的对称轴不相同,故A,D均不正确.故选BC.
方法二:f(x)的最小正周期为=π,最大值为1,g(x)的最小正周期为=π,最大值为1,故B,C均正确;令f(x)=sin 2x=0,得x=,k∈Z,令g(x)=sin=0,得x=+,k∈Z,故f(x)与g(x)的零点不相同,A不正确;令2x=kπ+,k∈Z,得x=+,k∈Z,令2x-=kπ+,k∈Z,得x=+,k∈Z,故f(x)与g(x)的图象的对称轴不相同,D不正确.故选BC.
(3)对于A,函数f(x)的最小正周期为=π,故A错误;对于B,因为f=3cos=0,所以f(x)的图象关于点对称,故B正确;对于C,f=3cos=3cos不是奇函数,故C错误;对于D,当x∈时,2x-∈,所以当2x-=0,即x=时,f(x)取得最大值3,故D正确.故选BD.
变式 (1)C (2)ACD (3)ACD [解析] (1)画出函数y=sin x与y=2sin在[0,2π]上的图象,如图所示,由图可知两曲线共有6个交点.故选C.
(2)由题图可得,A=2,函数f(x)的最小正周期T=4=π,故ω===2,则f(x)=2sin(2x+φ),又f=2sin=2,即sin=1,所以+φ=+2kπ,k∈Z,所以φ=+2kπ,k∈Z,又-<φ<,所以φ=,所以f(x)=2sin.对于A选项,f=2sin=2sin=-2=f(x)min,所以直线x=-π为函数f(x)图象的一条对称轴,故A正确;对于B选项,由≤x≤π,得≤2x+≤,所以函数f(x)在上不单调,故B错误;对于C选项,f=2sin(2x-π)=-2sin 2x为奇函数,故C正确;对于D选项,因为f(x)=2sin,所以将f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y=2sin的图象,故D正确.故选ACD.
(3)对于A,因为f(x)=tan,所以f(x)的最小正周期T=,所以A正确;对于B,令2x-≠+kπ,k∈Z,解得x≠+,k∈Z,则函数f(x)的定义域为,所以B不正确;对于C,令2x-=,k∈Z,解得x=+,k∈Z,当k=0时,可得x=,所以函数f(x)的图象关于点对称,所以C正确;对于D,由x∈,可得2x-∈,根据正切函数的性质,可得函数f(x)在上单调递增,所以D正确.故选ACD.
拓展 解:(1)由f(x)=sin(ωx+φ)可知,点A的纵坐标为,
因为△ABC为等边三角形,所以BC=2,则函数f(x)的最小正周期T=4,所以ω==,所以f(x)=sin,则f=sin.
因为0<φ<π,所以<+φ<,
又y=f是偶函数,所以+φ=,
所以φ=,所以f(x)=sin.
(2)不等式f(x)≥即sin≥,
所以+2kπ≤x+≤+2kπ,k∈Z,
所以-+4k≤x≤1+4k,k∈Z,
所以实数x的取值范围是,k∈Z.
(3)令x+=+kπ,k∈Z,解得x=+2k,k∈Z,
所以f(x)图象的对称轴方程为x=+2k,k∈Z,所以y轴右侧的对称轴方程依次为x=,x=,x=,….
因为f(x)的图象在[0,m]上只有两条对称轴,所以≤m<,故m的取值范围为.
题型五
例7 (1)B (2)BCD [解析] (1)将正弦曲线y=sin x向左平移个单位长度得到曲线C1:y=sin,再将曲线C1上的每一点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)得到曲线C2:y=sin,最后将曲线C2上的每个点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)得到曲线C3:y=2sin.由题意知f(x)=2sin,当x∈时,2x+∈,则sin∈,则2sin∈[-1,2],故f(x)在区间上的取值范围是[-1,2].故选B.
(2)对于A,将C上所有的点向左平移个单位长度,得到y=sin=sin的图象,故A错误;对于B,将C上所有的点向右平移个单位长度,得到y=sin=sin的图象,故B正确;对于C,将C上所有点的纵坐标不变,横坐标伸长为原来的2倍,得到y=sin=sin的图象,故C正确;对于D,将C上所有点的横坐标不变,纵坐标伸长为原来的2倍,得到y=2sin的图象,故D正确.故选BCD.
变式 (1)D (2)C [解析] (1)将函数y=sin图象上各点的纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,得到y=sin=sin的图象,再将所得图象沿着x轴向右平移个单位长度,得到y=sin=sin 2x的图象.令2x=kπ,k∈Z,解得x=,k∈Z,即所得图象的对称中心为,k∈Z.当k=1时,对称中心为,令=,,,得k均不为整数.故选D.
(2)对于选项A,若f(x)=sin,则把函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,可得到y=sin的图象,再把所得图象向左平移个单位长度,得到g(x)=sin =sin=-cos的图象,由g=-cos≠0,得g(x)的图象不关于点对称,故A错误.对于选项B,若f(x)=sin,则把函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,可得到y=sin的图象,再把所得图象向左平移个单位长度,得到g(x)=sin=sin的图象,由g=sin≠0,得g(x)的图象不关于点对称,故B错误.对于选项C,若f(x)=sin,则把函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,可得到y=sin的图象,再把所得图象向左平移个单位长度,得到g(x)=sin=sin的图象,由g=sin 0=0,可知g(x)的图象关于点对称,故C正确.对于选项D,若f(x)=sin,则把函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,可得到y=sin的图象,再把所得图象向左平移个单位长度,得到g(x)=sin=sin的图象,由g=sin=sin≠0,得g(x)的图象不关于点对称,故D错误.故选C.
题型六
例8 解:(1)将f(x)=sin+的图象向下平移个单位长度,得到y=sin的图象,再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin的图象,再把所得图象向左平移个单位长度,可得g(x)=sin=sin的图象.
因为x∈[0,π],所以x+∈,
所以g(x)=sin∈,作出g(x)=sin在[0,π]上的图象和直线y=m,如图所示.
当方程g(x)=m有两个不等实根时,g(x)的图象与直线y=m有两个不同的交点,
由图可得≤m<1,故实数m的取值范围为.
(2)由题意可得h(x)=-sin2x+asin x+,
设t=sin x,t∈[-1,1],则函数h(x)等价于y=-t2+at+,由h(x)=0,得-t2+at+=0.
因为Δ=a2+2>0,所以-t2+at+=0有两个不等的实数根t1,t2(t1当a=时,t1=-,t2=1,此时关于x的方程t-sin x=0当x∈(0,2π]时恰有3个根,因为2022=674×3,所以nπ=674×2π=1348π,所以n=1348.
当a>时,因为-1-a+<0,-1+a+>0,t1t2=-<0,
所以-11,
此时关于x的方程t-sin x=0当x∈(0,2π]时恰有2个根,
因为2022=1011×2,所以nπ=1011×2π=2022π或nπ=1011×2π+π=2023π,所以n=2022或2023.
综上所述,n的可能取值为2022,2023,1348.
变式 解:(1)由题图可得A=,=-==,则T=π,所以ω===2,
又当x=时,f(x)取到最大值,所以2×+φ=+2kπ,k∈Z,
所以φ=+2kπ,k∈Z,
又0<φ<π,所以φ=,所以f(x)=sin.
(2)当x∈[π,m)(m>π)时,2x+∈,
因为函数f(x)在区间[π,m)(m>π)上存在最小值,所以2m+≤或2m+>,解得m≤或m>,
所以实数m的取值范围为∪.
(3)令t=2x+,由x∈,可得t∈.由题意得关于t的方程sin t-m=0当t∈时有两个不等实根.作出y=sin t在上的图象与直线y=m,如图所示.由图可知满足题意的m的取值范围是.
例9 解:(1)以月份x为横轴,月平均气温t为纵轴建立平面直角坐标系,按表格中的数据描点,并用光滑的曲线连接各散点,得到如图所示的曲线.由题意知月平均气温是以12为周期的函数,
因此我们可以考虑用t=Acos(ωx+φ)+k(A>0,ω>0)来描述t与x的关系.
由最高月平均气温为17.9 ℃,最低月平均气温为9.5 ℃,得A==4.2,k==13.7.
显然=12,故ω=.又当x=2时t取得最大值,所以可取2ω+φ=0,得φ=-2ω=-2×=-.
所以t=4.2cos+13.7(1≤x≤12,x∈N*).
(2)易知直线t=13.7与函数t=4.2cos+13.7的图象交于点(5,13.7),(11,13.7),这说明在每年的十一月初至第二年的五月末,惠灵顿市的月平均气温不低于13.7 ℃,此段时间是惠灵顿市的最佳旅游时间.
变式 解:(1)设H=Asin(ωt+φ)+B,由题意知解得
因为该摩天轮转一周需要30 min,即T=30,
所以ω==,则H=76sin+84.
因为游客甲在座舱转到最低点时进舱,所以当t=0时,H=-76+84=8,
所以8=76 sin φ+84,可得sin φ=-1,即φ=-,
所以H=76sin+84,0≤t≤30.
(2)当t=25时,H=76sin+84=46,
即游客甲在开始转动25 min时距离地面的高度为46 m.
(3)由题意可得76sin+84≥122,
则sin≥.
因为0≤t≤30,所以-≤t-≤,
所以≤t-≤,解得10≤t≤20,
则游客甲在摩天轮转动一周的过程中能俯瞰该市全景的时长为20-10=10(min).本章总结提升
◆ 题型一 任意角与弧度制、三角函数的概念
[类型总述] (1)终边相同的角的表示;(2)弧度制、弧长公式与扇形面积公式;(3)应用三角函数的概念求三角函数值;(4)利用各象限角的三角函数值的符号规律求角.
例1 (1)[2025·天津红桥区期末] 集合中所表示的角的终边所在范围用阴影部分表示为 ( )
(2)(多选题)[2025·山东新泰一中期中] 某日,分针长为6 cm的时钟从20:10走到20:35,分针转动的弧度为α,分针的针尖走过的弧长为l,则 ( )
A.α=- B.α=
C.l=5π cm D.l=6π cm
例2 已知角α的终边经过点P(3m-9,m+2).
(1)若m=2,求5sin α+3tan α的值;
(2)若cos α≤0,且sin α>0,求实数m的取值范围.
变式 (1)如图,在扇形OAB中,∠AOB=,OA=OB=2,给出下列说法:
①∠AOB=30°;
②线段AB的长等于;
③扇形OAB的周长为+4;
④扇形OAB的面积为.
其中正确说法的个数是 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
(2)(多选题)[2025·江苏无锡市北高级中学段测] 若角α是第二象限角,则下列说法正确的有 ( )
A.sin>0 B.tan>0
C.sin 2α<0 D.cos 2α<0
(3)已知角α的终边与单位圆交于点P,其中m<0.
①求实数m的值;
②求sin α,cos α,tan α的值.
◆ 题型二 同角三角函数的基本关系式和诱导公式的应用
[类型总述] (1)三角函数求值;(2)三角函数式的化简与证明.
例3 已知f(α)=.
(1)若角α的终边过点P(-12,5),求f(α);
(2)若f(α)=2,求4sin2α-3sin αcos α的值.
变式 (1)(多选题)设α∈(0,π),已知sin α,cos α是方程3x2-x-m=0的两根,则下列结论正确的是 ( )
A.m=-
B.sin α-cos α=
C.tan α=
D.cos2α-sin2α=-
(2)已知角α的终边上一点P的坐标是(m,2m),m≠0,则= .
◆ 题型三 复合三角函数的定义域与值域
[类型总述] (1)求复合三角函数的定义域;(2)求复合三角函数的值域.
角度1 定义域
例4 (1)函数f(x)=的定义域为 .
(2)函数y=lg(1+tan x)的定义域为 .
角度2 值域
例5 (1)函数y=-sin2x+4cos x-6的最小值是 ( )
A.-11 B.-10
C.-7 D.-2-
(2)函数y=tan2x-2tan x的值域为 .
◆ 题型四 三角函数的图象与性质
[类型总述] (1)根据图象求解析式;(2)根据解析式求最值、单调区间、对称轴、对称中心等.
例6 (1)[2022·新高考全国Ⅰ卷] 记函数f(x)=sin+b(ω>0)的最小正周期为T,若A.1 B.
C. D.3
(2)(多选题)[2024·新课标Ⅱ卷] 对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin,下列说法正确的有 ( )
A.f(x)与g(x)有相同的零点
B.f(x)与g(x)有相同的最大值
C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
(3)(多选题)已知函数f(x)=3cos,则下列结论正确的是 ( )
A.是f(x)的一个周期
B.f(x)的图象关于点对称
C.f为奇函数
D.f(x)在区间上的最大值为3
变式 (1)[2024·新课标Ⅰ卷] 当x∈[0,2π]时,曲线y=sin x与y=2sin的交点个数为 ( )
A.3 B.4
C.6 D.8
(2)(多选题)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则下列说法正确的是 ( )
A.f(x)的图象关于直线x=-π对称
B.f(x)在上单调递增
C.f是奇函数
D.将f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y=2sin的图象
(3)(多选题)[2024·浙江丽水期末] 已知函数f(x)=tan,则 ( )
A.f(x)的最小正周期是
B.f(x)的定义域是
C.f(x)的图象关于点对称
D.f(x)在上单调递增
拓展 [2024·江苏苏州高一期中] 已知函数f(x)=sin(ωx+φ),其中ω>0,0<φ<π.如图是函数f(x)在一个周期内的图象,A为图象的最高点,B,C为图象与x轴的交点,△ABC为等边三角形,且y=f是偶函数.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求使不等式f(x)≥成立的实数x的取值范围;
(3)若f(x)的图象在[0,m]上只有两条对称轴,求m的取值范围.
◆ 题型五 三角函数的图象变换
[类型总述] (1)三角函数图象的变换和解析式的确定;(2)通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质.
例7 (1)将正弦曲线y=sin x向左平移个单位长度得到曲线C1,再将曲线C1上的每一点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)得到曲线C2,最后将曲线C2上的每个点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)得到曲线C3.若曲线C3恰好是函数f(x)的图象,则f(x)在区间上的取值范围是 ( )
A.[-1,1] B.[-1,2]
C.[1,2] D.[-2,2]
(2)(多选题)[2025·湖南永州高一期末] 已知函数y=sin的图象为C,则下列结论正确的是 ( )
A.C上所有的点向左平移个单位长度得到函数y=sin的图象
B.C上所有的点向右平移个单位长度得到函数y=sin的图象
C.C上所有点的纵坐标不变,横坐标伸长为原来的2倍得到函数y=sin的图象
D.C上所有点的横坐标不变,纵坐标伸长为原来的2倍得到函数y=2sin的图象
变式 (1)将函数y=sin图象上各点的纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,再沿着x轴向右平移个单位长度,得到的函数图象的一个对称中心点可以是 ( )
A. B.
C. D.
(2)把函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把所得图象向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,且g(x)的图象关于点对称,则函数f(x)的解析式可能是 ( )
A.f(x)=sin
B.f(x)=sin
C.f(x)=sin
D.f(x)=sin
◆ 题型六 三角函数的综合应用
[类型总述] (1)三角函数模型的应用;(2)求关于方程的根的问题.
例8 将函数f(x)=sin+的图象进行如下变换:向下平移个单位长度→将所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)→向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图象.
(1)当x∈[0,π]时,方程g(x)=m有两个不等的实根x1,x2,求实数m的取值范围;
(2)若函数h(x)=-+a·g+,且方程h(x)=0在区间(0,nπ)(n∈N*)内恰有2022个根,求n的所有可能取值.
变式 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若f(x)在区间[π,m)(m>π)上存在最小值,求实数m的取值范围;
(3)若关于x的方程f(x)-m=0当x∈时有两个不等实根,求m的取值范围.
例9 当我们所处的北半球为冬季的时候,新西兰的惠灵顿市恰好是夏季,因此北半球的人们冬天愿意去那里旅游.下面是惠灵顿市的月平均气温t(单位:℃)关于月份x的一组数据.
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
t 17.3 17.9 17.3 15.8 13.7 11.6 10.06 9.5 10.06 11.6 13.7 15.8
(1)根据这个统计表提供的数据,建立一个t关于x的函数模型;
(2)当月平均气温不低于13.7 ℃时,惠灵顿市最适宜旅游,试根据你所确定的函数模型,确定惠灵顿市的最佳旅游时间.
变式 [2025·河南新乡高一期末] 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施,游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转,可以从高处俯瞰四周景色.某市的摩天轮最高点距离地面160 m,转盘直径为152 m,设有60个座舱,开启后按逆时针方向匀速转动,游客在座舱转到最低点时进舱,转一周需要30 min.游客甲坐上摩天轮的座舱,开始转动t min时,距离地面的高度为H m.
(1)在转动一周的过程中,求H关于t的函数关系式;
(2)求游客甲在开始转动25 min时距离地面的高度;
(3)当游客距离地面的高度不低于122 m时,可以俯瞰该市的全景,求游客甲在摩天轮转动一周的过程中能俯瞰该市全景的时长.(共72张PPT)
本章总结提升
题型一 任意角与弧度制、三角函数的概念
题型二 同角三角函数的基本关系式和诱导公式
的应用
题型三 复合三角函数的定义域与值域
题型四 三角函数的图象与性质
题型五 三角函数的图象变换
题型六 三角函数的综合应用
答案核查
题型一 任意角与弧度制、三角函数的概念
［类型总述］（1）终边相同的角的表示；（2）弧度制、弧长公式
与扇形面积公式；（3）应用三角函数的概念求三角函数值;（4）利
用各象限角的三角函数值的符号规律求角.
例1（1）［2025·天津红桥区期末］集合
中所表示的角的终边所在范围用阴影部分表示为( )
A. B. C. D.
[解析] 当时， .
当时， .故选C.
√
（2）（多选题）［2025·山东新泰一中期中］ 某日，分针长为
的时钟从20:10走到，分针转动的弧度为 ，分针的针尖走过
的弧长为 ，则( )
A. B. C. D.
[解析] 因为分针是按照顺时针方向旋转的，所以转动的弧度为负数，
可得.
由分针长为 ，可得弧长.故选 .
√
√
例2 已知角 的终边经过点 .
（1）若，求 的值；
解：若，则，所以，， ，所以
， ，
故 .
（2）若，且，求实数 的取值范围.
解：由题意知，， ，
则，，所以
解得，即实数的取值范围为 .
变式（1）如图，在扇形中， ，
，给出下列说法：
① ；
②线段的长等于 ；
③扇形的周长为 ；
④扇形的面积为 .
其中正确说法的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
√
[解析] ，化成角度制为 ，所以①不
正确；
因为，且 ，所以
为等边三角形，所以，即线段 的
长为2，所以②不正确；
由扇形的弧长公式，可得的长为，所以扇形的周长
为 ，所以③正确；
由扇形的面积公式，可得扇形 的面积 ，所以
④不正确.故选A.
（2）（多选题）［2025·江苏无锡市北高级中学段测］ 若角 是第
二象限角，则下列说法正确的有( )
A. B. C. D.
√
√
[解析] 因为角 是第二象限角，所以 ，
，所以， ， ，
，所以当为偶数时， 是第一象限角，当为奇数时，是第三
象限角， 是第三象限角或第四象限角或终边位于轴的非正半轴
上的角，所以， ，B，C正确；
当是第三象限角时，，A错误；
当 是第四象限角时，，D错误.故选 .
（3）已知角 的终边与单位圆交于点，其中 .
①求实数 的值；
解：由角 的终边与单位圆交于点，得 ，
又，所以 .
②求 , , 的值.
解：因为角 的终边与单位圆交于点 ，
所以,, .
题型二 同角三角函数的基本关系式和诱导公式的应用
［类型总述］（1）三角函数求值;（2）三角函数式的化简与证明.
例3 已知 .
（1）若角 的终边过点,求 ；
解：
，
因为角 的终边过点，所以，所以 .
例3 已知 .
（2）若，求 的值.
解：因为，所以 ，
所以
.
变式（1）（多选题）设，已知 ， 是方程
的两根，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] 对于A，由 ， 是方程 的两根，得
由，得 ，即
，解得 ，则
，解得 ，故A错误；
对于B，
，因为，所以，又 ，
所以 ，则，因此 ，
故B正确；
对于C，由解得 则
，故C错误；
对于D，
，故D正确.故选 .
（2）已知角 的终边上一点的坐标是， ，则
____.
[解析] 由角 的终边上一点的坐标是，可得 ，则
.
题型三 复合三角函数的定义域与值域
［类型总述］（1）求复合三角函数的定义域;（2）求复合三角函数
的值域.
角度1 定义域
例4（1）函数 的定义域为_________________
______.
,
[解析] 要使函数有意义,则需满足 ,即
,即, 函数 的定义域为
, .
（2）函数 的定义域为________________________.
，
[解析] 由题意得，即 ，故
， .
角度2 值域
例5（1）函数 的最小值是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为
，所以当时， ，故选B.
√
（2）函数 的值域为_____________.
[解析] 令，， 由正切函数的单调性可知
， 原函数可化为，，
二次函数 的图象开口向上，所在抛物线
的对称轴为， 当时，，当 时，
， 原函数的值域为 .
题型四 三角函数的图象与性质
［类型总述］（1）根据图象求解析式;（2）根据解析式求最值、单
调区间、对称轴、对称中心等.
例6（1）［2022·新高考全国Ⅰ卷］记函数
的最小正周期为，若 ,且
的图象关于点中心对称，则 ( )
A.1 B. C. D.3
√
[解析] 因为 ,即 ，所以 .
因为的图象关于点中心对称，所以 ，且
， ,解得,,
又 ，所以,,所以 ，所以
.
（2）（多选题）［2024· 新课标Ⅱ卷］ 对于函数 和
,下列说法正确的有( )
A.与 有相同的零点
B.与 有相同的最大值
C.与 有相同的最小正周期
D.与 的图象有相同的对称轴
√
√
[解析] 方法一：的最小正周期为 ,最大值为1， 的最
小正周期为 ,最大值为1，故B，C均正确；
因为,所以将 的图象向
右平移个单位长度可得的图象，又，所以与
的零点不相同，与 的图象的对称轴不相同，故A，D均
不正确.故选 .
方法二：的最小正周期为 ,最大值为1， 的最小正周
期为 ,最大值为1，故B，C均正确；
令 ,得,,令,得
,,故 与的零点不相同，A不正确；
令,,得 , ,令,,得
,,故与 的图象的对称轴不相同，D不正确.
故选 .
（3）（多选题）已知函数 ，则下列结论正确的
是( )
A.是 的一个周期
B.的图象关于点 对称
C. 为奇函数
D.在区间 上的最大值为3
√
√
[解析] 对于A，函数 的最小正周期为， 故A错误；
对于B，因为，所以 的
图象关于点 对称，故B正确；
对于C， 不是奇函数，
故C错误；
对于D,当时，，所以当 ，
即时，取得最大值3，故D正确.故选 .
变式（1）［2024· 新课标Ⅰ卷］当时，曲线 与
的交点个数为( )
A.3 B.4 C.6 D.8
[解析] 画出函数与在 上的图象，如
图所示，
由图可知两曲线共有6个交点.故选C.
√
（2）（多选题）已知函数
的部分
图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A.的图象关于直线 对称
B.在 上单调递增
C. 是奇函数
D.将 图象上所有点的横坐标变为原来的2倍
（纵坐标不变），得到函数 的图象
√
√
√
[解析] 由题图可得，，函数 的最小正周期
，故 ，则
，
又 ，即，
所以 ， ，所以 ，，
又，所以 ，所以 .
对于A选项， ，
所以直线 为函数 图象的一条对称轴，故A正确；
对于B选项，由 ，得 ，
所以函数在 上不单调，故B错误；
对于C选项，
为奇函数，故C正确；
对于D选项，因为 ，所以将
的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数
的图象，故D正确.故选 .
（3）（多选题）［2024·浙江丽水期末］ 已知函数
，则( )
A.的最小正周期是
B.的定义域是
C.的图象关于点 对称
D.在 上单调递增
√
√
√
[解析] 对于A，因为，所以 的最小正周期
，所以A正确；
对于B，令 , ，解得,，则函数
的定义域为 ，所以B不正确；
对于C，令,，解得, ，当时，
可得，所以函数的图象关于点 对称，所以C正确；
对于D，由，可得 ，根据正切函数的性质，
可得函数在 上单调递增，所以D正确.故选 .
拓展 ［2024·江苏苏州高一期中］ 已知函数
，其中, .如
图是函数在一个周期内的图象， 为图象的最
高点，,为图象与轴的交点， 为等边三
角形，且 是偶函数.
（1）求函数 的解析式；
解：由可知，点 的纵坐标
为 ，
因为为等边三角形，所以 ，则函数
的最小正周期，所以 ，所以
,则 .
因为 ，所以 ，
又是偶函数，所以 ，
所以，所以 .
拓展 ［2024·江苏苏州高一期中］ 已知函数
，其中, .如
图是函数在一个周期内的图象， 为图象的最
高点，,为图象与轴的交点， 为等边三
角形，且 是偶函数.
（2）求使不等式成立的实数 的取值范围；
解：不等式即 ，
所以 , ，
所以, ，
所以实数的取值范围是， .
拓展 ［2024·江苏苏州高一期中］ 已知函数
，其中, .如
图是函数在一个周期内的图象， 为图象的最
高点，,为图象与轴的交点， 为等边三
角形，且 是偶函数.
（3）若的图象在上只有两条对称轴，求 的取值范围.
解：令 ,，解得 ,
，
所以图象的对称轴方程为, ，所
以轴右侧的对称轴方程依次为,，， .
因为的图象在上只有两条对称轴，所以，故
的取值范围为 .
题型五 三角函数的图象变换
［类型总述］（1）三角函数图象的变换和解析式的确定;（2）通过
对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质.
例7（1）将正弦曲线向左平移个单位长度得到曲线 ，再
将曲线上的每一点的横坐标变为原来的 （纵坐标不变）得到曲线
，最后将曲线 上的每个点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变）
得到曲线.若曲线恰好是函数的图象，则在区间 上
的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 将正弦曲线向左平移 个单位长度得到曲线
，再将曲线上的每一点的横坐标变为原来的
（纵坐标不变）得到曲线，最后将曲线 上的每
个点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变）得到曲线
.
由题意知，当 时，，
则，则 ，故在区间
上的取值范围是 .故选B.
（2）（多选题）［2025·湖南永州高一期末］ 已知函数
的图象为 ，则下列结论正确的是( )
A.上所有的点向左平移个单位长度得到函数 的图象
B.上所有的点向右平移个单位长度得到函数 的图象
C. 上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍得到函数
的图象
D. 上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到函数
的图象
√
√
√
[解析] 对于A，将上所有的点向左平移 个单位长度，得到
的图象，故A错误；
对于B，将上所有的点向右平移 个单位长度，得到
的图象，故B正确；
对于C，将 上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到
的图象，故C正确；
对于D，将 上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到
的图象，故D正确.故选 .
变式（1）将函数 图象上各点的纵坐标不变，横坐标
变为原来的2倍，再沿着轴向右平移 个单位长度，得到的函数图象
的一个对称中心点可以是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 将函数 图象上各点的纵坐标不变，横坐标变
为原来的2倍，得到 的图象，再将
所得图象沿着轴向右平移 个单位长度，得到
的图象.
令 ， ，解得，，即所得图象的对称中心为
，.当 时，对称中心为，令,,，得 均
不为整数.故选D.
（2）把函数 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标
不变，再把所得图象向左平移个单位长度，得到函数 的图象，
且的图象关于点对称，则函数 的解析式可能是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 对于选项A，若，则把函数 图象上所
有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得到
的图象，再把所得图象向左平移 个单位长度，得到
的图象，由
，得的图象不关于点 对称，故A错误.
对于选项B，若，则把函数 图象上所有点的横
坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得到 的图象，
再把所得图象向左平移 个单位长度，得到
的图象，由，得的图象不关于
点 对称，故B错误.
对于选项C，若，则把函数 图象上所有点
的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得到 的
图象，再把所得图象向左平移 个单位长度，得到
的图象，
由 ，可知的图象关于点 对称，故C正确.
对于选项D，若，则把函数 图象上所有点的
横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得到 的图象，
再把所得图象向左平移个单位长度，得到
的图象，由，得 的图象
不关于点 对称，故D错误.故选C.
题型六 三角函数的综合应用
［类型总述］（1）三角函数模型的应用;（2）求关于方程的根的问题.
例8 将函数的图象进行如下变换：向下平移
个单位长度 将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）
向左平移个单位长度，得到函数 的图象.
（1）当时，方程有两个不等的实根, ，求实
数 的取值范围；
解：将的图象向下平移 个单位长度，得到
的图象，
再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
得到 的图象，
再把所得图象向左平移个单位长度，可得
的图象.
因为，所以 ， 所以 ，
作出在 上的图象和直线 ,如图所示.
当方程有两个不等实根时， 的图
象与直线 有两个不同的交点，
由图可得，故实数的取值范围为 .
例8 将函数的图象进行如下变换：向下平移
个单位长度 将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）
向左平移个单位长度，得到函数 的图象.
（2）若函数 ，且方程
在区间内恰有2022个根，求 的所有可能取值.
解：由题意可得 ，设，，
则函数 等价于，
由，得 .
因为，所以有两个不等的实数根 ,
.
当时，,，此时关于的方程 当
时恰有3个根，
因为 ，
所以 ，所以 .
当时，因为，， ，
所以， ，
此时关于的方程当 时恰有2个根，
因为，所以 或
，所以 或2023.
综上所述， 的可能取值为2022，2023，1348.
变式 已知函数
的
部分图象如图所示.
（1）求 的解析式；
解：由题图可得， ，
则 ，所以 ，
又当时，取到最大值，所以 , ，
所以 , ，
又 ，所以，所以 .
变式 已知函数
的
部分图象如图所示.
（2）若在区间 上存在最小值，
求实数 的取值范围；
解：当时， ，
因为函数在区间 上存在最小值，所以
或，解得或 ，
所以实数的取值范围为 .
变式 已知函数 的部分
图象如图所示.
（3）若关于的方程当 时有两个不等实根,求
的取值范围.
解：令，由 ，可得
.
由题意得关于 的方程
当 时有两个不等实根.
作出在 上的图象与直线，如图所示.
由图可知满足题意的 的取值范围是 .
例9 当我们所处的北半球为冬季的时候，新西兰的惠灵顿市恰好是
夏季，因此北半球的人们冬天愿意去那里旅游.下面是惠灵顿市的月
平均气温（单位：）关于月份 的一组数据.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
17.3 17.9 17.3 15.8 13.7 11.6 10.06 9.5 10.06 11.6 13.7 15.8
（1）根据这个统计表提供的数据，建立一个关于 的函数模型；
解：以月份为横轴，月平均气温 为纵轴建立平
面直角坐标系，按表格中的数据描点，并用光滑
的曲线连接各散点，得到如图所示的曲线.
由题意知月平均气温是以12为周期的函数，
因此我们可以考虑用
来描述与 的关系.
由最高月平均气温为，最低月平均气温为 ，得
， .
显然，故.
又当时 取得最大值，所以可取 ，
得 .
所以 .
例9 当我们所处的北半球为冬季的时候，新西兰的惠灵顿市恰好是
夏季，因此北半球的人们冬天愿意去那里旅游.下面是惠灵顿市的月
平均气温（单位：）关于月份 的一组数据.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
17.3 17.9 17.3 15.8 13.7 11.6 10.06 9.5 10.06 11.6 13.7 15.8
（2）当月平均气温不低于 时，惠灵顿市最适宜旅游，试根据
你所确定的函数模型，确定惠灵顿市的最佳旅游时间.
解：易知直线与函数 的图象交于点
， ，
这说明在每年的十一月初至第二年的五月末，惠灵顿市的月平均气温
不低于 ，此段时间是惠灵顿市的最佳旅游时间.
变式 ［2025· 河南新乡高一期末］ 摩天轮是一种大型转轮状的机
械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处
俯瞰四周景色.某市的摩天轮最高点距离地面 ，转盘直径为
，设有60个座舱，开启后按逆时针方向匀速转动，游客在座舱
转到最低点时进舱，转一周需要 .游客甲坐上摩天轮的座舱，
开始转动时，距离地面的高度为 .
（1）在转动一周的过程中，求关于 的函数关系式；
解：设，由题意知解得
因为该摩天轮转一周需要，即 ，
所以，则 .
因为游客甲在座舱转到最低点时进舱，所以当 时，
，
所以，可得，即 ，
所以， .
变式 ［2025· 河南新乡高一期末］ 摩天轮是一种大型转轮状的机
械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处
俯瞰四周景色.某市的摩天轮最高点距离地面 ，转盘直径为
，设有60个座舱，开启后按逆时针方向匀速转动，游客在座舱
转到最低点时进舱，转一周需要 .游客甲坐上摩天轮的座舱，
开始转动时，距离地面的高度为 .
（2）求游客甲在开始转动 时距离地面的高度；
解：当时， ，
即游客甲在开始转动时距离地面的高度为 .
变式 ［2025· 河南新乡高一期末］ 摩天轮是一种大型转轮状的机
械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处
俯瞰四周景色.某市的摩天轮最高点距离地面 ，转盘直径为
，设有60个座舱，开启后按逆时针方向匀速转动，游客在座舱
转到最低点时进舱，转一周需要 .游客甲坐上摩天轮的座舱，
开始转动时，距离地面的高度为 .
（3）当游客距离地面的高度不低于 时，可以俯瞰该市的全景，
求游客甲在摩天轮转动一周的过程中能俯瞰该市全景的时长.
解：由题意可得 ，
则 .
因为，所以 ，
所以，解得 ，
则游客甲在摩天轮转动一周的过程中能俯瞰该市全景的时长为
.
快速核答案
题型一 例1 （1）C （2）AC 例2 （1）（2）>
变式 （1）A （2）BC （3）① ②,,
题型三 角度1 例4 （1）, （2），
角度2 例5 （1）B （2）
题型四 例6 （1）A （2）BC （3）BD 变式 （1）C （2）ACD （3）ACD
拓展 （1） （2）>，（3）
题型五 例7 （1）B （2）BCD 变式 （1）D （2）C
题型六 例8 （1） （2）的可能取值为2022，2023，1348
变式（1）（2）（3）
.
（2）每年的十一月初至第二年的五月末是惠灵顿市的最佳旅游时间
变式 （1），（2）（3）
