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微突破（三） 三角函数中 的取值范围
问题
类型一 根据单调性求的取值范围
类型二 根据图象平移求的取值范围
类型三 根据对称性求的取值范围
类型四 根据最值求的取值范围
类型五 根据零点求的取值范围
类型六 结合函数性质求的取值范围
◆
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
三角函数是高考的必考考点，而函数中
的取值范围问题也是热门考点.函数 的最小正周期
，即，也就是说只要确定了周期 ，就可以确
定 的取值.
类型一 根据单调性求 的取值范围
已知函数在 上单调递增
（或单调递减），求 的取值范围的方法：
首先，根据题意可知区间 的长度不大于该函数最小正周
期的一半，即，求得 .其次，以单调
递增为例，利用， ，
解得 的范围.最后，结合第一步求出的 的取值范围对 进行赋值，
从而求出 的具体取值范围.
例1（1）已知函数在 上单调递增，
在上单调递减，则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
[解析] 当时，可得，因为在
上单调递增，所以，可得.
当 时，可得，因为 ，
所以，，
因为在 上单调递减，所以只需满足，得.
综上， .故选C.
√
（2）已知函数是 上的奇函
数，且在区间上单调递增，则 的最大值是__.
[解析] 因为是上的奇函数，所以 ,
又 ，所以.
因为在 上单调递增,所以，
于是解得 ，所以 的最大值为 .
变式（1）已知，函数在 上单调递减，
则 的最大值为____.
10
[解析] 因为，所以，
又 在上单调递减，所以 ，
解得，，
又 ，所以，解得，，
则 或1.
当时，，当时，.
所以 的最大值为10.
（2）已知函数，函数在区间 内
不单调，则 的取值范围是_________.
[解析] 因为，所以，
又函数 在区间内不单调，所以，解得，
则 的取值范围是 .
类型二 根据图象平移求 的取值范围
1.平移后与原图象重合
思路1：平移长度即为原函数周期的整倍数；
思路2：平移前的图象对应的函数与平移后的图象对应的函数的解析
式相同.
2.平移后的函数与原函数的图象关于轴对称： .
3.平移后过定点：将定点坐标代入平移后的函数解析式中.
例2（1）若将函数的图象向左平移 个单
位长度得到的图象与的图象完全重合，则 的最小值为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
[解析] 由题意知是函数 的最小正周期的正整数倍，所以
，所以，所以正数 的最小值为4.
故选B.
√
（2）把函数的图象向右平移 个单位长
度，得到的函数图象关于点对称，则 的最小值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 函数的图象向右平移 个单位长度，
可得的图象，
因为 是其对称中心，所以 ,，
所以, ，又，所以 的最小值为3.
√
变式（1）已知函数 的图象向左
平移个单位长度所得图象与的图象重合，则实数 的最小值
是( )
A. B. C. D.8
[解析] 由题可知， 是该函数的最小正周期的正整数倍，即
,，解得,，
又，所以 的最小值为 .故选B.
√
（2）函数的图象向左平移 个单位长度
所得图象与的图象关于轴对称，则 的最小值是( )
A.1 B.2 C.4 D.6
√
[解析] 函数的图象向左平移 个单位长度
得到 的图象，
依题意得对任意 恒成立，
即对任意 恒成立，
则 ,，解得,，而，则 的最
小值为2.
类型三 根据对称性求 的取值范围
（1）函数 图象的两条相邻的对
称轴或两个相邻对称中心之间的距离为 ，相邻对称轴和对称中心之
间的距离为 ，也就是说，我们可以根据三角函数的对称性来研究其
周期性，进而可以研究 的值或取值范围.
（2）三角函数图象的对称轴必经过图象的最高点或最低点，图象的
对称中心就是图象与 轴的交点，我们可以利用函数的最值、对称中
心之间的关系来确定函数的周期，进而确定 的值或取值范围.
例3（1）［2025·江苏常州期中］已知函数 的
最小正周期为.若 ，且曲线关于点 中心
对称，则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 的最小正周期，由 ，得
，解得.
因为曲线关于点 中心对称，所以，
化简可得 .
当时，，显然当时， ，所以
，则 .故选B.
（2）函数,，若对任意
恒成立，且的图象在上恰有3条对称轴，则 ( )
A. B. C. D.或
[解析] 由题知，当 时 取得最大值，即
，所以 , ，即
,.
又的图象在 上恰有3条对称轴，所以，
则 ，所以 ，所以 .故选B.
√
变式（1）已知函数与 的图象关
于直线对称，则 的最小值为( )
A. B. C. D.1
[解析] 由题意得对任意 恒成立，所以
对任意 恒成立，
由三角函数的诱导公式可得 ,，
所以,，
又 ，所以 的最小值为 .故选C.
√
（2）［2025·天津一中高一期末］已知函数
图象的一条对称轴为，当 取最
小正数和最大负数时，得到的函数分别为与 ，则这
两个函数最小正周期的差为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为函数 图象的一条对称轴为
，所以，则 ，
所以，，则, ，
所以这两个函数最小正周期的差为 .故选D.
类型四 根据最值求 的取值范围
若，则为的最大值点；若，则
为 的最小值点.最大值点与最小值点统称为最值点.
1.对于函数，最大值点 满足
；最小值点 满足
.
2.对于函数，最大值点 满足
；最小值点满足 .
例4（1）函数在区间 上恰有2个最值点，则
的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，所以 ，
因为函数在区间 上恰有2个最值点，所以
，解得 ，故选D.
√
（2）已知函数，若，且 在
上有最大值点，没有最小值点，则 的最大值为____.
17
[解析] 由，且在 上有最大值，没有最小值，可得
，
又，所以.
因为 在 上有最大值点，没有最小值点，所以
，解得，
又 ，所以或17，故 的最大值为17.
变式（1）已知函数，若函数 在
上有且仅有两个最大值点，则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
[解析] 当时， .
因为在 上有且仅有两个最大值点，
所以，解得，即 的取值范围为 .
故选B.
√
（2）已知函数，点 为
函数图象的一个对称中心，当时，函数 取得最值，且
函数在上单调递增，则 的值为__.
[解析] 因为为 图象的一个对称中心，所以
，.
因为当时，函数 取得最值，所以 ，
得，,，即,
, .
因为函数在上单调递增，所以 ，可得.
当时，， ，因
为函数在处取得最小值，所以 ， ，
则 ，，不满足 ，所以 .
当时，，，因为函数在 处
取得最小值，所以 ， ，则 ，
，因为 ，所以 ，满足题目要求.
综上可得 .
类型五 根据零点求 的取值范围
我们把使函数的值为0的实数称为函数 的零
点.对于，满足 ，
的实数 为该函数的零点；对于
，满足 ， 的
实数 为该函数的零点.
例5（1）已知函数在 上有且仅有2
个零点，则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
[解析] 当时，.
因为在 上有且仅有2个零点，所以，
解得 .故选C.
√
（2）已知函数，若在 上有且
仅有3个零点，则实数 的取值范围是________.
[解析] 当时，，
因为在 上有且仅有3个零点，所以 ，解
得 ，则实数 的取值范围是 .
变式（1）已知函数在 内恰有两个
零点，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 由 ,，得，
由 在内恰有两个零点，得，解得
，所以 的取值范围是 .故选D.
√
（2）［2025·河北邢台邢襄联盟联考］已知函数
在区间上有且仅有3个零点，则
的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为 ，所以 ，
令，则由题意得关于的方程 在
上有3个根，所以，解得，则 的取
值范围是 .故选A.
√
类型六 结合函数性质求 的取值范围
利用函数的单调性、最值、奇偶性及对称性等知识结合函数
的性质，得到关于 的不等式或方程
（组），从而得出结论.
例6（1）已知函数在 上存在最值，
且在上单调，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为，所以当时， ，
因为函数在上存在最值，所以，解得 .
当 时，，因为函数 在
上单调，所以 ，所
以其中 ，
解得，所以，解得 ，
又因为，所以.
当时，；当 时，；
当时，.
又因为，所以 的取值范围是 .故选C.
（2）已知函数 为偶函数，
在上单调递减，且在该区间上没有零点，则 的取值范围为
( )
A. B. C. D.
[解析] 因为函数 为偶函数，
所以.
由，得，
因为 在上单调递减，且在该区间上没有零点，所以
，解得，则 的取值范围为 .故选D.
√
变式 （多选题）已知函数 ，
下列说法正确的是( )
A.若在区间上单调，则
B.将函数的图象向左平移个单位长度得到函数 的图象，若
为偶函数，则 的最小值为
C.若函数在区间上恰有三个最值点，则
D.若关于的方程在 上有两个不同的解，则
√
√
[解析] 对于A，由，得 ，因为
在区间上单调，所以 ，解得
，.由, ，可得
，故A错误.
对于B，函数的图象向左平移 个单位长度，得到
的图象，
因为为偶函数，所以 ,，即 ，
，由,，可得 的最小值为 ，故B错误.
对于C，当时，，因为函数在区间
上恰有三个最值点，所以，解得 ，
故C正确.
对于D，由,得 ，则
.因为方程在 上有两个不同的解，
所以关于的方程在 上有两个不同的解，由
，得，则需满足 ，
则，故D正确.故选 .
练习册
1.将函数的图象向左平移 个单位长度得到的图象
关于轴对称，则 的值可能是( )
A.5 B.8 C.11 D.13
[解析] 依题意得 为偶函
数，则，，即,.
当 时， ，D正确，其他选项均不正确.故选D.
√
2.若函数在区间 上有且仅有5个零点，
则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 由 ，，得， ，所以函数
在上由小到大的第5个零点为 ，第6个零
点为，由题意知解得 ，故选D.
√
3.将函数的图象向右平移 个单位长度得
到函数的图象，若函数在区间上单调递减，则 的最
大值为( )
A.6 B.5 C.3 D.2
[解析] 由题可知， ，
当时，.
因为在区间 上单调递减，所以 ，所以，
则 的最大值为5.故选B.
√
4.已知函数，若方程 在区间
上恰有3个实数根，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 由，可得，当 时，
.
因为方程在区间 上恰有3个实数根，所以
，解得，所以 的取值范围是 .
故选C.
√
5.已知函数在 上有且仅有2个最小
值点，且在上单调递增，则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 当时，，因为在 上有
且仅有2个最小值点，所以 ，则 .
因为，所以，
又在 上单调递增，，
所以解得 ，所以 ，故选D.
6.设函数在区间 上恰有三个最值点、
两个零点，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 由，，得 ，因为函数
在区间 上恰有三个最值点、两个零点，所以
，可得 .故选C.
√
7.已知函数在区间内没有零点，则 的
取值范围为_ ___________.
[解析] 令，得 ，，所以， ，
因为在区间内没有零点，所以只需且 ，
解得，.
当时， ，不等式无解.
令，得.令，得 ，
因为，所以 的取值范围为 .
8.已知，函数在上单调递减，则
的取值范围是_ _________；若 为正整数，当 时，曲线
与 图象交点的个数为___.
[解析] 由 ，得.
函数在 上单调递减，
，解得, .
由题意得，，取 ，得
.
若 为正整数，则 ，，
则 ，
作出与在 上
的函数图象，如图所示，
由图可知，曲线与 图象交点的个数为6.
9.（13分）已知 .
（1）若函数的周期为 ，求 的减区间；
解：因为函数的周期 ,所以 ,解得 ，
所以 .
令 , ，解得
, ，
所以函数的减区间为, .
9.（13分）已知 .
（2）若函数在区间 上有且仅有两个
零点，求 的取值范围.
解： , 由,得 ，
因为在上有且仅有两个零点，所以 ，解
得 ，所以 的取值范围是 .
10.（13分）已知函数 的图象经
过点 .
（1）求 的值；
解：因为函数 的图象经过点
，所以 ，
又，所以 .
10.（13分）已知函数 的图象经
过点 .
（2）若函数的图象关于直线对称，求正实数 的最小值；
解：由（1）知 .
因为函数的图象关于直线 对称，
所以 ，
又，所以，所以 的最小值为1.
10.（13分）已知函数 的图象经
过点 .
（3）若在上单调递增，求实数 的取值范围.
解：当时，，因为在 上单调递
增，所以，所以，可得 ，
则实数 的取值范围为 .
11.已知函数在 上有且仅有4个零点，
直线为函数图象的一条对称轴，则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为，且，所以 ，
由题意可得 ，解得.
因为直线 为函数图象的一条对称轴，所以,
，解得,.
由①②得，则 ，所以
.故选A.
12.（多选题）设函数，已知 的图象
在区间 上有且仅有5个对称中心，则( )
A.在区间 上有且仅有2个最大值点
B.在区间 上有且仅有3个最小值点
C.在区间 上单调递减
D. 的取值范围是
√
√
[解析] 由 ，，得 ，因为
的图象在区间 上有且仅有5个对称中心，所
以，解得 ，所以D错误.
由上述分析可 知
对于A，由 或 ，得或 ，则
在 上有且仅有2个最大值点，所以A正确.
对于B，当 ,即时， ，由
或 ，得或，则此时 在
上有且仅有2个最小值点，所以B错误.
对于C，因为，所以当时， ,则
，所以在区间 上单调递减，所以C正确.
故选 .
13.（多选题）已知函数 ，则下列说法正确的有
( )
A.若的图象在上的取值范围为，则 的取值范围是
B.若的图象在上恰有一条对称轴，则 的取值范围是
C.若在上单调递增，则 的取值范围是
D.若在上有且只有两个不同的零点，则 的取值范围是
√
√
√
[解析] 对于A，由，，得 ，又
的取值范围为，所以，得 ，A正确.
对于B，由，得，因为的图象在 上恰
有一条对称轴，所以，得 ，B错误.
对于C，由，得，因为函数在
上单调递增，，所以得 ，C正确.
对于D，由 ，得，因为在 上有且只有
两个不同的零点，所以 ，得，D正确.故选 .
14.已知函数的图象过点 ，
且在区间内不存在最值，则 的取值范围是____________.
[解析] 函数的图象过点 ，
，即，
又， ，.
令 ,，可得 , ，
当,时，函数 取得最值，
在区间内不存在最值， ，解
得,.
当时， 不存在；当 时，，又，
；当时， ；当时， 不存在.
综上可得 的取值范围是 .
快速核答案（导学案）
类型一 例1 （1）C （2） 变式 （1）10 （2）
类型二 例2 （1）B （2）C 变式 （1）B （2）B
类型三 例3 （1）B （2）B 变式 （1）C （2）D
类型四 例4 （1）D （2）17 变式 （1）B （2）
类型五 例5 （1）C （2） 变式 （1）D （2）A
类型六 例6 （1）C （2）D 变式 CD
练习册
基础巩固
1.D 2.D 3.B 4.C 5.D 6.C 7. 8.
9.（1）的减区间为, （2）
10.（1）（2）1（3）
综合提升
11.A 12.AC 13.ACD 14.微突破(三) 三角函数中的ω的取值范围问题
类型一
例1 (1)C (2) [解析] (1)当x∈时,可得ωx+∈,因为f(x)在上单调递增,所以ω+≤,可得0<ω≤2.当x∈时,可得ωx+∈,因为0<ω≤2,所以<ω+≤,<ω+≤,因为f(x)在上单调递减,所以只需满足ω+≥,得ω≥1.综上,1≤ω≤2.故选C.
(2)因为f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=sin φ=0,又0≤φ<π,所以φ=0.因为f(x)=sin ωx在上单调递增,所以 ,于是解得0<ω≤,所以ω的最大值为.
变式 (1)10 (2) [解析] (1)因为x∈,所以ωx+∈,又f(x)在上单调递减,所以k∈Z,解得+8k≤ω≤4+6k,k∈Z,又ω∈N+,所以k∈Z,解得-≤k≤,k∈Z,则k=0或1.当k=0时,ω∈,当k=1时,ω∈.所以ω的最大值为10.
(2)因为x∈(0,1),所以ωx-∈,又函数f(x)在区间(0,1)内不单调,所以ω->,解得ω>,则ω的取值范围是.
类型二
例2 (1)B (2)C [解析] (1)由题意知是函数f(x)的最小正周期的正整数倍,所以=·k(k∈N*),所以ω=4k(k∈N*),所以正数ω的最小值为4.故选B.
(2)函数f(x)=sin(ω>0)的图象向右平移个单位长度,可得y=f=sin的图象,因为是其对称中心,所以ω·-ω+=kπ,k∈Z,所以ω=-1+4k,k∈Z,又ω>0,所以ω的最小值为3.
变式 (1)B (2)B [解析] (1)由题可知,是该函数的最小正周期的正整数倍,即=×k,k∈N*,解得ω=,k∈N*,又ω>0,所以ω的最小值为.故选B.
(2)函数f(x)=cos(ω>0)的图象向左平移个单位长度得到y=cos的图象,依题意得cos=-cos对任意x∈R恒成立,即cos=-cos对任意x∈R恒成立,则=π+2kπ,k∈Z,解得ω=2+4k,k∈Z,而ω>0,则ω的最小值为2.
类型三
例3 (1)B (2)B [解析] (1)f(x)=cos ωx的最小正周期T=,由2π(2)由题知,当x=2π时f(x)取得最大值,即f(2π)=4sin=4,所以2ωπ+=+2kπ,k∈Z,即ω=+k,k∈Z.又f(x)的图象在上恰有3条对称轴,所以T≤-=2π<2T,则π变式 (1)C (2)D [解析] (1)由题意得f(x)=g对任意x∈R恒成立,所以sin ωx=cos对任意x∈R恒成立,由三角函数的诱导公式可得ω=+2kπ,k∈Z,所以ω=3k+,k∈Z,又ω>0,所以ω的最小值为.故选C.
(2)因为函数f(x)=2sin(ω∈R)图象的一条对称轴为x=,所以ω+=+kπ(k∈Z),则ω=+(k∈Z),所以ω1=,ω2=-1,则f1(x)=2sin,f2(x)=2sin,所以这两个函数最小正周期的差为-2π=2π.故选D.
类型四
例4 (1)D (2)17 [解析] (1)因为x∈,所以ωx+∈,因为函数f(x)=cos在区间上恰有2个最值点,所以2π<ωπ+≤3π,解得<ω≤,故选D.
(2)由f=0,且f(x)在上有最大值,没有最小值,可得+=2kπ(k∈Z),又ω>0,所以ω=6k-1(k∈N*).因为f(x)在上有最大值点,没有最小值点,所以×<-≤×,解得6<ω≤18,又ω=6k-1(k∈N*),所以ω=11或17,故ω的最大值为17.
变式 (1)B (2) [解析] (1)当x∈(0,π)时,ωx-∈.因为f(x)=2sin(ω>0)在(0,π)上有且仅有两个最大值点,所以<ωπ-≤,解得<ω≤,即ω的取值范围为.故选B.
(2)因为为f(x)图象的一个对称中心,所以-ω+φ=+k1π,k1∈Z①.因为当x=时,函数f(x)取得最值,所以ω+φ=k2π,k2∈Z②.②-①得ω=(k2-k1)π-,k1,k2∈Z,即ω=(k2-k1)-,k1,k2∈Z.因为函数在上单调递增,所以≥-,可得0<ω≤2.当k2-k1=2时,ω=2,f(x)=cos(2x+φ),因为函数在x=处取得最小值,所以×2+φ=π+2kπ,k∈Z,则φ=-+2kπ,k∈Z,不满足0<φ<π,所以ω≠2.当k2-k1=1时,ω=,f(x)=cos,因为函数在x=处取得最小值,所以×+φ=π+2kπ,k∈Z,则φ=+2kπ,k∈Z,因为0<φ<π,所以φ=,满足题目要求.综上可得ω=.
类型五
例5 (1)C (2) [解析] (1)当x∈[0,π]时,2ωx+∈.因为f(x)在[0,π]上有且仅有2个零点,所以≤2πω+<,解得≤ω<.故选C.
(2)当x∈(0,π)时,ωx+∈,因为f(x)在(0,π)上有且仅有3个零点,所以3π<ωπ+≤4π,解得<ω≤,则实数ω的取值范围是.
变式 (1)D (2)A [解析] (1)由00,得-<ωx-<ωπ-,由f(x)在(0,π)内恰有两个零点,得<ωπ-≤,解得<ω≤,所以ω的取值范围是.故选D.
(2)因为0类型六
例6 (1)C (2)D [解析] (1)因为ω>0,所以当0,解得ω>2.当≤x≤π时,-≤ωx-≤πω-,因为函数f(x)在上单调,所以 (k∈Z),所以其中k∈Z,解得k-≤ω≤k+(k∈Z),所以k-≤k+,解得k≤,又因为ω>0,所以k∈{0,1,2}.当k=0时,0<ω≤;当k=1时,1≤ω≤;当k=2时,≤ω≤.又因为ω>2,所以ω的取值范围是.故选C.
(2)因为函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)为偶函数,所以φ=.由0≤x<,得≤ωx+<ω+(ω>0),因为f(x)在上单调递减,且在该区间上没有零点,所以ω+≤π,解得ω≤,则ω的取值范围为.故选D.
变式 CD [解析] 对于A,由x∈,得ωx+∈,因为f(x)在区间上单调,所以k∈Z,解得-3+4k≤ω≤+k,k∈Z.由k∈Z,ω>0,可得ω∈∪,故A错误.对于B,函数f(x)的图象向左平移个单位长度,得到g(x)=Asin+B=Asin+B的图象,因为g(x)为偶函数,所以ω+=+kπ,k∈Z,即ω=+2k,k∈Z,由k∈Z,ω>0,可得ω的最小值为,故B错误.对于C,当x∈(0,π)时,ωx+∈,因为函数f(x)在区间(0,π)上恰有三个最值点,所以<ωπ+≤,解得<ω≤,故C正确.对于D,由f(x)=A+B,得Asin+B=A+B,则sin=.因为方程f(x)=A+B在(0,π)上有两个不同的解,所以关于x的方程sin=在(0,π)上有两个不同的解,由x∈(0,π),得ωx+∈,则需满足<ωπ+≤,则2<ω≤,故D正确.故选CD.微突破(三) 三角函数中的ω的取值范围问题
1.D [解析] 依题意得g(x)=sin=sin为偶函数,则+=kπ+,k∈Z,即ω=6k+1,k∈Z.当k=2时,ω=13,D正确,其他选项均不正确.故选D.
2.D [解析] 由ωx+=kπ,k∈Z,得x=-+,k∈Z,所以函数f(x)在(0,+∞)上由小到大的第5个零点为-+=,第6个零点为-+=,由题意知解得≤ω<,故选D.
3.B [解析] 由题可知,g(x)=cos =cos,当x∈时,ωx-+∈.因为g(x)在区间上单调递减,所以+≤π,所以0<ω≤5,则ω的最大值为5.故选B.
4.C [解析] 由f(x)=,可得sin=,当x∈(0,2π)时,<ωx+<2ωπ+.因为方程f(x)=在区间(0,2π)上恰有3个实数根,所以2π+<2ωπ+≤4π+,解得<ω≤,所以ω的取值范围是.故选C.
5.D [解析] 当x∈(0,π)时,ωx+∈,因为f(x)在(0,π)上有且仅有2个最小值点,所以3π<ωπ+≤5π,则<ω≤.因为x∈,所以ωx+∈,又f(x)在上单调递增,<ω≤,所以解得≤ω≤,所以<ω≤,故选D.
6.C [解析] 由x∈(0,π),ω>0,得ωx+∈,因为函数f(x)=sin在区间(0,π)上恰有三个最值点、两个零点,所以<ωπ+≤3π,可得<ω≤.故选C.
7.∪ [解析] 令f(x)=0,得ωx-=kπ,k∈Z,所以x=,k∈Z,因为f(x)在区间内没有零点,所以只需≤且≥,解得2k+≤ω≤k+,k∈Z.当k≥1时,2k+>k+,不等式无解.令k=0,得≤ω≤.令k=-1,得-≤ω≤,因为ω>0,所以ω的取值范围为∪.
8.≤ω≤ 6 [解析] 由x∈,得ωx-∈.∵函数f(x)=2cos在上单调递减,∴k∈Z,解得+4k≤ω≤+2k,k∈Z.由题意得≤=,∴0<ω≤2,取k=0,得≤ω≤.若ω为正整数,则ω=1,f(x)=2cos,则f(3x)=2cos,作出y=cos x与f(3x)=2cos在[0,2π]上的函数图象,如图所示,由图可知,曲线y=cos x与f(3x)图象交点的个数为6.
9.解:(1)因为函数f(x)的周期T=π,所以=π,解得ω=2,
所以f(x)=sin.
令+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以函数f(x)的减区间为,k∈Z.
(2)g(x)=f(x)+cos=sin+sin=2sin,
由x∈,得ωx+∈,
因为g(x)在上有且仅有两个零点,所以2π≤+<3π,解得≤ω<,
所以ω的取值范围是.
10.解:(1)因为函数f(x)=2sin(ωx+φ)的图象经过点(0,),所以sin φ=,
又|φ|<,所以φ=.
(2)由(1)知f(x)=sin.
因为函数f(x)的图象关于直线x=对称,所以ω·+=kπ+(k∈Z),
又ω>0,所以ω=6k+1(k∈N),所以ω的最小值为1.
(3)当x∈时,ωx+∈,因为f(x)在上单调递增,所以 ,所以+≤,可得0<ω≤,
则实数ω的取值范围为.
11.A [解析] 因为ω>0,且x∈[0,2π],所以ωx+∈,由题意可得4π≤2πω+<5π,解得≤ω<①.因为直线x=为函数f(x)图象的一条对称轴,所以ω+=kπ+,k∈Z,解得ω=6k+2,k∈Z②.由①②得ω=2,则f(x)=sin,所以f=sin=sin=.故选A.
12.AC [解析] 由0≤x≤2π,ω>0,得≤ωx+≤2πω+,因为f(x)=cos的图象在区间[0,2π]上有且仅有5个对称中心,所以≤2πω+<,解得≤ω<,所以D错误.由上述分析可知
对于A,由ωx+=2π或ωx+=4π,得x=或x=,则f(x)在[0,2π]上有且仅有2个最大值点,所以A正确.对于B,当2πω+=,即ω=时,≤ωx+=x+≤,由x+=π或x+=3π,得x=或x=,则此时f(x)在[0,2π]上有且仅有2个最小值点,所以B错误.对于C,因为≤ω<,所以当013.ACD [解析] 对于A,由x∈[0,π],ω>0,得ωx∈[0,ωπ],又f(x)=sin ωx的取值范围为[-1,1],所以ωπ≥,得ω≥,A正确.对于B,由x∈,得ωx∈,因为f(x)的图象在上恰有一条对称轴,所以<≤,得ω∈,B错误.对于C,由x∈,得ωx∈,因为函数f(x)在上单调递增,ω>0,所以得ω∈,C正确.对于D,由x∈,得ωx∈,因为f(x)在上有且只有两个不同的零点,所以2π<≤3π,得ω∈(4,6],D正确.故选ACD.
14.∪ [解析] ∵函数f(x)=2sin(ωx+φ)的图象过点(0,1),∴f(0)=2sin φ=1,即sin φ=,又0<φ<,∴φ=,∴f(x)=2sin.令ωx+=+kπ,k∈Z,可得x=+,k∈Z,∴当x=+,k∈Z时,函数f(x)=2sin取得最值,∵f(x)在区间(π,2π)内不存在最值,∴k∈Z,解得+k≤ω≤+,k∈Z.当k<-1时,ω不存在;当k=-1时,-≤ω≤,又ω>0,∴0<ω≤;当k=0时,≤ω≤;当k>0时,ω不存在.综上可得ω的取值范围是∪.微突破(三) 三角函数中的ω的取值范围问题
三角函数是高考的必考考点,而函数f(x)=Asin(ωx+φ)中ω的取值范围问题也是热门考点.函数f(x)的最小正周期T=(ω>0),即ω=,也就是说只要确定了周期T,就可以确定ω的取值.
类型一 根据单调性求ω的取值范围
已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在[x1,x2]上单调递增(或单调递减),求ω的取值范围的方法:
首先,根据题意可知区间[x1,x2]的长度不大于该函数最小正周期的一半,即x2-x1≤T=,求得0<ω≤.其次,以单调递增为例,利用[ωx1+φ,ωx2+φ] ,k∈Z,解得ω的范围.最后,结合第一步求出的ω的取值范围对k进行赋值,从而求出ω的具体取值范围.
例1 (1)已知函数f(x)=sin(ω>0)在上单调递增,在上单调递减,则ω的取值范围为 ( )
A.(0,1] B.(0,2]
C.[1,2] D.(1,2)
(2)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ<π)是R上的奇函数,且在区间上单调递增,则ω的最大值是 .
变式 (1)已知ω∈N+,函数f(x)=sin在上单调递减,则ω的最大值为 .
(2)已知函数f(x)=sin(ω>0),函数f(x)在区间(0,1)内不单调,则ω的取值范围是 .
类型二 根据图象平移求ω的取值范围
1.平移后与原图象重合
思路1:平移长度即为原函数周期的整倍数;
思路2:平移前的图象对应的函数与平移后的图象对应的函数的解析式相同.
2.平移后的函数g(x)与原函数f(x)的图象关于x轴对称:f(x)=-g(x).
3.平移后过定点:将定点坐标代入平移后的函数解析式中.
例2 (1)若将函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0)的图象向左平移个单位长度得到的图象与f(x)的图象完全重合,则ω的最小值为 ( )
A.2 B.4
C.6 D.8
(2)把函数f(x)=sin(ω>0)的图象向右平移个单位长度,得到的函数图象关于点对称,则ω的最小值为 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
变式 (1)已知函数f(x)=Asin(A>0,ω>0)的图象向左平移个单位长度所得图象与f(x)的图象重合,则实数ω的最小值是 ( )
A. B.
C. D.8
(2)函数f(x)=cos(ω>0)的图象向左平移个单位长度所得图象与f(x)的图象关于x轴对称,则ω的最小值是 ( )
A.1 B.2
C.4 D.6
类型三 根据对称性求ω的取值范围
(1)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)图象的两条相邻的对称轴或两个相邻对称中心之间的距离为,相邻对称轴和对称中心之间的距离为,也就是说,我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期性,进而可以研究ω的值或取值范围.
(2)三角函数图象的对称轴必经过图象的最高点或最低点,图象的对称中心就是图象与x轴的交点,我们可以利用函数的最值、对称中心之间的关系来确定函数的周期,进而确定ω的值或取值范围.
例3 (1)[2025·江苏常州期中] 已知函数f(x)=cos ωx(ω>0)的最小正周期为T.若2πA. B.-
C. D.-
(2)函数f(x)=4sin,ω>0,若f(x)≤f(2π)对任意x∈R恒成立,且f(x)的图象在上恰有3条对称轴,则ω= ( )
A. B.
C. D.或
变式 (1)已知函数f(x)=sin ωx与g(x)=cos ωx(ω>0)的图象关于直线x=对称,则ω的最小值为 ( )
A. B.
C. D.1
(2)[2025·天津一中高一期末] 已知函数f(x)=2sin(ω≠0)图象的一条对称轴为x=,当ω取最小正数ω1和最大负数ω2时,得到的函数分别为f1(x)与f2(x),则这两个函数最小正周期的差为 ( )
A. B.π C.π D.2π
类型四 根据最值求ω的取值范围
若f(x)max=f(a),则a为f(x)的最大值点;若f(x)min=f(b),则b为f(x)的最小值点.最大值点与最小值点统称为最值点.
1.对于函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),最大值点x1满足ωx1+φ=+2kπ(k∈Z);最小值点x2满足ωx2+φ=-+2kπ(k∈Z).
2.对于函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0),最大值点x1满足ωx+φ=2kπ(k∈Z);最小值点x2满足ωx2+φ=π+2kπ(k∈Z).
例4 (1)函数f(x)=cos在区间上恰有2个最值点,则ω的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
(2)已知函数f(x)=2sin(ω>0),若f=0,且f(x)在上有最大值点,没有最小值点,则ω的最大值为 .
变式 (1)已知函数f(x)=2sin(ω>0),若函数f(x)在(0,π)上有且仅有两个最大值点,则ω的取值范围为 ( )
A. B.
C. D.
(2)已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π),点为函数f(x)图象的一个对称中心,当x=时,函数f(x)取得最值,且函数f(x)在上单调递增,则ω的值为 .
类型五 根据零点求ω的取值范围
我们把使函数y=f(x)的值为0的实数x称为函数y=f(x)的零点.对于y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),满足ωx+φ=kπ,k∈Z的实数x为该函数的零点;对于y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0),满足ωx+φ=+kπ,k∈Z的实数x为该函数的零点.
例5 (1)已知函数f(x)=4cos(ω>0)在[0,π]上有且仅有2个零点,则ω的取值范围为 ( )
A. B.
C. D.
(2)已知函数f(x)=2sin(ω>0),若f(x)在(0,π)上有且仅有3个零点,则实数ω的取值范围是 .
变式 (1)已知函数f(x)=3cos(ω>0)在(0,π)内恰有两个零点,则ω的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
(2)[2025·河北邢台邢襄联盟联考] 已知函数f(x)=2cos ωx+1(ω>0)在区间(0,π)上有且仅有3个零点,则ω的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
类型六 结合函数性质求ω的取值范围
利用函数的单调性、最值、奇偶性及对称性等知识结合函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0)的性质,得到关于ω的不等式或方程(组),从而得出结论.
例6 (1)已知函数f(x)=2sin(ω>0)在上存在最值,且在上单调,则ω的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
(2)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)为偶函数,在上单调递减,且在该区间上没有零点,则ω的取值范围为 ( )
A. B.
C. D.
变式 (多选题)已知函数f(x)=Asin+B(A>0,ω>0),下列说法正确的是 ( )
A.若f(x)在区间上单调,则0<ω≤
B.将函数f(x)的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象,若g(x)为偶函数,则ω的最小值为
C.若函数f(x)在区间(0,π)上恰有三个最值点,则<ω≤
D.若关于x的方程f(x)=A+B在(0,π)上有两个不同的解,则2<ω≤微突破(三) 三角函数中的ω的取值范围问题
1.将函数f(x)=sin的图象向左平移个单位长度得到的图象关于y轴对称,则ω的值可能是 ( )
A.5 B.8
C.11 D.13
2.若函数y=3sin(ω>0)在区间[0,2π]上有且仅有5个零点,则ω的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
3.将函数f(x)=cos(ω>0)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象,若函数g(x)在区间上单调递减,则ω的最大值为 ( )
A.6 B.5
C.3 D.2
4.已知函数f(x)=sin(ω>0),若方程f(x)=在区间(0,2π)上恰有3个实数根,则ω的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
5.已知函数f(x)=2cos(ω>0)在(0,π)上有且仅有2个最小值点,且在上单调递增,则ω的取值范围为 ( )
A. B.
C. D.
6.设函数f(x)=sin(ω>0)在区间(0,π)上恰有三个最值点、两个零点,则ω的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
7.已知函数f(x)=sin在区间内没有零点,则ω的取值范围为 .
8.已知ω>0,函数f(x)=2cos在上单调递减,则ω的取值范围是 ;若ω为正整数,当x∈[0,2π]时,曲线y=cos x与f(3x)图象交点的个数为 .
9.(13分)已知f(x)=sin(ω>0).
(1)若函数f(x)的周期为π,求f(x)的减区间;
(2)若函数g(x)=f(x)+cos在区间上有且仅有两个零点,求ω的取值范围.
10.(13分)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的图象经过点(0,).
(1)求φ的值;
(2)若函数f(x)的图象关于直线x=对称,求正实数ω的最小值;
(3)若f(x)在上单调递增,求实数ω的取值范围.
11.已知函数f(x)=sin(ω>0)在[0,2π]上有且仅有4个零点,直线x=为函数f(x)图象的一条对称轴,则f= ( )
A. B.-
C.- D.
12.(多选题)设函数f(x)=cos(ω>0),已知f(x)的图象在区间[0,2π]上有且仅有5个对称中心,则 ( )
A.f(x)在区间[0,2π]上有且仅有2个最大值点
B.f(x)在区间[0,2π]上有且仅有3个最小值点
C.f(x)在区间上单调递减
D.ω的取值范围是
13.(多选题)已知函数f(x)=sin ωx(ω>0),则下列说法正确的有 ( )
A.若f(x)的图象在[0,π]上的取值范围为[-1,1],则ω的取值范围是
B.若f(x)的图象在上恰有一条对称轴,则ω的取值范围是
C.若f(x)在上单调递增,则ω的取值范围是
D.若f(x)在上有且只有两个不同的零点,则ω的取值范围是(4,6]
14.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的图象过点(0,1),且在区间(π,2π)内不存在最值,则ω的取值范围是 .
