2025-2026高中数学人教A版（2019）必修第一册第三章 3.3 幂函数 同步练习（含解析）

高中数学人教A版（2019）必修第一册
第三章 3.3 幂函数
一、单选题
1.现有下列函数：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)。其中幂函数的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2.（2025河北唐山期中）已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A. B. 2 C. 16 D.
3.（2024湖北仙桃中学阶段练习）“”是“函数（为常数）为幂函数”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
4.（2025江苏泰州期中）下列函数中，是奇函数且在区间上单调递减的是（ ）
A. B. C. D.
5.（2025陕西渭南期中）下列函数既是幂函数，又在上单调递减的是（ ）
A. B. C. D.
6.（2024甘肃天水一中月考）已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
7.（2025广东佛山一中期中）已知幂函数，下列说法正确的是（ ）
A. 的图象恒过点
B. 存在，使得的图象过第四象限
C. 存在使得的图象既不关于原点对称也不关于轴对称
D. 当时的图象恒在轴上方
8.（2024河南新乡月考）关于幂函数，下列描述错误的有（ ）
A. 当时，函数在其定义域上单调递减
B. 当时，函数不是幂函数
C. 当时，函数是偶函数
D. 当时，函数图象与轴有且只有一个交点
9.（2024吉林四平一中月考）下列说法正确的是（ ）
A. 所有幂函数的图象均过点
B. 若幂函数在区间上单调递减，则
C. 幂函数一定具有奇偶性
D. 任何幂函数的图象都不经过第四象限
三、填空题
10.已知函数为幂函数，则实数的值为______.
11.（2025重庆名校联盟联合考试）已知函数是幂函数，且该函数是偶函数，则的值是______.
12.（2025黑龙江大庆期末）已知幂函数同时具有以下三个性质：(1)的定义域为；(2)是偶函数；(3)当时，。函数的解析式可以为______.
四、解答题
13.已知幂函数（为常数），且满足。
(1)求的解析式；
(2)若，求实数的取值范围。
14.（2024吉林长春市实验中学期中）已知点在幂函数的图象上，点在幂函数的图象上。
(1)求出幂函数及的解析式；
(2)在同一坐标系中画出及的图象；
(3)观察(2)中的图象，写出当时，的取值范围（不用说明理由）。
15.（2025河南周口四校期中联考）已知幂函数为奇函数，。
(1)若，求；
(2)已知，若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围。
一、单选题
1.答案：B
解析：幂函数需满足形如（系数为1，底数为自变量）。
(1)、(6)符合，共2个；
其余为指数函数或多项式函数，不符合。
2.答案：B
解析：设，代入点得，故。
3.答案：A
解析：幂函数要求系数为1，即或。
是解之一，故为充分不必要条件。
4.答案：D
解析：
是奇函数，且在单调递减。
5.答案：D
解析：
是幂函数，在单调递减（开口向上，左半部分递减）。
6.答案：C
解析：
，，，故。
二、多选题
7.答案：CD
解析：
A错误（如不过）；
B错误（幂函数不过第四象限）；
C正确（如非奇非偶）；
D正确（时，）。
8.答案：AB
解析：
A错误（在定义域不单调）；
B错误（时（）是幂函数）；
C正确（是偶函数）；
D正确（与轴交于）。
9.答案：BD
解析：
A错误（时不过）；
B正确（幂函数在递减需）；
C错误（如非奇非偶）；
D正确（幂函数图象不过第四象限）。
三、填空题
10.答案：
解析：幂函数系数或，但指数需有意义，故。
11.答案：4
解析：系数或。
时，（偶函数），。
12.答案：（或类似形式）
解析：满足定义域、偶函数、时，如。
四、解答题
13.解:
(1) 幂函数系数或。
时，指数，（但不成立）；
时，指数，（递增，符合）。
(2) 定义域为且递增，故：
14.解:
(1) 设，过得，故；
设，过得，故。
(2)
(3) 图象交点为，当时，。
15.解:
(1) 幂函数系数或。
时，（奇函数），。
(2) 在恒成立。
当时，在递增（导数），故最小值。
结合，得。