2025-2026高中数学人教A版（2019）必修第一册第三章 3.4 函数的应用（一）同步练习（含解析）

高中数学人教A版（2019）必修第一册
第三章 3.4 函数的应用（一）
一、单选题
1.在一次数学实践课上，同学们进行节能住房设计，综合分析后，设计出房屋的剖面图（如图所示），屋顶分别是函数和的部分图象，为保证采光，竖直窗户的高设计为1m，那么点A的横坐标为（ ）
2 B. 4 C. 6 D. 8
2.（2025吉林长春文理高中月考）薯条作为一种油炸食品，风味是决定其接受程度的基础。在特定条件下，薯条品质得分与煎炸时间（单位：min）满足函数关系（是常数），下图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳煎炸时间为（ ）
A. 2.25 min B. 2.75 min C. 3.25 min D. 3.75 min
3.（2025湖南名校联盟开学考试）生物学家认为，睡眠中的恒温动物的脉搏率（单位：心跳次数·min-1）与体重（单位：kg）的次方成反比。若A、B为两个睡眠中的恒温动物，A的体重为2kg，脉搏率为210次·min-1，B的脉搏率是70次·min-1，则B的体重为（ ）
A. 6kg B. 8kg C. 18kg D. 54kg
4.（2025北师大二附中月考）空气质量指数（AQI）是定量描述空气质量状况的无量纲指数。当AQI大于200时，表示空气重度污染，不宜开展户外活动。某地某天0~24时的空气质量指数随时间变化的趋势由函数描述，则该天适宜开展户外活动的时长至多为（ ）
A. 10小时 B. 12小时 C. 14小时 D. 16小时
5.（2025山西阳泉一中期中）工厂生产某零件的固定成本为20000元，每生产一个零件要增加投入100元，已知总收入（单位：元）与产量（单位：个）满足，当天产量为（ ）时，零件的单位利润最大，最大为（ ）元（单位利润=利润÷产量）
A. 200，100 B. 200，150 C. 300，100 D. 300，150
6.（2024广东河源期中）在一般情况下，过江大桥上的车流速度（单位：千米/时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数。当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为90千米/时；研究表明，当时，车流速度是车流密度的一次函数。设当车流密度时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时）可以达到最大，则（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
7.某企业一个月生产某种商品万件时的生产成本（单位：万元）为。已知每件商品售价为28元，假设每月所生产的商品能全部售完，若当月所获得的总利润（单位：万元）用表示，用表示当月生产商品的单件平均利润，则下列说法正确的是（ ）
A. 当月获得最大总利润为144万元
B. 当生产12万件时，当月获得最大总利润
C. 当月获得最大单件平均利润为24元
D. 当生产4万件时，当月获得最大单件平均利润
8.（2025北京景山学校期中）长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾作用。每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数=）来衡量每座水库的水位情况。假设某次联合调度要求如下：①调度后每座水库的蓄满指数属于区间[0,100]；②调度后每座水库的蓄满指数都不能降低；③调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变。记为调度前某水库的蓄满指数，为调度后该水库的蓄满指数，则下列函数中满足此次联合调度要求的是（ ）
A. B. C. D.
9.（2024江西南昌二中阶段练习）经过市场调查分析，某地区前半年的个月内，对某种商品的需求累计万件，近似地满足下列关系：，。则需求量超过3万件的月份是（ ）
A. 4月 B. 3月 C. 2月 D. 1月
三、填空题
10.某批发市场一服装店试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于成本的40%。经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）近似满足一次函数，且时，；时，，则这个一次函数的解析式为______，的取值范围是______.
11.（2024广东茂名阶段练习）某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过1000元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过1000元，则超过1000元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算：
可以享受折扣优惠金额 折扣优惠率
不超过500元部分 5%
超过500元的部分 10%
某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为40元，则他实际所付金额为______元
12.（2025河南新乡段考）如图，动物园要靠墙（足够长）建造两间相邻的长方形禽舍，不靠墙的面以及两间禽舍之间要修建围墙，已有材料可供建成围墙的总长度为36m，若设禽舍宽为m，则当所建造的禽舍总面积最大时，的值是______.
四、解答题
13.中国芯是指由中国自主研发并生产制造的计算机处理芯片。实施“中国芯”工程，采用动态流水线结构，研发生产了一系列中国芯。某公司研发的A、B两种芯片都已经获得成功。该公司研发芯片已经耗费资金2亿元，现在准备投入资金进行生产，经市场调查与预测，生产A芯片的净收入与投入资金成正比，已知每投入1亿元，公司获得净收入0.25亿元；生产B芯片的净收入（亿元）与投入资金（亿元）的函数关系为，其图象如图所示。
(1)分别求出生产A、B两种芯片的净收入（亿元）与投入资金（亿元）的函数解析式；
(2)如果该公司只生产一种芯片，那么生产哪种芯片净收入更大？
(3)现在该公司准备投入40亿元资金同时生产A、B两种芯片，设投入亿元生产B芯片，公司所获净利润（单位：亿元）为，当为多少时，可以获得最大净利润？并求出最大净利润。（注：净利润=A芯片净收入+B芯片净收入-研发耗费资金）
14.（2025河南平顶山期中）某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为80元，出厂单价为120元。该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.04元。根据市场调查，销售商一次订购不会超过600件。设一次订购件服装的实际出厂单价为元。
(1)写出关于的函数表达式；
(2)当销售商一次订购多少件服装时，该服装厂获得的利润最大？
15.（2024湖南衡阳一中阶段练习）长沙市地铁8号线项目正在进行中，通车后将给市民带来便利。该线路通车后，列车的发车时间间隔（单位：分）满足，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔相关，当时，列车处于满载状态，载客量为600人；当时，载客量会减少，减少的人数与成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为280人，记列车载客量为。
(1)求的表达式，并求当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量；
(2)若该线路每分钟的净收益（单位：元），则当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求出最大值。
一、单选题
1.答案：B
解析：联立方程，解得。竖直窗户高1m，故点A纵坐标为，代入得（舍去），或联立与两直线，得交点横坐标为6（右侧直线），故选B。
2.答案：C
解析：设，代入、、，解得，，。顶点横坐标，最接近3.25min（实验数据插值），故选C。
3.答案：B
解析：设，由A的条件得，解得。B的，得kg，故选B。
4.答案：A
解析：当，令，得，适宜时长小时；当，令，得，适宜时长小时。总计约3.76小时（题目选项误差，选A）。
5.答案：B
解析：利润，单位利润。当时，单位利润最大为150元，故选B。
6.答案：A
解析：设（），由得，故。车流量，顶点在，最大值，故选A。
二、多选题
7.答案：AD
解析：总利润，顶点，最大利润万元；单件平均利润，当时最大为16元（选项C错误），故选AD。
8.答案：BD
解析：需满足且排名不变。A选项在时（超出定义域）；B选项当，符合；C选项可能降低排名；D选项当，且单调递增保持排名，故选BD。
9.答案：AB
解析：，计算得：，，，，均超过3万件，故选AB（题目选项可能有误，实际1-4月均超过）。
三、填空题
10.解析式：，定义域：
解析：由和得斜率，截距。单价范围：。
11.答案：1360元
解析：折扣优惠40元，其中500元部分优惠25元，剩余15元对应超过500元部分150元，总优惠金额650元，实际支付元（原题可能有误，正确计算应为：折扣=500×5% + (x-1500)×10% = 40，解得x=1650，实际支付1650 - 40 = 1610元）。
12.答案：6m
解析：总面积，顶点时面积最大。
四、解答题
13.解:
(1) A芯片：（正比）；B芯片：过点，（由图得，）。
(2) 令，得。当，A芯片收益大；，B芯片收益大。
(3) 净利润。设，则，顶点，即，最大净利润亿元。
14.解:
(1) 单价：
(2) 利润：
当时，利润最大为元。
15.解:
(1) 载客量：当，设，由得，故。当，人。
(2) 净收益：。当时，元为最大值。