(共81张PPT)
2.1 等式
2.1.1 等式的性质与方程的解集
探究点一 等式的性质的应用
探究点二 化简、证明
探究点三 十字相乘法的应用
探究点四 方程的解集
◆
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
课堂评价
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.熟练掌握等式的性质,会用等式性质解决恒等式问题,会求方程
的解；
2.了解恒等式,熟练掌握分解因式的一般步骤;
3.能利用等式的性质和有关恒等式进行代数变形，求方程的解集.
知识点一 等式的性质
性质 符号语言
对称性
传递性
可加减性
可乘性
可除性
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）由，得 .( )
√
[解析] 等式两边同加2，得 ，所以正确.
（2）由，得 .( )
×
[解析] 等式两边同乘2，得 ，所以错误.
（3）由,得 .( )
√
[解析] 当时，,则 ，所以正确.
（4）由，得 .( )
√
[解析] 等式两边同加2，得，
两边同加 ，得，两边同加，得，
两边同除以3，得 ，所以正确.
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（5）由,得， .( )
√
[解析] 等式两边同加，得 ，
两边同时乘个，得 ，
又因为，所以 ，所以正确.
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
知识点二 恒等式
1.定义
一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取__________时等式都
成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等.恒等式是进行_________
__的依据之一.
任意实数
代数变形
2.常用恒等式
①对任意的，，，都有 __________________;
②平方差公式： ______________;
③完全平方公式： ______________；
④立方和、立方差公式： _____________________.
【诊断分析】
（1）化简 _________.
（2） ____________________.
（3）多项式 分解因式的结果是____________________.
知识点三 十字相乘法
（1）给定式子，如果能找到和，使得____且
______,则 ，如图所示，其中两条交叉
的线表示对应数相乘后相加要等于___，因此，这种因式分解的方法
称为“十字相乘法”.
（2）形如 的二次三项式十字相乘法：
因为 ，所以
二次项系数可分解成，常数项可分解成 ，把二次项系数
分解得到的写到第一列，常数项分解得到的 写到第二列，
写成 的形式，按斜线交叉相乘再相加，就得到 ，
如果它正好等于的一次项系数，那么 就
可以分解成 .
十字相乘要遵循“拆两头，凑中间”的原则.
①当常数项为正数时，应把它分解为两个同号因子的积，因子的符
号与一次项系数的符号相同.
②当常数项为负数时，应把它分解为两个异号因子的积，使十字连
线上绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同.
③当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数变为正数，
然后再按照上述方法求解即可.
【诊断分析】
（1）因式分解： ______________.
（2）因式分解： _______________.
（3）因式分解： _________________.
知识点四 方程的解集
1.方程的解（或根）是指能使方程左右两边相等的________的值.一
般地，把一个方程所有解组成的______称为这个方程的解集.
2.方程，当 时解集为_________,当
时解集为_____.
未知数
集合
，
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）方程的解集为 .( )
√
[解析] 方程无实数解，所以解集为 .
（2）方程的解集为 .( )
√
[解析] 由十字相乘法得 ，
所以方程的解集为 .
（3）方程的解集为 .( )
√
[解析] ，即，所以 ,
所以方程的解集为 .
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
探究点一 等式的性质的应用
例1（1）下列说法正确的是( )
A.在等式的两边同时除以，可得
B.在等式的两边同时除以2，可得
C.在等式的两边同时除以，可得
D.在等式的两边同时除以，可得
√
[解析] 对于A，在等式的两边同时乘，可得 ，故A错误；
对于B，在等式的两边同时除以2，
可得 ，故B错误；
对于C，若，则, 不一定相等，故C错误；
对于D，在等式的两边同时除以 ，
可得 ，故D正确.故选D.
（2）如果，那么 __.
[解析] 由两边同减去，得，将 两边同乘6，
得，因为，所以两边同除以，得 ，
所以 .
变式 已知,,, ，则下列命题中为假命题的是( )
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
√
[解析] 对于A，若，则 ，故A为真命题；
对于B，因为,，所以 ，
故B为真命题；
对于C，当时， 无意义，故C为假命题；
对于D，若，则 ，故D为真命题.故选C.
［素养小结］
在运用等式的性质时要注意:（1）等式两边都要参加运算,并且是作
同一种运算;（2）等式两边加或减、乘或除以的一定是同一个数或
同一个式子;（3）等式两边不能同除以0,即0不能作除数或分母.
探究点二 化简、证明
例2（1）化简下列各式.
① ；
解：方法一：原式
.
方法二：原式
.
例2（1）化简下列各式.
② .
解：方法一：原式 .
方法二：原式 .
（2）证明下面各个公式.
①三数和平方公式： ；
证明： .
②两数和立方公式： ；
证明： .
（2）证明下面各个公式.
③两数差立方公式： .
证明： .
［素养小结］
化简的步骤为“一提”“二套”“三检查”“四检验”：
（1）先看是否能提取公因式；
（2）再看能否套用公式；
（3）再检查因式分解是否彻底；
（4）最后用多项式乘法检验分解是否正确.
探究点三 十字相乘法的应用
例3 用十字相乘法分解因式.
（1） ；
解：由图①，得 .
例3 用十字相乘法分解因式.
（2） ；
解：由图②，得 .
例3 用十字相乘法分解因式.
（3）,为常数 ；
解：由图③，得 .
例3 用十字相乘法分解因式.
（4） ;
解：由图④，得 .
例3 用十字相乘法分解因式.
（5） .
解：先以 为主元，由图⑤，
得
；
再以 为主元，在 中应用十字相乘法进行因式分解，
得；
最后用求根公式法对 进行因式分解，
得 .
故
&11
变式 用十字相乘法分解因式.
（1） ；
解：由图①，得 .
变式 用十字相乘法分解因式.
（2） ；
解：由图②，得 .
变式 用十字相乘法分解因式.
（3） ；
解：由图③，得 .
变式 用十字相乘法分解因式.
（4） ．
解：先以 为主元，由图④，
得 ，
再由平方差公式得 ,
故 ．
［素养小结］
（1）十字相乘法本质是一种针对二次三项式因式分解的方法，其核
心在于将二次项系数和常数项拆分为两组数的乘积，通过交叉相乘
验证中间项系数的匹配性.（2）十字相乘法的局限性：当二次项或常
数项系数为质数且无法满足交叉相乘条件时需用求根公式.
探究点四 方程的解集
例4（1）求下列方程的解集.
① ；
解：原方程可化为，
整理得，解得 ，故其解集为 .
② ；
解：因为 ，所以原方程可化为
，解得或，故其解集为, .
例4（1）求下列方程的解集.
③ .
解：因为 ,所以原方程可化为
，解得或，故其解集为 .
（2）［2025·上海普陀区高一期中］已知为实数，求关于 的方程
的解集.
解： 原方程可化为，
当 时，.
若，则方程为 ，显然不成立，方程无解；
若，则方程为，方程的解为；
若 ，解方程得 .
综上，当时，方程的解集为 ；当 时，方程的解集为；
当时，方程的解集为 .
变式（1）一元二次方程 的解集是( )
A. B. C., D.,
[解析] 由题得 ，
即，所以或 ，
解得或，所以所求解集为, .故选C.
√
（2）已知关于的方程的解集为 ，则实数 的值为
( )
A.0 B.1 C. D.
[解析] 由，得，
因为关于的方程 的解集为 ，
所以，解得 .故选C.
√
（3）如果关于的方程 的解集为单元素集，那么该方程
的解集是( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意可知且，则原方程可化为 ，
即，由题意可得，解得 ，
故，解得，所以所求解集为 .故选A.
√
［素养小结］
（1）求解方程问题的关键是通过同解变形，得到满足等式成立时对
应的的值，一些变形过程要注意对等式性质的应用；
（2）求解一元一次方程，若一次项系数含参数，则要对其是否为0
进行讨论，求解一元二次方程，可采用十字相乘法将其因式分解，
要注意方程中各个系数是否满足应用十字相乘法的条件，否则采用
求根公式法或配方法进行求解.
1.下列说法中正确的是( )
A.如果，那么 B.如果 ，那么
C.如果，那么 D.如果，那么
[解析] 如果，那么当时， 不成立，故A错误；
由 ，可知，则，即 ，故B正确；
如果,那么当时，，无意义，故C错误；
如果 ，那么或 ，故D错误.故选B.
√
2.下列因式分解正确的是( )
A.
B.
C.
D.
[解析] 对于A，应该是 ，故A错误;
对于B，应该是 ，故B错误；
对于C，D， ，故C错误，D正确.故选D.
√
3.［2025·上海青浦区高一期中］已知 ，则方程
的解集为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 当时,原方程可化为 ,解得；
当时,原方程可化为 ,解得,舍去；
当 时,原方程可化为,解得,舍去；
当 时，原方程可化为，解得 .
综上，方程的解集为 .
故选D.
4.分解因式时，甲看错 的值，分解的结果是
，乙看错的值，分解的结果是 ，则
____.
[解析] 由，甲看错的值，得 .
由，乙看错的值，得 ，
.
因式分解的方法
1.提取公因式法
利用提取公因式法进行因式分解的一般步骤可概括为“一找、二提、
三去除”.“一找”就是第一步要找出多项式中各项的公因式；“二提”就
是第二步将所找出的公因式提出来；“三去除”就是第三步提出公因式
后，可直接观察得出提公因式后剩下的另一个因式，也可以用原多项
式去除以公因式，所得的商即为提出公因式后剩下的另一个因式.
例1 分解因式： .
解： .
2.分组法、公式法
我们常见的一些乘法公式：
（1）平方差公式： ；
（2）完全平方公式： ；
（3）立方和公式： ；
（4）立方差公式： ；
（5）三数和平方公式：
；
（6）两数和立方公式： ；
（7）两数差立方公式： .
上述公式的逆过程，即为因式分解，所以一些多项式往往都是先分
组，而后应用提取公因式法、十字相乘法、公式法进行因式分解.
例2 把下列各式因式分解：
（1） ；
解： .
（2） ；
解： .
（3） ；
解：
.
例2 把下列各式因式分解：
（4） .
解：.
练习册
1.下列等式中，属于恒等式的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 对于A，当时，，故A错误；
对于B，取 , ，则 ，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，取 ,可得,与 无意义，故D错误.故选C.
√
2.已知多项式分解因式为 ，则( )
A., B.,
C., D.,
[解析] ,
， .故选D.
√
3.将分别加上下列各项，其中不能化成 的形式的是
( )
A. B. C. D.
[解析] 对于A， ，故A不符合题意；
对于B， ，故B不符合题意；
对于C， ，故C不符合题意；
对于D， 不能运用完全平方公式分解因式，
故D符合题意.故选D.
√
4.已知关于的方程的解集为 ，则实数 的值为( )
A.0 B.1 C. D.
[解析] 由，得，因为关于的方程
的解集为 ，所以，解得 .故选C.
√
5.若，则 的值为( )
A. B. C. D.
[解析] ,
解得 .故选A.
√
6.已知，其中, ,则符合条件的
整数 的个数为( )
A.3 B.4 C.6 D.8
[解析] , 整数的值可以为,, ，共6个.故选C.
√
7.（多选题）已知关于的方程 的解集为单元素集，则该
方程的解集可以是( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 由题意可知且，则原方程可化为 ，
即.
当时， ，此时原方程可化为，
解得（舍去），符合题意；
当 时，，此时原方程可化为，
解得（ 舍去），符合题意；
当时， ，此时原方程可化为，
解得.故选 .
8.［2024·云南楚雄高一期中］能够说明“存在不相等的正实数， ，
使得”是真命题的一组有序数对 为________
_______________.
（答案不唯一）
[解析] 由，得.
因为 ，，所以，则.
当时， ，故能够说明“存在不相等的正实数，，
使得 ”是真命题的，只要满足 即可.
9.（13分）
（1）已知关于的方程的解集为 ，求
的值.
解：由题知2是方程的解，所以 ，解得
，所以 .
（2）求关于的方程 的解集.
解：原方程可以化为 ,即.
当时,方程的解集为 ；当时，方程的解集为 .
10.［2025·上海普陀区高一期末］下列说法正确的是( )
A.解方程时，可以在方程两边同时除以 ，
得，解得
B.解方程时，对比方程两边知 ，
，解得
C.解方程 时，只要将两边开平方，方程就变形
为，从而解得
D.若一元二次方程的常数项为0，则0必为它的一个根
√
[解析] 对于A，在解方程的过程中，两边同时除以 ，
就产生失根即，所以原方程的根为或 ，
故A错误；
对于B，对比方程可知 或
可得或 ，故B错误；
对于C，对方程，两边开平方，
可得 ，解得或 ，故C错误；
对于D，若一元二次方程的常数项为0，
则方程为，即 ，
解得或，则 必为方程的一个根，故D正确.故选D.
11.（多选题）下列分解因式正确的是( )
A.
B.
C.
D.
[解析] 对于A，根据十字相乘法分解因式可知A正确；
对于B， ，故B错误；
对于C，根据平方差公式可知C正确；
对于D，根据完全平方公式可知D正确.故选 .
√
√
√
12.方程 的解集为_______.
,
[解析] 设，则原方程可化为 ，
即，所以或.
当时， ，此时方程无解；
当时，，解得 .
综上，该方程的解集为， .
13.已知等式对任意的实数 恒成立，
则所有实数对 的集合为____________________________．
,,,
[解析] 由题得对任意的实数 恒成立，
所以所以或或或
所以所有实数对的集合为,,, ．
14.（15分）将下列各式应用十字相乘法进行因式分解.
（1） ；
解：由十字相乘法，得
（2） ；
解：由十字相乘法，得
（3） ；
解：先提取，得 ，
再由十字相乘法，得 ,
故 .
（4） ；
解：先提取 ,再由十字相乘法，得
.
（5） .
解：将 看作一个整体，应用十字相乘法进行因式分解，
而后在每个因式里应用十字相乘法进行因式分解，所以原式
.
14.（15分）将下列各式应用十字相乘法进行因式分解.
15.在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形
（如图①），将余下的部分剪接拼成一个长方形（如图②），根据
两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证的等式为( )
①
②
A.
B.
C.
D.
√
[解析] 图①中阴影部分的面积为 ，图②中阴影部分的面积
为 ，因为两个图形中阴影部分的面积相等，
所以 .故选B.
①
②
16.（15分）已知关于的分式方程 .
（1）当 时，请判断这个方程是否有解，并说明理由；
解：这个方程无解.理由如下:
由题意知且.
当 时, 方程为,去分母，
得,即 ，此方程无解.
故当 时，这个方程无解.
（2）若这个分式方程有实数解，求实数 的取值范围.
解：由，得且,
这个分式方程有实数解，且，
且 ，故实数的取值范围是 .
16.（15分）已知关于的分式方程 .
快速核答案(导学案)
课前预习 知识点一 【诊断分析】（1）√ （2）× （3）√ （4）√ （5）√
知识点二 1.任意实数 代数变形 2. 【诊断分析】（1） （2）（3）
知识点三 【诊断分析】（1） （2）（3）
知识点四 1.未知数 集合 2.， 【诊断分析】（1）√ （2）√ （3）√
课中探究 探究点一 例1 （1）D （2） 变式 C 探究点二 （1）①② （2）略
探究点三 例3 （1） /. .（2） .（3）（4）.
（5） 变式 （1）..（2）..（3）.
（4）探究点四（1）① ②m>,③（2） 变式（1）C（2）C（3）A
课堂评价1.B 2.D 3.D 4.
备用习题 例1 例2 （1） （2）
（3） （4）
快速核答案(练习册)
基础巩固 1.C 2.D 3.D 4.C 5.A 6.C 7.ABC 8.（答案不唯一）
9.（1）（2）
综合提升 10.D 11.ACD 12., 13.,,,
14.（1） （2） （3）
（4） （5）
思维探索 15.B 16.（1）无解（2）第二章 等式与不等式
2.1 等式
2.1.1 等式的性质与方程的解集
【课前预习】
知识点一
诊断分析
(1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)√ [解析] (1)等式3a-2=2b两边同加2,得3a=2b+2,所以正确.
(2)等式-1=2y-3两边同乘2,得x-2=4y-6,所以错误.
(3)当a-c≠0时,≠0,则=,所以正确.
(4)等式x-2=4x+7两边同加2,得x=4x+9,两边同加-x,得0=3x+9,两边同加-9,得3x=-9,两边同除以3,得x=-3,所以正确.
(5)等式a=b两边同加-c,得a-c=b-c,两边同时乘(n-1)个(a-c),得(a-c)n=(b-c)(a-c)n-1,又因为a-c=b-c,所以(a-c)n=(b-c)n,所以正确.
知识点二
1.任意实数 代数变形
2.①x2+(a+b)x+ab ②(a+b)(a-b) ③a2±2ab+b2
④(a±b)(a2 ab+b2)
诊断分析
(1)(x-2)2 (2)9x2+3(a-b)x-ab
(3)(3-a)(9+3a+a2)
知识点三
(1)ab a+b C
诊断分析
(1)(x-2)(x-3) (2)(2x-1)(x-3)
(3)(5x-4y)(x+2y)
知识点四
1.未知数 集合 2.{x1,x2} {x1}
诊断分析
(1)√ (2)√ (3)√ [解析] (1)方程x2+2=0无实数解,所以解集为 .
(2)由十字相乘法得x2-5x+6=(x-2)(x-3)=0,所以方程的解集为{2,3}.
(3)x2-x+==0,即x-=0,所以x=,所以方程x2-x+=0的解集为.
【课中探究】
例1 (1)D (2) [解析] (1)对于A,在等式=的两边同时乘a,可得b=c,故A错误;对于B,在等式2x=2a-b的两边同时除以2,可得x=a-,故B错误;对于C,若a=0,则b,c不一定相等,故C错误;对于D,在等式a=b的两边同时除以c2+1 ,可得=,故D正确.故选D.
(2)由x=+两边同减去,得=,将=两边同乘6,得3x=2y,因为x≠0,所以3x=2y两边同除以2x,得=,所以=1+=.
变式 C [解析] 对于A,若=,则a=b,故A为真命题;对于B,因为a=b,c2+2≥2,所以a(c2+2)=b(c2+2),故B为真命题;对于C,当d=0时,无意义,故C为假命题;对于D,若a2n+1=b2n+1(n∈N),则a=b,故D为真命题.故选C.
例2 解:(1)①方法一:原式=(x2-1)[(x2+1)2-x2]=(x2-1)(x4+x2+1)=x6-1.
方法二:原式=(x+1)(x2-x+1)(x-1)(x2+x+1)=(x3+1)(x3-1)=x6-1.
②方法一:原式=(x+x-1)(x-x+1)=2x-1.
方法二:原式=x2-(x2-2x+1)=2x-1.
(2)证明:①(a+b+c)2=[(a+b)+c]2=(a+b)2+2(a+b)c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac).
②(a+b)3=(a+b)2(a+b)=(a2+2ab+b2)(a+b)=a3+a2b+2a2b+2ab2+ab2+b3=a3+3a2b+3ab2+b3.
③(a-b)3=(a-b)2(a-b)=(a2-2ab+b2)(a-b)=a3-a2b-2a2b+2ab2+ab2-b3=a3-3a2b+3ab2-b3.
例3 解:(1)由图①,得x2-3x+2=(x-1)(x-2).
(2)由图②,得x2+4x-12=(x-2)(x+6).
(3)由图③,得x2-(a+b)xy+aby2=(x-ay)(x-by).
(4)由图④,得6x2+xy-2y2=(2x-y)(3x+2y).
(5)先以(x2-2x)为主元,由图⑤,得(x2-2x)2-7(x2-2x)+12=(x2-2x-3)(x2-2x-4);再以x为主元,在x2-2x-3中应用十字相乘法进行因式分解,得x2-2x-3=(x-3)(x+1);最后用求根公式法对x2-2x-4进行因式分解,得x2-2x-4=(x-1-)(x-1+).
故(x2-2x)2-7(x2-2x)+12=(x-3)(x+1)(x-1-)(x-1+).
变式 解:(1)由图①,得x2+7x+12=(x+3)(x+4).
(2)由图②,得3x2+7x-6=(x+3)(3x-2).
(3)由图③,得2x2-xy-3y2=(x+y)(2x-3y).
(4)先以x2y2为主元,由图④,得x4y4-3x2y2-4=(x2y2-4)(x2y2+1),再由平方差公式得x2y2-4=(xy+2)(xy-2),故x4y4-3x2y2-4=(xy+2)(xy-2)(x2y2+1).
例4 (1)解:①原方程可化为4(2x+1)=3(x+2),整理得5x=2,解得x=,故其解集为.
②因为x2-2x-48=(x+6)(x-8),所以原方程可化为(x+6)(x-8)=0,解得x=8或x=-6,故其解集为{-6,8}.
③因为3x2-7x+4=(x-1)(3x-4),所以原方程可化为(x-1)(3x-4)=0,解得x=1或x=,故其解集为.
(2)原方程可化为(m2-4)x=m2-m-6,当m2-4=0时,m=±2.若m=2,则方程为0=-4,显然不成立,方程无解;
若m=-2,则方程为0=0,方程的解为R;若m≠±2,解方程得x===.
综上,当m=2时,方程的解集为 ;当m=-2时,方程的解集为R;当m≠±2时,方程的解集为.
变式 (1)C (2)C (3)A [解析] (1)由题得(x+3)(x-3)-3(x+3)=0,即(x+3)(x-3-3)=0,所以x+3=0或x-3-3=0,解得x=-3或x=6,所以所求解集为{-3,6}.故选C.
(2)由=+1,得x=1,因为关于x的方程=+1的解集为 ,所以-=0,解得a=.故选C.
(3)由题意可知x≠-1且x≠0,则原方程可化为x=,即x2-2x-m=0,由题意可得Δ=4+4m=0,解得m=-1,故x2-2x+1=0,解得x=1,所以所求解集为{1}.故选A.
【课堂评价】
1.B [解析] 如果a=b,那么当c≠0时,a+c=b-c不成立,故A错误;由 =,可知c≠0,则·c=·c,即a=b,故B正确;如果a=b,那么当c=0时,,无意义,故C错误;如果a2=3a,那么a=3或a=0,故D错误.故选B.
2.D [解析] 对于A,应该是x2-x=x(x-1),故A错误;对于B,应该是2x2-x-1=(2x+1)(x-1),故B错误;对于C,D,5x2-2x-3=(x-1)(5x+3),故C错误,D正确.故选D.
3.D [解析] 当x≤时,原方程可化为2-x+3-2x=5-3x,解得x≤;当4.-7 [解析] 由(x+6)(x-1)=x2+5x-6,甲看错a的值,得b=-6.由(x-2)(x+1)=x2-x-2,乙看错b的值,得a=-1,∴a+b=-7.第二章 等式与不等式
2.1 等式
2.1.1 等式的性质与方程的解集
1.C [解析] 对于A,当x=1时,x2≠0,故A错误;对于B,取x=0,y=1,则x+y=1≠0,故B错误;对于C,=·(x≠0,y≠0),故C正确;对于D,取x=y=-1,可得=1,与无意义,故D错误.故选C.
2.D [解析] ∵2(x-3)(x+1)=2(x2+x-3x-3)=2x2-4x-6,∴b=-4,c=-6.故选D.
3.D [解析] 对于A,4x2+1+4x=(2x+1)2,故A不符合题意;对于B,4x2+1-4x=(2x-1)2,故B不符合题意;对于C,4x4+4x2+1=(2x2+1)2,故C不符合题意;对于D,4x2+1+16x不能运用完全平方公式分解因式,故D符合题意.故选D.
4.C [解析] 由=+1,得x=1,因为关于x的方程=+1的解集为 ,所以-=0,解得a=.故选C.
5.A [解析] ∵+===,∴ 解得∴=.故选A.
6.C [解析] ∵-12=(-1)×12=1×(-12)=(-2)×6=2×(-6)=(-3)×4=3×(-4),∴整数a的值可以为±11,±4,±1,共6个.故选C.
7.ABC [解析] 由题意可知x≠-1且x≠0,则原方程可化为x=,即x2-2x-m=0.当x=0时,m=0,此时原方程可化为x2-2x=0,解得x=2(x=0舍去),符合题意;当x=-1时,m=3,此时原方程可化为x2-2x-3=0,解得x=3(x=-1舍去),符合题意;当Δ=4+4m=0时,m=-1,此时原方程可化为x2-2x+1=0,解得x=1.故选ABC.
8.(3,1)(答案不唯一) [解析] 由x2-2xy-3y2=0,得(x+y)(x-3y)=0.因为x>0,y>0,所以x+y>0,则x=3y.当x=3时,y=1,故能够说明“存在不相等的正实数x,y,使得x2-2xy-3y2=0”是真命题的x,y只要满足x=3y即可.
9.解:(1)由题知2是方程3a-x=+3的解,所以3a-2=1+3,解得a=2,所以(-a)2-2a+1=a2-2a+1=22-2×2+1=1.
(2)原方程可以化为(a+b)x=a2-b2,即(a+b)x=(a+b)(a-b).当a+b≠0时,方程的解集为{a-b};当a+b=0时,方程的解集为R.
10.D [解析] 对于A,在解方程的过程中,两边同时除以(x+2),就产生失根x+2=0即x=-2,所以原方程的根为x=-2或x=,故A错误;对于B,对比方程可知
或可得x=1或x=-6,故B错误;对于C,对方程(3y+2)2=4(y-3)2,两边开平方,可得3y+2=±2(y-3),解得y=-8或y=,故C错误;对于D,若一元二次方程的常数项为0,则方程为ax2+bx=0(a≠0),即x(ax+b)=0(a≠0),解得x=0或x=-,则x=0必为方程的一个根,故D正确.故选D.
11.ACD [解析] 对于A,根据十字相乘法分解因式可知A正确;对于B,(1-2m)2=1+4m2-4m,故B错误;对于C,根据平方差公式可知C正确;对于D,根据完全平方公式可知D正确.故选ACD.
12.{-1,1} [解析] 设x2+3=y,则原方程可化为y2-4y=0,即y(y-4)=0,所以y=0或y=4.当y=0时,x2+3=0,此时方程无解;当y=4时,x2+3=4,解得x=±1.综上,该方程的解集为{-1,1}.
13.{(3,0),(3,-2),(-1,0),(-1,-2)} [解析] 由题得k(x2-2x-3)+y2+2y=0对任意的实数k恒成立,所以所以或或或所以所有实数对(x,y)的集合为{(3,0),(3,-2),(-1,0),(-1,-2)}.
14.解:(1)由十字相乘法,得x2-6x-7=(x-7)(x+1).
(2)由十字相乘法,得6x2-7x-5=(2x+1)(3x-5).
(3)先提取-a,得-a3-4a2+12a=-a(a2+4a-12),再由十字相乘法,得a2+4a-12=(a+6)(a-2),故-a3-4a2+12a=-a(a+6)(a-2).
(4)先提取x2,再由十字相乘法,得x2y2-5x2y-6x2=x2(y2-5y-6)=x2(y-6)(y+1).
(5)将x2-4x看作一个整体,应用十字相乘法进行因式分解,而后在每个因式里应用十字相乘法进行因式分解,所以原式=(x2-4x+3)(x2-4x-5)=(x-1)(x-3)(x-5)(x+1).
15.B [解析] 图①中阴影部分的面积为a2-b2,图②中阴影部分的面积为(a+b)(a-b),因为两个图形中阴影部分的面积相等,所以a2-b2=(a+b)(a-b).故选B.
16.解:(1)这个方程无解.理由如下:由题意知x≠0且x≠-1.当m=-1时,方程为-=1,去分母,得x2-x-2+2x=x2+x,即-2=0,此方程无解.故当m=-1时,这个方程无解.
(2)由-=1,得x=(x≠0且x≠-1),∵这个分式方程有实数解,∴m≠-1.∵x≠0且x≠-1,∴m≠1且m≠-,故实数m的取值范围是.第二章 等式与不等式
2.1 等式
2.1.1 等式的性质与方程的解集
【学习目标】
1.熟练掌握等式的性质,会用等式性质解决恒等式问题,会求方程的解;
2.了解恒等式,熟练掌握分解因式的一般步骤;
3.能利用等式的性质和有关恒等式进行代数变形,求方程的解集.
◆ 知识点一 等式的性质
性质 符号语言
对称性 a=b b=a
传递性 a=b,b=c a=c
可加减性 a=b a±c=b±c
可乘性 a=b ac=bc
可除性 a=b,c≠0 =
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)由3a-2=2b,得3a=2b+2. ( )
(2)由-1=2y-3,得x-1=4y-6. ( )
(3)由a+c=b+c(a-c≠0),得=. ( )
(4)由x-2=4x+7,得x=-3. ( )
(5)由a=b,得(a-c)n=(b-c)n,n∈N*. ( )
◆ 知识点二 恒等式
1.定义
一般地,含有字母的等式,如果其中的字母取 时等式都成立,则称其为恒等式,也称等式两边恒等.恒等式是进行 的依据之一.
2.常用恒等式
①对任意的x,a,b,都有(x+a)(x+b)= ;
②平方差公式:a2-b2= ;
③完全平方公式:(a±b)2= ;
④立方和、立方差公式:a3±b3= .
【诊断分析】 (1)化简x2-4x+4= .
(2)(3x+a)(3x-b)= .
(3)多项式27-a3分解因式的结果是 .
◆ 知识点三 十字相乘法
(1)给定式子x2+Cx+D,如果能找到a和b,使得D= 且C= ,则x2+Cx+D=(x+a)(x+b),如图所示,其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于 ,因此,这种因式分解的方法称为“十字相乘法”.
(2)形如ax2+bx+c(a>0)的二次三项式十字相乘法:
因为(a1x+c1)(a2x+c2)=a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2,所以二次项系数a可分解成a1a2,常数项c可分解成c1c2,把二次项系数分解得到的a1a2写到第一列,常数项分解得到的c1c2写到第二列,写成的形式,按斜线交叉相乘再相加,就得到a1c2+a2c1,如果它正好等于ax2+bx+c的一次项系数b,那么ax2+bx+c就可以分解成(a1x+c1)(a2x+c2).
十字相乘要遵循“拆两头,凑中间”的原则.
①当常数项为正数时,应把它分解为两个同号因子的积,因子的符号与一次项系数的符号相同.
②当常数项为负数时,应把它分解为两个异号因子的积,使十字连线上绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同.
③当二次项系数为负数时,先提出负号,使二次项系数变为正数,然后再按照上述方法求解即可.
【诊断分析】 (1)因式分解:x2-5x+6= .
(2)因式分解:2x2-7x+3= .
(3)因式分解:5x2+6xy-8y2= .
◆ 知识点四 方程的解集
1.方程的解(或根)是指能使方程左右两边相等的 的值.一般地,把一个方程所有解组成的 称为这个方程的解集.
2.方程(x-x1)(x-x2)=0,当x1≠x2时解集为 ,当x1=x2时解集为 .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)方程x2+2=0的解集为 . ( )
(2)方程x2-5x+6=0的解集为{2,3}. ( )
(3)方程x2-x+=0的解集为. ( )
◆ 探究点一 等式的性质的应用
例1 (1)下列说法正确的是 ( )
A.在等式=的两边同时除以a,可得b=c
B.在等式2x=2a-b的两边同时除以2,可得x=a-b
C.在等式ab=ac的两边同时除以a,可得b=c
D.在等式a=b的两边同时除以c2+1,可得=
(2)如果x=+(x≠0),那么= .
变式 已知a,b,c,d∈R,则下列命题中为假命题的是 ( )
A.若=,则a=b
B.若a=b,则a(c2+2)=b(c2+2)
C.若=,则=
D.若a2n+1=b2n+1(n∈N),则a=b
[素养小结]
在运用等式的性质时要注意:(1)等式两边都要参加运算,并且是作同一种运算;(2)等式两边加或减、乘或除以的一定是同一个数或同一个式子;(3)等式两边不能同除以0,即0不能作除数或分母.
◆ 探究点二 化简、证明
例2 (1)化简下列各式.
①(x+1)(x-1)(x2-x+1)(x2+x+1);
②x2-(x-1)2.
(2)证明下面各个公式.
①三数和平方公式:(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac);
②两数和立方公式:(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3;
③两数差立方公式:(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3.
[素养小结]
化简的步骤为“一提”“二套”“三检查”“四检验”:
(1)先看是否能提取公因式;
(2)再看能否套用公式;
(3)再检查因式分解是否彻底;
(4)最后用多项式乘法检验分解是否正确.
◆ 探究点三 十字相乘法的应用
例3 用十字相乘法分解因式.
(1)x2-3x+2;
(2)x2+4x-12;
(3)x2-(a+b)xy+aby2(a,b为常数);
(4)6x2+xy-2y2;
(5)(x2-2x)2-7(x2-2x)+12.
变式 用十字相乘法分解因式.
(1)x2+7x+12;(2)3x2+7x-6;
(3)2x2-xy-3y2;(4)x4y4-3x2y2-4.
[素养小结]
(1)十字相乘法本质是一种针对二次三项式因式分解的方法,其核心在于将二次项系数和常数项拆分为两组数的乘积,通过交叉相乘验证中间项系数的匹配性.(2)十字相乘法的局限性:当二次项或常数项系数为质数且无法满足交叉相乘条件时需用求根公式.
◆ 探究点四 方程的解集
例4 (1)求下列方程的解集.
①=;②x2-2x-48=0;
③3x2-7x+4=0.
(2)[2025·上海普陀区高一期中] 已知m为实数,求关于x的方程m2x-m2=4x-m-6的解集.
变式 (1)一元二次方程(x+3)(x-3)=3(x+3)的解集是 ( )
A.{3} B.{6}
C.{-3,6} D.{-6,3}
(2)已知关于x的方程=+1的解集为 ,则实数a的值为 ( )
A.0 B.1 C. D.
(3)如果关于x的方程=的解集为单元素集,那么该方程的解集是 ( )
A.{1} B.{2}
C.{3} D.{4}
[素养小结]
(1)求解方程问题的关键是通过同解变形,得到满足等式成立时对应的x的值,一些变形过程要注意对等式性质的应用;
(2)求解一元一次方程,若一次项系数含参数,则要对其是否为0进行讨论,求解一元二次方程,可采用十字相乘法将其因式分解,要注意方程中各个系数是否满足应用十字相乘法的条件,否则采用求根公式法或配方法进行求解.
1.下列说法中正确的是 ( )
A.如果a=b,那么a+c=b-c
B.如果 =,那么a=b
C.如果a=b,那么 =
D.如果a2=3a,那么a=3
2.下列因式分解正确的是 ( )
A.x(x-1)=x2-x
B.(2x+1)(x-1)=2x2-x-1
C.5x2-2x-3=(x+1)(5x-3)
D.5x2-2x-3=(x-1)(5x+3)
3.[2025·上海青浦区高一期中] 已知x∈R,则方程|x-2|+|2x-3|=|3x-5|的解集为 ( )
A.
B.∪(2,+∞)
C.
D.∪[2,+∞)
4.分解因式x2+ax+b时,甲看错a的值,分解的结果是(x+6)(x-1),乙看错b的值,分解的结果是(x-2)(x+1),则a+b= . 第二章 等式与不等式
2.1 等式
2.1.1 等式的性质与方程的解集
1.下列等式中,属于恒等式的是 ( )
A.x2=0
B.x+y=0
C.=·
D.=·
2.已知多项式2x2+bx+c分解因式为2(x-3)(x+1),则 ( )
A.b=3,c=-1
B.b=-6,c=2
C.b=-6,c=-4
D.b=-4,c=-6
3.将4x2+1分别加上下列各项,其中不能化成(a+b)2的形式的是 ( )
A.4x B.-4x
C.4x4 D.16x
4.已知关于x的方程=+1的解集为 ,则实数a的值为 ( )
A.0 B.1
C. D.
5.若=+,则的值为 ( )
A. B.-
C. D.-
6.已知x2-ax-12=(x+m)(x+n),其中m,n∈Z,则符合条件的整数a的个数为 ( )
A.3 B.4
C.6 D.8
7.(多选题)已知关于x的方程=的解集为单元素集,则该方程的解集可以是 ( )
A.{1} B.{2}
C.{3} D.{4}
8.[2024·云南楚雄高一期中] 能够说明“存在不相等的正实数x,y,使得x2-2xy-3y2=0”是真命题的一组有序数对(x,y)为 .
9.(13分)(1)已知关于x的方程3a-x=+3的解集为{2},求(-a)2-2a+1的值.
(2)求关于x的方程a(x-a)+b(x+b)=0的解集.
10.[2025·上海普陀区高一期末] 下列说法正确的是 ( )
A.解方程3x(x+2)=5(x+2)时,可以在方程两边同时除以(x+2),得3x=5,解得x=
B.解方程(x+2)(x+3)=3×4时,对比方程两边知x+2=3,x+3=4,解得x=1
C.解方程(3y+2)2=4(y-3)2时,只要将两边开平方,方程就变形为3y+2=2(y-3),从而解得y=-8
D.若一元二次方程的常数项为0,则0必为它的一个根
11.(多选题)下列分解因式正确的是 ( )
A.a2-5a+6=(a-2)(a-3)
B.1-4m2+4m=(1-2m)2
C.-4x2+y2=-(2x+y)(2x-y)
D.3ab+a2b2+9=
12.方程(x2+3)2-4(x2+3)=0的解集为 .
13.已知等式kx2+y2-2kx+2y-3k=0对任意的实数k恒成立,则所有实数对(x,y)的集合为 .
14.(15分)将下列各式应用十字相乘法进行因式分解.
(1)x2-6x-7;
(2)6x2-7x-5;
(3)-a3-4a2+12a;
(4)x2y2-5x2y-6x2;
(5)(x2-4x)2-2(x2-4x)-15.
15.在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a>b)(如图①),将余下的部分剪接拼成一个长方形(如图②),根据两个图形中阴影部分的面积相等,可以验证的等式为( )
① ②
A.(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2
B.a2-b2=(a+b)(a-b)
C.(a+b)2=a2+2ab+b2
D.(a-b)2=a2-2ab+b2
16.(15分)已知关于x的分式方程-=1.
(1)当m=-1时,请判断这个方程是否有解,并说明理由;
(2)若这个分式方程有实数解,求实数m的取值范围.
