(共88张PPT)
2.1 等式
2.1.2 一元二次方程的解集及其
根与系数的关系
探究点一 一元二次方程判别式的应用
探究点二 一元二次方程的解集
探究点三 一元二次方程根与系数的关系
探究点四 利用根与系数的关系求字母的
值或范围
◆
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
课堂评价
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.了解一元二次方程的概念，能用配方法求一元二次方程的解集;
2.掌握一元二次方程的求根公式并能熟练应用;
3.理解一元二次方程根与系数的关系，并会用根与系数的关系解
决一元二次方程问题.
知识点一 一元二次方程的解集
通过配方法将一元二次方程 化为
_______，即 _______.
_ ______________________
___
一般地，称为一元二次方程 根
的________.由此可知，一元二次方程解集的情况完全由它的______
决定.
注意：运用判别式解题时，特别注意一元二次方程
的隐含条件 .
判别式
系数
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）方程的解集的情况由 决定.( )
×
[解析] 当时,方程解集的情况由 决定，故错误.
（2）方程满足 .( )
×
[解析] 当时， ，故错误.
（3）方程的解集是 .( )
√
[解析] 因为，所以方程的解集是 ，故正确.
（4）方程 一定有实数解. ( )
√
[解析] 因为 ，所以方程一定有实数解.
知识点二 一元二次方程根与系数的关系
1.对于二次项系数为1的一元二次方程 ，常用以下关
系：若，是此方程的两根，则， ，反过来
可得， ，前者是已知系数确定根的相关问题，
后者是已知两根确定方程中未知系数.
2.对于二次项系数不为1的一元二次方程，若，
是此方程的两根，则， ，反过来也成立，即
， .
3.常用根与系数的关系解决以下问题：
（1）不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根.
（2）已知含参数的方程及方程的一个根，求另一个根及方程中的参数.
（3）不解方程求关于根的式子的值.
（4）判断两根的符号.
（5）求作新方程.
（6）由给出的两根满足的条件，确定字母的取值.这类问题比较综合，
解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑， 这两
个前提条件.
给出下列几种变形：
① ；
② ；
③ ；
④ ；
⑤ ；
⑥ .
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）方程的解分别为，，则 .( )
×
[解析] ,故错误.
（2）若一元二次方程满足, ,则
该方程有一个正实数根，一个负实数根，且负实数根的绝对值大于
正实数根的绝对值.( )
√
[解析] 因为 ，所以该方程有两个不等的实数根.
因为,所以 ,
即该方程有一个正实数根，一个负实数根，
又因为,所以 ，
所以该方程的负实数根的绝对值大于正实数根的绝对值.
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（3）给定方程，若， ，则
， 是该方程的根.( )
×
[解析] 对于， ，
故该方程无解.
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
探究点一 一元二次方程判别式的应用
例1（1）下列四个结论中正确的是( )
A.方程 有两个不相等的实数根
B.方程 有两个不相等的实数根
C.方程 有两个不相等的实数根
D.方程（其中为常数，且 ）有两个不相等的实数根
√
[解析] 对于A，由，得，，
原方程有两个相等的实数根，故A错误；
对于B，由 ，得，，
原方程没有实数根，故B错误；
对于C，由，得，，
原方程有两个相等的实数根，故C错误；
对于D，由，得，，
原方程有两个不相等的实数根，故D正确.故选D.
（2）若关于的方程 的解集为非空
集合，则实数 的取值范围是________.
[解析] 当，即时，
方程为，解得 ，满足题意；
当，即时，若关于 的方程的解集为非空集合，
则,解得， .
综上，实数的取值范围是 .
（3）若关于的一元二次方程 有两个不相等
的实数根，则实数 的取值范围是_______________．
[解析] 因为关于的一元二次方程 有两个不
相等的实数根，所以解得且 ，故
实数的取值范围为 .
［素养小结］
一元二次方程的解的情况分为“无实数根”“有两个相等的实数根”“有
两个不相等的实数根”三种情况，注意与判别式的对应关系．
探究点二 一元二次方程的解集
［探索］ 如何求一元二次方程,,为常数,
的解
解：判断的符号.
若 ,则方程无解;
若 ,则方程有解,求解方法有:
①应用求根公式 求解;
②配方法,由 ,
得 ,然后进行开平方运算;
③因式分解法,由十字相乘法得
,
则原方程可化为,故方程的解为或 .
例2 求下列方程的解集.
（1） ；
解：因为 ，
所以原方程有两个不相等的实数根.
由求根公式可得， ，
故该方程的解集为 .
（2） ；
解：设，则原方程为 ，
因为,且 ，
所以（舍去）或，即,解得或 ，
故该方程的解集为 .
（3） .
解：原方程可化为，
解得 或，所以原方程的解集为, .
例2 求下列方程的解集.
变式 求下列方程的解集.
（1） ；
解：原方程可化为 , ,
由求根公式得, ，故该方程的解集为 .
（2） ；
解：设，则,原方程等价于 ，
，
由求根公式得, （舍去）,
则,故该方程的解集为 .
变式 求下列方程的解集.
（3） .
解：设,则,原方程可化为 ,
即,所以,.
当 时，,经检验，是原方程的实数根；
当 时，此方程无实数根.故该方程的解集为 .
变式 求下列方程的解集.
［素养小结］
（1）求一元二次方程的解集时要注意，当
时,可应用因式分解
法、配方法或求根公式法求出方程的解集.
（2）若方程能够进行因式分解，则其必满足
，故此时可不用
判断
与0的大小关系，可直接根据因式写出解集.
探究点三 一元二次方程根与系数的关系
例3 若和是一元二次方程 的两个根，试用根与
系数的关系求下列各式的值.
（1） ；
解：因为和是一元二次方程 的两个根，
所以， ，
所以 .
（2） .
解：由（1）知，，
所以
.
变式（1）［2025·河北邯郸高一期中］甲、乙两位同学解关于 的方
程，甲同学写错了常数，得到的根为 或
，乙同学写错了常数，得到的根为或，则 的
值为( )
A.17 B.7 C. D.
[解析] 由题意知，则，由题意知 ，
则,所以 .故选D.
√
（2）已知实数,满足条件, ，
则 ___.
[解析] 实数,满足条件, ,
且， 可把,看成是方程 的两个根，
,, .
（3）已知关于的方程,, 是此方程的
两个根，现给出三个结论：
;； .
其中正确结论的序号是______.
①②
[解析] ,
，故①正确；
,故②正确；
,即,
,即 ，故③错误.
综上所述,正确结论的序号是①②.
［素养小结］
一元二次方程根与系数的关系的应用需满足根存在，常见的转化关
系有
，
，
，
.
探究点四 利用根与系数的关系求字母的值或范围
例4（1）［2025·江西赣州高一期中］若关于 的方程
的解为,，且 ，则实数
的值为( )
A. B. C.1 D.4
[解析] 因为关于的方程的解为, ，
所以,，因为 ，
所以，可得 .故选B.
√
（2）已知关于的方程 有两个不相等的
实数根，且两个根均大于0，则实数 的取值范围为______________
___.
[解析] 由题得,即，
解得 或.
设关于的方程的两个不相等的实数根为， ，
则解得.
综上，实数 的取值范围为 .
变式 已知关于的方程 有两个不相等
的实数根.
（1）求实数 的取值范围；
解：因为关于的方程 有两个不相等的
实数根,所以，即 ，
解得，故实数的取值范围为 .
（2）设方程的两个实数根为, ，且
，求实数 的值.
解：由（1）知，由方程
的两个实数根为,，可得 ，
因为 ，
所以，
解得或 （舍去），所以实数 的值为1.
变式 已知关于的方程 有两个不相等
的实数根.
［素养小结］
（1）利用一元二次方程根与系数的关系求待定字母的值时，务必注
意根与系数的关系应用的前提条件，即
.
（2）利用根与系数关系
,
能够建立根与系数的
方程，进而求解有关参数问题.
1.已知，是方程的两个根，则 的值为
( )
A. B.2 C. D.
[解析] 因为，是方程 的两个根，
所以，，所以 故选D.
√
2.若关于的方程无实数根，则实数 的取值范围
为( )
A. B.
C.且 D.
[解析] 当时，原方程的根是，不符合题意；
当 时，由题意知，解得 .故选B.
√
3.一元二次方程 有一个正根和一个负根的一
个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
[解析] 设方程的两个根分别为， ，
若一元二次方程 有一个正根和一个负根，
则解得 .
结合选项知，一元二次方程 有一个正根
和一个负根的一个充分不必要条件是 .故选C．
√
4.［2025·浙江嘉兴高一期中］已知，若关于 的方程
有两个不相等的实数根，，则 的取值
范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 关于的方程 有两个不相等的实数根，
解得 ，
.故选C.
√
5.若关于的方程中 为实数，则该方程
( )
A.没有实根 B.有两相等实根 C.有两不等实根 D.无法判断
[解析] 因为
，所以该方程有两不等实根.故选C.
√
弗朗索瓦·韦达1540年生于法国的普瓦图，1603年12月13日卒于
巴黎.他早年的时候是法律专业的学生，当过律师，后从事政治活动，
当过议会的议员，不过，他将自己的业余时间都奉献给了有魅力的
数学，并且一生保有这个爱好.在法国与西班牙战争期间，他曾破译
西班牙作战机密，首次崭露数学才能，但却遭受西班牙宗教裁判所
判决处以焚烧致死的极刑，幸未能执行.因为韦达的这一次立功，他
之后得到了更为重要的职位，如法国检察官、法国最高律师等.虽然
数学只是韦达的业余爱好，但是他在数学领域取得的成就使其成为
法国十六世纪最有影响力的数学家，在欧洲被尊称为“代数学之父”.
他出版了多部数学专著，其中《论方程的识别与订正》一书中讨论
了方程根的多种有理变换，记载了著名的韦达定理，即方程的根与
系数的关系.
1.一元二次方程的解法
直接开 平方法
配方法
公式法
因式分 解法
2.一元二次方程根与系数关系的应用
（1）不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是否为一元二
次方程的两个根.
（2）已知方程的一个根，求方程的另一个根及未知系数.
（3）不解方程，可以利用根与系数的关系求关于
，
的式子的值.
此时，常常涉及代数式的一些重要变形，如：
①
；
②
；
③ ；
④ ；
⑤ ；
⑥ ；
⑦ ；
⑧ ；
⑨ ；
⑩ .
（4）已知方程的两根，写出一个一元二次方程.
以两个数,为根的一元二次方程是 .
（5）已知一元二次方程的两个根满足某种关系，确定方程中未知系
数的值或取值范围.
（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号.
例1 （多选题）早在古巴比伦时期，人们就会解一元二次方程.16世
纪上半叶，数学家们得到了一元三次方程、一元四次方程的解法.设
实系数一元三次方程的根为， ，
，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.
D.若 ，则1是原方程的一个根
√
√
√
[解析] 由题知
，
，， ，
当时，.故选 .
例2 已知关于的方程 ，根据下列条件，
分别求出 的值.
（1）方程两个实数根的积为5；
解： 方程两个实数根的积为5,
解得 ,
当 时，方程两个实数根的积为5.
（2）方程的两个实数根,满足 .
解：①当时，， 方程有两个相等的非负实数根，
故，解得 ，经验证，满足题意；
②当时，，则，即 ，
解得，由得，故 不符合题意，舍去.
综上可得，当时，方程的两个实数根,满足 .
练习册
1.用配方法解一元二次方程 时，方程变形正确的是
( )
A. B. C. D.
√
[解析] ，移项得 ，
两边都加上1得，即 .故选B.
2.已知关于的方程 的一个根为2，则另一个根是
( )
A. B. C.3 D.6
[解析] 关于的方程的一个根为2，
设方程的另一个根为 ，可得，解得 故选A.
√
3.已知集合, ，若
，则实数 的取值集合为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由题得.
若 ，则 且，解得.
若中只有一个元素， 中的方程为一元二次方程，
则解得 ，此时,不符合题意；
中的方程为一元一次方程，则 ，
此时，不符合题意.
当时， ，符合题意.
综上，实数的取值集合为 .故选D.
4.若关于的方程的两根分别是,，则
( )
A.6 B.7 C.8 D.9
√
因为,是方程的两根，所以, ,
所以 .故选C.
5.已知关于的方程 有两个不相等的实
数根，且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，则 的值为
( )
A.17 B. C.17或 D. 或1
√
[解析] 设关于的方程 的两个根
分别为,，则, ，
由题可知 ，即
，解得或.
因为关于 的方程 有两个不相等的
实数根，所以，
解得，所以 .故选B.
6.［2025·贵州遵义高一期中］若,是一元二次方程
的两个实数根，且，则 的值为( )
A. B.3 C.2 D.1
[解析] 因为,是一元二次方程 的两个实数根，
所以，解得，
由根与系数的关系得 ，，
因为 ，
所以，解得 .故选A.
√
7.设实数,分别满足, 且
，则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 易知,由，得 ,
因为,,
所以, 是方程的两个根,
所以,,所以
.故选B.
8.（多选题）已知等腰三角形的三边长分别为,,3，且,是关于
的方程的两根，则 的值可能为( )
A.15 B.16 C.17 D.18
√
√
[解析] 若3为等腰三角形的底边长，则，因为,是关于 的
方程的两根，所以，解得 ，
此时三角形的三边长分别为3，4，4，这样的三角形存在，
所以，解得.
若3为等腰三角形的腰长，则, 中有一个为3，不妨设，
因为,是关于 的方程的两根，
所以，所以 ，
此时三角形的三边长分别为3，3，5，这样的三角形存在，
所以，解得.综上，或.故选 .
9.若关于的方程 的两个不等实根的平方和为
1，则实数 的值为_______.
0或
[解析] 设关于的方程的两根为, ，
则, ，
所以，
解得 或,又,所以或 .
10.（13分）若,是方程 的两个根，试求下列
各式的值：
解：由题意得, .
.
（1） ；
（2） ；
解： .
（3） ；
解：
.
（4） .
解： .
10.（13分）若,是方程 的两个根，试求下列
各式的值：
11.（多选题）已知关于的方程 ，下列说法
正确的是( )
A.若方程有两个互为相反数的实数根，则
B.若方程没有实数根，则方程 必
有两个不相等的实数根
C.若二次三项式是完全平方式，则
D.若 ，则方程必有两个不相等的实数根
√
√
√
[解析] 对于A，若方程有两个互为相反数的实数根, ，
则，即 ，故A正确；
对于B，若方程没有实数根，
则，即 ，又，所以，
则方程 的判别式，
所以方程 必有两个不相等的实数根，故B正确；
对于C，若二次三项式 是完全平方式，
则，故C正确；
对于D，若 ，则，
解得，故D错误.故选 .
12.方程 的解集是____________．
[解析] ,.
令 ,可得,,或.
由 ,可得,无解.
由,可得 ,解得.
故原方程的解集为 .
13.已知,,,是关于的方程 的两个实根，
,是关于的方程的两个实根，则 ___.
3
[解析] 因为,,,是关于的方程 的两个实根，
所以由根与系数的关系得,，
因为, 是关于的方程 的两个实根，
所以,，
即 ，，
所以解得
经验证可得 所以所以 .
14.（15分）已知 ，一个二次项系数为1的一元二次方程的两个
不等实根分别为和，且满足
（1）直接写出该一元二次方程；
解：因为
所以 ，
所以 ，所以这个一元二次方程为 ，
即，即 .
（2）若，求 的取值范围.
14.（15分）已知 ，一个二次项系数为1的一元二次方程的两个
不等实根分别为和，且满足
解：由
,可得 ,
由,可得,则 ,
对于方程 ,,
可得 ,所以,解得或 ,
因此实数的取值范围是 .
15.［2025·辽宁大连高一期中］“实数 ”是“集合
中恰有一个元素”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
[解析] 方程等价于且， .
对于方程，当，
即时，解得 ，符合题意；
当，即时，
若其中一个根为 ，由根与系数的关系可知另一根为，
有 ，符合方程只有一个实数根；
若其中一个根为 ，由根与系数的关系可知另一根为，
有，符合方程 只有一个实数根.
所以“实数”是“集合 中恰有一个元
素”的充分不必要条件.故选A.
16.（15分）已知，是关于 的一元二次方程
的两个实数根.
（1）若，求实数 的值.
解：因为，是关于的一元二次方程
的两个实数根，所以解得，
则 ， .
因为，所以，即 ，
即 ，即，解得 .
（2）是否存在实数，使 成立？若存在，
求出 的值；若不存在，请说明理由.
16.（15分）已知，是关于 的一元二次方程
的两个实数根.
解：由（1）知，，，
假设存在实数 ，使 成立，
则 成立，
解得，因为，所以不存在实数 ，
使 成立.
（3）若，求整数 的值.
解：由（1）知，， ，
则 ，
因为，所以，又为整数，
所以 ，，，又，所以或或 .
16.（15分）已知，是关于 的一元二次方程
的两个实数根.
快速核答案(导学案)
课前预习 知识点一
判别式 系数
【诊断分析】 （1）× （2）× （3）√ （4）√ 知识点二 【诊断分析】 （1）× （2）√ （3）×
课中探究 探究点一 例1 （1）D （2）
（3）
探究点二［探索］略 例2 （1）
（2）
（3）
,
变式 （1）
（3）
探究点三 例3 （1）（2）
变式 （1）D （2） （3）①②
探究点四 例4 （1）B （2） 变式 （1） （2）1
课堂评价 1.D 2.B 3.C 4.C 5.C
备用习题 例1 ACD 例2 （1）（2）
快速核答案(练习册)
基础巩固 1.B 2.A 3.D 4.C 5.B 6.A 7.B 8.BC 9.0或
10.（1） （2）
（3）（4）
综合提升 11.ABC 12. 13.3
14.（1） （2）
思维探索 15.A 16.（1） （2）不存在（3） 或或2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【课前预习】
知识点一
判别式 系数
诊断分析
(1)× (2)× (3)√ (4)√ [解析] (1)当a≠0时,方程解集的情况由Δ=b2-4ac决定,故错误.
(2)当n=m时,Δ=0,故错误.
(3)因为Δ=-3<0,所以方程的解集是 ,故正确.
(4)因为Δ=a2+4a2=5a2≥0,所以方程一定有实数解.
知识点二
诊断分析
(1)× (2)√ (3)× [解析] (1)x1+x2=-=-2,故错误.
(2)因为Δ=b2-4ac>0,所以该方程有两个不等的实数根.因为ac<0,所以x1x2=<0,即该方程有一个正实数根,一个负实数根,又因为ab>0,所以x1+x2=-<0,所以该方程的负实数根的绝对值大于正实数根的绝对值.
(3)对于x2-2x+3=0,Δ=(-2)2-4×3=-8<0,故该方程无解.
【课中探究】
例1 (1)D (2) (3)(-∞,1)∪(1,2)
[解析] (1)对于A,由x≠0,得x2+2x+1=0,∵Δ=0,∴原方程有两个相等的实数根,故A错误;对于B,由x≠0,得x2-x+1=0,∵Δ<0,∴原方程没有实数根,故B错误;对于C,由x≠0,得x2-2x+1=0,∵Δ=0,∴原方程有两个相等的实数根,故C错误;对于D,由x≠0,得x2-ax+1=0,∵Δ>0,∴原方程有两个不相等的实数根,故D正确.故选D.
(2)当k-2=0,即k=2时,方程为5x+1=0,解得x=-,满足题意;当k-2≠0,即k≠2时,若关于x的方程的解集为非空集合,则Δ=(2k+1)2-4(k-2)2×1≥0,解得k≥,k≠2.综上,实数k的取值范围是.
(3)因为关于x的一元二次方程(1-k)x2-2x-1=0有两个不相等的实数根,所以解得k<2且k≠1,故实数k的取值范围为(-∞,1)∪(1,2).
探索 解:判断Δ=b2-4ac的符号.若Δ<0,则方程无解;
若Δ≥0,则方程有解,求解方法有:
①应用求根公式x=求解;
②配方法,由ax2+bx+c=a+=0,
得=,然后进行开平方运算;
③因式分解法,由十字相乘法得ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2),则原方程可化为a(x-x1)(x-x2)=0,故方程的解为x=x1或x=x2.
例2 解:(1)因为Δ=36-4×3×(-2)=60>0,所以原方程有两个不相等的实数根.由求根公式可得x1=1-,x2=1+,故该方程的解集为.
(2)设x2=t(t≥0),则原方程为t2-5t-6=0,因为Δ=25-4×(-6)=49>0,且t2-5t-6=(t-6)(t+1)=0,所以t=-1(舍去)或t=6,即x2=6,解得x=或x=-,故该方程的解集为.
(3)原方程可化为[x-(m+1)][x-(m-1)]=0,解得x=m+1或x=m-1,所以原方程的解集为{m+1,m-1}.
变式 解:(1)原方程可化为9x2+6x-8=0,Δ=62-4×9×(-8)=324>0,由求根公式得x1=,x2=-,故该方程的解集为.
(2)设=t(t≥0),则x=t2,原方程等价于4t2-t-1=0,Δ=(-1)2-4×4×(-1)=17>0,
由求根公式得t1=,t2=(舍去),
则x==,故该方程的解集为.
(3)设x+=y,则x2+=y2-2,原方程可化为y2+y-2=0,即(y+2)(y-1)=0,所以y1=-2,y2=1.当x+=-2时,x1=x2=-1,经检验,-1是原方程的实数根;当x+=1时,此方程无实数根.故该方程的解集为{-1}.
例3 解:(1)因为x1和x2是一元二次方程2x2+5x-3=0的两个根,所以x1+x2=-,x1x2=-,所以+====.
(2)由(1)知x1+x2=-,x1x2=-,所以+=(x1+x2)(+-x1x2)=-=-×=-.
变式 (1)D (2) (3)①② [解析] (1)由题意知-1+=-,则b=-5,由题意知6×=,则c=-12,所以b+c=-5-12=-17.故选D.
(2)∵实数a,b满足条件a2-7a+2=0,b2-7b+2=0,且a≠b,∴可把a,b看成是方程x2-7x+2=0的两个根,∴a+b=7,ab=2,∴+====.
(3)∵Δ=[-(a+b)]2-4(ab-1)=(a-b)2+4>0,∴x1≠x2,故①正确;x1x2=ab-1a2+b2,即+>a2+b2,故③错误.综上所述,正确结论的序号是①②.
例4 (1)B (2)(-∞,-2)∪ [解析] (1)因为关于x的方程x2+2(m-1)x+m2-m=0的解为x1,x2,所以x1+x2=-2(m-1),x1x2=m2-m,因为+==2,所以=2,可得m=-1.故选B.
(2)由题得Δ=(m-4)2-4(5-2m)>0,即m2>4,解得m>2或m<-2.设关于x的方程的两个不相等的实数根为x1,x2,则解得m<.综上,实数m的取值范围为(-∞,-2)∪.
变式 解:(1)因为关于x的方程x2-2(m+1)x+m2-3=0有两个不相等的实数根,所以Δ=4(m+1)2-4(m2-3)>0,即8m+16>0,解得m>-2,故实数m的取值范围为(-2,+∞).
(2)由(1)知m>-2,由方程x2-2(m+1)x+m2-3=0的两个实数根为x1,x2,可得x1+x2=2(m+1),因为(x1+x2)2-(x1+x2)-12=0,所以4(m+1)2-2(m+1)-12=0,解得m=1或m=-(舍去),所以实数m的值为1.
【课堂评价】
1.D [解析] 因为x1,x2是方程x2-2x-1=0的两个根,所以x1+x2=2,x1x2=-1,所以+===-2.故选D.
2.B [解析] 当m=0时,原方程的根是-,不符合题意;当m≠0时,由题意知Δ=22-4×m×1<0,解得m>1.故选B.
3.C [解析] 设方程ax2+5x+4=0(a≠0)的两个根分别为x1,x2,若一元二次方程ax2+5x+4=0(a≠0)有一个正根和一个负根,则解得a<0.结合选项知,一元二次方程ax2+5x+4=0(a≠0)有一个正根和一个负根的一个充分不必要条件是a<-2.故选C.
4.C [解析] ∵关于x的方程mx2-4x+2=0有两个不相等的实数根,∴解得05.C [解析] 因为Δ=(m-1)2+4(m+2)=m2+2m+9=(m+1)2+8>0,所以该方程有两不等实根.故选C.2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系
1.B [解析] x2-2x-3=0,移项得x2-2x=3,两边都加上1得x2-2x+1=3+1,即(x-1)2=4.故选B.
2.A [解析] 关于x的方程x2+x-a=0的一个根为2,设方程的另一个根为t,可得2+t=-1,解得t=-3.故选A.
3.D [解析] 由题得A={x|2x2-x-3=0}=.若B= ,则a≠0且Δ=1+12a<0,解得a<-.若B中只有一个元素,①B中的方程为一元二次方程,则解得a=-,此时B={-6},不符合题意;②B中的方程为一元一次方程,则a=0,此时B={-3},不符合题意.当B=A时,a=2,符合题意.综上,实数a的取值集合为{2}∪.故选D.
4.C [解析] 因为x1,x2是方程x2-6x+2=0的两根,所以x1+x2=6,x1x2=2,所以+====8.故选C.
5.B [解析] 设关于x的方程x2+2(m-2)x+m2+4=0的两个根分别为x1,x2,则x1+x2=-2(m-2),x1x2=m2+4,由题可知+-x1x2=21,即(x1+x2)2-3x1x2=4(m-2)2-3(m2+4)=m2-16m+4=21,解得m=-1或m=17.因为关于x的方程x2+2(m-2)x+m2+4=0有两个不相等的实数根,所以Δ=4(m-2)2-4(m2+4)>0,解得m<0,所以m=-1.故选B.
6.A [解析] 因为x1,x2是一元二次方程x2+x+a=0的两个实数根,所以Δ=1-4a≥0,解得a≤,由根与系数的关系得x1+x2=-1,x1·x2=a,因为+=(x1+x2)2-2x1·x2=3,所以1-2a=3,解得a=-1.故选A.
7.B [解析] 易知n≠0,由n2+20n+19=0,得19+20·+1=0,因为19m2+20m+1=0,mn≠1,所以m,是方程19x2+20x+1=0的两个根,所以m+=-,=,所以=2m++=2+3×=2×+=-.故选B.
8.BC [解析] 若3为等腰三角形的底边长,则a=b,因为a,b是关于x的方程x2-8x-1+m=0的两根,所以a+b=8,解得a=b=4,此时三角形的三边长分别为3,4,4,这样的三角形存在,所以ab=m-1=16,解得m=17.若3为等腰三角形的腰长,则a,b中有一个为3,不妨设a=3,因为a,b是关于x的方程x2-8x-1+m=0的两根,所以a+b=8,所以b=8-3=5,此时三角形的三边长分别为3,3,5,这样的三角形存在,所以ab=m-1=15,解得m=16.综上,m=17或m=16.故选BC.
9.0或- [解析] 设关于x的方程x2-(2a+1)x+a=0的两根为x1,x2,则x1+x2=2a+1,x1x2=a,所以+=(x1+x2)2-2x1x2=(2a+1)2-2a=1,解得a=0或a=-,又Δ=(2a+1)2-4a>0,所以a=0或a=-.
10.解:由题意得x1+x2=-2,x1x2=-2023.
(1)+=(x1+x2)2-2x1x2=(-2)2-2×(-2023)=4050.
(2)+===.
(3)(x1-5)(x2-5)=x1x2-5(x1+x2)+25=-2023-5×(-2)+25=-1988.
(4)|x1-x2|====4.
11.ABC [解析] 对于A,若方程有两个互为相反数的实数根x1,x2,则x1+x2=-=0,即b=0,故A正确;对于B,若方程ax2+bx+c=0没有实数根,则b2-4ac<0,即b2<4ac,又b2≥0,所以4ac>0,则方程ax2+bx-c=0的判别式Δ=b2+4ac>4ac>0,所以方程ax2+bx-c=0必有两个不相等的实数根,故B正确;对于C,若二次三项式ax2+bx+c是完全平方式,则b2-4ac=0,故C正确;对于D,若b=c=0,则ax2+bx+c=ax2=0,解得x=0,故D错误.故选ABC.
12. [解析] ∵+=,∴ +=.令t=,可得t+=,∴ 3t2-10t+3=0,∴ t=3或t=.由=3,可得3x2-x+3=0,无解.由=,可得x2-3x+1=0,解得x=.故原方程的解集为.
13.3 [解析] 因为p,q∈R,x1,x2是关于x的方程x2+px+q=0的两个实根,所以由根与系数的关系得x1+x2=-p,x1x2=q,因为x1+1,x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两个实根,所以x1+1+x2+1=-q,(x1+1)(x2+1)=p,即x1+x2=-q-2,x1+x2+x1x2=p-1,所以解得经验证可得
所以所以pq=3.
14.解:(1)因为所以(x1+x2)2=++2x1x2=2m2-4+2x1x2=m2,所以x1x2=2-,
所以这个一元二次方程为(x-x1)(x-x2)=0,即x2-(x1+x2)x+x1x2=0,即x2-mx+2-=0.
(2)由(3x1-x2)(3x2-x1)=10x1x2-3(+)=10-3(2m2-4)=32-11m2≥-1,可得m2≤3,
由+=2m2-4>0,可得m2>2,则2对于方程x2-mx+2-=0,Δ=m2-4=3m2-8>0,可得m2>,
所以因此实数m的取值范围是.
15.A [解析] 方程=等价于x2+x-k=0且x≠0,x≠2.对于方程x2+x-k=0,当Δ=1+4k=0,即k=-时,解得x=-,符合题意;当Δ=1+4k>0,即k>-时,若其中一个根为x=0,由根与系数的关系可知另一根为x=-1,有k=0,符合方程=只有一个实数根;若其中一个根为x=2,由根与系数的关系可知另一根为x=-3,有k=6,符合方程=只有一个实数根.所以“实数k=-”是“集合A=中恰有一个元素”的充分不必要条件.故选A.
16.解:(1)因为x1,x2是关于x的一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根,
所以解得k<0,则x1x2=,x1+x2=-=1.
因为|x1-x2|=,所以(x1-x2)2=,即(x1+x2)2-4x1x2=,即1-4×=,
即=,解得k=-16.
(2)由(1)知k<0,x1x2=,x1+x2=1,假设存在实数k,使(2x1-x2)(x1-2x2)=-成立,则(2x1-x2)(x1-2x2)=2(x1+x2)2-9x1x2=2-=-成立,解得k=,因为k<0,所以不存在实数k,使(2x1-x2)(x1-2x2)=-成立.
(3)由(1)知k<0,x1x2=,x1+x2=1,则+-2=-2=-4=-4=-,因为+-2∈Z,所以-∈Z,又k为整数,所以k+1=±1,±2,±4,又k<0,所以k=-2或-3或-5.2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【学习目标】
1.了解一元二次方程的概念,能用配方法求一元二次方程的解集;
2.掌握一元二次方程的求根公式并能熟练应用;
3.理解一元二次方程根与系数的关系,并会用根与系数的关系解决一元二次方程问题.
◆ 知识点一 一元二次方程的解集
通过配方法将一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)化为a+ =0,即= .
Δ=b2-4ac 方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解集
b2-4ac>0
b2-4ac=0
b2-4ac<0
一般地,Δ=b2-4ac称为一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的 .由此可知,一元二次方程解集的情况完全由它的 决定.
注意:运用判别式解题时,特别注意一元二次方程ax2+bx+c=0的隐含条件a≠0.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)方程ax2+bx+c=0的解集的情况由Δ=b2-4ac决定. ( )
(2)方程(x-m)(x-n)=0满足Δ>0. ( )
(3)方程x2-x+1=0的解集是 . ( )
(4)方程x2+ax-a2=0一定有实数解. ( )
◆ 知识点二 一元二次方程根与系数的关系
1.对于二次项系数为1的一元二次方程x2+px+q=0,常用以下关系:若x1,x2是此方程的两根,则x1+x2=-p,x1x2=q,反过来可得p=-(x1+x2),q=x1x2,前者是已知系数确定根的相关问题,后者是已知两根确定方程中未知系数.
2.对于二次项系数不为1的一元二次方程ax2+bx+c=0,若x1,x2是此方程的两根,则x1+x2=-,x1x2=,反过来也成立,即=-(x1+x2),=x1x2.
3.常用根与系数的关系解决以下问题:
(1)不解方程,判断两个数是不是一元二次方程的两个根.
(2)已知含参数的方程及方程的一个根,求另一个根及方程中的参数.
(3)不解方程求关于根的式子的值.
(4)判断两根的符号.
(5)求作新方程.
(6)由给出的两根满足的条件,确定字母的取值.这类问题比较综合,解题时除了利用根与系数的关系,同时还要考虑a≠0,Δ≥0这两个前提条件.
给出下列几种变形:
①+=(+2x1x2+)-2x1x2=(x1+x2)2-2x1x2;
②(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2;
③|x1-x2|==;
④+=;
⑤+==;
⑥(x1+k)(x2+k)=x1x2+k(x1+x2)+k2.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)方程x2+2x-1=0的解分别为x1,x2,则x1+x2=2. ( )
(2)若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足ac<0,ab>0,则该方程有一个正实数根,一个负实数根,且负实数根的绝对值大于正实数根的绝对值. ( )
(3)给定方程x2-2x+3=0,若x1+x2=2,x1·x2=3,则x1,x2是该方程的根. ( )
◆ 探究点一 一元二次方程判别式的应用
例1 (1)下列四个结论中正确的是 ( )
A.方程x+=-2有两个不相等的实数根
B.方程x+=1有两个不相等的实数根
C.方程x+=2有两个不相等的实数根
D.方程x+=a(其中a为常数,且|a|>2)有两个不相等的实数根
(2)若关于x的方程(k-2)2x2+(2k+1)x+1=0的解集为非空集合,则实数k的取值范围是 .
(3)若关于x的一元二次方程(1-k)x2-2x-1=0有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围是 .
[素养小结]
一元二次方程的解的情况分为“无实数根”“有两个相等的实数根”“有两个不相等的实数根”三种情况,注意与判别式的对应关系.
◆ 探究点二 一元二次方程的解集
[探索] 如何求一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠0)的解
例2 求下列方程的解集.
(1)3x2-6x-2=0;
(2)x4-5x2-6=0;
(3)x2-2mx+m2-1=0.
变式 求下列方程的解集.
(1)9x2+6x=8;
(2)4x--1=0;
(3)x2+++x=0.
[素养小结]
(1)求一元二次方程的解集时要注意,当Δ≥0时,可应用因式分解法、配方法或求根公式法求出方程的解集.
(2)若方程能够进行因式分解,则其必满足Δ≥0,故此时可不用判断Δ与0的大小关系,可直接根据因式写出解集.
◆ 探究点三 一元二次方程根与系数的关系
例3 若x1和x2是一元二次方程2x2+5x-3=0的两个根,试用根与系数的关系求下列各式的值.
(1)+;(2)+.
变式 (1)[2025·河北邯郸高一期中] 甲、乙两位同学解关于x的方程3x2+bx+c=0,甲同学写错了常数c,得到的根为x=-1或x=,乙同学写错了常数b,得到的根为x=6或x=-,则b+c的值为 ( )
A.17 B.7
C.-7 D.-17
(2)已知实数a,b满足条件a2-7a+2=0,b2-7b+2=0(a≠b),则+= .
(3)已知关于x的方程x2-(a+b)x+ab-1=0,x1,x2是此方程的两个根,现给出三个结论:
①x1≠x2;②x1x2其中正确结论的序号是 .
[素养小结]
一元二次方程根与系数的关系的应用需满足根存在,常见的转化关系有|x1-x2|==,+=(x1+x2)2-2x1x2,+=,+=(x1+x2)[(x1+x2)2-3x1x2].
◆ 探究点四 利用根与系数的关系求字母的值或范围
例4 (1)[2025·江西赣州高一期中] 若关于x的方程x2+2(m-1)x+m2-m=0的解为x1,x2,且+=2,则实数m的值为 ( )
A.-4 B.-1
C.1 D.4
(2)已知关于x的方程x2+(m-4)x+5-2m=0有两个不相等的实数根,且两个根均大于0,则实数m的取值范围为 .
变式 已知关于x的方程x2-2(m+1)x+m2-3=0有两个不相等的实数根.
(1)求实数m的取值范围;
(2)设方程的两个实数根为x1,x2,且(x1+x2)2-(x1+x2)-12=0,求实数m的值.
[素养小结]
(1)利用一元二次方程根与系数的关系求待定字母的值时,务必注意根与系数的关系应用的前提条件,即Δ≥0.
(2)利用根与系数关系x1+x2=-,x1x2= 能够建立根与系数的方程,进而求解有关参数问题.
1.已知x1,x2是方程x2-2x-1=0的两个根,则+的值为 ( )
A.- B.2
C. D.-2
2.若关于x的方程mx2+2x+1=0无实数根,则实数m的取值范围为 ( )
A.m≠0
B.m>1
C.m<1且m≠0
D.m>-1
3.一元二次方程ax2+5x+4=0(a≠0)有一个正根和一个负根的一个充分不必要条件是( )
A.a<0 B.a>0
C.a<-2 D.a>1
4.[2025·浙江嘉兴高一期中] 已知m>0,若关于x的方程mx2-4x+2=0有两个不相等的实数根x1,x2,则x1+x2的取值范围是 ( )
A.(0,2) B.(0,2]
C.(2,+∞) D.[2,+∞)
5.若关于x的方程x2-(m-1)x-m-2=0中m为实数,则该方程 ( )
A.没有实根
B.有两相等实根
C.有两不等实根
D.无法判断2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系
1.用配方法解一元二次方程x2-2x-3=0时,方程变形正确的是 ( )
A.(x-1)2=2 B.(x-1)2=4
C.(x-1)2=1 D.(x-1)2=7
2.已知关于x的方程x2+x-a=0的一个根为2,则另一个根是 ( )
A.-3 B.-2
C.3 D.6
3.已知集合A={x|2x2-x-3=0},B={x|ax2-x-3=0},若B A,则实数a的取值集合为 ( )
A.{2}
B.{2,0}
C.
D.{2}∪
4.若关于x的方程x2-6x+2=0的两根分别是x1,x2,则+= ( )
A.6 B.7
C.8 D.9
5.已知关于x的方程x2+2(m-2)x+m2+4=0有两个不相等的实数根,且这两个实数根的平方和比两个根的积大21,则m的值为 ( )
A.17 B.-1
C.17或-1 D.-17或1
6.[2025·贵州遵义高一期中] 若x1,x2是一元二次方程x2+x+a=0的两个实数根,且+=3,则a的值为 ( )
A.-1 B.3
C.2 D.1
7.设实数m,n分别满足19m2+20m+1=0,n2+20n+19=0且mn≠1,则= ( )
A. B.- C. D.-
8.(多选题)已知等腰三角形的三边长分别为a,b,3,且a,b是关于x的方程x2-8x-1+m=0的两根,则m的值可能为 ( )
A.15 B.16
C.17 D.18
9.若关于x的方程x2-(2a+1)x+a=0的两个不等实根的平方和为1,则实数a的值为 .
10.(13分)若x1,x2是方程x2+2x-2023=0的两个根,试求下列各式的值:
(1)+;
(2)+;
(3)(x1-5)(x2-5);
(4)|x1-x2|.
11.(多选题)已知关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0),下列说法正确的是 ( )
A.若方程有两个互为相反数的实数根,则b=0
B.若方程ax2+bx+c=0没有实数根,则方程ax2+bx-c=0必有两个不相等的实数根
C.若二次三项式ax2+bx+c是完全平方式,则b2-4ac=0
D.若c=0,则方程必有两个不相等的实数根
12.方程+=的解集是 .
13.已知p,q∈R,x1,x2是关于x的方程x2+px+q=0的两个实根,x1+1,x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两个实根,则pq= .
14.(15分)已知m∈R,一个二次项系数为1的一元二次方程的两个不等实根分别为x1和x2(x1(1)直接写出该一元二次方程;
(2)若(3x1-x2)(3x2-x1)≥-1,求m的取值范围.
15.[2025·辽宁大连高一期中] “实数k=-”是“集合A=中恰有一个元素”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
16.(15分)已知x1,x2是关于x的一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根.
(1)若|x1-x2|=,求实数k的值.
(2)是否存在实数k,使(2x1-x2)(x1-2x2)=-成立 若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
(3)若+-2∈Z,求整数k的值.