(共74张PPT)
2.1 等式
2.1.3 方程组的解集
探究点一 一次方程组的解法
探究点二 二元二次方程组的解法
探究点三 一元方程组的实际应用
◆
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
课堂评价
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.会解二元一次方程组和三元一次方程组;
2.掌握二元二次方程组的解法.
知识点一 方程组解集的定义
一般地，将多个方程联立，就能得到方程组.方程组中，每个方程的
解集的______称为这个方程组的解集.
注意：①方程组的解集是集合，要用集合的表示方法来表示.
②方程组的解一定是方程组中每一个方程的解,但方程组中每一个方
程的解不一定是这个方程组的解，因此,要检验一组未知数的值是否
为一个方程组的解时，必须将这组未知数的值分别代入方程组中的
每一个方程进行检验.若满足每一个方程,则这组未知数的值就是这个
方程组的解;若只满足其中的一个方程,则这组未知数的值就不是这个
方程组的解.
交集
知识点二 方程组解集的分类
当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能含
有__________元素，解集为无限集.此时，如果将其中一些未知数看
成常数，那么其他未知数往往能用____________表示出来.
无穷多个
这些未知数
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）方程组的解集是 .( )
×
（2）方程组的解集是 .( )
√
（3）三元一次方程组的解集是 .( )
×
（4）方程组的解集是， .( )
√
（5）方程组的解集是, ，
}.( )
√
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
探究点一 一次方程组的解法
［探索］ 如何求解多元一次方程组？
解：多元一次方程组的解法主要是应用加、减法进行减元运算.
例1（1）若关于，的方程组的解集为 ，则
( )
A.4 B. C.6 D.
[解析] 关于，的方程组的解集为 ，
解得 .故选D.
√
（2）已知，，且则 _____
_______.
[解析] 两式相加得，
即 ，代入①式可得 ，
所以 .
变式（1）关于，的方程组 的解集，下列说法错误的
是( )
A.可能是空集 B.可能是无限集
C.可能是单元素集 D.可能是
[解析] 由得可得 ,即.
若，则 可取任意实数，此时解有无数个，故B中说法正确；
若,则, ，故C，D中说法正确；
解集不可能是空集，故A中说法错误.故选A.
√
（2）［2024·北京海淀区高一期中］若关于, 的方程组
与的解集相等，则___， ____.
4
[解析] 因为方程组与 的解集相等，
所以的解集也是它们的解集.
由得 所以解得
［素养小结］
（1）解方程组的最主要方法是代入消元法和加减消元法.
（2）解三元一次方程组在确定消去哪个未知数时，要从整体考虑，
一般选择消去可以使计算量相对较小的未知数；消去的未知数一定
是同一未知数.
探究点二 二元二次方程组的解法
例2 求下列方程组的解集：
（1）
解： 方法一： 已知 由②得 ,
将③代入①得,
整理得 ,解得，.
把代入③，得；把 代入③，得.
所以原方程组的解是或
所以方程组的解集为 .
方法二 ： 已知
由①得，即或 .
原方程组可转化为或
解得 或所以方程组的解集为 .
（2）
例2 求下列方程组的解集：
解：已知
由①得 ，
即，则或 .
由得或
由得或
所以原方程组的解集为，，， .
变式（1）若两相异实数，满足
则 的值为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
[解析] 两式相减得，
因为 ，所以，所以，，
故， 是方程的两根，由根与系数的关系得
则
.故选D.
√
（2）某人在解方程组 时，采用了 “整体代换”的方
法：将方程②变形为，即 ，
将方程①代入③得，解得，将 代入①得
，所以方程组的解为 请据此解决以下问题：
（i）应用 “整体代换”法解方程组
解：由题知方程组为
将方程②变形为，即 ，
将方程①代入③得，解得,
将 代入①得，所以方程组的解为
（2）某人在解方程组 时，采用了 “整体代换”的方
法：将方程②变形为，即 ，
将方程①代入③得，解得，将 代入①得
，所以方程组的解为 请据此解决以下问题：
（ii）已知，满足方程组
求 的值.
解：由题知方程组为
由①得 ,即，
把③代入②得 ,解得，
将代入③得 , .
［素养小结］
二元二次方程组也可如一次方程组那样使用代入法和加减消元法求
解，同时要注意在求解一元二次方程时，可先用判别式判断方程是
否有解，若有解再代入求解未知数，从而求得方程组的解.
探究点三 一元方程组的实际应用
例3 《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：
“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等.交易其一，金轻十三两.
问金、银一枚各重几何？”意思是：现在有黄金9枚（每枚黄金重量
相同），白银11枚（每枚白银重量相同），称重量恰好相等，互相
交换1枚后，黄金多的部分轻了13两，问黄金、白银每枚各重多少两？
设每枚黄金重两，每枚白银重 两，根据题意可列方程组为
_ _________________________.
[解析] 由题意得
变式 我国古代书籍《九章算术》第七章“盈不足”专讲盈亏问题及其
解法，其中有一题为：“今有（人）共买物，（每）人出八（钱），
盈（余）三（钱），人出七（钱），不足四（钱），问人数、物价
各几何？”请你回答本题中的人数是___，物价是____（钱）.
7
53
[解析] 设人数为，物价是（钱），则解得
［素养小结］
列方程组解应用题的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目
中的相等关系，一般来说有几个未知量就必须列出几个方程.所列方
程需满足：
（1）方程两边表示的是同类量；
（2）同类量的单位要统一；
（3）方程两边所表示的数量要相等.
1.方程组 的解集是( )
A. B. C. D.
√
2.我国古代数学著作有如下问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一
托.折回索子来量竿，却比竿子短一托.”其大意为：现有一根竿和一
条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量
竿，就比竿短5尺.设绳索长尺，竿长 尺，则符合题意的方程组是
( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 绳索长尺，竿长尺，由绳索比竿长5尺可得 ；
由绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺可得 .
由此可得方程组 故选A.
3.已知关于,的方程组的解为正数，则实数 的取
值范围为________.
[解析] 方程组的解为由题得
解得，故实数的取值范围为 .
4.若，且，则 ____.
26
[解析] 由已知得由①得 ④，由②得
，把④⑤代入③并化简，得，解得 .
5.方程组 的解集是______________.
[解析] 由②得 ，
代入①得，整理得 ，
即，解得或.
当时， ；当时，.
所以方程组的解集为 .
二元二次方程组的解法归纳
1.解二元二次方程组的基本思想是“转化”，这种转化包含“消元”和
“降次”，将二元转化为一元是消元，将二次转化为一次是降次，这
是转化的基本方法.因此，掌握好消元和降次的一些方法和技巧是解
二元二次方程组的关键.
2.二元二次方程组通常按照两个方程的组成分为“二·一”型和“二·二”
型，又分别称为Ⅰ型和Ⅱ型.“二·一”型是由一个二元二次方程和一个二
元一次方程组成的方程组；“二·二”型是由两个二元二次方程组成的
方程组.
（1）“二·一”型方程组的解法：代入消元法（即代入法）.
代入法是解“二·一”型方程组的一般方法，具体步骤是：
①把二元一次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；
②把这个代数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程；
③解这个一元二次方程，求得一个未知数的值；
④把所求得的这个未知数的值代入二元一次方程，求得另一个未知
数的值（如果代入二元二次方程求另一个未知数的值，会出现“增根”
的问题）；
⑤写出解集.
例1（1）求方程组 的解集.
解：由,得 或，
则原方程组等价于或
解得或
所以原方程组的解集为, .
（2）［2025·北京西城区高一期末］方程组 的解集是
_______________.
[解析] 由，可得，
将 代入，可得，
整理得 ，解得或.
当时，，当时， ，
所以方程组的解集为 .
（2）“二·二”型方程组的解法.
①当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将
分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次
方程联立，组成两个“二·一”型方程组，解这两个“二·一”型方程组，
所得的解都是原方程组的解.
②当方程组中两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程时，
将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程与第二个
二元二次方程分解所得的每一个二元一次方程组成新的方程组，可
以得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解
都是原方程组的解.
③两个二元二次方程作差，将二次项消去，从而得到一个二元一次
方程，再将其代入两个二元二次方程中的一个，求解一元二次方程
即可.
注意：“二·一”型方程组最多有两个解，“二·二”型方程组最多有四个
解，解方程组时，既不要漏解，也不要增解.
例2 解方程组
解：由，可得 ，
所以或 ，
所以原方程组可化为或
解得或或或
所以原方程组的解集为,,, ， }.
练习册
1.已知集合是关于,的方程组 的解集，
则 的值是( )
A.3 B.5 C. D.
√
[解析] 将代入方程组，得解得
所以 故选C.
2.［2025·山东日照高一期中］关于，的方程组 的解
集为，则 ( )
A.1 B.5 C.6 D.7
[解析] 将,代入方程组得
则, ，所以 .故选D.
√
3.已知关于,的方程组和 有相同
的解，则 的值为( )
A.8 B. C. D.
[解析] 由解得
代入方程组得解得
所以 .故选B.
√
4.我国明代程大位的《算法统宗》是一本流传很广的著作，书中许多
题目都用诗歌体叙述，读起来朗朗上口，下面这个问题便是其中有
名的一个：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千．四文钱买苦果七，
十一文钱九个甜，甜苦两果各几个 请君布算莫迟延!”则所买甜果的
个数为( )
A.343 B.345 C.567 D.657
√
[解析] 设甜果、苦果的个数分别是，,
则 解得 故选D.
5.方程组 的解集可表示为( )
A.
B.
C.,, }
D.,, }
√
[解析] 由得 ，
即，即，将代入得 ，
所以 .故选D.
6.若方程组的解集为 ，则方程组
的解集为( )
A. B.
C. D.
[解析] 由题意可得即 则方程组
的解集为 .故选A.
√
7.（多选题）已知集合， ，
其中，，则整数 的值可能为( )
A. B.0 C.1 D.2
[解析] 已知①，，
由 得，解得，
把 代入①得，解得，
，或 或，解得或0或，
当或0时，为整数， 的值为1或0.故选 .
√
√
8.设,是实数，若关于,的方程组的解集为 ，则
实数, 所满足的条件为_____________.
且
[解析] 因为方程组的解集为 ，
所以无解，所以且，
解得 且 .
9.（13分）求下列方程组的解集.
（1）
解：由得，即 ，
代入②得，所以原方程组的解集为 .
（2）
解：由①得 ,
将③代入②得,解得或 .
把代入③得;把代入③得 .
所以原方程组的解集是, .
9.（13分）求下列方程组的解集.
（3）
解：由得,即 ,
由得,即，把， 代入①，
得，即.所以原方程组的解集为 .
9.（13分）求下列方程组的解集.
10.已知则 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
[解析] 由题可知
则，则，
所以 .故选A.
√
11.（多选题）给出以下说法，其中正确的是( )
A.关于的方程的解是
B.方程组 的正整数解有2组
C.已知关于，的方程组当 时，方程组的解也
是方程 的一个解
D.以方程组的解为坐标的点 在第二象限
√
√
[解析] 对于A,关于的方程的解是或 ,故A错误；
对于B，,,是正整数， ，
只能分解为,②式等价于, ,，
将代入原方程组可得解得 或
该方程组的正整数解为和 ，故B正确；
对于C，由解得 ，
当时，， 方程组的解也是方程
的一个解，故C正确；
对于D，由得点 在第一象限，
故D错误.故选 .
12.已知关于，的方程组甲因看错了 ，求得解集为
，则___，甲把 错看成了___.
1
8
[解析] 甲看错了， 满足方程②，
代入得,解得 .
再把代入方程①,得,解得 .
13.［2025·贵州遵义高一期中］已知 是方程组
的解，则方程组 的解是
_ ________.
[解析] 将代入方程组 可得
将 代入方程组可得
所以方程组的解是
14.（15分）某商店欲购进A，B两种商品，若购进A种商品5件，B种商
品3件，共需450元；若购进A种商品10件，B种商品8件，共需1000元.
（1）购进A，B两种商品每件各需多少元？
解：设购进A种商品每件需元，B种商品每件需 元，
则由题意得解得
故购进A种商品每件需60元，B种商品每件需50元.
（2）该商店购进足够多的A，B两种商品，在销售中发现，A种商品
售价为每件80元，每天可销售100件，现在决定对A种商品在每件80
元的基础上降价销售，每件每降价1元，多售出20件，且该商店对A
种商品降价销售后每天销量超过200件 种商品销售状况良好，每天
可获利7000元.为使销售A，B两种商品每天总获利为10 000元，A种
商品每件应降价多少元？
14.（15分）某商店欲购进A，B两种商品，若购进A种商品5件，B种商
品3件，共需450元；若购进A种商品10件，B种商品8件，共需1000元.
解：设A种商品每件降价 元，
则由题意得
化简得可得 ,故A种商品每件应降价10元.
15.（多选题）已知方程组的解集为 ,
，若 ，则( )
A.或 B.或
C.或 D.或
√
√
[解析] 由得 ，
代入方程可得 ，
则,解得或 ,故A正确；
，
当 时,,当时,,故B错误,C正确；
因为,所以 ，
当时,,当时， ,故D错误.故选 .
16.（17分）已知关于，的方程组其中 .
（1）当 时，求该方程组的解.
解：当时，消去得 ，
解得或 ，因此方程组的解为和
（2）证明：无论 为何值，该方程组总有两组不同的解.
证明：由消去整理得 ，
显然，且 ，故方程组总有两组不同的解.
16.（17分）已知关于，的方程组其中 .
（3）记该方程组的两组不同的解分别为和 判断
是否为定值？若是定值，请求出该值；若不是定
值，请说明理由.
16.（17分）已知关于，的方程组其中 .
解：由根与系数的关系得， ，
所以 ，
，
所以，
所以 是定值，且定值为4.
快速核答案(导学案)
课前预习 知识点一 交集 知识点二 无穷多个 这些未知数
【诊断分析】（1）× （2）√ （3）× （4）√ （5）√
课中探究 探究点一［探索］略 例1 （1）D （2） 变式 （1）A （2）4
探究点二 例2 （1） >，，，（2）（i）（ii） 探究点三 例3 变式 7 53
课堂评价 1.C 2.A 3. 4.26 5.
备用习题 例1 （1）,（2）
例2 ，，，，}
快速核答案(练习册)
基础巩固 1.C 2.D 3.B 4.D 5.D 6.A 7.BC 8.且
9.（1）（2） ,
综合提升 10.A 11.BC 12.1 8 13.
14.（1） 购进A种商品每件需60元，B种商品每件需50元
（2）A种商品每件应降价10元
思维探索 15.AC 16.（1）和（2）略（3）是，定值为42.1.3 方程组的解集
【课前预习】
知识点一
交集
知识点二
无穷多个 这些未知数
诊断分析
(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√
【课中探究】
探索 解:多元一次方程组的解法主要是应用加、减法进行减元运算.
例1 (1)D (2)(-1)∶13∶5 [解析] (1)∵关于x,y的方程组的解集为{(1,2)},∴解得∴m-n=-6.故选D.
(2)①②两式相加得5x+z=0,即z=-5x,代入①式可得y=-13x,所以x∶y∶z=x∶(-13x)∶(-5x)=1∶(-13)∶(-5)=(-1)∶13∶5.
变式 (1)A (2)4 - [解析] (1)由得可得2ax=3x,即(2a-3)x=0.若a=,则x可取任意实数,此时解有无数个,故B中说法正确;若a≠,则x=0,y=-3,故C,D中说法正确;解集不可能是空集,故A中说法错误.故选A.
(2)因为方程组与的解集相等,所以的解集也是它们的解集.由得所以解得
例2 解:(1)已知
方法一:由②得x=2y+5③,将③代入①得(2y+5)2+2y(2y+5)+y2=4,整理得3y2+10y+7=0,解得y1=-,y2=-1.把y1=-代入③,得x1=;把y2=-1代入③,得x2=3.所以原方程组的解是或所以方程组的解集为.
方法二:由①得(x+y)2=4,即x+y=2或x+y=-2.
原方程组可转化为或解得或所以方程组的解集为.
(2)已知
由①得(3x-4y)(x+y)-(3x-4y)=0,
即(3x-4y)(x+y-1)=0,则3x-4y=0或x+y-1=0.
由得或
由得或所以原方程组的解集为{(4,3),(-4,-3),(4,-3),(-3,4)}.
变式 (1)D [解析] 两式相减得(a-b)(a+b-1)=0,因为a≠b,所以a+b=1,所以a2-a-1=0,b2-b-1=0,故a,b是方程x2-x-1=0的两根,由根与系数的关系得则a3-2ab+b3=a(2-b)+2+b(2-a)=2(a+b)-2ab+2=2+2+2=6.故选D.
(2)解:(i)由题知方程组为将方程②变形为9x-6y+2y=19,即3(3x-2y)+2y=19③,
将方程①代入③得3×5+2y=19,解得y=2,将y=2代入①得x=3,所以方程组的解为
(ii)由题知方程组为
由①得3(x2+4y2)=47+2xy,
即x2+4y2=③,把③代入②得2×+xy=36,解得xy=2,将xy=2代入③得x2+4y2=17,
∴x2+4y2+xy=17+2=19.
例3 [解析] 由题意得
变式 7 53 [解析] 设人数为x,物价是y(钱),则解得
【课堂评价】
1.C
2.A [解析] 绳索长x尺,竿长y尺,由绳索比竿长5尺可得x=y+5;由绳索对折后再去量竿,就比竿短5尺可得x=y-5.由此可得方程组故选A.
3.(1,+∞) [解析] 方程组的解为由题得解得a>1,故实数a的取值范围为(1,+∞).
4.26 [解析] 由已知得由①得y=④,由②得z=⑤,把④⑤代入③并化简,得4x-2=102,解得x=26.
5. [解析] 由②得x=2y-2,代入①得(2y-2)2+y2=1,整理得5y2-8y+3=0,即(y-1)(5y-3)=0,解得y=1或y=.当y=1时,x=0;当y=时,x=-.所以方程组的解集为.2.1.3 方程组的解集
1.C [解析] 将代入方程组,得解得所以a2-b2=1-4=-3.故选C.
2.D [解析] 将x=2,y=1代入方程组得则a=1,b+c=6,所以a+b+c=7.故选D.
3.B [解析] 由解得代入方程组得解得所以(-a)b=(-2)3=-8.故选B.
4.D [解析] 设甜果、苦果的个数分别是x,y,则解得故选D.
5.D [解析] 由得(x-2y-3z)+(2x-y+3z)=0,即3x-3y=0,即x=y,将x=y代入x-2y-3z=0得z=-x,所以x=y=-3z.故选D.
6.A [解析] 由题意可得即则方程组的解集为{(x,y)|(6.3,2.2)}.故选A.
7.BC [解析] 已知2x+y=2①,mx+y=2+m②,由②-①得(m-2)x=m,解得x=(m≠2),把x=代入①得+y=2,解得y=,∵y∈N,∴2-m=1或2-m=2或2-m=4,解得m=1或0或-2,当m=1或0时,x为整数,∴m的值为1或0.故选BC.
8.a=3且b≠2 [解析] 因为方程组的解集为 ,所以(3-a)x+2-b=0无解,所以3-a=0且2-b≠0,解得a=3且b≠2.
9.解:(1)由①×6+②得6x=18,即x=3,代入②得y=,所以原方程组的解集为.
(2)由①得y=2x③,将③代入②得x2-(2x)2+3=0,解得x=1或x=-1.
把x=1代入③得y=2;把x=-1代入③得y=-2.
所以原方程组的解集是{(1,2),(-1,-2)}.
(3)由②-①×4得7x=7,即x=1,由③-①×27得77y=77,即y=1,把x=1,y=1代入①,得-2z=-2,即z=1.所以原方程组的解集为{(1,1,1)}.
10.A [解析] 由题可知
则(x+y)=98,则(x+y)3=8,所以x+y=2.故选A.
11.BC [解析] 对于A,关于x的方程x+=c+的解是x=c或x=,故A错误;对于B,∵x,y,z是正整数,∴x+y≥2,∵23只能分解为23×1,②式等价于(x+y)z=23,∴z=1,x+y=23,将z=1代入原方程组可得解得或∴该方程组的正整数解为(2,21,1)和(20,3,1),故B正确;对于C,由解得∴x+y=2+a,当a=1时,x+y=3,∴方程组的解也是方程x+y=4-a=3的一个解,故C正确;对于D,由得点在第一象限,故D错误.故选BC.
12.1 8 [解析] ∵甲看错了a,∴
满足方程②,∴代入得2×-b×=3,解得b=1.再把代入方程①,得a×+2×=3,解得a=8.
13. [解析] 将代入方程组
可得将代入方程组可得所以方程组的解是
14.解:(1)设购进A种商品每件需x元,B种商品每件需y元,则由题意得解得
故购进A种商品每件需60元,B种商品每件需50元.
(2)设A种商品每件降价m元,
则由题意得化简得可得m=10,故A种商品每件应降价10元.
15.AC [解析] 由kx-y+2=0得y=kx+2,代入方程x2+y2+2x-8=0可得(1+k2)x2+(2+4k)x-4=0,则x1+x2=-=-3,解得k=1或k=,故A正确;y1+y2=kx1+2+kx2+2=k(x1+x2)+4=-3k+4,当k=1时,y1+y2=1,当k=时,y1+y2=3,故B错误,C正确;因为x1x2=-,所以+=(x1+x2)2-2x1x2=(-3)2+,当k=1时,+=13,当k=时,+=,故D错误.故选AC.
16.解:(1)当k=1时,消去y得3x2+2x-1=0,解得x=-1或x=,
因此方程组的解为和
(2)证明:由消去y整理得(k2+2)x2+2kx-1=0,显然k2+2≠0,且Δ=8k2+8>0,故方程组总有两组不同的解.
(3)由根与系数的关系得x1+x2=-,x1x2=-,所以y1+y2=k(x1+x2)+2=,y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+1=,所以3(y1+y2)-2y1y2=-=4,所以3(y1+y2)-2y1y2是定值,且定值为4.2.1.3 方程组的解集
【学习目标】
1.会解二元一次方程组和三元一次方程组;
2.掌握二元二次方程组的解法.
◆ 知识点一 方程组解集的定义
一般地,将多个方程联立,就能得到方程组.方程组中,每个方程的解集的 称为这个方程组的解集.
注意:①方程组的解集是集合,要用集合的表示方法来表示.
②方程组的解一定是方程组中每一个方程的解,但方程组中每一个方程的解不一定是这个方程组的解,因此,要检验一组未知数的值是否为一个方程组的解时,必须将这组未知数的值分别代入方程组中的每一个方程进行检验.若满足每一个方程,则这组未知数的值就是这个方程组的解;若只满足其中的一个方程,则这组未知数的值就不是这个方程组的解.
◆ 知识点二 方程组解集的分类
当方程组中未知数的个数大于方程的个数时,方程组的解集可能含有 元素,解集为无限集.此时,如果将其中一些未知数看成常数,那么其他未知数往往能用 表示出来.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)方程组的解集是{5,1}. ( )
(2)方程组的解集是{(6,4)}. ( )
(3)三元一次方程组的解集是{(1,0,-1)}.( )
(4)方程组的解集是{(5,7),(7,5)}.( )
(5)方程组的解集是{(x,y,z)|y=x-6,z=5-3x,x∈R}.( )
◆ 探究点一 一次方程组的解法
[探索] 如何求解多元一次方程组
例1 (1)若关于x,y的方程组的解集为{(1,2)},则m-n= ( )
A.4 B.-4
C.6 D.-6
(2)已知x≠0,y≠0,z≠0且则x∶y∶z= .
变式 (1)关于x,y的方程组的解集,下列说法错误的是 ( )
A.可能是空集
B.可能是无限集
C.可能是单元素集
D.可能是{(0,-3)}
(2)[2024·北京海淀区高一期中] 若关于x,y的方程组与的解集相等,则a= ,b= .
[素养小结]
(1)解方程组的最主要方法是代入消元法和加减消元法.
(2)解三元一次方程组在确定消去哪个未知数时,要从整体考虑,一般选择消去可以使计算量相对较小的未知数;消去的未知数一定是同一未知数.
◆ 探究点二 二元二次方程组的解法
例2 求下列方程组的解集:
(1)
(2)
变式 (1)若两相异实数a,b满足
则a3-2ab+b3的值为 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
(2)某人在解方程组时,采用了 “整体代换”的方法:将方程②变形为4x+10y+y=5,即2(2x+5y)+y=5③,将方程①代入③得2×3+y=5,解得y=-1,将y=-1代入①得x=4,所以方程组的解为请据此解决以下问题:
(i)应用 “整体代换”法解方程组
(ii)已知x,y满足方程组
求x2+4y2+xy的值.
[素养小结]
二元二次方程组也可如一次方程组那样使用代入法和加减消元法求解,同时要注意在求解一元二次方程时,可先用判别式判断方程是否有解,若有解再代入求解未知数,从而求得方程组的解.
◆ 探究点三 一元方程组的实际应用
例3 《九章算术》是我国古代数学的经典著作,书中有一个问题:“今有黄金九枚,白银一十一枚,称之重适等.交易其一,金轻十三两.问金、银一枚各重几何 ”意思是:现在有黄金9枚(每枚黄金重量相同),白银11枚(每枚白银重量相同),称重量恰好相等,互相交换1枚后,黄金多的部分轻了13两,问黄金、白银每枚各重多少两 设每枚黄金重x两,每枚白银重y两,根据题意可列方程组为 .
变式 我国古代书籍《九章算术》第七章“盈不足”专讲盈亏问题及其解法,其中有一题为:“今有(人)共买物,(每)人出八(钱),盈(余)三(钱),人出七(钱),不足四(钱),问人数、物价各几何 ”请你回答本题中的人数是 ,物价是 (钱).
[素养小结]
列方程组解应用题的关键是把已知量和未知量联系起来,找出题目中的相等关系,一般来说有几个未知量就必须列出几个方程.所列方程需满足:
(1)方程两边表示的是同类量;
(2)同类量的单位要统一;
(3)方程两边所表示的数量要相等.
1.方程组的解集是 ( )
A.{(1,0,-1)}
B.{(1,1,-1)}
C.{(-1,1,0)}
D.{(-1,0,1)}
2.我国古代数学著作有如下问题:“一条竿子一条索,索比竿子长一托.折回索子来量竿,却比竿子短一托.”其大意为:现有一根竿和一条绳索,用绳索去量竿,绳索比竿长5尺;如果将绳索对折后再去量竿,就比竿短5尺.设绳索长x尺,竿长y尺,则符合题意的方程组是 ( )
A. B.
C. D.
3.已知关于x,y的方程组的解为正数,则实数a的取值范围为 .
4.若==,且x+y+z=102,则x= .
5.方程组的解集是 . 2.1.3 方程组的解集
1.已知集合A={(3,-2)}是关于x,y的方程组的解集,则a2-b2的值是 ( )
A.3 B.5 C.-3 D.-5
2.[2025·山东日照高一期中] 关于x,y的方程组的解集为{(2,1)},则a+b+c=( )
A.1 B.5 C.6 D.7
3.已知关于x,y的方程组和有相同的解,则(-a)b的值为( )
A.8 B.-8 C. D.-
4.我国明代程大位的《算法统宗》是一本流传很广的著作,书中许多题目都用诗歌体叙述,读起来朗朗上口,下面这个问题便是其中有名的一个:“九百九十九文钱,甜果苦果买一千.四文钱买苦果七,十一文钱九个甜,甜苦两果各几个 请君布算莫迟延!”则所买甜果的个数为 ( )
A.343 B.345 C.567 D.657
5.方程组的解集可表示为 ( )
A.
B.
C.{(x,y,z)|x=3z,y=3z,z∈R}
D.{(x,y,z)|x=-3z,y=-3z,z∈R}
6.若方程组的解集为{(a,b)|(8.3,1.2)},则方程组的解集为 ( )
A.{(x,y)|(6.3,2.2)}
B.{(x,y)|(8.3,1.2)}
C.{(x,y)|(10.3,2.2)}
D.{(x,y)|(10.3,0.2)}
7.(多选题)已知集合{(x,y)|2x+y=2,mx+y=2+m}≠ ,其中x∈Z,y∈N,则整数m的值可能为( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
8.设a,b是实数,若关于x,y的方程组的解集为 ,则实数a,b所满足的条件为 .
9.(13分)求下列方程组的解集.
(1)(2)
(3)
10.已知则x+y= ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
11.(多选题)给出以下说法,其中正确的是 ( )
A.关于x的方程x+=c+的解是x=c
B.方程组的正整数解有2组
C.已知关于x,y的方程组当a=1时,方程组的解也是方程x+y=4-a的一个解
D.以方程组的解为坐标的点(x,y)在第二象限
12.已知关于x,y的方程组甲因看错了a,求得解集为,则b= ,甲把a错看成了 .
13.[2025·贵州遵义高一期中] 已知是方程组的解,则方程组的解是 .
14.(15分)某商店欲购进A,B两种商品,若购进A种商品5件,B种商品3件,共需450元;若购进A种商品10件,B种商品8件,共需1000元.
(1)购进A,B两种商品每件各需多少元
(2)该商店购进足够多的A,B两种商品,在销售中发现,A种商品售价为每件80元,每天可销售100件,现在决定对A种商品在每件80元的基础上降价销售,每件每降价1元,多售出20件,且该商店对A种商品降价销售后每天销量超过200件.B种商品销售状况良好,每天可获利7000元.为使销售A,B两种商品每天总获利为10 000元,A种商品每件应降价多少元
15.(多选题)已知方程组的解集为{(x1,y1),(x2,y2)},若x1+x2=-3,则 ( )
A.k=1或k=
B.y1+y2=-3或y1+y2=-1
C.y1+y2=1或y1+y2=3
D.+=12或+=15
16.(17分)已知关于x,y的方程组其中k∈R.
(1)当k=1时,求该方程组的解.
(2)证明:无论k为何值,该方程组总有两组不同的解.
(3)记该方程组的两组不同的解分别为和判断3(y1+y2)-2y1y2是否为定值 若是定值,请求出该值;若不是定值,请说明理由.
