(共73张PPT)
2.2 不等式
2.2.1 不等式及其性质
第1课时 不等式及其性质
探究点一 用不等式（组）表示不等关系
探究点二 作差法比较大小
探究点三 不等式性质的简单应用
探究点四 利用不等式性质求取值范围
◆
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
课堂评价
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.会用作差法比较两实数（代数式）的大小；
2.通过对比,理解等式和不等式的共性与差异，掌握不等式的基
本性质，并能运用性质解决相关问题.
知识点一 不等式的概念
1.不等式的定义
用数学符号“”“ ”“ ”“ ”“ ”连接两个数或代数式，以表示它
们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式.
2.文字语言与数学符号间的常见转换
文字 语言 大于、高 于、超过 小于、低 于、少于 大于或等于、 至少、不低于 小于或等于、至多、
不多于、不超过
数学 符号
知识点二 比较实数大小
1. ______或______；
______或______.
2.实数大小的依据
__________；
__________；
__________.
知识点三 不等式的性质
1.不等式的性质
性质 别名 内容
性质1 可加性
性质2 可乘性
性质3
性质4 传递性
性质5 对称性
2.不等式性质的推论
推论 别名 内容
推论1 移项法则
推论2 同向不等式相加
推论3 同向不等式相乘
推论4 可乘方性
推论5 可开方性
（1）推论1表明不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的
符号后，从不等式的一边移到另一边；
（2）推论2表明两个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式
与原不等式同向；
（3）推论3表明两个两边都是正数的同向不等式分别相乘，所得到
的不等式与原不等式同向.
3.不等式性质的拓展——倒数法则
（1）如果，，那么； .
（2）如果，那么 .
（3）如果，那么 .
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若，则 一定成立.( )
×
[解析] 由不等式的可乘性知，当不等式两端同乘一个负数时，不等
号方向改变，因此若，则 不一定成立，故此说法错误.
（2）若，则 .( )
[解析] 在不等式两边同时加上，
可得 ，故此说法正确.
√
（3）若，则， .( )
[解析] 取，，，，
满足 ，但不满足 ，故此说法错误．
×
（4）若，，则 .( )
[解析] 取，，，，
满足， ，但 不成立，故此说法错误.
（5）若，则 .( )
[解析] 根据推论5，将不等式两边同时开 次方即可.
×
√
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
探究点一 用不等式（组）表示不等关系
例1 （多选题）［2025·河北石家庄高一期末］ 火车站有某公司待
运的甲种货物306吨，乙种货物230吨.现计划用， 两种型号的货箱
共50节运送这批货物.已知7吨甲种货物和3吨乙种货物可装满一节
型货箱，5吨甲种货物和7吨乙种货物可装满一节 型货箱，据此安排
， 两种货箱的节数，下列方案可以满足题意的是( )
A.货箱28节，货箱22节 B.货箱29节， 货箱21节
C.货箱31节，货箱19节 D.货箱30节， 货箱20节
√
√
√
[解析] 设安排种型号的货箱节，种型号的货箱 节，
则则 ，
解得， ，
解得，所以，
所以或或 故选 .
变式 某物品的外部尺寸长、宽、高之和不超过 ，体积不超过
，设该物品外部尺寸长、宽、高分别为，，
（单位： ），则下列数学关系式正确的是( )
A.且
B.且
C.且
D.且
[解析] 由长、宽、高之和不超过得 ，
由体积不超过得 .故选C.
√
探究点二 作差法比较大小
例2 比较下列各题中两个代数式的大小.
（1）与 ；
解：， .
（2）与 .
解： ，
，,,, ，
则， .
例2 比较下列各题中两个代数式的大小.
变式 设，，则___（填“ ”或“ ”）.
[解析] , ,
故,即 .
［素养小结］
（1）作差法比较两个实数（或代数式）大小的一般步骤：作差、变
形、判断差的符号、得出结论.
（2）代数式如果含有根式，也可以先平方再作差，但此时一定要注
意代数式的符号.
（3）作差时应该对差式进行恒等变形（如配方、因式分解、有理化、
通分等），直到能明显看出其正负号为止.
常见的比较两个实数（或代数式）大小的方法还有作商法：如上述
变式题也可运用以下方法求解：
，即.又因为 ，
所以 .
探究点三 不等式性质的简单应用
例3（1）给出下列说法：
①若，，则 ；
②若，，则 ；
③对于正数，，，若，则 .
其中正确说法的序号是______．
①③
[解析] 对于①，若，则，
又，所以 ，所以，故①正确；
对于②，若，，， ，
则，故②错误；
对于③，对于正数，， ，若，则，
所以 ，所以，
又，所以 ，故③正确．
综上可得，正确说法的序号是①③.
（2）已知，，求证： .
证明：因为，所以，所以 .
又因为，所以，所以 ，
即，所以 .
变式 （多选题）已知,, ，那么下列说法中正确的是( )
A.若，则 B.若且，则
C.若且，则 D.若，则
[解析] 对于A,若,当时, ,故A错误；
对于B,若,,当,时, ,故B错误；
对于C,若,,则或,所以 ,故C正确；
对于D,若,则,所以,故D正确.故选 .
√
√
［素养小结］
（1）运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱
化条件，尤其是不能随意捏造性质.
（2）解有关不等式的选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意
取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，
便于验证计算.
（3）在研究不等式时,需要特别注意“符号问题”,即在作乘（除）法
运算时,符号会影响不等式中的不等号方向.
探究点四 利用不等式性质求取值范围
例4（1）已知，，设，则 的取值
范围是_______.
[解析] 因为，，所以 ，
，所以，即的取值范围是 .
（2）若且，则 的最大值
是___.
7
[解析] 设 ，
则解得即 .
因为且，所以 ，
所以，故 的最大值为7.
变式（1）（多选题）［2024·四川成都高一期末］ 若实数， 满足
则下列叙述正确的是( )
A.的取值范围是
B.的取值范围是
C.的取值范围是
D.的取值范围是
√
√
√
[解析] 实数,满足
由不等式的可加性可得，则，故A正确；
由题意可得
由不等式的可加性可得，则 ，故B正确；
设 ，
则解得所以 ，
易知
由不等式的可加性可得 ,故C正确,D错误.故选 .
（2）设，，则 的取值范围是_______，
的取值范围是_______， 的取值范围是______.
[解析] ，，
， ，，，
， ， .
［素养小结］
利用不等式的性质求取值范围的策略：
（1）建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，然后利用一次
不等式的性质进行运算，求得待求的范围.
（2）同向（异向）不等式的两边可以相加（相减），这种转化不是
等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其
取值范围.
（3）求解不等式问题要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范
围，再去求其他式子的范围.
1.设实数,, ，则( )
A. B. C. D.
[解析] ,, ,
,,
即 .故选A.
√
2.［2025·浙江温州高一期中］十六世纪中叶，英国数学家雷科德在
《砺智石》一书中首先把“ ”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥
特首次使用“ ”和“ ”符号表示不等关系，并逐渐被数学界接受，
不等号的引入对不等式的发展影响深远.已知，，满足 ，
且 ，则下列选项中一定成立的是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 对于A，当时， ，故A错误；
对于B，由，，得，
由，得 ，所以，故B正确；
对于C，由B可知，
由 ，得，所以，故C错误；
对于D，由 ，，得，，
所以 ，故D错误.故选B.
3.已知，，，， ，则
( )
A. B. C. D.
[解析] ，， ，
， .故选B.
√
4.已知 ，给出下列不等式：
； ；
； .
其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
√
[解析] 对于①， ，
因为，所以,，
所以 ，即，故①正确；
对于②，
，因为 ，所以,
，所以，即 ，故②正确；
对于③，当,时， ，
，所以 ，故③错误；
对于④，
，因为，所以,，
所以 ，即 ，故④正确.故选C.
5.已知 ， 满足则 的取值范围是______.
[解析] 设 ，
则解得 ，
又，， ，
故 的取值范围是 .
数学符号的发明和使用比数字晚，但是数量却超过了数字，现
在常用的数学符号有200多个，它们都有一段有趣的经历.例如，现在
通用的加号“”是由拉丁文“ ”（“和”的意思）演变而来的，减号“-”
是由拉丁文“”（“减”的意思）演变而来的，一开始简写为 ，
之后为了书写快速而简化为“-”.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在
《砺智石》一书中首次把“ ”作为等号使用.十七世纪，德国数学家
莱布尼茨在几何学中用“ ”表示相似，用“ ”表示全等.1631年，英
国数学家哈里奥特首次使用大于号“ ”和小于号“ ”，并逐渐被数
学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.至于“ ”“ ”“
”这三个符号的出现，是很晚很晚的事了.
1.准确记忆各性质成立的条件，是正确应用的前提.在不等式的判断
中，特殊值法也是非常有效的方法，尤其是对于选择题或填空题，
特殊值法可以节省时间．在不等式的各性质中，乘法的性质极易出
错，即在不等式两边同乘或除以一个数时，必须要确定该数是正数、
负数，还是零，否则结论就不确定．
例1 适当增加条件，使下列各结论成立：
（1）若，则 ；
解：若，则，对两端同乘正数，
可得结论 成立，即只需增加条件 .
（2）若，则 ；
解：若，则要使成立，只需增加条件 .
（3）若，则 ；
解：， ，
则 ，因为，所以增加条件或 .
（4）若，，则 .
解：不等式，为同向不等式，则要使 成立，
只需增加条件， .
例1 适当增加条件，使下列各结论成立：
2.求含字母的数或式的取值范围时，一要注意题设中的条件，二要正
确使用不等式的性质求解．
例2 已知，求， 的取值范围．
解：因为，所以， ，
两式相加得 .
因为，所以，所以，
又 ，所以，故 .
综上，， .
例3 已知，，则 的最小值是__.
[解析] 设 ，
则解得
因为，，所以， ，
所以，
所以 的最小值是 .
练习册
1..若 ，则下列不等式不一定成立的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 利用不等式的性质可得A，B，D中不等式一定成立，
当， 时，C中不等式不成立.故选C.
√
2.已知，，那么，，， 的大小关系为( )
A. B.
C. D.
[解析] 由，得，由得 ，
所以，，所以 .故选B.
√
3.［2025·山东临沂高一期中］已知, ，
则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 设 ，
则解得所以 ，
又,，所以 .故选A.
√
4.［2024·浙江湖州高一期末］已知，且 ，
，则， 的大小关系是( )
A. B. C. D.不能确定
[解析] 因为，所以，
所以，所以 .故选A.
√
5.甲、乙两人都分两次到同一水果店购买同一种水果，甲每次购买3
千克，乙每次消费50元，若此种水果两次的单价不同，则甲、乙两
次购买此种水果的平均单价( )
A.一样多 B.甲比乙低 C.乙比甲低 D.无法比较
[解析] 设这种水果两次的单价分别为, ，则甲两次购买的
平均单价是，乙两次购买的平均单价是 ，
因为，所以 ，
所以乙两次购买的平均单价比甲低.故选C.
√
6.如图，数轴上给出了表示实数，， 的三个点，下列判断正确的
是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题图可得,, ,
所以,,所以 ,故A错误；
,故B错误；
因为,所以 ,又,
所以,又 ,所以,故C错误；
因为, ,且由图可知,即,
所以,又 ,所以 ,故D正确.故选D.
7.（多选题）已知 ，则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
[解析] 由,可得 ,故选项A不成立；
因为,所以,,所以 ,故选项B成立；
因为,所以,即 ,故选项C成立；
因为,所以,,所以 ,
即,故选项D不成立.故选 .
√
√
8.若，，则与 的大小关系为______．
[解析] ,,
,又,, ,即 .
9.（13分）已知，均为正实数．试利用作差法比较 与
的大小．
解：
．
当 时， ，则；
当时， ，，则.
综上所述， .
10.若条件，则下列条件中是条件 的必要条件的有
( )
条件；条件；条件 ；
条件 .
A.条件和条件 B.条件和条件
C.条件和条件 D.条件和条件
√
[解析] 对于条件,因为,所以, ,
所以,所以条件是条件的必要条件；
对于条件,若,则,所以条件不是条件 的必要条件；
对于条件,因为,所以,所以 ,
即,所以条件不是条件的必要条件；
对于条件 ,,因为,所以, ,所以,
所以,所以,所以条件是条件 的必要条件. 故选B.
11.（多选题）［2024·贵州贵阳高一期末］ 已知 ，
，则下列不等式正确的是( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 对于A,,,即 ,
,,故A正确;
对于B, ,,,故B正确;
对于C, ,,,
,故C错误;
对于D,,,又 ,,
, ,故D正确.故选 .
12.若关于的不等式只有一个整数解2，则实数
的取值范围为______．
[解析] 由，得，
因为关于 的不等式只有一个整数解2，所以
解得 ，故实数的取值范围为 .
13.设，，为非零实数，且 ，则下列判断正确的有
_______.（填序号）
;;;; .
③④
[解析] 对于①，取,,满足 ，
但不成立，故①错误；
对于②，取,, 满足，
但不成立，故②错误；
对于③， ，，，，故③正确；
对于④， , ，，故④正确；
对于⑤，取,, 满足，
但 不成立，故⑤错误.故答案为③④.
14.（15分）
（1）已知，求证： .
证明：，，且，
， ．
（2）已知，求证： ．
证明： 对正数和 有 ，
，，
， .
15.［2025·江苏南通高一期末］设,,表示，， 中最大的
数.若，且，则,, 的最
小值为__.
[解析] 令,,,则,, ，
，，因为 ，
所以，所以 .
令,,,,，则
所以,即，
所以,, 的最小值为 .
16.（15分）［2025·河北邯郸高一期中］
（1）已知，，求 的取值范围；
解：令，， ，
即，
则解得 所以 .
又， ，
所以， ，
所以，即 .
（2）已知，都是正实数，比较与 的大小.
解： .
因为，，所以， .
当时，，即 ；
当时，，即 .
综上所述，当时，；
当 时， .
快速核答案(导学案)
课前预习 知识点二 1.
2.
知识点三 1.
2.
【诊断分析】 （1）× （2）√ （3）× （4）× （5）√
课中探究 探究点一 例1 ABD 变式 C 探究点二 例2 （1）
（2）
变式 探究点三 例3 （1）①③ （2）略 变式 CD
探究点四 例4 （1） （2）7 变式 （1）ABC （2）
课堂评价 1.A 2.B 3.B 4.C 5.
备用习题 例1 （1） （2）（3） 或（4），例2 m>， 例3
m>
快速核答案(练习册)
基础巩固
1.C 2.B 3.A 4.A 5.C 6.D 7.BC 8. 9.
综合提升
10.B 11.ABD 12. 13.③④ 14.（1）略（2）略
思维探索
15. 16.（1）
（2） 当时，；当时，.2.2 不等式
2.2.1 不等式及其性质
第1课时 不等式及其性质
【课前预习】
知识点二
1.a>b a=b a2.a-b>0 a-b=0 a-b<0
知识点三
1.> > < a>c 2.a+c>b+d ac>bd an>bn
诊断分析
(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√ [解析] (1)由不等式的可乘性知,当不等式两端同乘一个负数时,不等号方向改变,因此若a>b,则ac>bc不一定成立,故此说法错误.
(2)在不等式a-c(3)取a=4,c=5,b=7,d=1,满足a+c>b+d,但不满足a>b,故此说法错误.
(4)取a=2,b=1,c=-1,d=-2,满足a>b,c>d,但>不成立,故此说法错误.
(5)根据推论5,将不等式两边同时开n次方即可.
【课中探究】
例1 ABD [解析] 设安排A种型号的货箱x节,B种型号的货箱y节,则则7x+5y=7x+5(50-x)=2x+250≥306,解得x≥28,3x+7y=3x+7(50-x)=350-4x≥230,解得x≤30,所以28≤x≤30,所以或或故选ABD.
变式 C [解析] 由长、宽、高之和不超过130 cm得a+b+c≤130,由体积不超过72 000 cm3得abc≤72 000.故选C.
例2 解:(1)(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-(x4+x2+1)=x2≥0,∴(x2+1)2≥x4+x2+1.
(2)-=-=,∵a>b>0,∴2ab>0,a-b>0,a+b>0,a2+b2>0,则>0,∴>.
变式 > [解析] a-b=(+)-3,(+)2=10+2>32,故+>3,即a>b.
例3 (1)①③ [解析] 对于①,若ab>0,则>0,又a>b,所以>,所以<,故①正确;对于②,若a=7,b=6,c=0,d=-10,则7-0<6-(-10),故②错误;对于③,对于正数a,b,m,若a0,所以<,故③正确.综上可得,正确说法的序号是①③.
(2)证明:因为c-d>0,所以0<-<-.又因为a>b>0,所以->->0,所以>,即->-,所以<.
变式 CD [解析] 对于A,若ac3>bc3,当c<0时,ab2,ab>0,当a<0,b<0时,>,故B错误;对于C,若a3>b3,ab>0,则a>b>0或b,则c2>0,所以a>b,故D正确.故选CD.
例4 (1)[-5,4] (2)7 [解析] (1)因为-1≤x≤2,0≤y≤1,所以-2≤2x≤4,-3≤-3y≤0,所以-5≤2x-3y≤4,即z的取值范围是[-5,4].
(2)设4x+2y=a(x+y)+b(x-y)=(a+b)x+(a-b)y,则解得即4x+2y=3(x+y)+(x-y).因为-2变式 (1)ABC (2)(5,13) (2,13) (1,7) [解析] (1)实数a,b满足由不等式的可加性可得0≤2a≤8,则0≤a≤4,故A正确;由题意可得由不等式的可加性可得-2≤2b≤6,则-1≤b≤3,故B正确;设3a-2b=x(a+b)+y(a-b)=(x+y)a+(x-y)b,则解得所以3a-2b=(a+b)+(a-b),易知由不等式的可加性可得-2≤3a-2b≤10,故C正确,D错误.故选ABC.
(2)∵2【课堂评价】
1.A [解析] -=,-1=,-=,∵+1<+<+,∴>>,即b>a>c.故选A.
2.B [解析] 对于A,当b=0时,cb2=ab2=0,故A错误;对于B,由a+c=0,c0,所以ac(a-c)<0,故C错误;对于D,由a+c=0,c3.B [解析] ∵x>1,-10,a-b=-y(1+y)>0,∴c>a>b.故选B.
4.C [解析] 对于①,-===,因为a>b>1,所以a-b>0,a+1>0,所以-=>0,即>,故①正确;对于②,a+-=a-b+-=a-b+=(a-b)=(a-b)·,因为a>b>1,所以a-b>0,ab>1,所以a+->0,即a+>b+,故②正确;对于③,当a=3,b=2时,a3+b3=33+23=35,2a2b=2×32×2=36,所以a3+b3<2a2b,故③错误;对于④,a+-=a-b+-=a-b+=(a-b),因为a>b>1,所以a-b>0,ab>1,所以a+->0,即a+>b+,故④正确.故选C.
5.[1,7] [解析] 设α+3β=λ(α+β)+μ(α+2β)=(λ+μ)α+(λ+2μ)β,则解得∴α+3β=-(α+β)+2(α+2β),又-1≤-(α+β)≤1,2≤2(α+2β)≤6,∴1≤α+3β≤7,故α+3β的取值范围是[1,7].2.2 不等式
2.2.1 不等式及其性质
第1课时 不等式及其性质
1.C [解析] 利用不等式的性质可得A,B,D中不等式一定成立,当x=2,y=-3时,C中不等式不成立.故选C.
2.B [解析] 由a+b>0,得a>-b,由b<0得-b>0,所以a>-b>0,-a-b>b>-a.故选B.
3.A [解析] 设4x-8y=m(x+y)+n(x-3y)=(m+n)x+(m-3n)y,则解得所以4x-8y=(x+y)+3(x-3y),又-1≤x+y≤4,2≤x-3y≤3,所以5≤4x-8y≤13.故选A.
4.A [解析] 因为00,所以M>N.故选A.
5.C [解析] 设这种水果两次的单价分别为a,b(a≠b),则甲两次购买的平均单价是=,乙两次购买的平均单价是=,因为-==>0,所以>,所以乙两次购买的平均单价比甲低.故选C.
6.D [解析] 由题图可得-1a,故C错误;因为-12b,故D正确.故选D.
7.BC [解析] 由<<0,可得b0,a+b<0,所以ab>a+b,故选项B成立;因为b|a|,即|a|<|b|,故选项C成立;因为b0,所以ab-b2=b(a-b)<0,即 ab8.a0,1618>0,∴1816<1618,即a9.解:∵a3+b3-(a2b+ab2)=(a3-a2b)+(b3-ab2)=a2(a-b)+b2(b-a)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b).当a=b时,a-b=0,则a3+b3=a2b+ab2;当a≠b时,(a-b)2>0,a+b>0,则a3+b3>a2b+ab2.综上所述,a3+b3≥a2b+ab2.
10.B [解析] 对于条件q,因为b0,所以a+b<00,所以<0,所以-<0,所以<,所以条件t是条件p的必要条件.故选B.
11.ABD [解析] 对于A,∵312. [解析] 由a-2<2a-x<,得2a-13.③④ [解析] 对于①,取a=-1,b=-2,c=-3满足a>b>c,但a+b>c不成立,故①错误;对于②,取a=1,b=-2,c=-3满足a>b>c,但ab>c2不成立,故②错误;对于③,∵a>c,b>c,∴a+b>2c,∴>c,故③正确;对于④,∵a>b,c2>0,∴ac2>bc2,故④正确;对于⑤,取a=,b=,c=-1满足a>b>c,但+<不成立,故⑤错误.故答案为③④.
14.证明:(1)∵a>b>0,∴>1,且a-b>0,∴=>1,∴aabb>(ab.
(2)对正数A和B有(1+A)(1+B)=1+A+B+AB>1+A+B,∴(1+h)2>1+2h,∴(1+h)3>(1+2h)(1+h)>1+3h,∴(1+h)10>[(1+h)2(1+h)3]2>[(1+2h)(1+3h)]2>(1+5h)2>1+10h,∴(1+h)100>(1+10h)10>1+100h.
15. [解析] 令b-a=m,c-b=n,1-c=p,则m,n,p>0,b=1-n-p,a=1-m-n-p,因为b≥2a,所以1-n-p≥2(1-m-n-p),所以2m+n+p≥1.令M=max{b-a,c-b,1-c}=max{m,n,p},则所以4M≥2m+n+p≥1,即M≥,所以max{b-a,c-b,1-c}的最小值为.
16.解:(1)令3a+b=m(a+b)+n(b-a),m,n∈R,即(m-n)a+(m+n)b=3a+b,则解得所以3a+b=2(a+b)-(b-a).
又0所以0<2(a+b)<4,-1<-(b-a)<2,
所以-1<2(a+b)-(b-a)<6,即-1<3a+b<6.
(2)+-(a+b)==.
因为a>0,b>0,所以a+b>0,ab>0.
当a=b时,+-(a+b)=0,即+=a+b;
当a≠b时,+-(a+b)>0,即+>a+b.
综上所述,当a=b时,+=a+b;当a≠b时,+>a+b.2.2 不等式
2.2.1 不等式及其性质
第1课时 不等式及其性质
【学习目标】
1.会用作差法比较两实数(代数式)的大小;
2.通过对比,理解等式和不等式的共性与差异,掌握不等式的基本性质,并能运用性质解决相关问题.
◆ 知识点一 不等式的概念
1.不等式的定义
用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式,以表示它们之间的不等关系,含有这些不等号的式子,称为不等式.
2.文字语言与数学符号间的常见转换
文字 语言 大于、高 于、超过 小于、低 于、少于 大于或等于、至少、不低于 小于或等于、至多、不多于、不超过
数学 符号 > < ≥ ≤
◆ 知识点二 比较实数大小
1.a≥b 或 ;
a≤b 或 .
2.实数大小的依据
a>b ;
a=b ;
a◆ 知识点三 不等式的性质
1.不等式的性质
性质 别名 内容
性质1 可加性 如果a>b,那么a+c b+c
性质2 可乘性 如果a>b,c>0,那么ac bc
性质3 如果a>b,c<0,那么ac bc
性质4 传递性 如果a>b,b>c,那么
性质5 对称性 a>b b2.不等式性质的推论
推论 别名 内容
推论1 移项法则 如果a+b>c,那么a>c-b
推论2 同向不等 式相加 如果a>b,c>d, 那么
推论3 同向不等 式相乘 如果a>b>0,c>d>0, 那么
推论4 可乘方性 如果a>b>0,那么 (n∈N,n>1)
推论5 可开方性 如果a>b>0,那么>
(1)推论1表明不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后,从不等式的一边移到另一边;
(2)推论2表明两个同向不等式的两边分别相加,所得到的不等式与原不等式同向;
(3)推论3表明两个两边都是正数的同向不等式分别相乘,所得到的不等式与原不等式同向.
3.不等式性质的拓展——倒数法则
(1)如果a>b>0,m>0,那么<;>(b-m>0).
(2)如果a>b>0,那么<.
(3)如果0>a>b,那么<.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若a>b,则ac>bc一定成立. ( )
(2)若a-c(3)若a+c>b+d,则a>b,c>d. ( )
(4)若a>b,c>d,则>. ( )
(5)若a>b>0,则>(n∈N,n>1). ( )
◆ 探究点一 用不等式(组)表示不等关系
例1 (多选题)[2025·河北石家庄高一期末] 火车站有某公司待运的甲种货物306吨,乙种货物230吨.现计划用A,B两种型号的货箱共50节运送这批货物.已知7吨甲种货物和3吨乙种货物可装满一节A型货箱,5吨甲种货物和7吨乙种货物可装满一节B型货箱,据此安排A,B两种货箱的节数,下列方案可以满足题意的是 ( )
A.A货箱28节,B货箱22节
B.A货箱29节,B货箱21节
C.A货箱31节,B货箱19节
D.A货箱30节,B货箱20节
变式 某物品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130 cm,体积不超过72 000 cm3,设该物品外部尺寸长、宽、高分别为a,b,c(单位: cm),则下列数学关系式正确的是 ( )
A.a+b+c<130且abc<72 000
B.a+b+c>130且abc>72 000
C.a+b+c≤130且abc≤72 000
D.a+b+c≥130且abc≥72 000
◆ 探究点二 作差法比较大小
例2 比较下列各题中两个代数式的大小.
(1)(x2+1)2与x4+x2+1;
(2)与(a>b>0).
变式 设a=,b=3-,则a b(填“>”或“<”).
[素养小结]
(1)作差法比较两个实数(或代数式)大小的一般步骤:作差、变形、判断差的符号、得出结论.
(2)代数式如果含有根式,也可以先平方再作差,但此时一定要注意代数式的符号.
(3)作差时应该对差式进行恒等变形(如配方、因式分解、有理化、通分等),直到能明显看出其正负号为止.
常见的比较两个实数(或代数式)大小的方法还有作商法:如上述变式题也可运用以下方法求解:===>=1,即>1.又因为b>0,所以a>b.
◆ 探究点三 不等式性质的简单应用
例3 (1)给出下列说法:
①若ab>0,a>b,则<;
②若a>b,c>d,则a-c>b-d;
③对于正数a,b,m,若a其中正确说法的序号是 .
(2)已知a>b>0,c变式 (多选题)已知a,b,c∈R,那么下列说法中正确的是 ( )
A.若ac3>bc3,则a>b
B.若a2>b2且ab>0,则<
C.若a3>b3且ab>0,则<
D.若>,则a>b
[素养小结]
(1)运用不等式的性质判断时,要注意不等式成立的条件,不要弱化条件,尤其是不能随意捏造性质.
(2)解有关不等式的选择题时,也可采用特殊值法进行排除,注意取值一定要遵循如下原则:一是满足题设条件;二是取值要简单,便于验证计算.
(3)在研究不等式时,需要特别注意“符号问题”,即在作乘(除)法运算时,符号会影响不等式中的不等号方向.
◆ 探究点四 利用不等式性质求取值范围
例4 (1)已知-1≤x≤2,0≤y≤1,设z=2x-3y,则z的取值范围是 .
(2)若-2变式 (1)(多选题)[2024·四川成都高一期末] 若实数a,b满足则下列叙述正确的是 ( )
A.a的取值范围是0≤a≤4
B.b的取值范围是-1≤b≤3
C.3a-2b的取值范围是-2≤3a-2b≤10
D.3a-2b的取值范围是-6≤3a-2b≤14
(2)设2[素养小结]
利用不等式的性质求取值范围的策略:
(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系,然后利用一次不等式的性质进行运算,求得待求的范围.
(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减),这种转化不是等价变形,如果在解题过程中多次使用这种转化,就有可能扩大其取值范围.
(3)求解不等式问题要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范围,再去求其他式子的范围.
1.设实数a=-,b=-1,c=-,则 ( )
A.b>a>c B.c>b>a
C.a>b>c D.c>a>b
2.[2025·浙江温州高一期中] 十六世纪中叶,英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用,后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号表示不等关系,并逐渐被数学界接受,不等号的引入对不等式的发展影响深远.已知a,b,c满足cA.cb2C.ac(a-c)>0 D.ab>c2
3.已知x>1,-1A.a>b>c B.c>a>b
C.a>c>b D.c>b>a
4.已知a>b>1,给出下列不等式:
①>;②a+>b+;
③a3+b3>2a2b;④a+>b+.
其中正确的有 ( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
5.已知α,β满足则α+3β的取值范围是 . 2.2 不等式
2.2.1 不等式及其性质
第1课时 不等式及其性质
1.若x>1>y,则下列不等式不一定成立的是 ( )
A.x-y>1-y B.x-1>y-1
C.x-1>1-y D.1-x>y-x
2.已知a+b>0,b<0,那么a,b,-a,-b的大小关系为 ( )
A.a>b>-b>-a
B.a>-b>b>-a
C.a>-b>-a>b
D.a>b>-a>-b
3.[2025·山东临沂高一期中] 已知-1≤x+y≤4,2≤x-3y≤3,则4x-8y的取值范围是 ( )
A.[5,13] B.[-5,23]
C.[0,22] D.[2,20]
4.[2024·浙江湖州高一期末] 已知0A.M>N B.MC.M=N D.不能确定
5.甲、乙两人都分两次到同一水果店购买同一种水果,甲每次购买3千克,乙每次消费50元,若此种水果两次的单价不同,则甲、乙两次购买此种水果的平均单价 ( )
A.一样多 B.甲比乙低
C.乙比甲低 D.无法比较
6.如图,数轴上给出了表示实数a,b,c的三个点,下列判断正确的是 ( )
A.ab> c B.abc>
C.c+2b2b
7.(多选题)已知<<0,则下列不等式成立的是 ( )
A.aa+b
C.|a|<|b| D.ab>b2
8.若a=1816,b=1618,则a与b的大小关系为 .
9.(13分)已知a,b均为正实数.试利用作差法比较a3+b3与a2b+ab2的大小.
10.若条件p:b条件q:a+bbc2(c∈R);条件s:b2A.条件q和条件r B.条件q和条件t
C.条件s和条件t D.条件r和条件t
11.(多选题)[2024·贵州贵阳高一期末] 已知3A.<<10 B.11<2a+b<50
C.212.若关于x的不等式a-2<2a-x<只有一个整数解2,则实数a的取值范围为 .
13.设a,b,c为非零实数,且a>b>c,则下列判断正确的有 .(填序号)
①a+b>c;②ab>c2;③>c;④ac2>bc2;⑤+<.
14.(15分)(1)已知a>b>0,求证:aabb>(ab.
(2)已知h>0,求证:(1+h)100>1+100h.
15.[2025·江苏南通高一期末] 设max{a,b,c}表示a,b,c中最大的数.若016.(15分)[2025·河北邯郸高一期中] (1)已知0(2)已知a,b都是正实数,比较+与a+b的大小.