山西省晋中市祁县中学2026届高三8月月考数学试卷(含解析)

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2025年祁县中学高三年级开学测试数学试题
姓名： 班级： 得分：
时长：120分钟；总分：150
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.下列命题中正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，，则 D. 若，，则
3.命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
4.已知函数的导函数为，且满足，则( )
A. B. C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数，若、、均不相等且，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.设函数，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数若函数恰有个零点，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分。）
9.下列命题中为真命题的是( )
A. 命题：，有，则的否定：，有
B. 若，则
C. 当时，则，使得成立
D. 函数的定义域为，则函数的定义域为
10.下列结论中，错误的结论有( )
A. 取得最大值时的值为
B. 若，则的最大值为
C. 函数的最小值为
D. 若，，且，那么的最小值为
11.已知函数，则( )
A. 为周期函数
B. 存在，使得的图象关于对称
C. 在区间上单调递减
D. 的最大值为
三、填空题（本大题共3小题，共15分）
12.若对任意且，函数的图象都过定点，且点在角的终边上，则______．
13.已知曲线在处的切线方程是，则与分别为 ， ．
14.已知函数，，若使关于的不等式成立，则实数的范围为 ．
四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.本小题13分
设全集，集合，集合．
若“”是““的充分条件，求实数的取值范围；
若命题“，则“是真命题，求实数的取值范围．
16.本小题15分
已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．
求函数的解析式
函数，求函数的最小值．
17.本小题15分
摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，该摩天轮轮盘直径为米，设置有个座舱．游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面米，匀速转动一周大约需要分钟．当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．
经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，已知关于的函数关系式满足其中，求摩天轮转动一周的解析式；
游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到米？
若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为米，求的最大值．
18.本小题17分
已知函数，
若函数有两个不同的极值点，求的取值范围
求函数的单调递减区间．
19.本小题17分
已知函数，已知是函数的极值点．
求；
设函数证明：．
答案
1.【答案】
【解析】解：，，
．
故选：．
2.【答案】
【解答】
解：对于，若，当时，，故A错误；
对于，若，，满足，但，故B错误；
对于，因为，，所以，可得，故C错误；
对于，由，得，又，所以，故D正确．
故选：．
3.【答案】
【解答】
解：命题“，”为真命题，可化为，，恒成立，
即只需，即“，”为真命题的充要条件为，
而要找的一个充分不必要条件即为集合的真子集，由选择项可知符合题意．
故选：．
4.【答案】
【解答】
解：，
，
，解得．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：，
等式两边平方，可得，
即，
．
故选：．
6.【答案】
【解答】
解：作出函数的图象如图，
不妨设，则
，
则．
故选C．
7.【答案】
【解答】
解：函数的定义域为，
若，
时，，即需成立
时，，恒成立
时，，即需成立
对于函数在上，在上，
，解得，
所以的最小值为．
故选B．
8.【答案】
【解答】
解：若函数恰有个零点，
则有四个根，
即与有四个交点，
当时，与图象如下：
两图象有个交点，不符合题意，
当时，与轴交于两点，
图象如图所示，
两图象有个交点，符合题意，
当时，
与轴交于两点，
在内两函数图象有两个交点，所以若有四个交点，
只需与在还有两个交点，即可，
即在还有两个根，
即在还有两个根，
函数，当且仅当时，取等号，
所以，且，
所以，
综上所述，的取值范围为．
故选：．
9.【答案】
【解答】
解：选项，的否定：，有，故A正确；
选项，当时，
，，故B错误；
选项，当时，，
故，使得，故C正确；
选项，函数的定义域为，
则需满足，得，
故定义域为，故D错误．
故选：．
10.【答案】
【解答】
解：对于，的对称轴为，
所以取得最大值时的值为，故A错误；
对于，令，
因为，则，
所以，当时，取等号，
所以，则，
即最大值为，故B错误；
对于，函数，
令，当时，，不满足题意，故C错误；
对于，若，，且，
，
当且，即时取等号，
所以的最小值为，故D正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】 解：对于，因为，
所以为周期函数，故 A正确；
对于假设关于对称，则．
展开得：，
要求恒成立，
即无解，不存在这样的所以B错误；
对于， ．
令，当时，，
函数，其对称轴为，
当时，单调递减
当时，单调递增，
且当时，
当时，当时，，
所以在上恒为负，
即在上单调递减，选项正确；
对于，因为的最小正周期为，故在内研究函数的最值即可，
由于，当时取到最大值，，当或时，取到最大值，
显然和取最大值的时候，的值不相等，
故与不能同时取到，
所以函数的最大值不能取到，
故D错误．
故选AC．
12.【答案】
【解析】解：令，求得，，
可得函数的图象经过定点，
所以点在角的终边上，则．
故答案为：．
13.【答案】
【解答】
解：因为曲线在处的切线方程是，所以，
，
故答案为；．
14.【答案】
【解析】解：令，
则，
而，
所以是奇函数，而在上单调递增，在上单调递增，
所以是在上的单调递增函数且为奇函数，
而可变形成，
即，
由是在上的单调递增函数，则使关于的不等式
成立，
即，
设，，则，，
令，，则的最大值为，
所以即．
综上所述：实数的范围为．
故答案为：．
15.【答案】解：因为“”是““的充分条件，所以．
故，解得．
所以实数的取值范围是．
因为命题“，则“是真命题，所以．
当时，，解得；
当时，，解得，所以．
综上所述，实数的取值范围是
16.【答案】解： 当时，此时，
又当时，，
所以，
因为函数是定义在上的奇函数，
，
，
函数的解析式为
函数，
二次函数对称轴为：，
当时，即时，函数在上单调递减，所以
当时，即时，函数在上单调递增，所以
当时，即时，根据二次函数的性质可得，．
综上，当时，，
当时，，
当时，．

17.【答案】解：因为关于的函数关系式为其中，
且摩天轮的最高点距离地面为米，最低点距离地面为米，
所以，解得，，
又因为函数周期为分钟，所以，，
又因为，
所以，因为，所以．
所以．
因为，
所以，解得，
又因为，所以当第一次到达米时，，解得，
所以第一次达到米用时分钟．
经过分钟后甲距离地面的高度为，
乙与甲间隔的时间为分钟，
所以乙距离地面的高度为，
所以两人离地面的高度差，，
因为，所以当或时，得或分钟时，取最大值为米，
所以的最大值为米．
18.【答案】解：，
在上有两个不等的实根，
设，
在上单调递减，在上单调递增，
故只需
，
的取值范围为；
，
，
当时，，由，得，的单调递减区间为
当时，，，在上单调递增，无递减区间
当时，，由，得，的单减区间为
当时，，由，得，的单减区间为，
综上所述，
当时，的单调递减区间为
当时，无递减区间
当时，的单减区间为
当时，的单减区间为．
19.【答案】解：由题意，的定义域为，
令，则，，
则，
因为是函数的极值点，则有，即，所以，
当时，，且，
令，
因为，
则在上单调递减，
所以当时，，
当时，，
所以时，是函数的一个极大值点．
综上所述，；
证明：由可知，，
要证函数，即需证明，
因为当时，，
当时，，
所以需证明，即，
令，
则，
所以，当时，，
当时，，
所以为的极小值点，
所以，即，
故，
所以，即函数．
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