(共57张PPT)
2.2 不等式
2.2.1 不等式及其性质
第2课时 不等式的证明方法
探究点一 用作差法证明不等式
探究点二 用综合法证明不等式
探究点三 用反证法证明不等式
探究点四 用分析法证明不等式
◆
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
课堂评价
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.能灵活选用综合法、分析法证明简单不等式问题；
2.掌握反证法证明问题的一般步骤，能用反证法证明一些简单的
命题.
知识点 证明不等式的方法
1.作差法
通过比较两式之差的符号来判断两式的大小，这种方法通常称为作
差法.
2.综合法
从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的
方法，在数学中通常称为综合法.综合法又叫顺推证法或由因导果法.
3.反证法
首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出
假设不成立.这种得到数学结论的方法通常称为反证法.
4.分析法
从需要证明的不等式出发，分析这个不等式成立的条件，进而转化
为判定那个条件是否成立.分析法又叫逆推证法或执果索因法.
探究点一 用作差法证明不等式
例1 已知，均为正实数，证明： .
证明： .
因为，均为正实数，所以， ，
，所以 ，
当且仅当时等号成立，所以 .
变式 已知,，，，且，，求证： .
证明：，
因为，且， ，所以，
又，所以，所以 ，
又，，所以，所以 .
［素养小结］
作差法证明不等式的步骤:
①作差:对要证明的两个代数式作差;
②变形:对差进行因式分解、配方、通分等变形为一个常数、几个平
方和或者几个因式的积（或商）;
③判号:结合变形的结果及题设条件判断差的符号;
④得结论：注意等号是否能取到.
探究点二 用综合法证明不等式
例2 已知，且，证明： ．
证明：因为，且，
所以 ，且,所以 ，
所以，即，所以 ．
变式 已知，，为实数，求证： .
证明：因为，即，
所以 ，同理， ，
所以 .
［素养小结］
综合法证明不等式，重点是揭示出条件和结论之间的因果联系，因
此要着力分析已知与求证之间、不等式的左右两端之间的差异与联
系.合理进行转换，恰当选择已知不等式是证明的关键.
探究点三 用反证法证明不等式
例3 若，求证： .
证明：方法一：假设，则 ，
，即 ，
即，这是不可能的， .
方法二：假设， ，
但取等号的条件是，显然不可能， ，
则 .
又，， ，
， ，
，这与假设矛盾，故 .
变式 ［2025·上海闵行区高一期中］ 已知命题如果实数， 为
正数，且满足，则和 中至少有一个成立.
判断命题 是否为真命题.
解：命题 为真命题，用反证法证明如下：
假设和都不成立，则且 ，
因为实数，为正数，所以且 ，
所以，即，与 矛盾，
所以假设不成立，所以和 中至少有一个成立.
［素养小结］
用反证法证明不等式，其实质是从否定结论出发，通过逻辑推理，
导出与已知条件或公理相矛盾的结论，从而肯定原命题成立.
探究点四 用分析法证明不等式
例4 求证：
证明：要证 ，
只需证 ，
只需证
，只需证 ，
只需证，即 ，显然成立，
所以 成立．
变式 已知，，用分析法证明 .
证明：要证，只需证 ，
即证，即证 ，
因为，所以 成立.
［素养小结］
（1）分析法的思路是“执果索因”，即从要证的不等式出发，不断地
用充分条件来代替前面的不等式，直至找到已知不等式为止.
（2）用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好反推符号“
”或
“要证明”“只需证明”“即证明”等词语.
1.若，，，则， 的大
小关系为( )
A. B. C. D.由 的值确定
[解析] ， ，
，，
又,, ．故选A．
√
2.用反证法证明命题“设，为实数，则方程 至多有
一个实根”时，要作出的假设是( )
A.方程 没有实根
B.方程 至多有一个实根
C.方程 至多有两个实根
D.方程 恰好有两个实根
[解析] 用反证法证明，应先假设要证命题的否定成立，而要证命题的
否定为设，为实数，则方程 恰好有两个实根.故选D.
√
3.若，，，则与 的大小关系为_______．
[解析] ，
因为，所以，，所以 ，
所以 .
4.用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以
下三个步骤：
① ，这与三角形内角和为
相矛盾，则 不成立；
②所以一个三角形中不能有两个直角；
③假设的内角，， 中有两个角是直角，不妨设
.
正确的顺序为________.
③①②
[解析] 由反证法证明的步骤知，先反设，即③，再推出矛盾，即①，
最后进行判断，肯定结论，即②，故正确的顺序为③①②.
1.作差法
当要证明的不等式两端是两个代数式时，一般使用作差法.
依据：要证明，只需证明 .
比较两个数（式）的大小可以归纳为“三步一结论”，即作差 变形
定号 结论．其中变形为关键，定号为目的．在变形中，因式分
解、配方、通分、有理化等是经常使用的变形手段，最后变形为一个
常数，一个或几个平方的和或若干个因式的积等.在定号中，若为几个
因式的积，需对每个因式均先定号，若符号不确定，需进行讨论．
例1 对在直角坐标系的第一象限内的任意两点， 作如下定
义：，那么称点是点的“上位点”，同时点 是点
的“下位点”.
（1）试写出点 的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；
解：由可知，点的一个“上位点”的坐标为 ，
一个 “下位点”的坐标为 .
（2）设，，，均为正数，且点是点 的“上位点”，请
判断点是否既是点的“下位点”又是点 的“上
位点”，如果是请证明，如果不是请说明理由.
例1 对在直角坐标系的第一象限内的任意两点， 作如下定
义：，那么称点是点的“上位点”，同时点 是点
的“下位点”.
解：是，证明如下：
，，，均为正数，点是点的“上位点”， ，
， ，，
点是点 的“下位点”.
，，
点是点 的“上位点”.
综上,点既是点的“下位点”又是点 的“上位点”.
2.用综合法证明不等式的逻辑关系
.
例2 若，，求证： .
证明：，， ，
即，两边同乘，得 .
例3 设，, .
求证： .
证明：要证 ，
只需证 ，即证，
也就是证 ,即证,即证 .
因为，所以就是证 ，显然成立.
故不等式 成立.
3.用分析法证明不等式的逻辑关系
.
4.反证法
当待证命题的结论中含有“不可能”“不是”“至多”“至少”“唯一”等字眼
时，一般使用反证法.
矛盾的来源: ①与原命题的条件矛盾; ②与假设矛盾; ③与定义、公
理或者定理矛盾.
证明：假设10是集合中的元素，则存在, ，
使得，不妨设，
或或或
这四个方程组均无整数解, 假设不成立,不是集合 中的元素.
例4 设集合,, }.用反证法证明：10不
是集合 中的元素.
练习册
1.已知，且 ，则下列不等式恒成立的是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为且，所以， ，
所以，即 ，故A不正确；
因为,,所以,即 ,故B正确；
有可能为0，故C不正确；
取，， ，显然且，
但且 ，故D不正确.故选B.
√
2.分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明“设 ，且
，求证： ”，索的因应是下列式子中的
( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 因为,且,
所以 ,即,.
要证,只需证 ，
只需证,只需证 ,
只需证,只需证 ,
即证 ,显然成立.故选A.
3.利用反证法证明：若，则且 ，应假设
( )
A.，不都为0 B.， 都不为0
C.，不都为0，且 D.， 至少有一个为0
[解析] 且表示“,都为0”，其否定是“, 不都为0”.故选A.
√
4.实数，，满足且 ，则下列关
系式成立的是( )
A. B. C. D.
[解析] 由，可得
（当且仅当时取等号），所以，
由 ，可得，所以，所以 ．
因为，所以 .
综上可得， ．故选D.
√
5.已知，，若，，则与 的
大小关系为( )
A. B. C. D.不确定
[解析] 由已知得
， ，，，，
, ，即 .故选C.
√
6.已知，则 的值( )
A.为正数 B.为非正数 C.为非负数 D.不确定
[解析] 因为，所以， ，
，所以，， ，
所以，所以，
即 的值为正数.故选A.
√
7.（多选题）要证明,只需证明不等式,不等式 可能是( )
A. B. C. D.
[解析] 若，则,,
,B中不等式都是的充分条件；
若，则，但 ，
故C中不等式不是的充分条件；
若，则, ，
故D中不等式是的充分条件.故选 .
√
√
√
8.设，，则， 的大小关系为______.
（用“ ”连接）
[解析] ， ，
即 ，
，，故 .
9.已知,则与的大小关系为____________.（用“ ”连接）
[解析] ,因为,所以 ,
,所以,所以 .
10.（13分）已知，，求证： .
证明：
，
, ，
（当且仅当 时等号成立），即 .
11.［2025·甘肃金昌高一期中］已知，为正实数，则“ ”是“
”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 由,得,所以 ,则充分性成立；
由,得,则,所以 ,则必要性成立.
综上可知,“”是“ ”的充要条件.故选C.
√
★12.（多选题）下列命题为真命题的是( )
A.,,
B.,，使得
C.“”是“ ”的充要条件
D.若，则
√
√
[解析] 对于A,当,时, ,故A为真命题.
对于B，当时， 不成立，故B为假命题.
对于C，当时，成立；
当时，若, ，则，故不成立，
所以“”是“ ”的充分不必要条件，故C为假命题.
对于D，当 时，,即，
因为, ，所以，故D为真命题.故选 .
［技巧点拨］对于与全称量词或存在量词和充分必要条件结合的不
等式，要注意是全称量词命题还是存在量词命题，若是有全称量词
的不等式，则需要证明，若是有存在量词的不等式，则只需要举出
特例即可.
13.若，则实数， 应满足的条件是
_____________________.
，且
[解析] ，故,且 .
14.（15分）［2025·辽宁沈阳高一期中］
（1）已知，且，证明： .
证明：若，则，
，不符合题意， .
要证，只需证 ，
， 只需证 ，
即证，即证 ，
， 原不等式成立.
（2）已知，，且，证明：与 至少有一
个大于 .
证明： 假设
，，与 矛盾，
假设不成立，与至少有一个大于 .
15.（15分）
（1）已知,，求证： .
证明：方法一：,, ,，
， ,
.
方法二：,，, ,
，, ，
.
方法三： ，
，
,,, , ,
，
即 .
（2）已知,, ，求证：
.
证明： 方法一：
， .
,, ，,,
, , ，
，
.
方法二：,, ,
,, ,
，
，
，
，
.
快速核答案(导学案)
课中探究 探究点一 例1 略 变式 略 探究点二 例2 略 变式 略
探究点三 例3 略 变式 命题
为真命题，证明略.
探究点四 例4 略 变式 略
课堂评价 1.A 2.D 3.
4.③①②
备用习题 例1（1）点
的一个“上位点”的坐标为
，
一个“下位点”的坐标为
. （2）是，证明略.
例2 略 例3 略 例4 略
快速核答案(练习册)
基础巩固
1.B 2.A 3.A 4.D 5.C 6.A 7.ABD 8.
9.
10.略
综合提升
11.C 12.AD 13.
,
且
14.（1）略（2）略
思维探索
15.（1）略（2）略第2课时 不等式的证明方法
【课中探究】
例1 证明:-(+)=+=+==
.
因为a,b均为正实数,所以+>0,>0,(-)2≥0,所以≥0,
当且仅当a=b时等号成立,所以+≥+.
变式 证明:-=,因为>,且a,b∈(0,+∞),所以b>a>0,又x>y>0,所以bx>ay>0,所以bx-ay>0,又x+a>0,y+b>0,所以->0,所以>.
例2 证明:因为a0,所以<,即<,所以<.
变式 证明:因为≥0,即a2-a+≥0,所以a2≥a-,同理b2≥b-,c2≥c-,
所以a2+b2+c2≥a+b+c-.
例3 证明:方法一:假设a+b>2,则a>2-b,
∴2=a3+b3>(2-b)3+b3,即2>8-12b+6b2,
即(b-1)2<0,这是不可能的,∴a+b≤2.
方法二:假设a+b>2,∵a2-ab+b2=+b2≥0,但取等号的条件是a=b=0,显然不可能,∴a2-ab+b2>0,则a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)>2(a2-ab+b2).
又∵a3+b3=2,∴a2-ab+b2<1,∴1+ab>a2+b2≥2ab,
∴ab<1,∴(a+b)2=a2+b2+2ab=(a2-ab+b2)+3ab<4,∴a+b<2,这与假设矛盾,故a+b≤2.
变式 解:命题p为真命题,用反证法证明如下:
假设≥3和≥3都不成立,则<3且<3,因为实数a,b为正数,所以1+2b<3a且1+2a<3b,所以2+2a+2b<3a+3b,即a+b>2,与a+b=2矛盾,所以假设不成立,所以≥3和≥3中至少有一个成立.
例4 证明:要证-<-(a≥3),
只需证+<+,
只需证a+(a-3)+2<(a-1)+(a-2)+2,只需证<,
只需证a(a-3)<(a-1)(a-2),即0<2,显然成立,
所以-<-(a≥3)成立.
变式 证明:要证≤,只需证≤,即证a2+2ab+b2≤2a2+2b2,即证a2-2ab+b2≥0,因为a2-2ab+b2=(a-b)2≥0,所以≤成立.
【课堂评价】
1.A [解析] P2=2a+5+2,Q2=2a+5+2,∵a2+5a+6>a2+5a,∴P2>Q2,又P>0,Q>0,∴P>Q.故选A.
2.D [解析] 用反证法证明,应先假设要证命题的否定成立,而要证命题的否定为设a,b为实数,则方程x2+ax+b=0恰好有两个实根.故选D.
3.M>N [解析] M-N=x2+x-4x+2=x2-3x+2=(x-1)(x-2),因为x<1,所以x-1<0,x-2<0,所以(x-1)(x-2)>0,所以M>N.
4.③①② [解析] 由反证法证明的步骤知,先反设,即③,再推出矛盾,即①,最后进行判断,肯定结论,即②,故正确的顺序为③①②.第2课时 不等式的证明方法
1.B [解析] 因为a+b+c=0且a>b>c,所以a-b>0,c<0,所以ac-bc=(a-b)c<0,即ac0,a>0,所以ab-ac=a(b-c)>0,即ab>ac,故B正确;|b|有可能为0,故C不正确;取a=2,b=1,c=-3,显然a>b>c且a+b+c=0,但a2>b2且b22.A [解析] 因为a>b>c,且a+b+c=0,所以3c0,c<0.要证0,只需证(a-c)(2a+c)>0,只需证(a-c)[a+c+(-b-c)]>0,即证(a-c)(a-b)>0,显然成立.故选A.
3.A [解析] a=0且b=0表示“a,b都为0”,其否定是“a,b不都为0”.故选A.
4.D [解析] 由a2=2a+c-b-1,可得(a-1)2=c-b≥0(当且仅当a=1时取等号),所以c≥b,由a+b2+1=0,可得a=-b2-1,所以a≠1,所以c>b.因为b-a=b2+b+1=+>0,所以b>a.综上可得,c>b>a.故选D.
5.C [解析] 由已知得P-Q=+--1==,∵a1,a2∈(1,+∞),∴1-a1<0,a2-1>0,a1a2>0,∴P-Q<0,即P6.A [解析] 因为a>b>c,所以a-b>0,b-c>0,a-c>b-c>0,所以>0, >0, <,所以+>0,所以++>0,即++的值为正数.故选A.
7.ABD [解析] 若x2,故C中不等式不是x<的充分条件;若x<0,则x<0≤,∴x<,故D中不等式是x<的充分条件.故选ABD.
8.a>b [解析] ∵2>2,∴8+2>8+2,即()2+2+()2>()2+2+()2,∴(+)2>(+)2,∴+>+,故a>b.
9.x2+2>3x [解析] (x2+2)-3x=(x-1)(x-2),因为x<1,所以x-1<0,x-2<0,所以(x-1)(x-2)>0,所以x2+2>3x.
10.证明:x2+2y2-(2xy+2y-1)=(x2-2xy+y2)+(y2-2y+1)=(x-y)2+(y-1)2,∵(x-y)2≥0,(y-1)2≥0,∴(x-y)2+(y-1)2≥0(当且仅当x=y=1时等号成立),即x2+2y2≥2xy+2y-1.
11.C [解析] 由<,得-=<0,所以x12.AD [解析] 对于A,当a=2,b=-1时,|a-2|+(b+1)2=0,故A为真命题.对于B,当a=0时,ax>2不成立,故B为假命题.对于C,当ab≠0时,a2+b2≠0成立;当a2+b2≠0时,若a=1,b=0,则ab=0,故ab≠0不成立,所以“ab≠0”是“a2+b2≠0”的充分不必要条件,故C为假命题.对于D,当a≥b>0时,a+ab≥b+ab,即a(1+b)≥b(1+a),因为1+b>0,1+a>0,所以≥,故D为真命题.故选AD.
[技巧点拨] 对于与全称量词或存在量词和充分必要条件结合的不等式,要注意是全称量词命题还是存在量词命题,若是有全称量词的不等式,则需要证明,若是有存在量词的不等式,则只需要举出特例即可.
13.a≥0,b≥0且a≠b [解析] a+b>a+b a-a>b-b a(-)>b(-) (a-b)(-)>0 (+)(-)2>0,故a≥0,b≥0且a≠b.
14.证明:(1)若z≥0,则x>y>z≥0,∴x+2y+z>0,不符合题意,∴z<0.
要证≤-,只需证2≥-z,
∵-z>0,∴只需证4x2-8yz≥3z2,
即证4x2+4z(x+z)≥3z2,即证4x2+4xz+z2≥0,
∵4x2+4xz+z2=(2x+z)2≥0,∴原不等式成立.
(2)假设∴∴3m+3n≤m+n+6,
∴m+n≤3,与m+n>3矛盾,
∴假设不成立,∴与至少有一个大于.
15.证明:(1)方法一:∵0∴x(1-y)+y(1-x)<(1-y)+y(1-x)=1-y+y-xy=1-xy<1.
方法二:∵0∴x(1-y)+y(1-x)<(1-y)+y(1-x)<1-y+y=1.
方法三:∵x(1-y)+y(1-x)+xy+(1-x)(1-y)=1,
∴x(1-y)+y(1-x)=1-xy-(1-x)(1-y),
∵0即x(1-y)+y(1-x)<1.
(2)方法一:∵x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)+xyz+(1-x)(1-y)(1-z)=1,∴x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)=1-xyz-(1-x)(1-y)(1-z).
∵0∴0∴1-xyz-(1-x)(1-y)(1-z)<1,
∴x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1.
方法二:∵0∴0<1-x<1,0<1-y<1,0<1-z<1,
∵x(1-y)=x(1-y)(1-z)+xz(1-y),
y(1-z)=y(1-z)(1-x)+yx(1-z),
z(1-x)=z(1-x)(1-y)+zy(1-x),
∴x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)=x(1-y)(1-z)+xz(1-y)+yx(1-z) +y(1-z)(1-x)+z(1-x)(1-y)+zy(1-x)=x[(1-y)(1-z)+z(1-y)+y(1-z)] +(1-x)[y(1-z)+z(1-y)+zy]=x[1-y+y(1-z)]+(1-x)[y+z(1-y)] ∴x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1.第2课时 不等式的证明方法
【学习目标】
1.能灵活选用综合法、分析法证明简单不等式问题;
2.掌握反证法证明问题的一般步骤,能用反证法证明一些简单的命题.
◆ 知识点 证明不等式的方法
1.作差法
通过比较两式之差的符号来判断两式的大小,这种方法通常称为作差法.
2.综合法
从已知条件出发,综合利用各种结果,经过逐步推导最后得到结论的方法,在数学中通常称为综合法.综合法又叫顺推证法或由因导果法.
3.反证法
首先假设结论的否定成立,然后由此进行推理得到矛盾,最后得出假设不成立.这种得到数学结论的方法通常称为反证法.
4.分析法
从需要证明的不等式出发,分析这个不等式成立的条件,进而转化为判定那个条件是否成立.分析法又叫逆推证法或执果索因法.
◆ 探究点一 用作差法证明不等式
例1 已知a,b均为正实数,证明:+≥+.
变式 已知a,b,x,y∈(0,+∞),且>,x>y,求证:>.
[素养小结]
作差法证明不等式的步骤:
①作差:对要证明的两个代数式作差;
②变形:对差进行因式分解、配方、通分等变形为一个常数、几个平方和或者几个因式的积(或商);
③判号:结合变形的结果及题设条件判断差的符号;
④得结论:注意等号是否能取到.
◆ 探究点二 用综合法证明不等式
例2 已知a变式 已知a,b,c为实数,求证:a2+b2+c2≥a+b+c-.
[素养小结]
综合法证明不等式,重点是揭示出条件和结论之间的因果联系,因此要着力分析已知与求证之间、不等式的左右两端之间的差异与联系.合理进行转换,恰当选择已知不等式是证明的关键.
◆ 探究点三 用反证法证明不等式
例3 若a3+b3=2,求证:a+b≤2.
变式 [2025·上海闵行区高一期中] 已知命题p:如果实数a,b为正数,且满足a+b=2,则≥3和≥3中至少有一个成立.判断命题p是否为真命题.
[素养小结]
用反证法证明不等式,其实质是从否定结论出发,通过逻辑推理,导出与已知条件或公理相矛盾的结论,从而肯定原命题成立.
◆ 探究点四 用分析法证明不等式
例4 求证:-<-(a≥3).
变式 已知a>0,b>0,用分析法证明≤.
[素养小结]
(1)分析法的思路是“执果索因”,即从要证的不等式出发,不断地用充分条件来代替前面的不等式,直至找到已知不等式为止.
(2)用分析法证明数学命题时,一定要恰当地用好反推符号“ ”或“要证明”“只需证明”“即证明”等词语.
1.若P=+,Q=+,a≥0,则P,Q的大小关系为 ( )
A.P>Q B.P=Q
C.P2.用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x2+ax+b=0至多有一个实根”时,要作出的假设是 ( )
A.方程x2+ax+b=0没有实根
B.方程x2+ax+b=0至多有一个实根
C.方程x2+ax+b=0至多有两个实根
D.方程x2+ax+b=0恰好有两个实根
3.若x<1,M=x2+x,N=4x-2,则M与N的大小关系为 .
4.用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤:
①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°,这与三角形内角和为180°相矛盾,则∠A=∠B=90°不成立;
②所以一个三角形中不能有两个直角;
③假设△ABC的内角∠A,∠B,∠C中有两个角是直角,不妨设∠A=∠B=90°.
正确的顺序为 . 第2课时 不等式的证明方法
1.已知a>b>c,且a+b+c=0,则下列不等式恒成立的是 ( )
A.ac>bc B.ab>ac
C.a|b|>c|b| D.a2>b2>c2
2.分析法又叫执果索因法,若使用分析法证明“设a>b>c,且a+b+c=0,求证:A.(a-b)(a-c)>0
B.(a-b)(a-c)<0
C.(b-a)(b-c)>0
D.(b-a)(b-c)<0
3.利用反证法证明:若+b2=0,则a=0且b=0,应假设 ( )
A.a,b不都为0
B.a,b都不为0
C.a,b不都为0,且a≠b
D.a,b至少有一个为0
4.实数a,b,c满足a2=2a+c-b-1且a+b2+1=0,则下列关系式成立的是 ( )
A.b>a>c B.c>a>b
C.b>c>a D.c>b>a
5.已知a1,a2∈(1,+∞),若P=+,Q=+1,则P与Q的大小关系为 ( )
A.P>Q B.P=Q
C.P6.已知a>b>c,则++的值 ( )
A.为正数 B.为非正数
C.为非负数 D.不确定
7.(多选题)要证明x<,只需证明不等式M,不等式M可能是 ( )
A.x2C.-x< D.x<0
8.设a=+,b=+,则a,b的大小关系为 .(用“>”连接)
9.已知x<1,则x2+2与3x的大小关系为 .(用“>”连接)
10.(13分)已知x,y∈R,求证:x2+2y2≥2xy+2y-1.
11.[2025·甘肃金昌高一期中] 已知x,y为正实数,则“<”是“xA.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
★12.(多选题)下列命题为真命题的是 ( )
A. a,b∈R,|a-2|+(b+1)2≤0
B. a∈R, x∈R,使得ax>2
C.“ab≠0”是“a2+b2≠0”的充要条件
D.若a≥b>0,则≥
13.若a+b>a+b,则实数a,b应满足的条件是 .
14.(15分)[2025·辽宁沈阳高一期中] (1)已知x>y>z,且x+2y+z=0,证明:≤-.
(2)已知m>0,n>0,且m+n>3,证明:与至少有一个大于.
15.(15分)(1)已知0(2)已知0
