(共68张PPT)
2.2 不等式
2.2.2 不等式的解集
探究点一 求一元一次不等式组的解集
探究点二 解绝对值不等式
探究点三 含两个绝对值的不等式的解法
探究点四 求数轴上点的坐标或范围
◆
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
课堂评价
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.了解不等式（组）解集的概念，会求简单的一元一次不等式
（组）的解；
2.会解含有一个或者两个绝对值号的绝对值不等式，能借助数轴
解含有绝对值的不等式；
3.掌握数轴上两点之间的距离公式及中点坐标公式.
知识点一 不等式的解集与不等式组的解集
1.定义：一般地，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集.对
于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的
______称为不等式组的解集.
交集
2.解一元一次不等式的一般步骤
（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）
化系数为1，注意系数为负数时不等号方向改变.
3.不等式组的解集的确定方法可以归纳为以下四种类型（其中
）：
不等式组 图示 解集
__________________________________________________ ________（同大取大）
____________________________________________________ ________（同小取小）
__________________________________________________ ______（大小交叉取中间）
___________________________________________________ ___（大小分离解为空）
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）不等式组的解集为 .( )
√
（2）不等式组的解集为 .( )
×
[解析] 不等式组的解集为 .
（3）不等式的解集为 .( )
[解析] 要考虑与0的大小关系，当时，解集为空集，
当 时，解集为，当时，解集为 .
×
（4）不等式的解集为 .( )
√
（5）不等式组的解集为或 .( )
×
[解析] 不等式组的解集为 .
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
知识点二 绝对值不等式
1.绝对值的几何意义
是指数轴上_________________________； 是指数轴上
____________________________.
表示数的点与原点的距离
表示数，的两点间的距离
2.绝对值不等式的解集
当时，关于的不等式的解为或 ，因此
解集为____________________；
关于的不等式的解为 ，因此解集为_________.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若,则或 .( )
√
（2）若，则 .( )
×
[解析] 或 ，故错误.
（3）若，则 .( )
×
[解析] 时等式也成立，故错误.
（4）若,则 .( )
×
[解析] 当时成立，当 时无解，故错误.
知识点三 数轴上两点之间的距离公式和中点坐标公式
1.数轴上两点之间的距离公式:一般地,如果实数, 在数轴上对应的点
分别为,,即,,则线段的长为 _______.
2.中点坐标公式：若线段的中点对应的数为,则 ____.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若,，则 .( )
√
（2）若,，则线段 的中点对应的数为5.( )
√
探究点一 求一元一次不等式组的解集
例1（1）［2024·重庆万州区高一期中］已知不等式组 的
解集为，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 由得因为不等式组的解集为 ，
所以，即的取值范围是 .故选C.
√
（2）求下列不等式组的解集,并在数轴上表示出来.
①
解：由①得，由②得 ，
所以不等式组的解集为 ,在数轴上表示如图所示.
②
解：由①得，由②得 ，
所以不等式组的解集为 ，在数轴上表示如图所示.
（2）求下列不等式组的解集,并在数轴上表示出来.
变式（1）若，则关于的不等式组 的整数
解的个数是___.
6
[解析] 由得，因为 ，
所以不等式组的整数解有1,2,3,4,5,6，所以不等式组的整数解有6个.
（2）关于的不等式组的解集为，那么 ____.
[解析] 由题意知,，解得,则 .
［素养小结］
（1）一元一次不等式组的解法：
①分开解：分别解每个不等式，求出其解集.
②集中判：根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小
无解了”确定不等式组的解集（或把不等式的解集在数轴上表示出来，
数形结合确定不等式组的解集）.
（2）求解含参不等式时，要注意:①变量的系数的符号是否确定，
不然要对其分等于0，大于0，小于0三种情况讨论；②不等式组对应
的方程的根的大小关系是否确定，不然要对两个根之间的大小关系
进行讨论.
探究点二 解绝对值不等式
例2（1）不等式 的解集为( )
A. B.
C. D.
[解析] 由，得或，
解得 或 .故选B.
√
（2）不等式 的解集为________．
[解析] 当时，即为 ，
此时不等式无解；
当时，即为，
解得 ，所以不等式的解集为 .
变式（1）不等式 的解集为( )
A.
B.
C.
D.
√
[解析] 当,即时,有 ,解得；
当,即时,有 ,解得.
综上,原不等式的解集为 .故选D.
（2）若不等式的解集为，且，则 的取值范围是
( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，所以，所以 ，
即解得 .故选B.
√
［素养小结］
形如
与
的不等式的解法:
（1）当
时，不等式
的解集是
或
,不等式
的解集是
;
（2）当
时，不等式
的解集是
},不等式
的解集是
.
探究点三 含两个绝对值的不等式的解法
例3（1）不等式 的解集为( )
A. B. C. D.
[解析] 当时，原不等式可化为，无解；
当 时，原不等式可化为，可得；
当 时，原不等式可化为，可得.
综上，原不等式的解集为 .故选D.
√
（2）若“”是“ ”的充分不必要条件，则实
数 的取值范围是_______．
[解析] 当时,,解得 ,所以；
当时， ，无解；
当时，，解得，
所以 ，故的解集为.
由 ，得或.
因为“”是“ ”的充分不必要条件，
所以，解得，即实数 的取值范围是 .
变式 ［2025·上海黄浦区高一期中］ 已知不等式
对所有实数均成立，当等号成立时 的取值
范围是__________.
[解析] 令，
①当 时，等式可化为，无解；
②当 时，等式可化为，
则，无解；
③当 时，等式可化为，可得 .
综上所述，的取值范围是 .
［素养小结］
不等式
和
的两种解法：
（1）利用绝对值不等式的几何意义.
（2）利用
，
的解，将数轴分成三个区间，然后在
每个区间上将原不等式转化为不含绝对值的不等式（组），再求解.
探究点四 求数轴上点的坐标或范围
例4 已知数轴上,，，，若线段的中点到点
的距离等于4，则 ( )
A.5 B. C.5或 D.5或
[解析] 由，，可得,又点到点 的距离等于4，
所以，解得或 .故选D.
√
变式 已知数轴上,，，，若线段的中点到点 的距
离小于5，则 的取值范围是_______.
[解析] 设的中点为，则，由点到点 的距离小于5，
得,解得.故的取值范围为 .
［素养小结］
解决数轴上点的坐标问题的关键是正确运用两点的中点坐标公式与
距离公式.根据绝对值不等式的解法可以求解某个参数的取值范围.
1.若不等式组无解，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 由得
因为不等式组无解，所以 .故选A.
√
2.平流层是指地球表面以上到的区域，下列不等式中 能
表示平流层高度的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 由题意知，即 .故选D.
√
3.若不等式的解集为，则实数 等于( )
A.8 B.2 C. D.
[解析] 由，得.
当 时，可得，则无解；
当 时，不等式恒成立，不符合题意；
当时，可得，则解得 .故选C.
√
4.不等式 的解集是( )
A. B.
C. D.
[解析] 当时,可得,即 ,无解；
当时,可得,解得 ,所以；
当时,可得,即 ,所以.
综上,不等式的解集为 .
√
绝对值不等式的解法归纳
解含绝对值的不等式的基本思想是“等价转化”，即采用正确的方法
去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公
式法、定义法、平方法、分类讨论法、几何法.
1.公式法：利用
与
的解集求解.
例1 解不等式 .
分析：这类题可直接利用上面的公式求解，这种解法还运用了整体
思想，即把“ ”看作一个整体.答案为解析略).
2.定义法:利用 去掉绝对值符号后再求解.
例2 解不等式 .
解：原不等式等价于，即，
解得 ，故原不等式的解集为 .
3.平方法:解形如 的不等式.
例3 解不等式 .
解：原不等式等价于 ,
即 ,即 ,
即,解得 ,故原不等式的解集为 .
4.几何法：转化为几何知识求解.
例4 对任意实数，若不等式恒成立，则实数
的取值范围为( )
A. B. C. D.
分析：设，则原不等式对任意实数 恒成立的充
要条件是，于是原问题转化为求 的最小值.
[解析] 的几何意义为数轴上表示数的点到表示
和2的点的距离之差，如图，可得其最小值为 ，故选B.
√
5.分类讨论法与绝对值几何意义法
例5 不等式 的解集是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 方法一:当时, 不成立,排除A,B;
当时, 成立,排除C.故选D.
方法二:当时，不等式 可化为
，解得.
当 时，不等式可化为
，无解.
当时，不等式 可化为
，解得.
故不等式 的解集为 .故选D.
练习册
1.不等式组 的解集是( )
A. B. C. D.
[解析] 由可得即 ，
所以原不等式组的解集为 .故选D.
√
2.已知集合,，，若，则实数 的值
可以是( )
A.1 B.0 C. D.3
[解析] 由，解得 ，
所以，
又,且 ，所以或 .故选B.
√
3.［2024·湖南长沙高一期中］设，则“ ”是“
”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 由，得,即 ，
由，得，
所以“”是“ ”的必要不充分条件.故选B.
√
4.关于的不等式 的解集，下列说法不正确的是( )
A.可能为 B.可能为
C.可能为 D.可能为
[解析] 若，不等式的左边为0，
所以 ，故B中说法正确；
若，则，故D中说法正确；
若，则 ，故C中说法正确.故选A.
√
5.已知，则“”是“ ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
[解析] 对于，
当 时，，则，此时解集为 ；
当 时，，则，此时解集为；
当 时，，则，此时解集为 .
故当成立时,.当 成立时,，
所以“”是“ ”的必要不充分条件. 故选B.
6.已知关于的不等式组的整数解共有4个，则 的最小值
为( )
A.1 B.2 C.2.1 D.3
[解析] 由解得 ，因为不等式组有4个整数解，
所以整数解是,0,1,2，所以，所以 的最小值为2.故选B.
√
★7.（多选题）若不等式 成立的一个充分不必要条件是
，则实数 的值可以是( )
A. B. C. D.0
√
√
√
[解析] 由可得 ，
由题知集合是的真子集，
则 且等号不同时成立，解得.故选 .
［技巧点拨］ 与充分必要条件有关的绝对值不等式的参数问题，
可以转化为集合间的包含关系求解.
8.已知数轴上与关于对称，则 ____.
[解析] 由数轴上的中点坐标公式得，所以 .
9.（13分）解下列不等式（组）:
（1）
解：原不等式组可化为所以原不等式组的解集为 .
（2） ；
解：原不等式可化为或,解得或 ,
所以原不等式的解集为 .
（3） .
解：当时,原不等式可化为,
解得 ，此时;
当时,原不等式可化为 ,
解得，此时无解;
当 时,原不等式可化为,
解得,此时 .综上,原不等式的解集为 .
9.（13分）解下列不等式（组）:
10.已知不等式 成立的一个必要不充分条件是
，则实数 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由，得，即 .
当时，不等式为，显然不成立；当 时，
不等式的解为；当时，不等式的解为 .
因为不等式成立的一个必要不充分条件是 ，
所以或是
的真子集，所以或，解得或
，即实数的取值范围是 .故选C.
11.（多选题）当时，不等式组 的解集可能为
( )
A. B. C. D.
√
√
√
[解析] 原不等式组可化为
当时， ，
此时原不等式组的解集为；
当时， ，
此时原不等式组的解集为；
当时， ，
此时原不等式组的解集为 .故选 .
12.已知关于的不等式恰有3个整数解，则实数
的取值范围是______.
[解析] 因为，
所以 ，即 ，
由于不等式恰有3个整数解，则这三个整数解分别是2，3，4，
所以解得，故实数 的取值范围是 .
13.若存在，使得成立（其中 ），
则实数 的取值范围为______.
[解析] 当时，，
即 ，恒成立，故；
当时， ，
即，即，不成立；
当时， ，即，
解得，不成立.综上，实数的取值范围为 .
14.（15分）
（1）当时，解不等式 ；
解：当时，原式可化为 .
①当时，不等式为，解得，所以 ；
②当时，不等式为，解得，所以 ；
③当时，不等式为，解得，所以 .
综上，原不等式的解集为 .
（2）若的解集包含，求 的取值范围.
解：因为的解集包含 ,
所以不等式可化为，即 ，
解得 ，所以解得 .
故的取值范围为 .
15.（15分）已知数轴上三点，， .
（1）若其中一点到另外两点的距离相等，求实数 的值；
解：若是线段的中点，则，解得；
若 是线段的中点，则 ；
若是线段的中点，则，解得 .
（2）若的中点到线段的中点的距离大于1，求实数 的取值范围.
解：由题意知，即 ，
即或，解得或 ，
所以实数的取值范围是 .
15.（15分）已知数轴上三点，， .
16.（15分）已知，解关于的不等式组
解：由，得 ，由，得 .
当 时，显然不等式无解.
当时，可化为 ，
当，即时， 不等式无解；
当，即时，不等式的解集为 .
当时，可化为 ，
此时，则不等式的解集为 .
综上所述，当 时，不等式无解；
当时，不等式的解集为 ；
当时，不等式的解集为 .
快速核答案(导学案)
课前预习 知识点一 1.交集 3.
【诊断分析】（1）√ （2）× （3）× （4）√ （5）×
知识点二 1.表示数
的点与原点的距离 表示数
，
的两点间的距离
2.
【诊断分析】（1）√（2）×（3）×（4）×
知识点三 1.
2.
【诊断分析】 （1）√ （2）√
课中探究 探究点一 例1 （1）C （2）① > ②
变式 （1）6 （2） 探究点二 例2 （1）B （2） 变式 （1）D （2）B
探究点三 例3 （1）D （2） 变式 探究点四 例4 D 变式
课堂评价 1.A 2.D 3.C 4.A
备用习题 例1 例2 例3 例4 B 例5 D
快速核答案(练习册)
基础巩固 1.D 2.B 3.B 4.A 5.B 6.B 7.BCD 8.
9.（1）解 （2） （3）
综合提升 10.C 11.ABC 12. 13.
14.（1） （2） 思维探索 15.（1） （2） >
16. 当时，不等式无解；当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.2.2.2 不等式的解集
【课前预习】
知识点一
1.交集 3.(a,+∞) (-∞,b) (b,a)
诊断分析
(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)× [解析] (2)不等式组的解集为(-3,-1).
(3)要考虑a与0的大小关系,当a=0时,解集为空集,当a>0时,解集为,当a<0时,解集为.
(5)不等式组的解集为 .
知识点二
1.表示数x的点与原点的距离
表示数x1,x2的两点间的距离
2.(-∞,-m)∪(m,+∞) [-m,m]
诊断分析
(1)√ (2)× (3)× (4)× [解析] (2)x=1或x=-1,故错误.
(3)a=0时等式也成立,故错误.
(4)当a>0时成立,当a≤0时无解,故错误.
知识点三
1.|a-b| 2.
诊断分析
(1)√ (2)√
【课中探究】
例1 (1)C [解析] 由得因为不等式组的解集为{x|x>a},所以a≥2,即a的取值范围是{a|a≥2}.故选C.
(2)解:①由①得x≤3,由②得x≥-1,
所以不等式组的解集为[-1,3],在数轴上表示如图所示.
②由①得x>5,由②得x≤-2,
所以不等式组的解集为 ,在数轴上表示如图所示.
变式 (1)6 (2)-2 [解析] (1)由得3m(2)由题意知a=1,b+2=-1,解得b=-3,则a+b=-2.
例2 (1)B (2)(-∞,1) [解析] (1)由|2x-1|>1,得2x-1>1或2x-1<-1,解得x>1或x<0.故选B.
(2)当x≥1时,|x-1|>x-1即为x-1>x-1,此时不等式无解;当x<1时,|x-1|>x-1即为1-x>x-1,解得x<1,所以不等式的解集为(-∞,1).
变式 (1)D (2)B [解析] (1)当2x-1≥0,即x≥时,有1≤2x-1<2,解得1≤x<;当2x-1<0,即x<时,有1≤1-2x<2,解得-(2)因为2 M,所以2∈ RM,所以≤a,即解得a≥.故选B.
例3 (1)D (2)(-2,2) [解析] (1)当x≥1时,原不等式可化为x-1≥x,无解;当0(2)当x≥1时,|x-1|+|x+1|=2x>4,解得x>2,所以x>2;当-14,无解;当x≤-1时,|x-1|+|x+1|=-2x>4,解得x<-2,所以x<-2,故|x-1|+|x+1|>4的解集为(-∞,-2)∪(2,+∞).由x2>a2,得x>|a|或x<-|a|.因为“|x-1|+|x+1|>4”是“x2>a2”的充分不必要条件,所以|a|<2,解得-2变式 (-∞,-2] [解析] 令|x+2|-|x-1|=-3,①当x>1时,等式可化为(x+2)-(x-1)=3≠-3,无解;②当1≥x>-2时,等式可化为(x+2)-(1-x)=2x+1=-3,则x=-2,无解;③当x≤-2时,等式可化为-(x+2)+(x-1)=-3,可得x≤-2.综上所述,x的取值范围是(-∞,-2].
例4 D [解析] 由A(5),B(-1),可得D(2),又点D到点C的距离等于4,所以|x+1-2|=4,解得x=5或x=-3.故选D.
变式 (3,23) [解析] 设AB的中点为D,则D,由点D到点C的距离小于5,得<5,解得3【课堂评价】
1.A [解析] 由得因为不等式组无解,所以m≤2.故选A.
2.D [解析] 由题意知103.C [解析] 由|ax+2|<6,得-80时,可得-4.A [解析] 当x≤-3时,可得-(x+3)+(x-3)>3,即-6>3,无解;当-33,解得x>,所以3,即6>3,所以x≥3.综上,不等式的解集为.2.2.2 不等式的解集
1.D [解析] 由可得即x<-2,所以原不等式组的解集为(-∞,-2).故选D.
2.B [解析] 由|x-1|<2,解得-13.B [解析] 由≤2,得0≤x+1≤4,即-1≤x≤3,由|x-1|<2,得-14.A [解析] 若a=0,不等式ax<1的左边为0,所以x∈R,故B中说法正确;若a>0,则x<,故D中说法正确;若a<0,则x>,故C中说法正确.故选A.
5.B [解析] 对于|x+1|+|x-1|≤2,当x<-1时,-x-1-x+1≤2,则x≥-1,此时解集为 ;当-1≤x≤1时,x+1-x+1≤2,则2≤2,此时解集为[-1,1];当x>1时,x+1+x-1≤2,则x≤1,此时解集为 .故当|x+1|+|x-1|≤2成立时,-1≤x≤1.当>1成立时,01”的必要不充分条件.故选B.
6.B [解析] 由解得-27.BCD [解析] 由|x-a|<1可得a-1[技巧点拨] 与充分必要条件有关的绝对值不等式的参数问题,可以转化为集合间的包含关系求解.
8.-4 [解析] 由数轴上的中点坐标公式得=-1,所以x=-4.
9.解:(1)原不等式组可化为所以原不等式组的解集为(-∞,1].
(2)原不等式可化为2x-1>2或2x-1<-2,解得x>或x<-,所以原不等式的解集为∪.
(3)当x<1时,原不等式可化为1-x+2-x>x+3,解得x<0,此时x<0;当1≤x≤2时,原不等式可化为x-1+2-x>x+3,解得x<-2,此时无解;当x>2时,原不等式可化为x-1+x-2>x+3,解得x>6,此时x>6.综上,原不等式的解集为(-∞,0)∪(6,+∞).
10.C [解析] 由|2mx-1|<1,得-1<2mx-1<1,即00时,不等式的解为00),解得m≤-3或m≥2,即实数m的取值范围是(-∞,-3]∪[2,+∞).故选C.
11.ABC [解析] 原不等式组可化为当0时,-a<-a+112.[2,4) [解析] 因为|x-3|≤(a>0),所以-≤x-3≤,即3-≤x≤3+,由于不等式恰有3个整数解,则这三个整数解分别是2,3,4,所以解得2≤a<4,故实数a的取值范围是[2,4).
13.(0,2] [解析] 当x≥a时,|x+a|+|x-a|=|2x|,即2x=2x,恒成立,故014.解:(1)当a=1时,原式可化为|x+1|+|2x-1|≥3.
①当x≥时,不等式为3x≥3,解得x≥1,所以x≥1;
②当-1≤x<时,不等式为2-x≥3,解得x≤-1,所以x=-1;
③当x<-1时,不等式为-3x≥3,解得x≤-1,所以x<-1.综上,原不等式的解集为(-∞,-1]∪[1,+∞).
(2)因为|x+a|+|2x-1|≤2x的解集包含,
所以不等式可化为|x+a|+2x-1≤2x,即|x+a|≤1,
解得-a-1≤x≤-a+1,
所以解得-≤a≤0.
故a的取值范围为.
15.解:(1)若P是线段QR的中点,则-8=,解得m=-18;若Q是线段PR的中点,则m==-3;
若R是线段PQ的中点,则2=,解得m=12.
(2)由题意知>1,即>1,
即-1>1或-1<-1,解得m>4或m<0,
所以实数m的取值范围是(-∞,0)∪(4,+∞).
16.解:由2x-a>0,得x>,
由ax-a2+2a<0,得 ax当a=0时,显然不等式无解.
当a>0时,ax当≥a-2,即0当4时,不等式的解集为.
当a<0时,axa-2,
此时>a-2,则不等式的解集为.
综上所述,当0≤a≤4时,不等式无解;
当a>4时,不等式的解集为;
当a<0时,不等式的解集为.2.2.2 不等式的解集
【学习目标】
1.了解不等式(组)解集的概念,会求简单的一元一次不等式(组)的解;
2.会解含有一个或者两个绝对值号的绝对值不等式,能借助数轴解含有绝对值的不等式;
3.掌握数轴上两点之间的距离公式及中点坐标公式.
◆ 知识点一 不等式的解集与不等式组的解集
1.定义:一般地,不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集.对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说,这些不等式的解集的 称为不等式组的解集.
2.解一元一次不等式的一般步骤
(1)去分母;(2)去括号;(3)移项;(4)合并同类项;(5)化系数为1,注意系数为负数时不等号方向改变.
3.不等式组的解集的确定方法可以归纳为以下四种类型(其中a>b):
不等式组 图示 解集
(同大取大)
(同小取小)
(大小交叉取中间)
(大小分离解为空)
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)不等式组的解集为(2,+∞). ( )
(2)不等式组的解集为(1,2).( )
(3)不等式ax>1的解集为. ( )
(4)不等式3x>1的解集为. ( )
(5)不等式组的解集为{x|x≤-2或x>3}. ( )
◆ 知识点二 绝对值不等式
1.绝对值的几何意义
|x|是指数轴上 ;|x1-x2|是指数轴上 .|a|=
2.绝对值不等式的解集
当m>0时,关于x的不等式|x|>m的解为x>m或x<-m,因此解集为 ;
关于x的不等式|x|≤m的解为-m≤x≤m,因此解集为 .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若|x|>1,则x>1或x<-1. ( )
(2)若|x|=1,则x=1. ( )
(3)若|a|=a,则a>0. ( )
(4)若|x|◆ 知识点三 数轴上两点之间的距离公式和中点坐标公式
1.数轴上两点之间的距离公式:一般地,如果实数a,b在数轴上对应的点分别为A,B,即A(a),B(b),则线段AB的长为AB= .
2.中点坐标公式:若线段AB的中点M对应的数为x,则x= .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若A(-1),B(2),则AB=3. ( )
(2)若A(2),B(8),则线段AB的中点对应的数为5. ( )
◆ 探究点一 求一元一次不等式组的解集
例1 (1)[2024·重庆万州区高一期中] 已知不等式组的解集为{x|x>a},则a的取值范围是 ( )
A.{a|a≤2} B.{a|a<2}
C.{a|a≥2} D.{a|a>2}
(2)求下列不等式组的解集,并在数轴上表示出来.
①②
变式 (1)若0≤m<,则关于x的不等式组的整数解的个数是 .
(2)关于x的不等式组的解集为(-1,1),那么a+b= .
[素养小结]
(1)一元一次不等式组的解法:
①分开解:分别解每个不等式,求出其解集.
②集中判:根据“同大取大,同小取小,大小小大中间找,大大小小无解了”确定不等式组的解集(或把不等式的解集在数轴上表示出来,数形结合确定不等式组的解集).
(2)求解含参不等式时,要注意:①变量的系数的符号是否确定,不然要对其分等于0,大于0,小于0三种情况讨论;②不等式组对应的方程的根的大小关系是否确定,不然要对两个根之间的大小关系进行讨论.
◆ 探究点二 解绝对值不等式
例2 (1)不等式|2x-1|>1的解集为 ( )
A.(0,1)
B.(-∞,0)∪(1,+∞)
C.(-1,0)
D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
(2)不等式|x-1|>x-1的解集为 .
变式 (1)不等式1≤|2x-1|<2的解集为 ( )
A.
B.
C.
D.
(2)若不等式>a的解集为M,且2 M,则a的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
[素养小结]
形如|ax+b|>c(c≠0)与|ax+b|(1)当c>0时,不等式|ax+b|>c的解集是{x|ax+b>c或ax+b<-c},不等式|ax+b|(2)当c<0时,不等式|ax+b|>c的解集是{x|x∈R},不等式|ax+b|◆ 探究点三 含两个绝对值的不等式的解法
例3 (1)不等式|x-1|≥|x|的解集为 ( )
A. B.
C. D.
(2)若“|x-1|+|x+1|>4”是“x2>a2”的充分不必要条件,则实数a的取值范围是 .
变式 [2025·上海黄浦区高一期中] 已知不等式|x+2|-|x-1|≥-3对所有实数x均成立,当等号成立时x的取值范围是 .
[素养小结]
不等式|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c的两种解法:
(1)利用绝对值不等式的几何意义.
(2)利用x-a=0,x-b=0的解,将数轴分成三个区间,然后在每个区间上将原不等式转化为不含绝对值的不等式(组),再求解.
◆ 探究点四 求数轴上点的坐标或范围
例4 已知数轴上,A(5),B(-1),C(x+1),若线段AB的中点D到点C的距离等于4,则x=( )
A.5 B.-3
C.5或-2 D.5或-3
变式 已知数轴上,A(-1),B(x),C(6),若线段AB的中点到点C的距离小于5,则x的取值范围是 .
[素养小结]
解决数轴上点的坐标问题的关键是正确运用两点的中点坐标公式与距离公式.根据绝对值不等式的解法可以求解某个参数的取值范围.
1.若不等式组无解,则实数m的取值范围是 ( )
A.(-∞,2] B.[2,+∞)
C.(-∞,2) D.(2,+∞)
2.平流层是指地球表面以上10 km到50 km的区域,下列不等式中x能表示平流层高度的是 ( )
A.|x+10|<50 B.|x-10|<50
C.|x+30|<20 D.|x-30|<20
3.若不等式|ax+2|<6的解集为(-1,2),则实数a等于 ( )
A.8 B.2 C.-4 D.-8
4.不等式|x+3|-|x-3|>3的解集是 ( )
A. B.
C.{x|x≥3} D.{x|-31.不等式组的解集是 ( )
A.(-2,3] B.(-2,3)
C.(-∞,-2] D.(-∞,-2)
2.已知集合A={1,a},B={x||x-1|<2},若A B,则实数a的值可以是 ( )
A.1 B.0
C.-2 D.3
3.[2024·湖南长沙高一期中] 设x∈R,则“≤2”是“|x-1|<2”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.关于x的不等式ax<1的解集,下列说法不正确的是 ( )
A.可能为 B.可能为R
C.可能为 D.可能为
5.已知x∈R,则“|x+1|+|x-1|≤2”是“>1”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.已知关于x的不等式组的整数解共有4个,则a的最小值为 ( )
A.1 B.2
C.2.1 D.3
★7.(多选题)若不等式|x-a|<1成立的一个充分不必要条件是A.- B.
C. D.0
8.已知数轴上A(2)与C(x)关于B(-1)对称,则x= .
9.(13分)解下列不等式(组):
(1)
(2)|2x-1|>2;
(3)|x-1|+|x-2|>x+3.
10.已知不等式|2mx-1|<1成立的一个必要不充分条件是-≤x<,则实数m的取值范围是( )
A.(-3,2]
B.[-3,2)
C.(-∞,-3]∪[2,+∞)
D.(-∞,-3)∪(2,+∞)
11.(多选题)当a>0时,不等式组的解集可能为 ( )
A. B.
C.[a,1-a] D.[-a,1+a]
12.已知关于x的不等式|x-3|≤(a>0)恰有3个整数解,则实数a的取值范围是 .
13.若存在x∈[1,2],使得|x+a|+|x-a|=|2x|成立(其中a>0),则实数a的取值范围为 .
14.(15分)(1)当a=1时,解不等式|x+a|+|2x-1|≥3;
(2)若|x+a|+|2x-1|≤2x的解集包含,求a的取值范围.
15.(15分)已知数轴上三点P(-8),Q(m),R(2).
(1)若其中一点到另外两点的距离相等,求实数m的值;
(2)若PQ的中点到线段PR的中点的距离大于1,求实数m的取值范围.
16.(15分)已知a∈R,解关于x的不等式组