(共79张PPT)
2.2 不等式
2.2.3 一元二次不等式的解法
探究点一 不含参数的一元二次不等式的解法
探究点二 简单的分式不等式的解法
探究点三 求解含参数的一元二次不等式问题
探究点四 一元二次不等式与一元二次方程的关系
◆
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
课堂评价
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.能从实际情境中抽象出一元二次不等式,了解一元二次不等式
的现实意义；
2.会用因式分解法和配方法解一元二次不等式；
3.会解简单的分式不等式.
知识点一 一元二次不等式的概念
一般地，形如________________的不等式称为一元二次不等式，其
中，，是常数，而且 .一元二次不等式中的不等号也可以是
“___”“___”“___”等.
知识点二 一元二次不等式的解法
1.因式分解法解一元二次不等式
一般地，如果，则不等式 的解集是
________，不等式 的解集是_________________
__.
2.配方法解一元二次不等式
（1） _________________；
（2） ______________；
或
（3）若函数
，则
_ ________________ _ ___________________
或_ ______________; __________________
_ _________________________.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）是关于 的一元二次不等式.( )
×
[解析] 当 时，该不等式不是一元二次不等式.
（2）不等式是关于 的一元二次不等式.( )
×
[解析] 因为的最高次数是1，所以不是关于 的一
元二次不等式.
（3）若，则一元二次不等式 无解.( )
×
[解析] 当时，任意实数都能使不等式 成立，
所以不等式的解集是 .
（4）不等式的解集为 .( )
√
[解析] 因为 ，
所以不等式的解集为 .
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（5）所有的一元二次不等式都能应用配方法求解.( )
√
[解析] 易知正确.
（6）不等式 ( )
×
[解析] 或
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
知识点三 分式不等式的解法
解分式不等式的实质就是将分式不等式转化为整式不等式.
设，均为含 的多项式
（1）;（2） ;
（3）（4）
注意：当分式右侧不为0时，可通过移项、通分合并的手段将右侧变
为0；当分母符号确定时，可利用不等式的形式直接去分母.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1） .( )
√
（2） .( )
×
探究点一 不含参数的一元二次不等式的解法
例1（1）用因式分解法求下列不等式的解集.
① ；
解：因为 ，
所以原不等式等价于，解得或 ，
所以所求解集为 .
② .
解：原不等式等价于，即 ，
解得,所以所求解集为 .
（2）用配方法求解下列不等式的解集.
① ；
解：原不等式可化为 ,因为，
所以原不等式等价于 ，即，
解得 ，所以不等式的解集为 .
② .
解： 原不等式可化为 ，因为
,所以原不等式等价于 ，
显然恒成立，所以不等式的解集为 .
（2）用配方法求解下列不等式的解集.
变式 求下列不等式的解集.
（1） ；
解：因为 ，
所以原不等式等价于 ，
所以原不等式的解集为 .
（2） .
解：原不等式可化为 ，
所以原不等式的解集为 .
［素养小结］
解不含参数的一元二次不等式的方法：
（1）若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为几
个代数式的乘积的形式，则可以直接由一元二次方程的根及不等号
方向得到不等式的解集.
（2）若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何
值，完全平方式始终大于或等于零，则不等式的解集易得.
（3）若上述两种方法均不易解决，则应采用求一元二次不等式的解
集的通法，即判别式法.
探究点二 简单的分式不等式的解法
例2 求下列不等式的解集.
（1） ；
解：不等式等价于解得或 .
故原不等式的解集为或 ．
（2） .
解：由题意知,则，不等式 两边同时乘
，整理可得且 ，
解得.故原不等式的解集为 .
变式（1）已知关于的不等式的解集为 ，则关
于的不等式 的解集为( )
A.或 B.或
C.或 D.或
[解析] 因为关于的不等式的解集为 ，
所以则，
则 ，则 ，
所以所求不等式的解集为或 .故选A.
√
（2）若关于的不等式的解集是 ，
则关于的不等式 的解集是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由题意可得 ，
即，，则 ，
即，
解得 或，
即关于的不等式的解集是 .故选B.
（3）不等式 的解集为___________________.
[解析] 因为 ，
所以原不等式可化为，即，
解得或 ，所以不等式的解集为 .
［素养小结］
求解分式不等式时，应首先判断分母的符号，然后考虑是否直接去
分母；若分母符号无法直接判断，则要移项后通分，最终都要转化
为整式不等式进行求解.
探究点三 求解含参数的一元二次不等式问题
例3 设，求关于的不等式 的解集.
解：（1）当时，不等式可化为，解得 ，
故原不等式的解集为 ．
（2）当时， .
①当时，解不等式得 ，
故原不等式的解集为 ；
②当时，不等式无解，故原不等式的解集为 ；
③当时，解不等式得 ，
故原不等式的解集为 ；
④当时，解不等式得或 ，
故原不等式的解集为 .
变式 ［2025·江苏扬州高一期中］ 已知非空集合
，.若，则
的值为____.
[解析] 由为非空集合可知 ，
故.
因为 ，所以,即，
且,是关于 的方程的两个不相等的实数根，
所以 且，
解得,或, （舍去），所以 .
［素养小结］
（1）如果二次项系数含参，则要对其与0的大小关系进行比较，其
正负值决定了解集的形式是封闭型还是开放型的，常常也可以根据
解集的形式判断二次项系数的正负.
（2）如果一次项系数或常数项含参数，要对两个根的大小或
与0
的关系进行分类讨论.
（3）明确一元二次方程的根与一元二次不等式的解集的关系.
探究点四 一元二次不等式与一元二次方程的关系
例4 已知关于的不等式的解集为, .
（1）求, 的值；
解：由题意知，一元二次方程的解为 ，
，由根与系数的关系得解得
（2）当时，求关于 的一元二次不等式
的解集.
解：由（1）知， ，
则原不等式可化为.
即 ，即 ，
因为，所以 .
例4 已知关于的不等式的解集为, .
当时，，解得或 ；
当时，不等式可化为，解得 ；
当时，，解得或 .
综上，当时，不等式的解集为；
当 时，不等式的解集为；
当 时，不等式的解集为 .
变式 （多选题）已知不等式 的解集为
，其中 ，则以下结论正确的有( )
A.
B.
C.的解集为
D.的解集为
√
√
[解析] 因为不等式的解集为 ，
所以,是方程的两个根，且 ，故A正确；
由得,，因为，
所以 ，所以，故B错误；
不等式 可化为，
即 ，即，
因为，所以 ，所以该不等式的解集为
，故C错误，D正确.故选 .
［素养小结］
（1）已知一元二次不等式的解集求另一个一元二次不等式的解集的
方法：将已知不等式的解集转化为一元二次方程的两根，从而由根
与系数的关系，找出系数
，
，
之间的关系，写出不等式的解集.
（2）不等式在
上恒成立问题的解决方法:
在
上恒成立
或
在
上恒成立
或
拓展 若关于的不等式在上恒成立，求实数 的
取值范围.
解：当时，原不等式可化为，
其解集不为 ，故不满足题意；
当时，要使原不等式的解集为 ，
只需解得 .
综上，实数的取值范围为 .
1.不等式 的解集为( )
A.或 B.或
C. D.
[解析] 不等式可以化为 ，
即，解得或 .故选A.
√
2.已知，均为正实数，则“”是“ ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 因为，均为正实数，所以由得 .
若，则，
即 或.
所以“”是“ ”的既不充分也不必要条件．故选D.
√
3.已知关于的不等式对任意 恒成立，
则 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
[解析] 当时,不等式可化为 ,恒成立；
当时,要使关于的不等式 对任意
恒成立，只需 解得.
综上，的取值范围是 .故选A.
√
4.不等式 的解集是________.
[解析] 原不等式等价于且 ,
解得,故原不等式的解集为 .
5.［2025· 四川绵阳高一期末］已知关于 的一元二次不等式
有且仅有3个正整数解，则实数 的取值范围是
______.
[解析] 由，可得，
当 时，不等式的解集为，不符合题意；
当 时，不等式的解集为，
其正整数解至多有1个，不符合题意；
当 时，不等式的解集为 ，
因为有且仅有3个正整数解，所以正整数解为1,2,3，所以.
综上，实数的取值范围是 .
对含参一元二次不等式常用的分类方法
1.按
的系数
的符号分类，即
,
,
.
例1 （多选题）解关于的不等式 ，下列说
法正确的是( )
A.当时，不等式的解集为
B.当时，不等式的解集为
C.当时，不等式的解集为
D.当时，不等式的解集为
√
√
√
[解析] 不等式可化为 .
当时，不等式的解集为，故A正确．
当 时，不等式的解集为，故B正确.
当 时，不等式可化为，
因为 ，所以不等式的解集为空集，故C错误．
当 时，不等式可化为，
不等式的解集为 ，故D正确．故选 .
2.按判别式 的符号分类，即,, .
例2 解不等式 .
分析：本题中由于的系数大于0,故只需对 进行分类讨论.
解：， 当，即时，解集为 ；
当，即时，解集为；
当或 ，即时,方程的两根分别为
，，显然,
不等式的解集为 .
3.按方程的两根, 的大小来分类，即
,, .
例3 解不等式 .
分析：原不等式可化为 ，故对应的方程必有两根.
本题只需讨论两根的大小.
解：原不等式可化为，令，可得，
当或时，，不等式的解集为 ；
当或时，,不等式的解集为 ；
当 或时,,不等式的解集为 .
练习册
1.“”是“ ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 由，解得，由，解得 .
因为是的真子集，
所以“”是“ ”的必要不充分条件.故选B.
√
2.若集合，， ，则
( )
A. B. C. D.
[解析] ， ，
则，由题知，2，3，4， ，
.故选B.
√
3.已知当时，恒成立，则实数 的取值范围是
( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 设的解集为，因为当时，
恒成立，所以.
由，可得 ，即.
当时，，可得 ；
当时，，不符合题意；
当 时，无解，不符合题意.
综上所述，实数的取值范围是 .故选C.
4.［2024· 福建福州高一期末］已知关于 的一元二次不等式
的解集中有且仅有4个正整数，则 的取值范围
是( )
A. B. C. D.
[解析] 由，得，因为关于
的一元二次不等式 的解集中有且仅有4个正整数，
所以，所以不等式的解为，所以 .故选D.
√
★5.已知关于的一元二次不等式的解集为 ，
则关于的不等式 的解集是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 关于的一元二次不等式 的解集为，
，且，3是一元二次方程 的两个实数根，
，，，
不等式可化为，
即 ，解得，
关于的不等式的解集为 . 故选D.
［点睛］ 解决此类参数问题的思路：首先根据所给解集判断二次项
系数的符号，再由根与系数的关系求出， ，将所求不等式中的参
数消去，求不等式即可.
6.若不等式对任意的 恒成立，
则实数 的取值范围为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 当，即时，
不等式为 ，恒成立，满足题意；
当，即 时，
若不等式对任意的 恒成立，
则，
即 ，解得；
当，即 时，显然不满足题意.
综上所述，实数的取值范围是 .故选C.
7.（多选题）已知关于的不等式 的解集为
或 ，则( )
A.
B.关于的不等式的解集为
C.
D.关于的不等式的解集为
√
√
√
[解析] 因为关于的不等式的解集为
或，所以，故A选项正确；
由题知和4是关于 的方程的两根，
由根与系数的关系，得 则
所以 ，故C选项错误；
不等式即，解得 ，故B选项正确；
不等式，即，
即 ，解得或，故D选项正确．故选 .
8.对于，不等式恒成立，则实数 的
取值范围是_______.
[解析] 对于，不等式 恒成立，
等价于 .
因为 ，
当且仅当时，等号成立，所以，
解得 ，故实数的取值范围是 .
9.（13分）［2025·江苏淮安高一期中］ 解下列不等式.
（1） ;
解：，
解得 ，所以不等式的解集为 .
（2） ;
解：，
解得 ，所以不等式的解集为 .
（3） .
解：原不等式可转化为，且 ，
解得，所以不等式的解集为 .
9.（13分）［2025·江苏淮安高一期中］ 解下列不等式.
10.如图，据气象部门预报，在距离某码头南
偏东 方向 处的热带风暴中心正以
的速度向正北方向移动，距风暴中
心 以内的地区都将受到影响，据以上
预报估计，该码头将受到热带风暴的影响时
长大约为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 记现在热带风暴中心的位置为点，
小时后热带风暴中心到达点位置，
过点 作的垂线，垂足为.
由题意， ，
则， ，
若该码头受到热带风暴的影响，则 ，
即 ，即 ，
整理得，
解得 ，
所以该码头将受到热带风暴影响的时间
大约为 .
故选D.
11.（多选题）已知关于的不等式 的
解集是 ，则( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 因为关于的不等式
的解集是，所以，
且，是关于 的方程，
即 的两根，所以，故A，B正确；
因为 ，所以
，故C正确；
函数的图象与轴的交点坐标为
， ，因为函数 的图象是将
函数 的图象向上平移一个单位得到的，
所以的图象与轴的交点的横坐标
，，故D错误.故选 .
12.已知是不等式的一个解，则 的
取值范围是_______________________.
[解析] 由已知得，
即 ，解得或，
又，所以 的取值范围是 .
13.不等式 的解集为___________________________.
或
[解析] 原不等式可化为 ,
此不等式等价于或
解得 或 即或，
故原不等式的解集为 或 .
14.（15分）已知关于的不等式 的解集为
.
（1）求, 的值；
解： 关于的不等式的解集为，
和是关于的方程 的两个根，
根据根与系数的关系可知解得
（2）求关于的不等式 的解集.
解：由（1）可知, ，
即, .
①当，即时，
的解集为且 ;
②当，即时，
的解集为或 ;
14.（15分）已知关于的不等式 的解集为
.
③当，即时，
的解集为或 .
综上,当时，原不等式的解集为且;
当 时,原不等式的解集为或;
当 时,原不等式的解集为或 .
15.已知关于的不等式组的整数解恰好有两个，则实数
的取值范围是______．
[解析] 由可得
当时， ，原不等式组无解，不符合题意；
当时， ，原不等式组的解集为
，没有两个整数解，不符合题意；
当时， ，原不等式组的解集为
，没有两个整数解，不符合题意；
当 时，，原不等式组的解集为
，因为原不等式组的解集中恰好有两个整数解，
所以这两个整数解为0,1，所以解得.
综上所述，实数 的取值范围是.
16.（15分）［2024·吉林通化高一期末］ 已知一元二次不等式
的解集为，关于 的不等式
的解集为（其中 ）.
（1）求集合 .
解：，即 .
①当时，解得 ；②当时，解得或 ；
③当时，解得 ；④当 时，不等式无解；
⑤当时，解得 .
综上所述，当时，；当 时，
；当时， ；
当时， ；当时， .
（2）是否存在实数，使得 ？若存在，求 的取值范围；
若不存在，请说明理由.
16.（15分）［2024·吉林通化高一期末］ 已知一元二次不等式
的解集为，关于 的不等式
的解集为（其中 ）.
解：由，得或，
所以 或 .
由（1）可知，当，，时，都满足 ，
当时，，
若 ，则 ，所以 .
综上，实数的取值范围是或 .
快速核答案(导学案)
课前预习 知识点一
知识点二 1.
2.（1）或 （2）
（3）
【诊断分析】 （1）× （2）× （3）× （4）√ （5）√ （6）×
知识点三【诊断分析】 （1）√ （2）×
课中探究 探究点一 例1（1）① ② （2）① ②
变式 （1）（2）
探究点二 例2（1）或（2） 变式（1）A（2）B（3）
探究点三 例3 略 变式 探究点四 例4 （1）（2）略 变式 AD 拓展
课堂评价 1.A 2.D 3.A 4. 5.
备用习题 例1 ABD 例2 例3 略
快速核答案(练习册)
基础巩固 1.B 2.B 3.C 4.D 5.D 6.C 7.ABD 8.
9.（1） （2）（3）
综合提升 10.D 11.ABC 12. 13.或
14.（1）（2）当时，原不等式的解集为且;当时,原不等式的
解集为或;当时,原不等式的解集为或.
思维探索 15. 16.（1）当时，；当时，；
当时，；当时， ；当时，.
（2）存在， >或2.2.3 一元二次不等式的解法
【课前预习】
知识点一
ax2+bx+c>0 < ≥ ≤
知识点二
1.(x1,x2) (-∞,x1)∪(x2,+∞)
2.(1)x>或x<- (2)-(3)> x>
x< <
诊断分析
(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ (6)×
[解析] (1)当k=0时,该不等式不是一元二次不等式.
(2)因为x的最高次数是1,所以m2x+2x-3<0不是关于x的一元二次不等式.
(3)当a>0时,任意实数x都能使不等式ax2+1>0成立,所以不等式ax2+1>0的解集是R.
(4)因为x2+x+1=+≥,所以不等式x2+x+1<0的解集为 .
(5)易知正确.
(6)(x-a)(x-b)>0 或
知识点三
诊断分析
(1)√ (2)×
【课中探究】
例1 解:(1)①因为(x-1)2-(3x-3)=(x-1)(x-1-3)=(x-1)(x-4),所以原不等式等价于(x-1)(x-4)>0,解得x>4或x<1,所以所求解集为(-∞,1)∪(4,+∞).
②原不等式等价于x2-7x+6<0,即(x-6)(x-1)<0,解得1(2)①原不等式可化为x2-5x+5<0,因为x2-5x+5=-,所以原不等式等价于<,即<,解得②原不等式可化为x2-x+1>0,因为x2-x+1=+,所以原不等式等价于+>0,
显然恒成立,所以不等式的解集为R.
变式 解:(1)因为2x2+7x+3=(2x+1)(x+3),
所以原不等式等价于(2x+1)(x+3)>0,
所以原不等式的解集为.
(2)原不等式可化为≤0,
所以原不等式的解集为.
例2 解:(1)不等式≥0等价于解得x≤-1或x>3.故原不等式的解集为{x|x≤-1或x>3}.
(2)由题意知x+1≠0,则(x+1)2>0,不等式<3两边同时乘(x+1)2,整理可得2(x-1)(x+1)<0且x+1≠0,解得-1变式 (1)A (2)B (3)(-∞,-1)∪(3,+∞)
[解析] (1)因为关于x的不等式ax+b>0的解集为{x|x>1},所以则=>0,则>0,则(x-6)(x+1)(x-1)>0,所以所求不等式的解集为{x|-16}.故选A.
(2)由题意可得x2+px+q=(x+1)(x-2)=x2-x-2,即p=-1,q=-2,则=>0,即(x2-x-12)(x-2)=(x+3)(x-4)(x-2)>0,解得-34,即关于x的不等式>0的解集是(-3,2)∪(4,+∞).故选B.
(3)因为x2+x+1=+>0,所以原不等式可化为2x2-x-2>x2+x+1,即x2-2x-3>0,解得x<-1或x>3,所以不等式的解集为(-∞,-1)∪(3,+∞).
例3 解:(1)当a=0时,不等式可化为x-2>0,解得x>2,故原不等式的解集为{x|x>2}.
(2)当a≠0时,ax2+(1-2a)x-2=(ax+1)(x-2).
①当a<-时,解不等式得-故原不等式的解集为;
②当a=-时,不等式无解,故原不等式的解集为 ;
③当-故原不等式的解集为;
④当a>0时,解不等式得x<-或x>2,
故原不等式的解集为.
变式 -3 [解析] 由A={x|m例4 解:(1)由题意知,一元二次方程ax2+4x-3=0的解为x1=1,x2=b,
由根与系数的关系得解得
(2)由(1)知a=-1,b=3,则原不等式可化为cx2-(3c+1)x+3≥0.即(cx-1)(x-3)≥0,即c(x-3)≥0,
因为c>0,所以(x-3)≥0.
当03,解得x≤3或x≥;
当c=时,不等式可化为(x-3)2≥0,解得x∈R;
当c>时,<3,解得x≤或x≥3.
综上,当0时,不等式的解集为∪[3,+∞).
变式 AD [解析] 因为不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|m0,所以n>0,所以c=mna<0,故B错误;不等式cx2+bx+a<0可化为mnax2-(m+n)ax+a<0,即mnx2-(m+n)x+1>0,即(mx-1)(nx-1)>0,因为0,所以该不等式的解集为,故C错误,D正确.故选AD.
拓展 解:当a=0时,原不等式可化为2x+2>0,其解集不为R,故a=0不满足题意;当a≠0时,要使原不等式的解集为R,只需解得a>.
综上,实数a的取值范围为.
【课堂评价】
1.A [解析] 不等式x(4-x)<3可以化为x2-4x+3>0,即(x-1)(x-3)>0,解得x<1或x>3.故选A.
2.D [解析] 因为a,b均为正实数,所以由<得a>b>0.若a2+2b2>3ab,则(a-b)(a-2b)>0,即a>2b>0或b>a>0.所以“<”是“a2+2b2>3ab”的既不充分也不必要条件.故选D.
3.A [解析] 当k=0时,不等式kx2-3kx+2k+1≥0可化为1≥0,恒成立;当k≠0时,要使关于x的不等式kx2-3kx+2k+1≥0对任意x∈R恒成立,只需
解得04. [解析] 原不等式等价于(x-1)(2x+1)≤0且x≠-,解得-5.[3,4) [解析] 由x2-(a+1)x+a≤0,可得(x-1)(x-a)≤0,当a=1时,不等式的解集为{1},不符合题意;当a<1时,不等式的解集为{x|a≤x≤1},其正整数解至多有1个,不符合题意;当a>1时,不等式的解集为{x|1≤x≤a},因为有且仅有3个正整数解,所以正整数解为1,2,3,所以3≤a<4.综上,实数a的取值范围是[3,4).2.2.3 一元二次不等式的解法
1.B [解析] 由|x|<3,解得-32.B [解析] ∵(2x+1)(x-3)<0,∴-3.C [解析] 设>0的解集为A,因为当x∈(-1,5]时,>0恒成立,所以(-1,5] A.由>0,可得(1+x)(a-x)>0,即(1+x)(x-a)<0.当a>-1时,A=(-1,a),可得a>5;当a<-1时,A=(a,-1),不符合题意;当a=-1时,无解,不符合题意.综上所述,实数a的取值范围是(5,+∞).故选C.
4.D [解析] 由x2-(a+1)x+a≤0,得(x-a)(x-1)≤0,因为关于x的一元二次不等式x2-(a+1)x+a≤0的解集中有且仅有4个正整数,所以a>1,所以不等式的解为1≤x≤a,所以4≤a<5.故选D.
5.D [解析] ∵关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为(-2,3),∴a<0,且-2,3是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根,∴=-(-2+3)=-1,=-6,a<0,∴不等式cx2-bx+a<0可化为-6x2+x+1>0,即6x2-x-1<0,解得-[点睛] 解决此类参数问题的思路:首先根据所给解集判断二次项系数的符号,再由根与系数的关系求出,,将所求不等式中的参数消去,求不等式即可.
6.C [解析] 当m-1=0,即m=1时,不等式为-1<0,恒成立,满足题意;当m-1<0,即m<1时,若不等式(m-1)x2+3(m-1)x-m<0对任意的x∈R恒成立,则Δ=[3(m-1)]2-4(m-1)·(-m)<0,即(m-1)(13m-9)<0,解得0,即m>1时,显然不满足题意.综上所述,实数m的取值范围是.故选C.
7.ABD [解析] 因为关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|x<-2或x>4},所以a>0,故A选项正确;由题知-2和4是关于x的方程ax2+bx+c=0的两根,由根与系数的关系,得则所以a+b+c=-9a<0,故C选项错误;不等式bx+c>0即-2ax-8a>0,解得x<-4,故B选项正确;不等式cx2-bx+a<0,即-8ax2+2ax+a<0,即8x2-2x-1>0,解得x<-或x>,故D选项正确.故选ABD.
8.[-1,3] [解析] 对于x∈R,不等式|x-2|+|x+1|≥a2-2a恒成立,等价于a2-2a≤(|x-2|+|x+1|)min.因为|x-2|+|x+1|=|2-x|+|x+1|≥|2-x+x+1|=3,当且仅当-1≤x≤2时,等号成立,所以a2-2a≤3,解得-1≤a≤3,故实数a的取值范围是[-1,3].
9.解:(1)x2+4x-5=(x+5)(x-1)<0,解得-5(2)x2-x+=>0,解得x≠,
所以不等式的解集为.
(3)原不等式可转化为(x-2)(2x+3)≤0,且x≠-,
解得-10.D [解析] 记现在热带风暴中心的位置为点A,t小时后热带风暴中心到达B点位置,过点B作OC的垂线,垂足为C.由题意,OA=600 km,则OC=AC=300 km,AB=30t km,若该码头受到热带风暴的影响,则OB≤450 km,即≤450,即≤450,整理得t2-20t+175≤0,解得10-5≤t≤10+5,所以该码头将受到热带风暴影响的时间大约为(10+5)-(10-5)=10(h).故选D.
11.ABC [解析] 因为关于x的不等式a(x-1)(x-2)+1>0(a≠0)的解集是(x1,x2)(x1=>1,故C正确;函数y=a(x-1)(x-2)(a<0)的图象与x轴的交点坐标为(1,0),(2,0),因为函数y=a(x-1)(x-2)+1的图象是将函数y=a(x-1)(x-2)的图象向上平移一个单位得到的,所以y=a(x-1)(x-2)+1的图象与x轴的交点的横坐标x1<1,x2>2,故D错误.故选ABC.
12.(-∞,0)∪(0,2]∪[4,+∞) [解析] 由已知得k2-6k+8≥0,即(k-2)(k-4)≥0,解得k≤2或k≥4,又k≠0,所以k的取值范围是(-∞,0)∪(0,2]∪[4,+∞).
13.{x|1即114.解:(1)∵关于x的不等式ax2-3x+2<0的解集为{x|1(2)由(1)可知a=1,∴ax2-mx+m-a>0,即x2-mx+m-1>0,∴(x-1)[x-(m-1)]>0.
①当m-1=1,即m=2时,(x-1)[x-(m-1)]=(x-1)2>0的解集为{x|x∈R且x≠1};
②当m-1>1,即m>2时,(x-1)[x-(m-1)]>0的解集为{x|x<1或x>m-1};
③当m-1<1,即m<2时,(x-1)[x-(m-1)]>0的解集为{x|x1}.
综上,当m=2时,原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1};当m>2时,原不等式的解集为{x|x<1或x>m-1};当m<2时,原不等式的解集为{x|x1}.
15.(1,2] [解析] 由可得
当a≤0时,a<1-a≤1-3a,原不等式组无解,不符合题意;当0时,1-3a<1-a16.解:(1)mx2-(m+2)x+2<0,即(mx-2)(x-1)<0.
①当m=0时,解得x>1;
②当m<0时,解得x>1或x<;
③当0④当m=2时,不等式无解;
⑤当m>2时,解得综上所述,当m=0时,B={x|x>1};当m<0时,B=;当02时,B=.
(2)由x2-3x+2>0,得x<1或x>2,所以A={x|x<1或x>2}.
由(1)可知,当m=0,m<0,m>2时,都满足A∩B≠ ,
当02,所以0综上,实数m的取值范围是{m|m<1或m>2}.2.2.3 一元二次不等式的解法
【学习目标】
1.能从实际情境中抽象出一元二次不等式,了解一元二次不等式的现实意义;
2.会用因式分解法和配方法解一元二次不等式;
3.会解简单的分式不等式.
◆ 知识点一 一元二次不等式的概念
一般地,形如 的不等式称为一元二次不等式,其中a,b,c是常数,而且a≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“ ”“ ”“ ”等.
◆ 知识点二 一元二次不等式的解法
1.因式分解法解一元二次不等式
一般地,如果x10的解集是 .
2.配方法解一元二次不等式
(1)x2>a(a>0) |x|> ;
(2)x20) |x|< ;
(3)若函数y=ax2+bx+c=a-+c(a>0,b2-4ac>0),则ax2+bx+c>0 或 ;ax2+bx+c<0 .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)kx2-x+1≥0是关于x的一元二次不等式. ( )
(2)不等式m2x+2x-3<0是关于x的一元二次不等式. ( )
(3)若a>0,则一元二次不等式ax2+1>0无解.( )
(4)不等式x2+x+1<0的解集为 . ( )
(5)所有的一元二次不等式都能应用配方法求解.( )
(6)不等式(x-a)(x-b)>0 ( )
◆ 知识点三 分式不等式的解法
解分式不等式的实质就是将分式不等式转化为整式不等式.
设A,B均为含x的多项式
(1)>0 AB>0;(2)<0 AB<0;
(3)≥0 (4)≤0
注意:当分式右侧不为0时,可通过移项、通分合并的手段将右侧变为0;当分母符号确定时,可利用不等式的形式直接去分母.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)>0 x(x+1)>0. ( )
(2)≤0 x(x+1)≤0. ( )
◆ 探究点一 不含参数的一元二次不等式的解法
例1 (1)用因式分解法求下列不等式的解集.
①(x-1)2>3x-3;②-x2+7x>6.
(2)用配方法求解下列不等式的解集.
①(x-1)2<3x-4;②-2x2+3x-2<0.
变式 求下列不等式的解集.
(1)2x2+7x+3>0;
(2)-4x2+18x-≥0.
[素养小结]
解不含参数的一元二次不等式的方法:
(1)若不等式对应的一元二次方程能够因式分解,即能够转化为几个代数式的乘积的形式,则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集.
(2)若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式,不论取何值,完全平方式始终大于或等于零,则不等式的解集易得.
(3)若上述两种方法均不易解决,则应采用求一元二次不等式的解集的通法,即判别式法.
◆ 探究点二 简单的分式不等式的解法
例2 求下列不等式的解集.
(1)≥0;(2)<3.
变式 (1)已知关于x的不等式ax+b>0的解集为{x|x>1},则关于x的不等式>0的解集为 ( )
A.{x|-16}
B.{x|x<-1或1C.{x|x<-1或2D.{x|-13}
(2)若关于x的不等式x2+px+q<0的解集是{x|-10的解集是( )
A.(-3,-2)∪(4,+∞)
B.(-3,2)∪(4,+∞)
C.(-3,0)∪(2,4)
D.(-∞,-2)∪(3,4)
(3)不等式>1的解集为 .
[素养小结]
求解分式不等式时,应首先判断分母的符号,然后考虑是否直接去分母;若分母符号无法直接判断,则要移项后通分,最终都要转化为整式不等式进行求解.
◆ 探究点三 求解含参数的一元二次不等式问题
例3 设a∈R,求关于x的不等式ax2+(1-2a)x-2>0的解集.
变式 [2025·江苏扬州高一期中] 已知非空集合A={x|m[素养小结]
(1)如果二次项系数含参,则要对其与0的大小关系进行比较,其正负值决定了解集的形式是封闭型还是开放型的,常常也可以根据解集的形式判断二次项系数的正负.
(2)如果一次项系数或常数项含参数,要对两个根的大小或Δ与0的关系进行分类讨论.
(3)明确一元二次方程的根与一元二次不等式的解集的关系.
◆ 探究点四 一元二次不等式与一元二次方程的关系
例4 已知关于x的不等式ax2+4x-3>0的解集为{x|11}.
(1)求a,b的值;
(2)当c>0时,求关于x的一元二次不等式cx2-(bc-a)x+b≥0的解集.
变式 (多选题)已知不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|m0,则以下结论正确的有 ( )
A.a<0
B.c>0
C.cx2+bx+a<0的解集为
D.cx2+bx+a<0的解集为
[素养小结]
(1)已知一元二次不等式的解集求另一个一元二次不等式的解集的方法:将已知不等式的解集转化为一元二次方程的两根,从而由根与系数的关系,找出系数a,b,c之间的关系,写出不等式的解集.
(2)不等式在R上恒成立问题的解决方法:
①ax2+bx+c>0在R上恒成立 或
②ax2+bx+c<0在R上恒成立 或
拓展 若关于x的不等式ax2+2x+2>0在R上恒成立,求实数a的取值范围.
1.不等式x(4-x)<3的解集为 ( )
A.{x|x<1或x>3}
B.{x|x<0或x>4}
C.{x|1D.{x|02.已知a,b均为正实数,则“<”是“a2+2b2>3ab”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.已知关于x的不等式kx2-3kx+2k+1≥0对任意x∈R恒成立,则k的取值范围是 ( )
A.[0,4]
B.[0,3]
C.(-∞,0]∪[3,+∞)
D.(-∞,0]∪[4,+∞)
4.不等式≤0的解集是 .
5.[2025·四川绵阳高一期末] 已知关于x的一元二次不等式x2-(a+1)x+a≤0有且仅有3个正整数解,则实数a的取值范围是 . 2.2.3 一元二次不等式的解法
1.“|x|<3”是“x2A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.若集合A={x|(2x+1)(x-3)<0},B={x|x∈N*,x≤5},则A∩B= ( )
A.{1,2,3} B.{1,2}
C.{4,5} D.{1,2,3,4,5}
3.已知当x∈(-1,5]时,>0恒成立,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-1,+∞) B.[-1,+∞)
C.(5,+∞) D.[5,+∞)
4.[2024·福建福州高一期末] 已知关于x的一元二次不等式x2-(a+1)x+a≤0的解集中有且仅有4个正整数,则a的取值范围是 ( )
A.-3≤a<-2
B.-3C.4D.4≤a<5
★5.已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为(-2,3),则关于x的不等式cx2-bx+a<0的解集是 ( )
A.∪
B.∪
C.
D.
6.若不等式(m-1)x2+3(m-1)x-m<0对任意的x∈R恒成立,则实数m的取值范围为 ( )
A.∪(1,+∞) B.
C. D.
7.(多选题)已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|x<-2或x>4},则 ( )
A.a>0
B.关于x的不等式bx+c>0的解集为{x|x<-4}
C.a+b+c>0
D.关于x的不等式cx2-bx+a<0的解集为
8.对于x∈R,不等式|x-2|+|x+1|≥a2-2a恒成立,则实数a的取值范围是 .
9.(13分)[2025·江苏淮安高一期中] 解下列不等式.
(1)x2+4x-5<0;
(2)x2-x+>0;
(3)≤0.
10.如图,据气象部门预报,在距离某码头南偏东45°方向600 km处的热带风暴中心正以30 km/h的速度向正北方向移动,距风暴中心450 km以内的地区都将受到影响,据以上预报估计,该码头将受到热带风暴的影响时长大约为 ( )
A.10 h B.(10-5)h
C.(10+5)h D.10 h
11.(多选题)已知关于x的不等式a(x-1)(x-2)+1>0(a≠0)的解集是(x1,x2)(x1A.a<0 B.x1+x2=3
C.x2-x1>1 D.112.已知x=1是不等式k2x2-6kx+8≥0(k≠0)的一个解,则k的取值范围是 .
13.不等式≥0的解集为 .
14.(15分)已知关于x的不等式ax2-3x+2<0的解集为{x|1(1)求a,b的值;
(2)求关于x的不等式ax2-mx+m-a>0的解集.
15.已知关于x的不等式组的整数解恰好有两个,则实数a的取值范围是 .
16.(15分)[2024·吉林通化高一期末] 已知一元二次不等式x2-3x+2>0的解集为A,关于x的不等式mx2-(m+2)x+2<0的解集为B(其中m∈R).
(1)求集合B.
(2)是否存在实数m,使得A∩B≠ 若存在,求m的取值范围;若不存在,请说明理由.