(共63张PPT)
2.2 不等式
2.2.4 均值不等式及其应用
第1课时 均值不等式
探究点一 对均值不等式的理解
探究点二 利用均值不等式求最值
◆
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
课堂评价
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.掌握均值不等式 及其推导过程、几何
意义；
2.能运用均值不等式证明不等式和求最值.
知识点一 基本概念
1.算术平均值与几何平均值
给定两个正数，，数称为，的____________；数 称为
， 的____________.
算术平均值
几何平均值
2.均值不等式
如果，都是正数，那么___________，当且仅当 时，等号成
立.均值不等式也称为基本不等式，其实质是：两个正实数的______
平均值不小于它们的______平均值.
算术
几何
3.均值不等式的一个几何意义
如果矩形的长和宽分别为和，那么矩形的面积为， 可以
看成与矩形周长相等的正方形的面积，因此均值不等式的一个几何
意义为所有周长一定的矩形中，________的面积最大.
正方形
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）和成立的条件都是， .
( )
×
[解析] 成立的条件是,，
成立的条件是， .
【诊断分析】
（2）若，则 .( )
[解析] 只有当时，才有不等式 成立．
（3）若，，则 .( )
[解析] 因为，所以 .
×
√
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
知识点二 均值不等式与最值
1.已知， 都是正数.
（1）如果和等于定值，那么当时，积有最____值 .
（2）如果积等于定值，那么当时，和 有最____值
.
大
小
2.利用均值不等式求积的最大值或和的最小值时，需注意：
（1）， 必须是______.
（2）求积的最大值时，应看和是否为______；求和 的
最小值时，应看积 是否为______.
（3）______成立的条件是否满足.
正数
定值
定值
等号
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）两个正数的积为定值，它们的平方和有最小值.( )
√
[解析] 若,,则,当且仅当 时取等号，
故该说法正确．
（2）当时， .( )
[解析] 当时，，因为 ，
所以 ，故该说法正确.
√
（3）当时，函数，所以 的最小值是
.( )
×
[解析] 因为当时， ，
所以 ，
当且仅当，即时取等号，所以 的最小值是3.
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（4）当时， 的最小值为2.( )
×
[解析] ，当且仅当时取等号，与 矛盾，
所以该说法错误．
（5）两个负数的和为定值，则它们的积有最大值.( )
√
[解析] 设，，， 为定值，
则，当且仅当 时取等号，
所以，所以 .
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
探究点一 对均值不等式的理解
例1（1）已知，则，， 这三个数的大小关系是( )
A. B.
C. D.
[解析] 当，均是正数时，由均值不等式得 ，
当且仅当时取等号,令，得，
又 ，所以 ，故等号不能取到.故选C.
√
（2）（多选题）下列式子中正确的有( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] 对于A,, ,故A错误；
对于B，当时，，当且仅当 时取等号，
当时,,当且仅当 时取等号,故B正确；
对于C,若,则 ,故C错误；
对于D,,当且仅当 时取等号,
故D正确.故选 .
变式 给出下面三个推导过程：
①若，为正实数，则 ;
②若,,则 ;
③若，， ，则
.
其中正确的为( )
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
√
[解析] 根据均值不等式的定义可知①正确.
对于②，当 时， ，所以②错误.
对于③，根据均值不等式的知识可知③正确. 故选B.
［素养小结］
（1）在理解均值不等式时，要从形式到内涵中理解，特别要关注条件.
（2）运用均值不等式比较大小时应注意成立的条件，即
成立的条件是
，
，等号成立的条件是
；
成立的条件是
，
，等号成立的条件是
.
探究点二 利用均值不等式求最值
角度1 直接应用均值不等式求解最值
例2（1）当时，求 的最小值；
解：，,， ，
当且仅当，即时，等号成立，
故当时， 的最小值为 .
（2）当时，求 的最大值；
解：，，则 ，
当且仅当，即时，等号成立， ，
故当时，的最大值为 .
（3）已知在时取得最小值，求 的值．
解： ，当且仅当，
即时，等号成立，故 .
变式 已知点在曲线上，求 的取值范围.
解： ，
因为点在曲线上，其中，
当 时， .
当时，，当且仅当，即 时等号成立，
又，所以，此时 .
当时，同理可得 ，
则，所以.
综上， 的取值范围是 .
［素养小结］
在利用均值不等式求最值时要注意三点：
一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，
求积式最大值时应使和为定值；三是考虑等号成立的条件是否具备.
角度2 拼凑法求最值
例3（1）当时， 的最大值为___．
[解析] 因为，所以， ，
则 ，
当且仅当，即时，等号成立．
故的最大值为 .
（2）当时，求 的最小值.
解：，，
，，
当且仅当，即 时，等号成立．
故 的最小值为10.
变式（1）已知，则 的最大值为___.
[解析] ， ，
,
当且仅当，即时，等号成立.
故当时， 取得最大值 .
（2）已知，则 的最大值为___.
1
[解析] 因为，所以 ，
则 ,
当且仅当，即时，等号成立.
故 的最大值为1.
（3） 的最小值为_________.
[解析] , 当且仅当，即时，等号成立.
故 的最小值为 .
［素养小结］
通过拼凑法利用均值不等式求最值的策略：
（1）拼凑时注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价
变形.
（2）代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标.
（3）拆项、添项应注意检验利用均值不等式的前提.
1.下列不等式中恒成立的个数是( )
（1）；（2） ；
（3）；（4） .
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 对于（3）,，（当且仅当 时，
等号成立），故（3）恒成立.其余3个不等式都不恒成立.故选A.
√
2.［2025·云南昆明高一期中］已知，则函数 有( )
A.最大值 B.最大值 C.最小值6 D.最小值8
[解析] .
因为 ，所以， ，
所以 ，
当且仅当，即 时，等号成立.
所以，所以函数有最大值 .故选B.
√
3.下列式子的最小值为4的是( )
A. B. C. D.
[解析] 在A中，当时，；
在B中，当 时，；
在C中， ，当且仅当时，等号成立；
在D中，当时， .故选C.
√
4.（多选题）若,，且 ，则下列不等式恒成立的
是( )
A. B. C. D.
[解析] 由，当且仅当时取等号，
得 ，则，故D中不等式不恒成立；
,故A中不等式恒成立；
由，可得 ，故B中不等式恒成立；
由,可得 ,故C中不等式恒成立.故选 .
√
√
√
5.已知，，且，则 的最小值为___，此时
___.
4
3
[解析] ,，且，
，
当且仅当,时取等号，
的最小值为4,此时 .
比较大小除了用作差比较法,也可利用均值不等式.在应用定理时应特
别注意定理成立的条件,避免因条件遗漏导致解题结果错误,例如
就要求,,而等号成立的充要条件是 .
例1 已知，是不相等的正数，， ，试比较
， 的大小．
解：因为，是不相等的正数，所以，，
由 得，
又因为 ，所以，所以，故 .
例2 数学里有一种证明方法为无字证明，是指仅用图形而无需文字
解释就能不证自明的数学命题.在同一平面内有形状、大小相同的图
①和图②，其中四边形为矩形， 为等腰直角三角形，设
， ，则借助这两个图形可以直接无字
证明的不等式是( )
A.
B.
C.
D.
√
[解析] 为等腰直角三角形,
且 ,，
图①中图形的面积为
，四边形的面积为 .
观察图形，显然图①的阴影部分面积不小于图②的阴影部分面积，
，当且仅当 时，取等号.故选A.
例3 （多选题）早在公元前6世纪，毕达哥拉斯学派就已经知道算术
中项、几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在
《论音乐》中定义了上述三类中项，后人在此基础上推导出一个基
本不等式链，即已知正实数,，有 ，当
且仅当时等号成立.已知,，且 ，则
下列说法正确的是( )
A.的最小值为2 B.的最大值为
C.的最大值为6 D.的最小值为
√
√
√
[解析] 对于A，因为，所以 ，
当且仅当时，等号成立，所以 的最小值为2，故A正确；
对于B，因为，所以，所以 ，
当且仅当时，等号成立，所以的最大值为 ，故B正确；
对于C，因为
，当且仅当 时，等号成立，
所以 的最小值为6，故C错误；
对于D,因为,所以,当且仅当
时,等号成立,所以的最小值为,故D正确.故选 .
练习册
1.在不等式中，, 需满足( )
A., B., C. D.
[解析] 在均值不等式中，我们规定,,
但当, 时也满足 .故选B.
√
2.已知，均为正数，且满足，则 的最大值为( )
A. B.2 C. D.
[解析] ,均为正数,,
（当且仅当 时等号成立）.故选B.
√
3.若，则 的最小值为( )
A.3 B. C.4 D.
[解析] ，
，当且仅当，即时等号成立，
的最小值为4.故选C.
√
4.［2025·江苏南通高一期中］当时， 的最小值为
( )
A.6 B.8 C.10 D.12
[解析] 因为，所以 ,
所以 ，
当且仅当，即 时等号成立.故选B.
√
5.已知，则 的最大值为( )
A. B. C. D.1
[解析] 由，得 ，
则 ，
当且仅当，即时取等号，
故的最大值为 .故选A.
√
6.下列函数中，最小值是 的是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 对于A，当时， ，故A不符合题意;
对于B，当时,，故B不符合题意;
对于C，当 时, ，故C不符合题意;
对于D，由均值不等式知
（当且仅当 时取等号），故D符合题意.故选D.
7.（多选题）以下结论中正确的是( )
A. 的最小值为2
B.当,时，
C.,的最大值为
D.当且仅当，均为正数时， 恒成立
√
√
[解析] 对于A,当时，，故A错误；
对于B,当, 时,
,当且仅当 时取等号,故B正确；
对于C，,
当且仅当 时取等号，故的最大值为，故C正确；
对于D，当， 同号时，，
当且仅当时取等号，故D错误.故选 .
8.已知正数，满足，则 的最小值为__.
[解析] 因为，为正数，所以，所以 ，
当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为 .
9.若对任意，不等式恒成立，则 的最小值是
__.
[解析] 因为，所以 恒成立，
又，当且仅当时，等号成立，
所以 .所以的最小值是 .
10.（13分）已知,，且 .
（1）求 的取值范围;
解：因为,,且 ，
所以，当且仅当 时取等号，
可得，所以 ，故的取值范围是 .
（2）求 的取值范围.
解：因为，当且仅当 时取等号，
所以 ，故的取值范围是 .
11.已知，，且，则 的最大值为
( )
A.36 B.4 C.16 D.9
[解析] 由题意得，,, ,
所以，当且仅当 ，
即， 时取等号.故选D.
√
12.（多选题）［2025·广东广州高一期中］ 若实数， 满足
，则( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，
所以，所以 ，故A正确，B错误；
因为 ，所以，
所以，所以 ，故C正确，D错误.故选 .
√
√
13.若，，则 的最小值为___.
8
[解析] .
因为，
当且仅当 ，即时等号成立，
，当且仅当 ，即时等号成立，
所以，当且仅当 ，，
即，时等号成立，所以 的最小值为8.
14.（15分）（1）若，求 的最大值.
解：因为，所以 .
，
由均值不等式可得 ，
当且仅当，即 时，等号成立，
所以 ，
所以，故的最大值是 .
（2）已知，求 的最大值.
解：因为，所以 ，又，
当且仅当，即 时，等号成立，
所以，故 的最大值为1.
15.规定，为正实数.若，则 的值
为___，此时 的最小值为___．
1
3
[解析] 由题意得，即 ，
可得，则 ，
当且仅当，即时，等号成立.
综上可得，， 的最小值为3.
16.（15分）［2025·辽宁沈阳高一期中］ 若不等式
对一切正数，恒成立，求实数 的取值
范围.
解：因为不等式对一切正数， 恒成立，
所以不等式对一切正数， 恒成立.
令，则 ，
不妨让 ，
则
，
当且仅当 时，等号成立.
综上所述，当时，取得最大值1，
所以 的取值范围为 .
快速核答案(导学案)
课前预习 知识点一 1.算术平均值 几何平均值 2.
算术 几何
3.正方形 【诊断分析】 （1）× （2）× （3）√
知识点二 1.（1）大 （2）小 2.（1）正数 （2）定值 定值 （3）等号
【诊断分析】 （1）√ （2）√ （3）× （4）× （5）√
课中探究 探究点一 例1 （1）C （2）BD 变式 B
探究点二 角度1 例2 （1）
（2） （3） 变式 >角度2 例3 （1） （2）10 变式 （1） （2）1 （3）
课堂评价 1.A 2.B 3.C 4.ABC 5.4 3
备用习题 例1 例2 A 例3 ABD
快速核答案(练习册)
基础巩固
1.B 2.B 3.C 4.B 5.A 6.D 7.BC 8. 9. 10.（1）（2）
综合提升
11.D 12.AC 13.8 14.（1） （2）1
思维探索
15.1 3 16. 第1课时 均值不等式
【课前预习】
知识点一
1.算术平均值 几何平均值
2.≥ 算术 几何 3.正方形
诊断分析
(1)× (2)× (3)√ [解析] (1)a2+b2≥2ab成立的条件是a,b∈R,a+b≥2成立的条件是a>0,b>0.
(2)只有当a>0时,才有不等式a+≥2=6成立.
(3)因为≤,所以ab≤.
知识点二
1.(1)大 (2)小 2.(1)正数 (2)定值 定值 (3)等号
诊断分析
(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√ [解析] (1)若x,y>0,则x2+y2≥2xy,当且仅当x=y时取等号,故该说法正确.
(2)当n∈N*时,n+>2=2,因为n∈N*,所以n≠,故该说法正确.
(3)因为当x>1时,x-1>0,所以y=x+=(x-1)++1≥2+1=3,当且仅当x-1=,即x=2时取等号,所以y的最小值是3.
(4)a+≥2,当且仅当a=1时取等号,与a≥2矛盾,所以该说法错误.
(5)设x<0,y<0,x+y=s(s<0),s为定值,则(-x)+(-y)≥2=2,当且仅当x=y时取等号,所以2≤-s(-s>0),所以xy≤.
【课中探究】
例1 (1)C (2)BD [解析] (1)当a,b均是正数时,由均值不等式得≤≤,当且仅当a=b时取等号,令b=1,得≤≤,又a>1,所以a≠b,故等号不能取到.故选C.
(2)对于A,∵a2-2a+1=(a-1)2≥0,∴a2+1≥2a,故A错误;对于B,当x>0时,=x+≥2,当且仅当x=1时取等号,当x<0时,=-x-≥2,当且仅当x=-1时取等号,故B正确;对于C,若a=b=-1,则=-2<2,故C错误;对于D,x2+=x2+1+-1≥1,当且仅当x=0时取等号,故D正确.故选BD.
变式 B [解析] 根据均值不等式的定义可知①正确.对于②,当a<0时,+a<0,所以②错误.对于③,根据均值不等式的知识可知③正确.故选B.
例2 解:(1)∵x>0,∴>0,4x>0,∴+4x≥2=8,当且仅当=4x,即x=时,等号成立,故当x>0时,+4x的最小值为8.
(2)∵x<0,∴-x>0,则+(-4x)≥2=8,当且仅当=-4x,即x=-时,等号成立,∴+4x≤-8,故当x<0时,+4x的最大值为-8.
(3)4x+≥2=4,
当且仅当4x=,即a=4x2=36时,等号成立,故a=36.
变式 解:====,因为点P(x,y)在曲线y=+1上,其中y=+1≥1,当x=0时,=1.
当x>0时, +≥2,当且仅当=,即x=y时等号成立,又y=+1,所以x=y=2,此时=∈(1,].
当x<0时,同理可得0<=≤1,则-1≤=<0,所以=∈[0,1).综上,的取值范围是[0,].
例3 (1) [解析] 因为00,则x(5-2x)=×2x·(5-2x)≤=×=,当且仅当2x=5-2x,即x=时,等号成立.故x(5-2x)的最大值为.
(2)解:2x+=2+2,∵x>1,∴x-1>0,∴2x+≥2×2+2=10,当且仅当x-1=,即x=3时,等号成立.故2x+的最小值为10.
变式 (1) (2)1 (3)2+2 [解析] (1)∵00,∴x(1-5x)=×5x·(1-5x)≤=,当且仅当5x=1-5x,即x=时,等号成立.故当x=时,x(1-5x)取得最大值.
(2)因为x<,所以5-4x>0,则4x-2+=-+3≤-2+3=1,当且仅当5-4x=,即x=1时,等号成立.故4x-2+的最大值为1.
(3)==
=(x-1)++2≥2+2,
当且仅当x-1=,即x=+1时,等号成立.故(x>1)的最小值为2+2.
【课堂评价】
1.A [解析] 对于(3),∵a2>0,∴a2+≥2(当且仅当a=±1时,等号成立),故(3)恒成立.其余3个不等式都不恒成立.故选A.
2.B [解析] y===x-1++2.因为x<0,所以x-1<0,<0,所以x-1+=-≤-6,当且仅当-(x-1)=-,即x=-2时,等号成立.所以x-1++2≤-4,所以函数y=有最大值-4.故选B.
3.C [解析] 在A中,当t=-1时,t+=-5<4;在B中,当t=-1时,2t+=-3<4;在C中,4t+≥2=4,当且仅当t=时,等号成立;在D中,当t=-1时,t+=-2<4.故选C.
4.ABC [解析] 由a+b≥2,当且仅当a=b时取等号,得05.4 3 [解析] ∵a>0,b>0,且ab=2,∴2a+b≥2=2=4,当且仅当a=1,b=2时取等号,∴2a+b的最小值为4,此时a+b=3.2.2.4 均值不等式及其应用
第1课时 均值不等式
1.B [解析] 在均值不等式中,我们规定a>0,b>0,但当a=0,b=0时也满足≥.故选B.
2.B [解析] ∵x,y均为正数,x+2y=4,∴xy=×2xy≤×=2(当且仅当x=2y=2时等号成立).故选B.
3.C [解析] ∵x>1,∴y===x+1+=x-1++2≥2+2=4,当且仅当=x-1,即x=2时等号成立,∴y=的最小值为4.故选C.
4.B [解析] 因为x>-1,所以x+1>0,所以4x+=4(x+1)+-4≥2-4=8,当且仅当4(x+1)=,即x=时等号成立.故选B.
5.A [解析] 由x>1,得x-1>0,则==≤=,当且仅当x-1=,即x=1+时取等号,故的最大值为.故选A.
6.D [解析] 对于A,当x<0时,y=x+<0,故A不符合题意;对于B,当x<0时,y=x3+<0,故B不符合题意;对于C,当x=0时,y=x2+=,故C不符合题意;对于D,由均值不等式知y=+≥2=2(当且仅当x=2时取等号),故D符合题意.故选D.
7.BC [解析] 对于A,当x<0时,y<0,故A错误;对于B,当a>0,b>0时,++2≥2+2=+2≥2·=4,当且仅当a=b=1时取等号,故B正确;对于C,y=x(1-2x)=×2x(1-2x)≤=,当且仅当x=时取等号,故y的最大值为,故C正确;对于D,当a,b同号时,+≥2=2,当且仅当a=b时取等号,故D错误.故选BC.
8. [解析] 因为x,y为正数,所以2=x+≥2=,所以≥,当且仅当x=,即x=4y=1时,等号成立,故的最小值为.
9. [解析] 因为x>0,所以a≥=恒成立,又≤=,当且仅当x=2时,等号成立,所以a≥.所以a的最小值是.
10.解:(1)因为a>0,b>0,且a+b+ab=3,所以a+b=3-ab≥2,当且仅当a=b=1时取等号,可得0<≤1,所以0故ab的取值范围是(0,1].
(2)因为a+b=3-ab≥3-,当且仅当a=b=1时取等号,所以a+b≥2,
故a+b的取值范围是[2,+∞).
11.D [解析] 由题意得,(1+x)+(1+2y)=6,1+x>1,1+2y>1,所以(1+x)(1+2y)≤=9,当且仅当1+x=1+2y,即x=2,y=1时取等号.故选D.
12.AC [解析] 因为(x+y)2≥4xy,所以+3xy≥4xy,所以xy≤,故A正确,B错误;因为+3xy≤+3,所以(x+y)2≤+3,所以(x+y)2≤3,所以|x+y|≤,故C正确,D错误.故选AC.
13.8 [解析] +=+=++.因为+≥2=4x,当且仅当=,即2(y-1)=x2时等号成立,4x+≥2=8,当且仅当4x=,即x=1时等号成立,所以+≥8,当且仅当2(y-1)=x2,x=1,即x=1,y=时等号成立,所以+的最小值为8.
14.解:(1)因为x<3,所以3-x>0.
y=2(x-3)++7=-+7,由均值不等式可得2(3-x)+≥2=2,
当且仅当2(3-x)=,即x=3-时,等号成立,所以-≤-2,
所以y=-+7≤7-2,故y的最大值是7-2.
(2)因为x>0,所以y==,
又x+≥2=2,当且仅当x=,即x=1时,等号成立,
所以015.1 3 [解析] 由题意得1☉k=+1+k=3,即k+-2=0,可得k=1,则y===1++≥1+2=3,当且仅当=,即x=1时,等号成立.综上可得,k=1,y=的最小值为3.
16.解:因为不等式x2+2xy≤t(3x2+y2)对一切正数x,y恒成立,所以不等式t≥对一切正数x,y恒成立.
令a=>0,则t≥==+,不妨让2a->0,
则+=+=+=+
≤+
=1,当且仅当a==时,等号成立.综上所述,当y=x>0时,取得最大值1,所以t的取值范围为[1,+∞).2.2.4 均值不等式及其应用
第1课时 均值不等式
【学习目标】
1.掌握均值不等式≤(a>0,b>0)及其推导过程、几何意义;
2.能运用均值不等式证明不等式和求最值.
◆ 知识点一 基本概念
1.算术平均值与几何平均值
给定两个正数a,b,数称为a,b的 ;数称为a,b的 .
2.均值不等式
如果a,b都是正数,那么 ,当且仅当a=b时,等号成立.均值不等式也称为基本不等式,其实质是:两个正实数的 平均值不小于它们的 平均值.
3.均值不等式的一个几何意义
如果矩形的长和宽分别为a和b,那么矩形的面积为ab,可以看成与矩形周长相等的正方形的面积,因此均值不等式的一个几何意义为所有周长一定的矩形中, 的面积最大.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)a2+b2≥2ab和a+b≥2成立的条件都是a>0,b>0. ( )
(2)若a≠0,则a+≥2=6. ( )
(3)若a>0,b>0,则ab≤. ( )
◆ 知识点二 均值不等式与最值
1.已知x,y都是正数.
(1)如果和x+y等于定值S,那么当x=y时,积xy有最 值.
(2)如果积xy等于定值P,那么当x=y时,和x+y有最 值2.
2.利用均值不等式求积的最大值或和的最小值时,需注意:
(1)x,y必须是 .
(2)求积xy的最大值时,应看和x+y是否为 ;求和x+y的最小值时,应看积xy是否为 .
(3) 成立的条件是否满足.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个正数的积为定值,它们的平方和有最小值.( )
(2)当n∈N*时,n+>2. ( )
(3)当x>1时,函数y=x+≥2,所以y的最小值是2. ( )
(4)当a≥2时,a+的最小值为2. ( )
(5)两个负数的和为定值,则它们的积有最大值.( )
◆ 探究点一 对均值不等式的理解
例1 (1)已知a>1,则,,这三个数的大小关系是 ( )
A.<<
B.<<
C.<<
D.<≤
(2)(多选题)下列式子中正确的有 ( )
A.a2+1>2a B.≥2
C.≥2 D.x2+≥1
变式 给出下面三个推导过程:
①若a,b为正实数,则+≥2=2;
②若a∈R,a≠0,则+a≥2=4;
③若x,y∈R,xy<0,则+=-≤-2=-2.
其中正确的为 ( )
A.①② B.①③
C.②③ D.①②③
[素养小结]
(1)在理解均值不等式时,要从形式到内涵中理解,特别要关注条件.
(2)运用均值不等式比较大小时应注意成立的条件,即a+b≥2成立的条件是a>0,b>0,等号成立的条件是a=b;a2+b2≥2ab成立的条件是a,b∈R,等号成立的条件是a=b.
◆ 探究点二 利用均值不等式求最值
角度1 直接应用均值不等式求解最值
例2 (1)当x>0时,求+4x的最小值;
(2)当x<0时,求+4x的最大值;
(3)已知4x+(x>0,a>0)在x=3时取得最小值,求a的值.
变式 已知点P(x,y)在曲线y=+1上,求的取值范围.
[素养小结]
在利用均值不等式求最值时要注意三点:
一是各项均为正;二是寻求定值,求和式最小值时应使积为定值,求积式最大值时应使和为定值;三是考虑等号成立的条件是否具备.
角度2 拼凑法求最值
例3 (1)当0(2)当x>1时,求2x+的最小值.
变式 (1)已知0(2)已知x<,则4x-2+的最大值为 .
(3)(x>1)的最小值为 .
[素养小结]
通过拼凑法利用均值不等式求最值的策略:
(1)拼凑时注意利用系数的变化以及等式中常数的调整,做到等价变形.
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标.
(3)拆项、添项应注意检验利用均值不等式的前提.
1.下列不等式中恒成立的个数是 ( )
(1)a+≥2;(2)(-a)+≤-2;
(3)a2+≥2;(4)(-a)2+≤-2.
A.1 B.2 C.3 D.4
2.[2025·云南昆明高一期中] 已知x<0,则函数y=有 ( )
A.最大值-6 B.最大值-4
C.最小值6 D.最小值8
3.下列式子的最小值为4的是 ( )
A.t+ B.2t+
C.4t+(t>0) D.t+
4.(多选题)若a>0,b>0,且a+b=4,则下列不等式恒成立的是 ( )
A.+≥1 B.≤2
C.≤ D.0<≤
5.已知a>0,b>0,且ab=2,则2a+b的最小值为 ,此时a+b= . 2.2.4 均值不等式及其应用
第1课时 均值不等式
1.在不等式≥中,a,b需满足 ( )
A.a>0,b>0 B.a≥0,b≥0
C.ab≥0 D.ab>0
2.已知x,y均为正数,且满足x+2y=4,则xy的最大值为 ( )
A. B.2 C.2 D.
3.若x>1,则y=的最小值为 ( )
A.3 B.-3 C.4 D.-4
4.[2025·江苏南通高一期中] 当x>-1时,4x+的最小值为 ( )
A.6 B.8
C.10 D.12
5.已知x>1,则的最大值为 ( )
A. B. C. D.1
6.下列函数中,最小值是2的是 ( )
A.y=x+ B.y=x3+
C.y=x2+ D.y=+
7.(多选题)以下结论中正确的是 ( )
A.y=x+的最小值为2
B.当a>0,b>0时,++2≥4
C.y=x(1-2x),0D.当且仅当a,b均为正数时,+≥2恒成立
8.已知正数x,y满足x+=2,则的最小值为 .
9.若对任意x∈(0,+∞),不等式≥恒成立,则a的最小值是 .
10.(13分)已知a>0,b>0,且a+b+ab=3.
(1)求ab的取值范围;
(2)求a+b的取值范围.
11.已知x>0,y>0,且x+2y=4,则(1+x)(1+2y)的最大值为 ( )
A.36 B.4
C.16 D.9
12.(多选题)[2025·广东广州高一期中] 若实数x,y满足(x+y)2=+3xy,则 ( )
A.xy≤ B.xy≥1
C.|x+y|≤ D.|x+y|≥2
13.若x>0,y>1,则+的最小值为 .
14.(15分)(1)若x<3,求y=2x+1+的最大值.
(2)已知x>0,求y=的最大值.
15.规定a☉b=+a+b(a,b为正实数).若1☉k=3,则k的值为 ,此时y=的最小值为 .
16.(15分)[2025·辽宁沈阳高一期中] 若不等式x2+2xy≤t(3x2+y2)对一切正数x,y恒成立,求实数t的取值范围.