(共71张PPT)
2.2 不等式
2.2.4 均值不等式及其应用
第2课时 均值不等式的应用
探究点一 均值不等式的特殊应用
探究点二 证明不等式
探究点三 均值不等式在实际问题中的应用
◆
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
课堂评价
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.熟练掌握均值不等式及其变形的应用；
2.能用均值不等式解决简单的最大值或最小值问题,进一步加深
对均值不等式成立的条件的理解；
3.能够运用均值不等式解决实际生活中的应用问题.
知识点一 利用均值不等式证明不等式或求最值
利用均值不等式证明不等式或求最值时，要先观察题中不等式的结
构特征，若不能直接使用均值不等式，则考虑对代数式进行拆、并、
配等变形，使之达到能使用均值不等式的形式.
知识点二 利用均值不等式解决实际问题的一般步骤
（1）读懂题意，设出变量，列出函数关系式；
（2）把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；
（3）在题目要求的范围内，求出函数的最大值或最小值；
（4）写出符合实际情况的答案.
探究点一 均值不等式的特殊应用
角度1 “常值代换法”求最值
例1（1）已知正实数，满足，则 的最小值为__，
此时， 满足的等量关系是________．
[解析] 因为正实数，满足 ，
所以 ，
当且仅当，即时,等号成立.
故 的最小值为，此时，满足的等量关系是 ．
（2）已知，，，则 的最小值为_____
____.
[解析] 由 ，可得
，
当且仅当，即 时，等号成立.
故的最小值为 .
变式（1）［2025·湖南邵阳高一期中］已知实数满足 ，则
的最小值为( )
A.9 B.18 C.27 D.36
[解析] 因为，所以 ，所以
，
当且仅当，即 时取等号.故选C.
√
（2）若正数，满足，则 的最小值是___.
5
[解析] 方法一:由，可得 ，
，
当且仅当，即，时，等号成立，
故 的最小值是5.
方法二:由，得.
，， ， ，
当且仅当时等号成立，故 的最小值是5.
［素养小结］
常值代换法求最值的一般步骤：
（1）根据已知条件或其变形确定定值（常值）；
（2）把确定的定值（常值）变形为1；
（3）把“1”的表达式与要求最值的表达式相乘或相除，进而构造和
或积的形式；
（4）利用基本不等式求解最值.
角度2 消元法求最值
例2（1）已知，，，则 的最小值为
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为，所以，又， ，
所以，则 ，
因为，所以 ，
所以 ，
当且仅当，即时取等号，
所以 的最小值为 .故选C.
（2）已知，，，则 的最小值为___.
6
[解析] 方法一（换元消元法）:由已知得，
因为， ，所以，所以，
当且仅当，即 ，时取等号，
所以 ，令，
则且，可得，故 的最小值为6.
方法二（代入消元法）:由，得 ，
所以
，
当且仅当，即，时取等号，
所以 的最小值为6.
变式 设正实数,,满足，则 的最大值为
( )
A.4 B.2 C.3 D.1
[解析] 因为正实数,,满足 ，
所以，所以 ，
当且仅当，即时，等号成立，故 的最大值为1.故选D.
√
［素养小结］
在解含有两个变量的式子的最值问题时，通过代换的方法减少变量，
把问题化为两个或一个变量的问题，再使用均值不等式求解.
探究点二 证明不等式
例3 已知，，均为正数，求证： .
证明：因为，， 均为正数，
所以，当且仅当 时等号成立.
同理，，当且仅当时等号成立， ，
当且仅当 时等号成立.将上述三个不等式两边分别相加，
并除以2，得 ，当且仅当 时等号成立.
变式 已知，， 都是实数，求证：
.
证明：因为，，，所以， ，
，当且仅当 时等号同时成立，
三式相加，得 ，
则，
在①式两边同时加上 ,得 ，
则 .
在②式两边同时加上,得 ，
则 .
由③④可得 .
［素养小结］
（1）利用均值不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”
式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，
从而达到放缩的效果.
（2）注意多次运用均值不等式时等号能否取到.
探究点三 均值不等式在实际问题中的应用
例4 某工厂一年需要购买某种原材料100吨，计划每次购买 吨.若每次
的运费为5000元，一年的储存费用为 元，则每次购买____吨原
材料总费用（运费和储存费之和）最低，最低的总费用为____万元.
10
10
[解析] 由题意可得总费用，
，易知 （元），
当且仅当，即 时，等号成立，
即每次购买10吨原材料，总费用最低，最低的总费用为10万元.
变式 如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌内
有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部
分），这两栏目的面积之和为 ，四周空白的
宽度为 ，两栏目之间的中缝空白的宽度为
，设广告牌的高为 .
（1）用含的表达式表示广告牌的面积 ；
解：设广告牌的宽为，则 ，
所以，且 ,
所以广告牌的面积 .
（2）求广告牌的面积的最小值.
变式 如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌内
有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部
分），这两栏目的面积之和为 ，四周空白的
宽度为 ，两栏目之间的中缝空白的宽度为
，设广告牌的高为 .
解：由（1）知，
,当且仅当，
即 时等号成立，所以广告牌的面积的最小值为 .
［素养小结］
在应用均值不等式解决实际问题时，应注意如下的思路和方法：
（1）理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；
（2）建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小
值问题；
（3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
（4）根据实际背景写出答案.
拓展 《几何原本》中的几何代数法（以几何方法
研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重
要依据．通过这一原理，很多代数的公理或定理都
能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示的图形，
点在以为直径的半圆上，为圆心，点在半径 上
（不与点重合），且.设,，则 ____
（用,表示），由可以得出的关于, 的不等式为
_ ____________________________________．
[解析] ， ,
.
, ，
由可得，即
1.若，则 的最小值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 因为 ，
所以 ，
当且仅当且，即时取等号,
所以 的最小值为4. 故选D.
√
2.已知，则 的最小值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
[解析] ， ，
当且仅当，即 时，等号成立．故选B.
√
3.［2025·北京西城区北师大实验中学高一期中］已知直角三角形的
面积为1,则( )
A.该三角形的斜边长的最小值为2
B.该三角形的斜边长的最大值为2
C.该三角形的斜边长的最小值为
D.该三角形的斜边长的最大值为
[解析] 设直角三角形的两直角边长分别为,,则,即 ,
所以,当且仅当 时等号成立.
故选A.
√
4.已知,,均为正实数，则“”是“ ”的
( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
[解析] 若 ，
则 ，
当且仅当，，，即，，
时等号成立，所以充分性成立；
当时，可取 ，
但此时 ，所以必要性不成立，
故“”是“ ”的充分不必要条件.故选A.
5.若，，，则 的最大值为__.
[解析] 因为，所以，又，， ，
所以 ，
当且仅当时取等号，故的最大值为 .
1.用均值不等式证明不等式，要分析不等式的左右结构特征，通过拆
（添）项创设一个满足均值不等式的条件：一是创设一个应用均值
不等式的条件（如正数、定值等）；二是创设一个使等号成立的条件.
证明：因为，，，，， 均大于0，
所以，当且仅当 时等号成立，
，当且仅当 时等号成立，
，当且仅当 时等号成立，
则，
当且仅当 时等号成立，所以 .
例1 已知，，，求证： .
2.解决实际应用问题，关键在于弄清问题的各种数量关系，抽象出数
学模型，利用均值不等式解应用题，既要注意条件是否具备，还要
注意有关量的实际含义．
例2 将一根铁丝切割成三段做一个面积为 、形状为直角三角形
的框架，选用最合理（够用且浪费最少）的铁丝的长为_________ .
[解析] 设两直角边长分别为，，直角三角形的框架的周长为 ，
则，即 ，所以
，当且仅当时，等号成立，
故选用最合理的铁丝的长为 .
练习册
1.已知正数，满足，则 的最小值为( )
A.4 B.6 C.8 D.10
√
[解析] 因为正数，满足 ，所以
，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以 的最小值为10.故选D.
2.已知，，且，则 的最小值为( )
A.4 B.8 C.16 D.32
[解析] 因为,,且 ，所以
，
当且仅当，时取等号，故 的最小值为16.故选C.
√
3.如果两个正方形的边长之和为1，那么它们的面积之和的最小值是
( )
A. B. C.1 D.2
√
[解析] 设两个正方形的边长分别为，，
则， 且，所以两个正方形的面积之和为 .
由均值不等式可得，当且仅当 时，等号成立，
所以，
所以 ，当且仅当 时，等号成立，
所以这两个正方形的面积之和的最小值为 .故选B.
4.若正实数，满足，且不等式 有解，
则实数 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由，得 ，
则 ，
当且仅当时等号成立，所以 的最小值为2.
若不等式有解,则,解得或 ,
故实数的取值范围是 .故选D.
5.已知,，且，若 恒成立，
则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为,，且 ，所以
，
当且仅当 时取等号.
因为恒成立，所以 ，
解得，所以实数的取值范围是 .故选D.
√
6.［2025·贵州贵阳高一期中］如图，是圆的直径，点是 上的
一点，,.过点作垂直于的弦，连接, .可证
，所以.由于 小于或等于圆的半径，利
用该图作为一个说法的几何解释，这个说法正确的是( )
A.如果，那么
B.如果，那么
C.对,，都有 ，当且仅当
时等号成立
D.对,，都有 ，当且
仅当 时等号成立
√
[解析] 由题意，小于或等于圆的半径， 是圆的直径，
且,，，所以，
当且仅当 时等号成立.故选C.
★7.（多选题）下列结论正确的是( )
A.当时，
B.当时， 的最小值是2
C.当时，的最小值是
D.若，，且，则的最小值是
√
√
[解析] 对于A，当时,,可得 ,
当且仅当时取等号,故A正确;
对于B，当时, , ,可得
,
当且仅当时取得等号，但 ,
所以等号取不到,所以没有最小值,故B错误;
对于C,因为,所以 ，则
,当且仅当时取等号，
又 ，所以等号取不到，所以没有最小值，故C错误;
对于D,因为, ,且 ,所以
,
当且仅当,即时,等号成立，故D正确.故选 .
［易错点］ 在用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相
等”必须同时满足，缺一不可，如本题B，C中的等号取不到，则易
出现错误判断.
8.已知，若，则 的最小值为___.
8
[解析] 因为，所以 ，
则 ,
当且仅当,时，等号成立，所以 的最小值为8.
9.若正数，满足，则 的最小值为_ ___.
[解析] 由，可得.
又 ，所以，
当且仅当 时等号成立，所以的最小值为 .
10.（13分）［2024·江苏南京高一期中］ 某健身器材厂研制了一种
足浴气血养生机，具体原理是：在足浴盆右侧离中心
厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用．根据检测
发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用．已
知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与 成正比，比例系数为9；
对右脚的干扰度与成正比，比例系数为，且当 时，
对左脚和右脚的干扰度之和为0.07.
（1）求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和关于 的表达式；
解：由题意，得，将 代入，
得，解得，所以 .
10.（13分）［2024·江苏南京高一期中］ 某健身器材厂研制了一种
足浴气血养生机，具体原理是：在足浴盆右侧离中心
厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用．根据检测
发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用．已
知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与 成正比，比例系数为9；
对右脚的干扰度与成正比，比例系数为，且当 时，
对左脚和右脚的干扰度之和为0.07.
（2）求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和 的最小值．
解：因为，所以 ，
所以 ，
当且仅当，即 时,等号成立,
所以臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值为 .
11.［2025·辽宁大连高一期末］已知, ，则
的最小值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] ,， ,
，即.
,，即， ，
当且仅当，即,时等号成立.
故的最小值为 .故选D.
12.（多选题）下列说法中正确的是( )
A. 的最小值为2
B.已知，则的最小值为
C.若正实数，满足，则 的最小值为3
D.设,为正实数，若，则的最大值为
√
√
√
[解析] 当时， ，故A错误；
，当且仅当，即 时取等号，故B正确；
由，得 ，所以 ，当且仅当，
即 时取等号，故C正确；
由 ，得 ，即，则，
当且仅当 时取等号，故D正确.故选 .
13.中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内
有一个三角形,其边长分别为,,，则该三角形的面积 可由公式
求得,其中 为三角形周长的一半.现有一
个三角形的边长满足, ，则此三角形的面积的最大值
为_____.
[解析] 由,,可得 ,
则 ,
当且仅当时取等号,所以此三角形的面积的最大值为 .
14.（15分）已知，，且 ，证明：
.
证明：因为
，
当且仅当 时取等号，所以 .
15.若，，且，则 的最小值为______
___.
[解析] 因为，所以 ，
因为，，所以， .
，
因为，， ，
所以，所以 ，
当且仅当，时等号成立，
所以 的最小值为 .
16.（15分）
（1）若，，，都是正数，求证： ；
证明：因为，，，都是正数，
所以 ，当且仅当 时，等号成立.
，当且仅当 时，等号成立.
所以 ，
当且仅当， 时，等号成立.
（2）若，， 都是正数，求证：
.
证明： 因为，，都是正数，所以，当且仅当
时，等号成立，，当且仅当 时，等号成立，
，当且仅当 时，等号成立.
所以，当且仅当 时，等号成立.
快速核答案(导学案)
课中探究 探究点一 角度1 例1 （1）
（2）
变式 （1）C （2）5 角度2 例2 （1）C （2）6 变式 D
探究点二 例3 略 变式 略
探究点三 例4 10 10 变式 （1）
（2）
拓展
课堂评价 1.D 2.B 3.A 4.A 5.
备用习题 1.略 2.
快速核答案(练习册)
基础巩固
1.D 2.C 3.B 4.D 5.D 6.C 7.AD 8.8 9.
10.（1）
（2）
综合提升
11.D 12.BCD 13. 14.略
思维探索
15. 16.（1）略 （2）略第2课时 均值不等式的应用
【课中探究】
例1 (1) b=2a (2)8+4 [解析] (1)因为正实数a,b满足a+b=1,所以+=×(1+a+2+b)=≥=,当且仅当=,即b=2a=时,等号成立.故+的最小值为,此时a,b满足的等量关系是b=2a.
(2)由x+2y=1,可得===
=++8≥2+8=8+4,
当且仅当=,即x2=3y2时,等号成立.
故的最小值为8+4.
变式 (1)C (2)5 [解析] (1)因为00,所以+=[3x+(1-3x)]=15++≥2+15=27,当且仅当=,即x=时取等号.故选C.
(2)方法一:由x+3y=5xy,可得+=1,∴3x+4y=(3x+4y)=+++≥+=5,当且仅当=,即x=1,y=时,等号成立,故3x+4y的最小值是5.
方法二:由x+3y=5xy,得x=.∵x>0,y>0,∴y>,∴3x+4y=+4y=+4y=+×+4≥+2=5,
当且仅当y=时等号成立,故3x+4y的最小值是5.
例2 (1)C (2)6 [解析] (1)因为x+y=2,所以y=2-x,又x>0,y>0,所以0(2)方法一(换元消元法):
由已知得x+3y=9-xy,因为x>0,y>0,所以x+3y≥2,所以3xy≤,当且仅当x=3y,即x=3,y=1时取等号,所以(x+3y)2+12(x+3y)-108≥0,令x+3y=t,则t>0且t2+12t-108≥0,可得t≥6,故x+3y的最小值为6.
方法二(代入消元法):
由x+3y+xy=9,得x=,所以x+3y=+3y===3(1+y)+-6≥2-6=12-6=6,当且仅当3(1+y)=,即y=1,x=3时取等号,所以x+3y的最小值为6.
变式 D [解析] 因为正实数x,y,z满足x2-xy+y2-z=0,所以z=x2+y2-xy,所以==≤=1,当且仅当=,即x=y时,等号成立,故的最大值为1.故选D.
例3 证明:因为x,y,z均为正数,所以+=≥·2=,当且仅当x=y时等号成立.
同理,+≥,当且仅当x=z时等号成立,+≥,当且仅当y=z时等号成立.将上述三个不等式两边分别相加,并除以2,得++≥++,
当且仅当x=y=z时等号成立.
变式 证明:因为a,b,c∈R,所以a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,当且仅当a=b=c时等号同时成立,三式相加,得2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca)①,则a2+b2+c2≥ab+bc+ca②,在①式两边同时加上a2+b2+c2,得3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2,则a2+b2+c2≥(a+b+c)2③.在②式两边同时加上2(ab+bc+ca),得(a+b+c)2≥3(ab+bc+ca),则(a+b+c)2≥ab+bc+ca④.由③④可得a2+b2+c2≥(a+b+c)2≥ab+bc+ca.
例4 10 10 [解析] 由题意可得总费用y=×5000+5000x=+5000x,x>0,易知y=+5000x≥2=100 000(元),
当且仅当=5000x,即x=10时,等号成立,即每次购买10吨原材料,总费用最低,最低的总费用为10万元.
变式 解:(1)设广告牌的宽为t m,则(x-1)(t-1.25)=45,
所以t=1.25+,且x>1,
所以广告牌的面积S=tx=x(x>1).
(2)由(1)知,S=x=1.25(x-1)++46.25≥2+46.25=61.25,当且仅当1.25(x-1)=,即x=7时等号成立,
所以广告牌的面积的最小值为61.25 m2.
拓展 > [解析] AB=AC+BC=a+b,OB=AB=,OC=OB-BC=-b=.OF=AB=,FC===,由FC>OF可得>,即>.
【课堂评价】
1.D [解析] 因为m+n=1(mn>0),所以+=+=++2≥2+2=4,当且仅当=且m+n=1,即m=n=时取等号,所以+的最小值为4.故选D.
2.B [解析] ∵a>0,∴a+=a+-1≥2-1=3,当且仅当a=,即a=2时,等号成立.故选B.
3.A [解析] 设直角三角形的两直角边长分别为a,b,则ab=1,即ab=2,所以≥==2,当且仅当a=b=时等号成立.故选A.
4.A [解析] 若3x+4y+z=12,则++=(3x+4y+z)=≥=4,当且仅当=,=,=,即x=1,y=,z=3时等号成立,所以充分性成立;当++≥4时,可取x=y=z=1,但此时3x+4y+z=8≠12,所以必要性不成立,故“3x+4y+z=12”是“++≥4”的充分不必要条件.故选A.
5. [解析] 因为xy≠0,所以=,又x>0,y>0,x+2y=1,所以+=(x+2y)=++5≥2+5=9,当且仅当x=y=时取等号,故的最大值为.第2课时 均值不等式的应用
【学习目标】
1.熟练掌握均值不等式及其变形的应用;
2.能用均值不等式解决简单的最大值或最小值问题,进一步加深对均值不等式成立的条件的理解;
3.能够运用均值不等式解决实际生活中的应用问题.
◆ 知识点一 利用均值不等式证明不等式或求最值
利用均值不等式证明不等式或求最值时,要先观察题中不等式的结构特征,若不能直接使用均值不等式,则考虑对代数式进行拆、并、配等变形,使之达到能使用均值不等式的形式.
◆ 知识点二 利用均值不等式解决实际问题的一般步骤
(1)读懂题意,设出变量,列出函数关系式;
(2)把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题;
(3)在题目要求的范围内,求出函数的最大值或最小值;
(4)写出符合实际情况的答案.
◆ 探究点一 均值不等式的特殊应用
角度1 “常值代换法”求最值
例1 (1)已知正实数a,b满足a+b=1,则+的最小值为 ,此时a,b满足的等量关系是 .
(2)已知x>0,y>0,x+2y=1,则的最小值为 .
变式 (1)[2025·湖南邵阳高一期中] 已知实数x满足0A.9 B.18
C.27 D.36
(2)若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是 .
[素养小结]
常值代换法求最值的一般步骤:
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常值);
(2)把确定的定值(常值)变形为1;
(3)把“1”的表达式与要求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积的形式;
(4)利用基本不等式求解最值.
角度2 消元法求最值
例2 (1)已知x>0,y>0,x+y=2,则+的最小值为 ( )
A.+ B.+
C.+ D.
(2)已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为 .
变式 设正实数x,y,z满足x2-xy+y2-z=0,则的最大值为 ( )
A.4 B.2
C.3 D.1
[素养小结]
在解含有两个变量的式子的最值问题时,通过代换的方法减少变量,把问题化为两个或一个变量的问题,再使用均值不等式求解.
◆ 探究点二 证明不等式
例3 已知x,y,z均为正数,求证:++≥++.
变式 已知a,b,c都是实数,求证:a2+b2+c2≥(a+b+c)2≥ab+bc+ca.
[素养小结]
(1)利用均值不等式证明不等式,关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式,通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式,从而达到放缩的效果.
(2)注意多次运用均值不等式时等号能否取到.
◆ 探究点三 均值不等式在实际问题中的应用
例4 某工厂一年需要购买某种原材料100吨,计划每次购买x吨.若每次的运费为5000元,一年的储存费用为5000x元,则每次购买 吨原材料总费用(运费和储存费之和)最低,最低的总费用为 万元.
变式 如图,要设计一张矩形广告牌,该广告牌内有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分),这两栏目的面积之和为45 m2,四周空白的宽度为0.5 m,两栏目之间的中缝空白的宽度为0.25 m,设广告牌的高为x m.
(1)用含x的表达式表示广告牌的面积S;
(2)求广告牌的面积的最小值.
[素养小结]
在应用均值不等式解决实际问题时,应注意如下的思路和方法:
(1)理解题意,设出变量,一般把要求最值的量定为函数;
(2)建立相应的函数关系,把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题;
(3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值;
(4)根据实际背景写出答案.
拓展 《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据.通过这一原理,很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明.现有如图所示的图形,点F在以AB为直径的半圆上,O为圆心,点C在半径OB上(不与O点重合),且OF⊥AB.设AC=a,BC=b,则OC= (用a,b表示),由FC>OF可以得出的关于a,b的不等式为 .
1.若m+n=1(mn>0),则+的最小值为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
2.已知a>0,则a+的最小值为 ( )
A.2 B.3
C.4 D.5
3.[2025·北京西城区北师大实验中学高一期中] 已知直角三角形的面积为1,则 ( )
A.该三角形的斜边长的最小值为2
B.该三角形的斜边长的最大值为2
C.该三角形的斜边长的最小值为
D.该三角形的斜边长的最大值为
4.已知x,y,z均为正实数,则“3x+4y+z=12”是“++≥4”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.若x>0,y>0,x+2y=1,则的最大值为 . 第2课时 均值不等式的应用
1.已知正数m,n满足m+n=1,则+的最小值为 ( )
A.4 B.6 C.8 D.10
2.已知x≥0,y>2,且+=,则x+y的最小值为 ( )
A.4 B.8 C.16 D.32
3.如果两个正方形的边长之和为1,那么它们的面积之和的最小值是 ( )
A. B. C.1 D.2
4.若正实数x,y满足4x+y=2xy,且不等式x+A.(-1,2)
B.(-∞,-2)∪(1,+∞)
C.(-2,1)
D.(-∞,-1)∪(2,+∞)
5.已知x>0,y>0,且+=,若x+2+y>m2+5m恒成立,则实数m的取值范围是( )
A.(-4,7) B.(-2,7)
C.(-4,2) D.(-7,2)
6.[2025·贵州贵阳高一期中] 如图,AB是圆的直径,点C是AB上的一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD,BD.可证△ACD∽△DCB,所以CD=.由于CD小于或等于圆的半径,利用该图作为一个说法的几何解释,这个说法正确的是 ( )
A.如果a>b>0,那么>
B.如果a>b>0,那么a2>b2
C.对 a>0,b>0,都有≥,当且仅当a=b时等号成立
D.对 a>0,b>0,都有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立
★7.(多选题)下列结论正确的是 ( )
A.当x>0时,+≥2
B.当x>0时,的最小值是2
C.当x<0时,2x-1+的最小值是
D.若x>0,y>0,且x+y=2,则+的最小值是
8.已知xy>0,若x+=2,则+y的最小值为 .
9.若正数x,y满足x2+3xy-1=0,则x+y的最小值为 .
10.(13分)[2024·江苏南京高一期中] 某健身器材厂研制了一种足浴气血养生机,具体原理是:在足浴盆右侧离中心x(0(1)求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y关于x的表达式;
(2)求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和y的最小值.
11.[2025·辽宁大连高一期末] 已知1A. B.
C. D.
12.(多选题)下列说法中正确的是 ( )
A.的最小值为2
B.已知x>1,则2x+-1的最小值为4+1
C.若正实数x,y满足x+2y=3xy,则2x+y的最小值为3
D.设x,y为正实数,若9x2+y2+xy=1,则3x+y的最大值为
13.中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”,即假设在平面内有一个三角形,其边长分别为a,b,c,则该三角形的面积S可由公式S=求得,其中p为三角形周长的一半.现有一个三角形的边长满足a+b=12,c=8,则此三角形的面积的最大值为 .
14.(15分)已知a>0,b>0,且a+b=1,证明:+≤2.
15.若x>0,y>0,且xy=2x+y,则+的最小值为 .
16.(15分)(1)若a,b,c,d都是正数,求证:(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd;
(2)若a,b,c都是正数,求证:a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)≥6abc.第2课时 均值不等式的应用
1.D [解析] 因为正数m,n满足m+n=1,所以+=++1=(m+n)+1=++1+4+1≥2+6=10,当且仅当=,即m=,n=时,等号成立,所以+的最小值为10.故选D.
2.C [解析] 因为x≥0,y>2,且+=,所以x+y=4[(x+2)+(y-2)]=4≥4×(2+2)=16,当且仅当x=6,y=10时取等号,故x+y的最小值为16.故选C.
3.B [解析] 设两个正方形的边长分别为x,y,则x>0,y>0且x+y=1,所以两个正方形的面积之和为x2+y2.由均值不等式可得x2+y2≥2xy,当且仅当x=y时,等号成立,所以2(x2+y2)≥x2+y2+2xy=(x+y)2=1,所以x2+y2≥,当且仅当x=y=时,等号成立,所以这两个正方形的面积之和的最小值为.故选B.
4.D [解析] 由4x+y=2xy,得+=1,则x+==1++≥1+2=2,当且仅当4x=y=4时等号成立,所以x+的最小值为2.若不等式x+2,解得m<-1或m>2,故实数m的取值范围是(-∞,-1)∪(2,+∞).故选D.
5.D [解析] 因为x>0,y>0,且+=,所以x+2+y=×(x+2+y)=×≥×=14,当且仅当y=x+2=7时取等号.因为x+2+y>m2+5m恒成立,所以14>m2+5m,解得-76.C [解析] 由题意,CD小于或等于圆的半径,AB是圆的直径,且AC=a,BC=b,CD=,所以≤,当且仅当a=b时等号成立.故选C.
7.AD [解析] 对于A,当x>0时,>0,可得+≥2=2,当且仅当x=1时取等号,故A正确;对于B,当x>0时,x2+4>0,>0,可得=+=+≥2=2,当且仅当=时取得等号,但>2,所以等号取不到,所以没有最小值,故B错误;对于C,因为x<0,所以5-4x>0,则2x-1+=-≤-2=-,当且仅当=时取等号,又x<0,所以等号取不到,所以2x-1+没有最小值,故C错误;对于D,因为x>0,y>0,且x+y=2,所以+=(x+y)=+≥+×2=,当且仅当=,即y=2x=时,等号成立,故D正确.故选AD.
[易错点] 在用均值不等式求最值时,一定要注意“一正二定三相等”必须同时满足,缺一不可,如本题B,C中的等号取不到,则易出现错误判断.
8.8 [解析] 因为x+=2,所以+=1,则+y==4++≥4+2=8,当且仅当x=1,y=4时,等号成立,所以+y的最小值为8.
9. [解析] 由x2+3xy-1=0,可得y=.又x>0,所以x+y=+≥2=,当且仅当x=时等号成立,所以x+y的最小值为.
10.解:(1)由题意,得y=+,将x=10代入,得+=0.07,解得k=4,所以y=+(0(2)因为0所以y=+=[x2+(400-x2)]=≥==,当且仅当=(011.D [解析] ∵112.BCD [解析] 当x=-1时,=0<2,故A错误;2x+-1=2(x-1)++1≥2+1=4+1,当且仅当2(x-1)=,即x=+1时取等号,故B正确;由x+2y=3xy,得+=1,所以2x+y=(2x+y)=++≥2+=3,当且仅当=,即x=y=1时取等号,故C正确;由9x2+y2+xy=1,得(3x+y)2=1+5xy=1+×4×3x×y≤1+(3x+y)2,即(3x+y)2≤1,则3x+y≤=,当且仅当3x=y=时取等号,故D正确.故选BCD.
13.8 [解析] 由a+b=12,c=8,可得p=(a+b+c)=10,则S==≤·=8,当且仅当a=b=6时取等号,所以此三角形的面积的最大值为8.
14.证明:因为(+)2=2(a+b)+4+2≤6+2(a+b)+4=12,当且仅当a=b=时取等号,
所以+≤2.
15.3+2 [解析] 因为xy=2x+y,所以(x-1)(y-2)=2,因为x=>0,y=>0,所以x-1>0,y-2>0.+=+=3+2,因为(x-1)(y-2)=2,x-1>0,y-2>0,所以+≥2=,所以+≥3+2,当且仅当x=1+,y=2+时等号成立,所以+的最小值为3+2.
16.证明:(1)因为a,b,c,d都是正数,所以ab+cd≥2,
当且仅当ab=cd时,等号成立.
ac+bd≥2,当且仅当ac=bd时,等号成立.
所以(ab+cd)(ac+bd)≥2·2=4abcd,
当且仅当a=d,b=c时,等号成立.
(2)因为a,b,c都是正数,所以b2+c2≥2bc,当且仅当b=c时,等号成立,c2+a2≥2ac,当且仅当a=c时,等号成立,
a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.
所以a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)≥a·2bc+b·2ca+c·2ab=6abc,当且仅当a=b=c时,等号成立.