滚动习题(二) [范围2.1~2.2]
(时间:45分钟 分值:100分)
一、单项选择题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
1.已知集合A={x||x-1|≤2},B={x|x2-6x+5>0},则A∩( RB)= ( )
A.{x|-1≤x≤5}
B.{x|-1≤x≤1}
C.{x|1≤x≤5}
D.{x|1≤x≤3}
2.若a
A.< B.ab>a2
C.|a|<|b| D.a2>b2
3.若0A.9 B.18
C.20 D.27
4.[2025·湖北荆州高一期中] 在关于x的不等式(x-2)[(a-1)x+(2-a)]>0中,当0A.
B.
C.
D.
5.已知关于x的方程x2-kx+k+3=0有两个正根,那么这两个根的倒数和的最小值是 ( )
A.-2 B.
C. D.1
6.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-20恒成立,则实数m的取值范围为 ( )
A.(-∞,4] B.(-∞,4)
C.[13,+∞) D.(-∞,13)
二、多项选择题:本大题共2小题,每小题6分,共12分.
7.“关于x的一元二次方程x2-2x+a=0的一个实根大于1,另一个实根小于1”为真命题的一个充分不必要条件可能是 ( )
A.a<0 B.a<1
C.-18.[2025·四川成都高一期中] 若a>0,b>0,且a+b=1,则下列说法正确的是 ( )
A.ab的最大值为
B.+的最小值为4
C.a2+b2的最小值为
D.+的最小值为
三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.
9.建造一个容积为8 m3,深为2 m的长方体无盖水池,若池底每平方米的造价为120元,池壁每平方米的造价为80元,则这个水池的最低造价为 元.
10.若x>0,y>0,且xy=x+y+3,则x+y的最小值为 .
11.[2025·重庆万州区高一期末] 已知正实数x,y满足x+y=3,若不等式+≥m2+3m-1恒成立,则实数m的取值范围是 .
四、解答题:本大题共3小题,共43分.
12.(13分)(1)当x>3时,求2x+的最小值.
(2)若正数a,b 满足2a+b=6,求+的最小值.
13.(15分)在Rt△ABC中,∠A=90°.
(1)若BC=3,求△ABC的面积的最大值;
(2)若S△ABC=8,求△ABC的周长的最小值.
14.(15分)[2025·天津北辰区高一期末] 已知关于x的不等式(a-1)x2-2bx-2<0的解集为{x|-1(1)求实数a,b的值;
(2)若m≤0,求关于x的不等式amx2+(m-a)x-1≥0的解集;
(3)若对任意的实数x∈[1,2],amx2+(m-a)x-1≥mx恒成立,求实数m的取值范围.滚动习题(二)
1.D [解析] 因为A={x|-1≤x≤3},B={x|x<1或x>5},所以 RB={x|1≤x≤5},所以A∩( RB)={x|1≤x≤3}.故选D.
2.D [解析] 对于A,取a=-2,b=-1,则>,故A错误;对于B,取a=-2,b=-1,则ab|b|,故C错误;对于D,因为ab2,故D正确.故选D.
3.B [解析] ∵04.C [解析] 由00可化为(x-2)<0,因为关于x的方程(x-2)=0的两根为2和,且2-=<0,即2<,所以原不等式的解集为.故选C.
5.B [解析] 由题意可得Δ=(-k)2-4(k+3)≥0,解得k≥6或k≤-2.设方程的两个根分别为x1,x2,由两个根均为正根可得解得k>0,综上,k≥6.故两个根的倒数和为+===,∵k≥6,∴0<≤,∴0<≤,∴1<1+≤,∴1>≥,当且仅当k=6时等号成立,故两个根的倒数和的最小值是.故选B.
6.B [解析] 由关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-20可化为-ax2+amx-12a>0,因为a<0,x∈[1,5],所以上式可转化为m7.AC [解析] 因为关于x的一元二次方程x2-2x+a=0的一个实根大于1,另一个实根小于1,所以1-2+a<0,解得a<1,所以“关于x的一元二次方程x2-2x+a=0的一个实根大于1,另一个实根小于1”为真命题的一个充分不必要条件为{a|a<1}的一个真子集即可,所以A,C符合条件.故选AC.
8.ABC [解析] 对于A,ab≤=,当且仅当a=b=时等号成立,则ab的最大值为,故A正确;对于B,+=(a+b)=++2≥2+2=4,当且仅当a=b=时等号成立,则+的最小值为4,故B正确;对于C,a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab≥1-2×=,当且仅当a=b=时等号成立,所以a2+b2的最小值为,故C正确;对于D,(+)2=a+b+2=1+2≤1+2×=2,当且仅当a=b=时等号成立,所以+≤,则+的最大值为,故D错误.故选ABC.
9.1760 [解析] 设水池的总造价为y元,池底长为x m,宽为 m,依题意得y=4×120+2×80=480+320≥480+320×2=480+320×4=1760,当且仅当x=,即x=2时,等号成立.故这个水池的最低造价为1760元.
10.6 [解析] 因为xy=x+y+3≤,所以(x+y)2-4(x+y)-12=(x+y-6)(x+y+2)≥0,又x,y>0,所以x+y-6≥0,则x+y≥6,当且仅当x=y=3时等号成立,所以x+y的最小值为6.
11.[-4,1] [解析] 方法一:∵+=+=1++≥1+2=3,当且仅当=,即x=,y=时,等号成立,∴3≥m2+3m-1恒成立,解得-4≤m≤1,故实数m的取值范围是[-4,1].
方法二:∵++1=+=+=(x+y+2)=2++≥4,当且仅当=,即x=,y=时,等号成立,∴4≥m2+3m恒成立,解得-4≤m≤1,故实数m的取值范围是[-4,1].
12.解:(1)因为x>3,所以x-3>0,所以2x+=2(x-3)++6≥2+6=8+6=14,
当且仅当2(x-3)=,即x=5时,等号成立,故2x+的最小值为14.
(2)由a>0,b>0,且2a+b=6,得2(a+1)+b=8,即+=1,所以+=×=+++1≥+2=+1=,当且仅当=,即a=,b=时,等号成立,
故+的最小值为.
13.解:(1)由题知AB2+AC2=BC2=18,且AB>0,AC>0,AB+AC>3,
所以AB·AC≤=9,当且仅当AB=AC=3时取等号,
所以S△ABC=×AB×AC≤,即△ABC的面积的最大值为.
(2)由S△ABC=×AB×AC=8,得AB·AC=16,
由BC2=AB2+AC2=(AB+AC)2-2AB·AC≥2AB·AC=32,得(AB+AC)2≥4AB·AC=64,当且仅当AB=AC=4时取等号,
所以AB+AC≥8,BC≥4,当且仅当AB=AC=4时取等号,
所以△ABC的周长l=AB+BC+AC≥8+4,即△ABC的周长的最小值为8+4.
14.解:(1)由题意可得,关于x的方程(a-1)x2-2bx-2=0的两个根为-1和2,
所以解得
(2)由(1)知amx2+(m-a)x-1≥0可化为2mx2+(m-2)x-1≥0,即(2x+1)(mx-1)≥0.
当m=0时,不等式为2x+1≤0,解得x≤-.
当m≠0时,关于x的方程(2x+1)(mx-1)=0的两个根为-和,
当m<0时,
(i)当-= ,即m=-2时,关于x的不等式(2x+1)(mx-1)≥0的解集为;
(ii)当-< ,即m<-2时,关于x的不等式(2x+1)(mx-1)≥0的解集为;
(iii)当-> ,即0>m>-2时,关于x的不等式(2x+1)(mx-1)≥0的解集为.
综上,当m=0时,不等式的解集为;
当m=-2时,不等式的解集为;
当m<-2时,不等式的解集为;
当0>m>-2时,不等式的解集为.
(3)由(1)得amx2+(m-a)x-1≥mx可化为2mx2-2x-1≥0,
所以m≥+对任意x∈[1,2]恒成立,
令t=∈,可得m≥t2+t,
易知y=t2+t的图象的对称轴为直线t=-1,所以当t=1时,y取得最大值,所以m≥.
所以实数m的取值范围为.(共30张PPT)
滚动习题（二）范围
一、单项选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
1.已知集合, ，则
( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为，或 ，
所以，所以 .故选D.
√
2.若 ，则下列不等式正确的是( )
A. B. C. D.
[解析] 对于A，取,，则 ，故A错误；
对于B，取,，则，故B错误；
对于C，取, ，则，故C错误；
对于D，因为，所以 ，故D正确.故选D.
√
3.若，则 的最小值为( )
A.9 B.18 C.20 D.27
[解析] , ,
,
当且仅当，即 时等号成立.
故 的最小值为18，故选B.
√
4.［2025·湖北荆州高一期中］在关于 的不等式
中，当 时，该不等式的解
集为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由，得 ，
不等式可化为 ，
因为关于的方程的两根为2和 ，
且，即 ，
所以原不等式的解集为 .故选C.
5.已知关于的方程 有两个正根，那么这两个根
的倒数和的最小值是( )
A. B. C. D.1
√
[解析] 由题意可得，解得或 .
设方程的两个根分别为， ，由两个根均为正根可得
解得，综上， .
故两个根的倒数和为，，
， ，，，
当且仅当 时等号成立，故两个根的倒数和的最小值是 .故选B.
6.已知关于的不等式的解集为 ，
且对于任意，不等式恒成立，则实数
的取值范围为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由关于的不等式的解集为 ，
可知,3为关于的方程的两个根，且 ，
则,，即, ，
则不等式可化为，
因为 , ,所以上式可转化为对 恒成立，
因为，当且仅当 时等号成立，
所以 .故选B.
二、多项选择题：本大题共2小题，每小题6分，共12分.
7.“关于的一元二次方程 的一个实根大于1，另一个
实根小于1”为真命题的一个充分不必要条件可能是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为关于的一元二次方程 的一个实根大于1，
另一个实根小于1，所以，解得，
所以“关于 的一元二次方程 的一个实根大于1，
另一个实根小于1”为真命题的一个充分不必要条件为 的
一个真子集即可，所以A，C符合条件.故选 .
√
√
8.［2025·四川成都高一期中］ 若，，且 ，则下
列说法正确的是( )
A.的最大值为 B. 的最小值为4
C.的最小值为 D.的最小值为
√
√
√
[解析] 对于A，，
当且仅当 时等号成立，则的最大值为 ，故A正确；
对于B， ，
当且仅当时等号成立，则 的最小值为4，故B正确；
对于C， ，
当且仅当时等号成立，所以的最小值为 ，故C正确；
对于D， ，
当且仅当时等号成立，所以，
则 的最大值为，故D错误.故选 .
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
9.建造一个容积为，深为 的长方体无盖水池，若池底每平方
米的造价为120元，池壁每平方米的造价为80元，则这个水池的最低
造价为______元.
1760
[解析] 设水池的总造价为元，池底长为，宽为 ，
依题意得 ，
当且仅当，即 时，等号成立.
故这个水池的最低造价为1760元.
10.若,，且，则 的最小值为___.
6
[解析] 因为 ，
所以，
又, ，所以,则，
当且仅当 时等号成立，所以 的最小值为6.
11.［2025·重庆万州区高一期末］已知正实数,满足 ，若
不等式恒成立，则实数 的取值范围是_____
___.
[解析] 方法一：
,当且仅当,即,时,等号成立，
恒成立，解得，
故实数的取值范围是 .
方法二： ,当且仅当,即,时,等号成立，
恒成立，解得，
故实数的取值范围是 .
四、解答题：本大题共3小题，共43分.
12.（13分）
（1）当时，求 的最小值.
解：因为，所以 ，所以
，当且仅当，
即时，等号成立，故 的最小值为14.
（2）若正数,满足，求 的最小值．
解：由,,且,得 ,即,
所以
，当且仅当，
即, 时，等号成立，故的最小值为 .
13.（15分）在中， .
（1）若，求 的面积的最大值；
解：由题知，
且, ， ，
所以，当且仅当 时取等号，
所以，即的面积的最大值为 .
（2）若，求 的周长的最小值.
解：由，得 ，
由 ，
得，当且仅当 时取等号，
所以，，当且仅当 时取等号，
所以的周长，
即 的周长的最小值为 .
13.（15分）在中， .
14.（15分）［2025·天津北辰区高一期末］ 已知关于 的不等式
的解集为 .
（1）求实数， 的值；
解：由题意可得，关于的方程 的
两个根为 和2，所以解得
（2）若，求关于的不等式 的解集；
解：由（1）知 可化为
，即 .
当时，不等式为，解得 .
当时，关于的方程的两个根为和 ，
14.（15分）［2025·天津北辰区高一期末］ 已知关于 的不等式
的解集为 .
当 时，当 ，即时，
关于的不等式 的解集为 ；
当 ，即时，
关于 的不等式的解集为 ；
当 ，即时，
关于 的不等式的解集为 .
综上，当时，不等式的解集为 ；
当时，不等式的解集为 ；
当时，不等式的解集为 ；
当时，不等式的解集为 .
（3）若对任意的实数, 恒成立，
求实数 的取值范围.
14.（15分）［2025·天津北辰区高一期末］ 已知关于 的不等式
的解集为 .
解：由（1）得 可化为 ，
所以对任意 恒成立，
令，可得 ，
易知的图象的对称轴为直线，
所以当时， 取得最大值，所以 .
所以实数的取值范围为 .
快速核答案
一、单项选择题 1.D 2.D 3.B 4.C 5.B 6.B
二、多项选择题 7.AC 8.ABC
三、填空题 9.1760 10.6 11.
四、解答题 12.（1） （2） 13.（1） （2）
14.（1） （2）当时，不等式的解集为；当时，
不等式的解集为；当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为. （3）