单元素养测评卷(二)
1.D [解析] ∵∴∴方程组的解集为{(1,2)}.故选D.
2.D [解析] 对于A,由等式的性质知,若x=y,则x+5=y+5,故A中说法正确;对于B,由等式的性质知,若a=b,则ac=bc,故B中说法正确;对于C,由等式的性质知,若=,则a=b,故C中说法正确;对于D,由等式的性质知,若x=y,则=的前提条件为a≠0,故D中说法不正确.故选D.
3.A [解析] 对于①,取a=1,b=-2,满足a>b,但a2b2,但ab,但=2>1,故③错误;对于④,取a=1,b=-2,满足a>b,但>,故④错误.故选A.
4.D [解析] 当05.A [解析] 设3x-y=a(x+y)+b(x-y)=(a+b)x+(a-b)y,可得
解得所以3x-y=(x+y)+2(x-y),由题意得所以1≤3x-y≤7,即3x-y的取值范围是[1,7].故选A.
6.D [解析] 由题得关于x的方程x2-(m+1)x+2m-1=0的根为x1,x2,则x1+x2=m+1,x1x2=2m-1,由Δ=(m+1)2-4(2m-1)>0,得m>5或m<1.由+==<1,得<0,即(m-2)(2m-1)>0,解得m>2或m<,故实数m的取值范围是∪(5,+∞).故选D.
7.C [解析] 因为关于x的一元二次不等式ax2-bx+c>0的解集为{x|10,即(2x-1)(x-1)>0,解得x>1或x<,所以关于x的不等式cx2-bx+a<0的解集为∪(1,+∞).故选C.
8.C [解析] 因为3x>y>0,所以3x-y>0,2x+3y>0,因为7x+5y=(3x-y)+2(2x+3y)=1,所以+=[(3x-y)+2(2x+3y)]=5++≥5+2=9,当且仅当即即时,等号成立,所以+的最小值为9.故选C.
9.CD [解析] 当x=y=-1时,满足+≥2,但不满足x>0且y>0,故A错误;当a=4,b=3,m=-2时,满足a>b>0,m<0,但>,故B错误;全称量词命题的否定是存在量词命题,故 p: x∈R,x≤0,故C正确;因为a>0,b>0,a+b=4,所以+=+=+=a-2+b-2++=+=4=[(a+2)+(b+2)]·=≥=2,当且仅当a=b=2时等号成立,所以+的最小值为2,故D正确.故选CD.
10.BC [解析] 画出函数y=x2+5x+m的图象,关于x的一元二次不等式x2+5x+m<0的解集为函数图象在x轴下方的部分对应的点的横坐标x的集合,因为函数y=x2+5x+m的图象的对称轴为直线x=-,不等式x2+5x+m<0的解集中有且仅有2个整数,所以解得4≤m<6.故选BC.
11.BC [解析] 对于A,因为正实数x,y满足x+y=1,所以x,y∈(0,1),因为≤=,当且仅当x=y=时取等号,所以的最大值是,故A错误;对于B,+=+=1++≥1+2=3,当且仅当x=y=时取等号,所以+的最小值是3,故B正确;对于C,由≤,得xy≤,所以x2+y2=(x+y)2-2xy=1-2xy≥1-2×=,当且仅当x=y=时取等号,所以x2+y2的最小值是,故C正确;对于D,由≤,得xy≤,则x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2)=1×(x2-xy+y2)=(x+y)2-3xy=1-3xy≥1-=,当且仅当x=y=时等号成立,所以x3+y3的最小值是,故D错误.故选BC.
12.R [解析] 当x<0时,|3x+1|≥0,2x<0,此时|3x+1|>2x恒成立,故x<0;当x≥0时,由|3x+1|>2x,得3x+1>2x,可得x≥0.综上,原不等式的解集为R.
13.-1 [解析] 由|x-2|≥1,得x≤1或x≥3;由|x-2|≤1,得1≤x≤3.因为不等式(|x-2|-1)(x2+bx+c)≥0对x∈R恒成立,所以当x≤1或x≥3,即|x-2|-1≥0时,x2+bx+c≥0,当1≤x≤3,即|x-2|-1≤0时,x2+bx+c≤0,所以关于x的方程x2+bx+c=0的两根分别为1,3,由根与系数的关系得1+3=-b,1×3=c,所以b=-4,c=3,所以b+c=-4+3=-1.
14.2 [解析] 因为+4x≥2=4,当且仅当x=时取等号,所以max≥2,因为+y≥2=4,当且仅当y=2时取等号,所以max≥2,所以max≥2,所以max的最小值为2.
15.解:(1)由①得2(2x+1)-3(3x+2)>6,解得x<-2.由②得2x-x<3,解得x<3.
所以原不等式组的解集为(-∞,-2).
(2)由①-②得2y=-4,由③-①得8x-4y=16,
即2x-y=4.由解得代入③,得9+6+z=17,解得z=2.
所以原方程组的解集是{(1,-2,2)}.
(3)由第一个式子可得y=2x-1,代入第二个式子可得x2+2(2x-1)2=3,
即9x2-8x-1=0,解得x1=1,x2=-,代入y=2x-1,可得y1=1,y2=-.
故方程组的解集为.
16.解:(1)由+≥,得m≤(a+3b),
因为a>0,b>0,所以(a+3b)=6++≥6+2=12,当且仅当=,即a=3b时取等号,
所以m≤12,所以m的最大值为12.
(2)若a+2b+2ab=8,a>0,b>0,则8-(a+2b)=a·2b≤,
当且仅当a=2b,即b=1,a=2时取等号,
则(a+2b)2+4(a+2b)-32≥0,
又a+2b>0,所以a+2b≥4,
所以a+2b的最小值为4.
17.解:(1)由题可知,±1为关于x的方程x2-2ax-(2a+b-1)(b-1)=0的根,
∴解得或
∵b>0,∴a=0,b=2.
(2)由题可知,Δ=(-2a)2-4×1×[-(2a+b-1)(b-1)]≤0,
∴a2+2a(b-1)+(b-1)2≤0,即(a+b-1)2≤0,∴a+b=1.
∵a>0,b>0,∴+=(a+b)=2++≥4,当且仅当a=b=时取等号,
∴+的最小值为4.
18.解:(1)由题图知CD∥AE,所以=,即=,解得AE=,
所以y=×(x+12)=(x>0).
因为y==16,
且x+≥2=24,当且仅当x=12时,等号成立,
所以y=16≥768,所以当x=12时,y取得最小值768.
(2)因为矩形AEGF的面积大于1024 m2,
所以>1024,化简得x2-40x+144>0,
即(x-4)(x-36)>0,可得036.
19.解:(1)设一个2元“完美集”为{x1,x2}(x1≠x2),则x1+x2=x1x2,
因为+3=×3=,
所以2元“完美集”可以为(答案不唯一).
(2)证明:设2元“完美集”为{x1,x2}(x1≠x2),则x1+x2=x1x2,
因为x1>0,x2>0,x1≠x2,所以x1+x2>2,
所以x1x2>2,又x1x2>0,所以x1x2>4,
所以对任意一个2元“完美集”,若其元素均为正数,则其元素之积一定大于4.
(3)设n元“完美集”为{x1,x2,…,xn},其中xi∈N*,i=1,2,…,n,
不妨设x1则x1x2…xn=x1+x2+…+xn假设|A|=n≥4,可知x1x2…xn-1≥1×2×…×(n-1)≥2(n-1)=n+n-2>n,
所以假设不成立,即|A|=n≤3,
又因为1+2+3=1×2×3,所以存在元素均为正整数的3元“完美集”{1,2,3},
所以|A|的最大值为3.单元素养测评卷(二)
第二章
(时间:120分钟 分值:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.方程组的解集为 ( )
A.{(2,1)} B.
C.{1,2} D.{(1,2)}
2.下列说法不正确的是 ( )
A.若x=y,则x+5=y+5
B.若a=b,则ac=bc
C.若=,则a=b
D.若x=y,则=
3.给出以下结论:①a>b a2>b2;②a2>b2 a>b;③a>b <1;④a>b <.其中正确结论的个数是( )
A.0 B.1
C.2 D.3
4.若0A. B.
C. D.
5.已知x,y满足则3x-y的取值范围是 ( )
A.[1,7] B.[1,8]
C.[2,7] D.[-1,7]
6.已知关于x的一元二次不等式x2-(m+1)x+2m-1<0的解集为{x|x1A.(2,+∞) B.(-∞,2)
C.∪(2,+∞) D.∪(5,+∞)
7.[2025·江苏南京高一期中] 已知关于x的一元二次不等式ax2-bx+c>0的解集为{x|1A.∪(1,+∞)
B.
C.∪(1,+∞)
D.
8.[2024·辽宁沈阳高一期末] 已知3x>y>0,且7x+5y=1,则+的最小值为 ( )
A.7 B.8
C.9 D.10
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列说法正确的是 ( )
A.“x>0且y>0”是“+≥2”的充要条件
B.若a>b>0,m<0,则<
C.若p: x∈R,x>0,则 p: x∈R,x≤0
D.若实数a,b满足a>0,b>0,a+b=4,则+的最小值为2
10.已知关于x的一元二次不等式x2+5x+m<0的解集中有且仅有2个整数,则实数m的值可以是( )
A.3 B.4
C.5 D.6
11.[2025·黑龙江大庆高一期末] 设正实数x,y满足x+y=1,则 ( )
A.的最小值是
B.+的最小值是3
C.x2+y2的最小值是
D.x3+y3的最大值是
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.不等式|3x+1|>2x的解集是 .
13.[2025·辽宁沈阳高一期末] 已知不等式(|x-2|-1)(x2+bx+c)≥0对x∈R恒成立,则b+c= .
14.[2025·贵州六盘水高一期末] 已知max{a,b,c,d}表示a,b,c,d中最大的数,例如max{1,2,1,3}=3.若x,y均为正数,则max的最小值为 .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)解下列方程组或不等式组.
(1)(2)
(3)
16.(15分)已知a>0,b>0.
(1)若不等式+≥恒成立,求m的最大值;
(2)若a+2b+2ab=8,求a+2b的最小值.
17.(15分)[2025·安徽芜湖高一期末] 已知关于x的不等式x2-2ax-(2a+b-1)(b-1)≥0(b>0).
(1)当不等式的解集为(-∞,-1]∪[1,+∞)时,求a,b的值;
(2)若a>0且不等式恒成立,求+的最小值.
18.(17分)[2025·云南曲靖高一期末] 某村原有一块矩形场地ABCD建有健身器材,为了满足村民对体育锻炼的需求,计划在原有矩形场地的基础上扩建成一个更大的矩形场地AEGF.为了不影响原有的锻炼环境,建造时要求点B在AE上,点D在AF上,且对角线EF经过点C,如图所示.已知AB=16 m,AD=12 m,设DF=x m,矩形AEGF的面积为y m2.
(1)写出y关于x的表达式,并求出x为多少时,y取得最小值.
(2)要使矩形AEGF的面积大于1024 m2,则DF的长应在什么范围内
19.(17分)[2025·广东广州高一期末] 若一个集合含有n个元素(n≥2,n∈N),且这n个元素之和等于这n个元素之积,则称该集合为n元“完美集”.
(1)写出一个2元“完美集”(无需写出求解过程);
(2)求证:对任意一个2元“完美集”,若其元素均为正数,则其元素之积大于4;
(3)记|A|为集合A中元素的个数,若集合A是元素均为正整数的“完美集”,求|A|的最大值.
